分段函数常见题型解法-含答案

【知识要点】

分段函数问题是高中数学中常见的题型之一，也是高考经常考查的问题.主要考查分段函数的解析式、求值、解不等式、奇偶性、值域（最值）、单调性和零点等问题.

1、 求分段函数的解析式，一般一段一段地求，最后综合.即先分后总.注意分段函数的书写格式为：

?f1(x)?f(x)?2f(x)?????fn(x)x?D1?y?f1(x)x?D1?y?f(x)x?Dx?D2?22，不要写成f(x)??.注意分段函数的每一段的自变量的取值范

x?Dnx?Dn??x?Dn?y?fn(x)x?Dn围的交集为空集，并集为函数的定义域D.一般左边的区域写在上面,右边的区域写在下面.

2、分段函数求值，先要看自变量在哪一段，再代入那一段的解析式计算.如果不能确定在哪一段，就要分类讨论.注意小分类要求交，大综合要求并.

3、分段函数解不等式和分段函数求值的方法类似，注意小分类要求交，大综合要求并.

4、分段函数的奇偶性的判断，方法一：定义法.方法二：数形结合.

5、分段函数的值域（最值）,方法一：先求每一段的最大（小）值，再把每一段的最大（小）值比较，即得到函数的最大（小）值. 方法二：数形结合.

6、分段函数的单调性的判断，方法一：数形结合，方法二：先求每一段的单调性，再写出整个函数的单调性.

7、分段函数的零点问题，方法一：解方程，方法二：图像法，方法三：方程+图像法. 和一般函数的零点问题的处理方法是一样的.

虽然分段函数是一种特殊的函数，在处理这些问题时，方法其实和一般的函数大体是一致的. 【方法讲评】

题型一 解题方法

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分段函数的解析式问题 一般一段一段地求，最后综合.即先分后总.

【例1】已知函数f(x)对实数x?R满足f(x)?f(?x)?0,f(x?1)?f(x?1)，若当x??0,1?时，

3f(x)?ax?b(a?0,a?1),f()?1?2.

2（1）求x???1,1?时，f(x)的解析式；（2）求方程f(x)?log4x?0的实数解的个数.

（2） ?f(x)?f(?x)?0,f(x?1)?f(x?1)?f(x?2)?f(x)?f(x)是奇函数，且以2为周期.方程f(x)?log4x?0的实数解的个数也就是函数y?f(x)和y?log4x的交点的个数.在同一直角坐标系中作出这俩个函数的图像，由图像得交点个数为2，所以方程f(x)?log4x?0的实数解的个数为2.

【点评】（1）本题的第一问，根据题意要把[?1,1]分成三个部分，即x?(?1,0),x??1,x?(0,1),再一段一段地求. 在求函数的解析式时，要充分利用函数的奇偶性、对称性等. (2)本题第2问解的个数，一般利用数形结合解答.

【检测1】已知定义在R上的函数f?x???x?2?.

2（Ⅰ）若不等式f?x?2?t??f?2x?3?对一切x??0,2?恒成立，求实数t的取值范围； （Ⅱ）设g?x??xf?x?，求函数g?x?在?0,m?(m?0)上的最大值??m?的表达式．

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题型二 解题方法 分段函数的求值 先要看自变量在哪一段，再代入那一段的解析式计算.如果不能确定在哪一段，就要分类讨论.注意小分类要求交，大综合要求并. 学.科.网 【例2】已知函数f?x??{?log2?3?x?,x?22x?2?1,x?2 ，若f?2?a??1 ，则f?a?? （ ）

A. ?2 B. 0 C. 2 D. 9

【解析】当2?a?2 即a?0时， ?log23??2?a??1?1?a?当2?a?2 即a?0时， 22?a?2??11； ,a?? （舍）

22?1?1?a??1?f?a???log24??2 ，故选A.

【点评】（1）要计算f(2?a)的值，就要看自变量2?a在分段函数的哪一段，但是由于无法确定，所以要就2?a?2和2?a?2分类讨论. （2）分类讨论时，注意数学逻辑，小分类要求交，大综合要求并.当a?0时 ，解得a??

1，要舍去. 2??x,0?x?1【例3】【2017山东，文9】设f?x???,若f?a??f?a?1?,则

??2?x?1?,x?1A. 2 B. 4 C. 6 D. 8

?1?f??? （ ） ?a?

【点评】（1）要化简f?a??f?a?1?，必须要讨论a的范围，要分a?1和0?a?1讨论.当a?1时，可以解方程2(a?1)?2(a?1?1)，得方程没有解.也可以直接由y?2(x?1)单调性得到f?a??f?a?1?.

?x??2?1x?0【检测2】已知函数f(x)??,若f[f(x0)]?1，则x0? ．

x?0??x

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题型三 解题方法 分段函数解不等式 先要看自变量在哪一段，再代入那一段的解析式计算.如果不能确定在哪一段，就要分类讨论.注意小分类要求交，大综合要求并. 【例3】已知函数A.

B.

C.

D.

则

的解集为（ ）

【点评】（1）本题中f(x)的自变量x不确定它在函数的哪一段，所以要分类讨论. (2)当?2?x?0时，计算f(?x)要注意确定?x的范围，0??x?2，所以求f(?x)要代入第一段的解析式.数学思维一定要注意逻辑和严谨. (3)分类讨论时，一定要注意数学逻辑，小分类要求交，大综合要求并.

【检测3】已知函数f?x??{

?x?1，x?0，1 【检测4】【2017课标3，理15】设函数f(x)??x则满足f(x)?f(x?)?1的x的取值范围

2?2，x?0，2?log2??x?2?,0?x?2,2?f??x?,?2?x?0,则f?x??2的解集为__________．

是_________.

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