2015届高三数学一轮复习专讲专练3.1任意角和弧度制及任意角的三角函数

第四章 三角函数沿河民族中学 阚 辉

第 四 部 分 三 角 函 数 与 平 面 向 量

正角、负角、零角 象限角 角 任意角与弧度制； 单位圆 弧度制 轴线角 终边相同的角 定义1弧度的角 三角函数线 平方关系、商的关系 公式正用、逆用、变形 及“1”的代换 化简、求值、证明(恒等式) 描点法(五点作图法) 正弦函数y=sinx 余弦函数y=cosx 三角函数的图象 正切函数y=tanx y=Asin(ωx+φ)+b 性质 定义域、值域 单调性、奇偶性、周期性 对称性 最值 作图象 几何作图法 对称轴(正切函数 除外)经过函数图 象的最高(或低) 点且垂直x轴的直线 对称中心是正余弦函 数图象的零点，正切 函数的对称中心为 k ( ,0)(k∈Z) 2 ①角度与弧度互化；②特殊角的弧度数； ③弧长公式、扇形面积公式 区别第一象限角、锐角、小于900的角

任意角三角函数定义

三 角 函 数

同角三角函数的关系

任意角的三角函数

诱导公式 和(差)角公式 二倍角公式

奇变偶不变，符号看象限

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①图象可由正弦曲线经过平移、伸缩得到，但要注意先平移后伸缩与先伸缩后平移不同； ②图象也可以用五点作图法；③用整体代换求单调区间(注意 的符号); 2k 1 2 ,对称中心为( k ,b)(k∈Z). 2 ④最小正周期T= ;⑤对称轴x= 2 三角函数模型的简单应用 生活中、建筑学中、航海中、物理学中等

第 三 部 分 三 角 函 数 与 平 面 向 量

正弦定理

a b c 2 R及变式 sin A sin B sin C适用范围：①已知两角和任一边，解三角形； ②已知两边和其中一边的对角，解三角形。 解的个数是一个？ 两个？还是无解？

a 2 b2 c 2 2bc cos A b2 a 2 c 2 2ac cos B余弦定理

推论：求角

c 2 a 2 b2 2abcosC适用范围：①已知三边，解三角形；②已知两 边和它们的夹角，解三角形。

解三角形面积

1 1 S ABC ah absin C 2 2 a b c p p a p b p c 其中p 2 abc R是外接圆半径 4R 1 a b c r r是内切圆半径 2 零向量与单位向量 加、减、数乘 表示 几何意义及运算律

(1)解三角形时，三条边和 三个角中“知三求二”。 (2)解三角形应用题步骤： 先准确理解题意，然后画出 示意图，再合理选择定理求 解。尤其理解有关名词，如 坡角、坡比、仰角和俯角、 方位角、方向角等。

实际应用 向量的概念 线性运算

a

x2 x1 2 y2 y1 2

平面向量上一页

平面向量基本定理 数量积 几何意义 夹角公式

p xe1 ye2投影

a b b 在a方

向上的投影为b cos a a b 设a与b 夹角为 , 则 cos a b

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共线与垂直 向量的应用

共线(平行) 垂直

a // b b1 0a x1 y2 x2 y1 0 a 0 a b a b 0 x1x2 y1 y2 0

在平面(解析)几何中的应用；在物理(力向量、速度向量)中应用

考点分析： 三角函数是中学中重要的基本初等函数之一,它和 代数、几何有着密切的联系,是研究其他知识部分 的重要工具,在实际问题中也有着极其广泛的应用, 因而是高考对基础知识和基本技能考查的重要内 容之一.从近年高考看,考查本章内容的主要考点 是:(1)三角函数的图象和性质(三角函数的解析式、 周期性、单调性、奇偶性、最大值与最小值等 等);(2)三角函数化简求值问题(包括和、差、倍、 半、诱导公式、和差化积和积化和差公式、万能 公式、同角的三角函数关系式等等);(3)解三角形 (包括三角形中的内角和定理、正弦定理、余弦定 理及其应用).

第四章 三角函数、解三角形

1.角的有关概念

(1)从运动的角度看，角可分为正角、负角 和 零角. (2)从终边位置来看，可分为 象限角 和轴线角.(3)所有与角 α终边相同的角，连同角 α 在内，可构成 α+k×360°,k∈Z} 一个集合S={β|β= (或{β|β = α+2kπ,k∈Z }).

2.象限角 象限角 第一象限角 第二象限角 第三象限角 集合表示 π α2kπ<α<2kπ+ ,k∈Z 2 π α2kπ+ <α<2kπ+π,k∈Z 2 3 α|2kπ+π<α<2kπ+ π,k∈Z 2 π α2kπ- <α<2kπ,k∈Z 2

第四象限角

3.弧度与角度的互化(1)1 弧度的角： 在单位圆中， 单位长度的弧所对的圆心角为 1 弧度的 角，用符号 rad 表示.(2)角 α 的弧度数： 如果半径为 r 的圆的圆心角 α 所对弧的长为 l,那么， l 角 α 的弧度数的绝对值是|α|= r .

π (3)角度与弧度的换算：①1° = 180 rad; 180 π ②1 rad= ° .

(4)弧长、扇形面积的公式： 设扇形的弧长为 l,圆心角大小为 α(rad),半径为 r, 则 l=r|α|

1 1 ,扇形的面积为 S= lr= |α|· r2 . 2 2

4.任意角的三角函数三角函数 正弦 余弦 正切

设 α 是一个任意角，它的终边与单位圆交于点 P(u,v),那么 定义

v 叫做 α 的正 u 叫做 α 的弦函数，记作 余弦函数，记 sin α 作 cos α

v u 叫做 α 的正切函数，记作 tan α

三角函数 各 象 限 符 号

正弦 正 正 负 负

余弦

正切 正 负 正 负

ⅠⅡ Ⅲ Ⅳ 口诀

正负 负 正

一全正，二正弦，三正切，四余弦 sin(α+k·2π)

= sinα cos (α+ k·2π)= cosα tan(α+k·2π) = tanα

终边相同的 角的三角函 数值(k∈Z)

三角函数

正弦

余弦

正切

三角函数线 有向线段 MP 有向线段 OM 有向线段 AT 为正弦线 为余弦线 为正切线

[小题能否全取]1.在 0° ~360° 范围内与-870° 终边相同的角是(A.-150° C.210° B.150° D.-210°

)

解析：-870° =-3×360° +210° .

答案：C

2.已知角 α 的终边经过点( 3,-1),则角 α 的最小正 值是2π A. 3 5π C. 6 11π B. 6 3π D. 4

(

)

-1 1 解析：∵sin α= =- ,且 α 的终边在第四象限， 2 2 11 ∴α= π. 6

答案： B

3.若sin α<0且tan α>0,则α是 A.第一象限角 C.第三象限角

(

)

B.第二象限角 D.第四象限角

解析：由sin α<0,知α在第三、第四象限或α终边在y

轴的负半轴上，由tan α>0,知α在第一或第三象限，因此α在第三象限. 答案：C

2π 4.若点 P 在 角的终边上，且 P 的坐标为(-1,y),则 3 y 等于________.2π 解析：因 tan =- 3=-y,∴y= 3. 3

答案： 3

5.弧长为3π,圆心角为135°的扇形半径为________, 面积为________.3 解析：弧长 l=3π,圆心角 α= π, 4 l 3π 1 由弧长公式 l=α· r 得 r=α= =4, 面积 S= lr=6π. 3 2 π 4

答案：4

6π

1.对任意角的理解

(1)“小于90°的角”不等同于“锐角”“0°~90°的角”不等同于“第一象限的角”.其实锐角的集合是 {α|0°<α<90°},第一象限角的集合为 {α|k· 360°<α<k· 360°+90°,k∈Z}. (2)终边相同的角不一定相等，相等的角终边一定 相同，终边相同的角的同一三角函数值相等.

2.三角函数定义的理解三角函数的定义中，当 P(x,y)是单位圆上的点时有 y sin α=y,cos α=x,tan α=x,但若不是单位圆时，如 y x y 圆的半径为 r,则 sin α=r ,cos α= r ,tan α=x.

[例1] 已知角α=45°,

设集合

k M= x x=2

×180° +45° ,k∈Z ,

k N= x x=4

×180° +45° ,k∈Z , 判断两集合的关系.

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