黄浦区2015学年度第一学期高三年级期终调研测试数学测试卷理科

黄浦区2015学年第一学期高三年级期末调研测试数学试卷2016

年1月

一、填空题（本大题满分56分，共14题）

1.不等式x?1?1的解集用区间表示为 . 2.函数y?cos2x-sin2x的最小正周期是 . 3.直线

xy?3的一个方向向量可以是 . 214.若将两个半径为1的铁球熔化后铸成一个球，则该球的半径为

5.若无穷数列中的任意一项均等于其之后所有项的和，则其公比为 . 2??上有且只有一个零点，则a= . 6.若函数y?a?sinx在区间??，7.若函数f?x??为 .

8.若对任意不等于1的正数a，函数f?x??ax?2的反函数的图像过点P，则点P的坐标是 .

9.（理）在?a?b?的二项式展开式中，若二项式系数的和为128，则二项式系数的最大值

nx2?1?a?x2为偶函数且非奇函数，则实数a的取值范围

为 （结果用数字作答）.

10.在△ABC中，若cos?A?2C?B??sin?B?C?A??2,且AB?2,则BC? . 11.为强化安全意识，某学校拟在未来的连续5天中，随机抽取2天进行紧急疏散演练，那么

选择的2天恰好为连续两天的概率是 (结果用最简分数表示）. 12.已知k?N，若曲线x?y?k与曲线xy?k无交点，则k= . 213.已知点 M?m,0??m?0?和抛物线C：y?4x ，过C的焦点F的直线与C交于两点

?222A、B两点，若AF?2FB，且MF?MA 则m= . 14.若非零向量a,b,c满足a?2b?3c?0，且a?b?b?c?c?a则b与c夹角为 .

二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题

15.已知复数z，“z?z?0”是“z为纯虚数”的（ ） A、充分非必要条件 B、必要非充分条件

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1

C、充要条件 D、既非充分也非必要条件 16.已知x?R，下列不等式中正确的是（ ） A、C、

1111?? B、 xy2223x?x?1x?x?11111?? D、 222x?1x?22xx?117.已知P为直线y?kx?b上一动点，若点P与原点均在直线x?y?2?0的同侧，则

k、b满足的条件分别为（ ）

k?1,b?2 C、k?1,b?2 ，D、k?1,b?2 A、k?1,b?2 B、18.已知a1，a2,a3,a4是各项均为正数的等差数列，其公差d大于零，若直线l1，l2,l3,l4的长分别为a1，a2,a3,a4，则（ ）

A.对任意的d，均存在以l1,l2,l3为三边的三角形 B对任意的d，均不存在以l1,l2,l3为三边的三角形

C对任意的d，均存在以l2,l3,l4为三边的三角形

D.对任意的d，均不存在以l2,l3,l4为三边的三角形

三、解答题（本大题满分74分）

19. （本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分.

已知三棱柱ABC?A1B1C1的底面为直角三角形，两条直角边AC和BC的长分别为4和

3，侧棱AA?的长为10.

（1）若侧棱AA?垂直于底面，求该三棱柱的表面积.

（2）若侧棱AA?与底面所成的角为60?，求该三棱柱的体积.

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20. （本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分7分.

如图，已知点A是单位圆上一点，且位于第一象限，以x轴的正半轴为始边，OA为终边的角设为?，将OA绕坐标原点逆时针旋转

（1）用?表示A,B两点的坐标.

（2）M为x轴上异于O的点，若MA?MB，求点M的横坐标的取值范围.

y

B

A?至OB. 2Ox

21.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.

如图，某地要在矩形区域OABC内建造三角形池塘OEF，E,F分别在AB,BC边上，

OA?5米，OC?4米，?EOF??4（1）试用解析式将y表示成x的函数；

，设CF?x,AE?y.

CFB（2）求三角形池塘OEF面积S的最小值及此时x的值.

EOA______________________________________________________________

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3

22. （本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.

x2y2（理）已知椭圆?:2?2?1?a?b?0?，过原点的两条直线l1和l2分别与?交于A,B和

abC,D，得到平行四边形ACBD.

（1）当ACBD为正方形，求该正方形的面积S.

（2）若直线l2和l1关于y轴对称，当d12?d22?上任意一点P到l1和l2的距离分别为d1和d2，为定值时，求此时直线l1和l2的斜率及该定值.

（3）当ACBD为菱形，且圆x2?y2?1内切于菱形ACBD时，求a,b满足的关系式.

23.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.

（理）已知a1,a2,?,an是由nn?N?个整数1,2,?,n按任意次序排列而成的数列，数列?bn?满足bk?n?1?ak?k?1,2,?,n?，c1,c2,?,cn是1,2,?,n从大到小的顺序排列而成的数列，记Sn?c1?2c2???ncn.

??（1）证明：当n为正偶数时，不存在满足ak?bk?k?1,2,?,n?的数列?an?. （2）写出ck?k?1,2,?,n?，并用含n的式子表示Sn. （3）利用?1?b1???2?b2?????n?bn??0.

1证明：b1?2b2???nbn?n?n?1??2n?1?及a1?2a2???nan?Sn.（参考：

6112?22???n2?n?n?1??2n?1?.）

6

222______________________________________________________________ 4 跃龙学堂 您身边的中小学生辅导专家

黄浦区2015学年度第一学期高三年级期终调研测试 数学试卷（理科） 2016年1

月

考生注意：

1．每位考生应同时收到试卷和答题卷两份材料，解答必须在答题卷上进行并在规定的位置书写，写在试卷、草稿纸上的解答一律无效；

2．答卷前，考生务必将学校、姓名、准考证号等相关信息填写清楚，并贴好条形码； 3．本试卷共23道试题，满分150分；考试时间120分钟．

一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题卷的相应编号的空格内直

接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分． 1．不等式|x?1|?1的解集用区间表示为 ．(0,2) 2．函数y?cos2x?sin2x的最小正周期是 ． ?

3．直线

xy?3的一个方向向量可以是 ．(2,1) 214．若将两个半径为1的铁球熔化后铸成一个球，则该球的半径为 ．32 5．若无穷等比数列中的任意一项均等于其之后所有项的和，则其公比为 ．6．若函数y?a?sinx在区间[?,2?]上有且只有一个零点，则a? ．1

7．若函数f(x)?x2?1?a?x2为偶函数且非奇函数，则实数a的取值范围为 ．(1,??)

8．若对任意不等于1的正数a，函数f(x)?ax?2的反函数的图像都过点P，则点P的坐标是 ．(1,?2)

9．在(a?b)n的二项展开式中，若奇数项的二项式系数的和为128，则二项式系数的最大值

1 2______________________________________________________________

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5

为

（结果用数字作答）．70

10．在△ABC中，若cos(A?2C?B)?sin(B?C?A)?2，且AB?2，则BC? ．22 11．为强化安全意识，某学校拟在未来的连续5天中随机抽取2天进行紧急疏散演练，那么

2 512．已知k?Z，若曲线x2?y2?k2与曲线xy?k无交点，则k? ．?1

13．已知点M(m,0)（m?0）和抛物线C：y2?4x，过C的焦点F的直线与C交于A、

?????????????????11B两点，若AF?2FB，且|MF|?|MA|，则m? ．

2?????????????????abca?2b?3c?0ab??bc??c?ab14．若非零向量，，满足，且，则与c的夹角为 ．

4选择的2天恰好为连续2天的概率是 （结果用最简分数表示）．

二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在

答题卷的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分． 15．已知复数z，“z?z?0”是“z为纯虚数”的 [答] ( B )． A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 16．已知x?R，下列不等式中正确的是 [答] ( C )．

11 ?xx2311C．2 ?2x?1x?2A．

b满足的条件分别为 [答] ( A )．

11 ?22x?x?1x?x?111?2D． 2|x|x?1B．

17．已知P为直线y?kx?b上一动点，若点P与原点均在直线x?y?2?0的同侧，则k、

A．k?1，b?2 C．k?1，b?2

B．k?1，b?2 D．k?1，b?2

18．已知a1，a2，a3，a4是各项均为正数的等差数列，其公差d大于零．若线段l1，l2，l3，

l4的长分别为a1，a2，a3，a4，则 [答] ( C )．

A．对任意的d，均存在以l1，l2，l3为三边的三角形 B．对任意的d，均不存在以l1，l2，l3为三边的三角形 C．对任意的d，均存在以l2，l3，l4为三边的三角形 D．对任意的d，均不存在以l2，l3，l4为三边的三角形

三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题卷的相应编号

规定区域内写出必要的步骤．

19．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分．

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已知三棱柱ABC?A?B?C?的底面为直角三角形，两条直角边AC和BC的长分别为4和3，侧棱AA?的长为10．

（1）若侧棱AA?垂直于底面，求该三棱柱的表面积．

（2）若侧棱AA?与底面所成的角为60?，求该三棱柱的体积．

[解]（1）因为侧棱AA??底面ABC，所以三棱柱的高h等于侧棱AA?的长， 而底面三角形ABC的面积S?A?C?B?1AC?BC?6，（2分） 2CHAB周长c?4?3?5?12，（4分）

于是三棱柱的表面积S全?ch?2S?ABC?132．（6分）

（2）如图，过A?作平面ABC的垂线，垂足为H，A?H为三棱柱的高．（8分）

因为侧棱AA?与底面所成的角为60?，所以?A?AH?60?，可计算得

??AA?H?Asin?6?053．（9分） 又底面三角形ABC的面积S?6，故三棱柱的体积V?S?A?H?6?53?303．（12分）

20．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分7分． 如图，已知点A是单位圆上一点，且位于第一象限，以x轴的正半轴为始边、OA为终边的角设为?，将OA绕坐标原点逆时针旋

yBAO?转至OB． 2 （1）用?表示A、B两点的坐标；

（2）M为x轴上异于O的点，若MA?MB，求点M横坐标的取值范围．

[解]（1）由题设，A点坐标为(cos?,sin?)，（2分）

1x?（k?Z）．（3分） 2?????????因为?AOB?，所以B点坐标为?cos????,sin?????，即(?sin?,cos?)．（5分）

2?2??2???????????（2）设M(m,0)（m?0），于是MA?(cos??m,sin?)，MB?(?sin??m,cos?)，

????????因为MA?MB，所以MA?MB?0，即(cos??m)(?sin??m)?sin?cos??0，（8分）

其中2k????2k?????整理得m2?m(cos??sin?)?0，由m?0，得m?cos??sin??2cos????，（10分）

4????????，且??2k??，于是2k??????2k??，且244442??2???????cos?????，且cos?????0． ???2k??（k?Z）得?4?24?242??因此，点M横坐标的取值范围为(?1,0)?(0,1)．（12分）

此时2k????2k??

21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分． 如图，某地要在矩形区域OABC内建造三角形池塘OEF，E、

CFBE7

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OA F分别在AB、BC边上．OA?5米，OC?4米，?EOF? （1）试用解析式将y表示成x的函数；

?，设CF?x，AE?y． 4 （2）求三角形池塘OEF面积S的最小值及此时x的值．

yx，直角三角形COF中，tan?COF?． 54??正方形OABC中，由?EOF?，得?AOE??COF?，于是tan(?AOE??COF)?1，

445(4?x)代入并整理得y?．（4分）

4?x5(4?x)4因为0≤x≤5，0≤y≤4，所以0≤≤4，从而≤x≤4．（6分）

4?x95(4?x)4因此，y? （≤x≤4）．

4?x911（2）S?SOABC?(S?OAE?S?OCF?S?EBF)?5?4?[5y?4x?(4?y)(5?x)]?(20?xy)，（8

22[解]（1）直角三角形AOE中，tan?AOE?分）

5(x2?16)5?325(4?x)???(x?4)??8?，（10分） 将y?代入上式，得S?2(x?4)2?x?4?4?x432当≤x≤4时，x?4? ≥82，当且仅当x?4(2?1)时，上式等号成立．（12分）9x?4因此，三角形池塘OEF面积的最小值为20(2?1)平方米，此时x?4(2?1)米．（14分）

22．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3

小题满分8分．

x2y2 已知椭圆?：2?2?1（a?b?0），过原点的两条直线l1和l2分别与?交于点A、

abB和C、D，得到平行四边形ACBD．

（1）当ACBD为正方形时，求该正方形的面积S．

（2）若直线l1和l2关于y轴对称，?上任意一点P到l1和l2的距离分别为d1和d2，当

2为定值时，求此时直线l1和l2的斜率及该定值． d12?d2 （3）当ACBD为菱形，且圆x2?y2?1内切于菱形ACBD时，求a，b满足的关系式． [解]（1）因为ACBD为正方形，所以直线l1和l2的方程为y?x和y??x．（1分）

?y?x,?点A、B的坐标(x1,y1)、(x2,y2)为方程组?x2y2的实数解，

??1?2b2?aa2b222将y?x代入椭圆方程，解得x1?x2?2．

a?b2______________________________________________________________ 8 跃龙学堂 您身边的中小学生辅导专家

4ab．（4分）

a2?b2（2）由题设，不妨设直线l1的方程为y?kx（k?0），于是直线l2的方程为y??kx．

根据对称性，可得正方形ACBD的面积S?4x12?22x0y0|kx0?y0||kx0?y0|设P(x0,y0)，于是有2?2?1，又d1?，d2?，（6分）

22abk?1k?122222?(kx0?y0)2(kx0?y0)22k2x0?2y0x022?d?d???，将代入上式， y?b1??02?k2?1k2?1k2?1a??21222?x02kx?2b?1?2?a2?得d12?d2k2?12202?2b2?22?k?2?x0?2b2a??，（8分） k2?1b2b2对于任意x0?[?a,a]，上式为定值，必有k?2?0，即k??，（9分）

aa2a2b2bb22因此，直线l1和l2的斜率分别为和?，此时d1?d2?2．（10分） 2a?baa22（3）设AC与圆x?y?1相切的切点坐标为(x0,y0)，于是切线AC的方程为x0x?y0y?1．

?????x0x?y0y?1?点A、C的坐标(x1,y1)、(x2,y2)为方程组?x2y2的实数解．

??1?2b2?a① 当x0?0或y0?0时，ACBD均为正方形，椭圆均过点(1,1)，于是有分）

11??1．（11a2b2x2y21② 当x0?0且y0?0时，将y?(1?x0x)代入2?2?1，

aby02a2(1?b2y0)整理得(by?ax)x?2x0ax?a(1?by)?0，于是x1x2?22，（13分） 2by0?a2x02202202222202b2(1?a2x0)同理可得y1y2?22．（15分） 2by0?a2x0????????因为ACBD为菱形，所以AO?CO，得AO?CO?0，即x1x2?y1y2?0，（16分）

22a2(1?b2y0)b2(1?a2x0)2222??0，整理得a2?b2?a2b2(x0于是22?y0)，由x0?y0?1， 222222by0?ax0by0?ax0得a2?b2?a2b2，即

1111b．（18分）综上，，满足的关系式为a??1??1．

a2b2a2b223．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3

小题满分8分．

已知a1，a2，?，an是由n（n?N*）个整数1，2，?，n按任意次序排列而成的数列，数列{bn}满足bk?n?1?ak（k?1,2,?,n），c1，c2，?，cn是1，2，?，n按从大到小的顺序排列而成的数列，记Sn?c1?2c2???ncn．

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9

（1）证明：当n为正偶数时，不存在满足ak?bk（k?1,2,?,n）的数列{an}． （2）写出ck（k?1,2,?,n），并用含n的式子表示Sn．

（3）利用(1?b1)2?(2?b2)2???(n?bn)2≥0，

证明：b1?2b2???nbn≤n(n?1)(2n?1)及a1?2a2???nan≥Sn． （参考：12?22???n2?n(n?1)(2n?1)．）

[证明]（1）若ak?bk（k?1,2,?,n），则有ak?n?1?ak，于是ak?当n为正偶数时，n?1为大于1的正奇数，故

1616n?1．（2分） 2n?1不为正整数， 2因为a1，a2，?，an均为正整数，所以不存在满足ak?bk（k?1,2,?,n）的数列{an}4分 [解]（2）ck?n?(k?1)（k?1,2,?,n）．（6分） 因为ck?(n?1)?k，于是

Sn?c1?2c2???ncn?[(n?1)?1]?2[(n?1)?2]???n[(n?1)?n]

111?(1?2???n)(n?1)?(12?22???n2)?n(n?1)2?n(n?1)(2n?1)?n(n?1)(n?2)266．（10分）

[证明]（3）先证b1?2b2???nbn≤n(n?1)(2n?1)．

16222222(1?b1)?(2?b2)???(n?bn)?(1?22???n2)?2(b1?2b2???nbn)?(b12?b2???bn) ①，

这里，bk?n?1?ak（k?1,2,?,n），因为a1，a2，?，an为从1到n按任意次序排列而

22成，所以b1，b2，?，bn为从1到n个整数的集合，从而b12?b2???bn=12?22???n2，（12分） 于是由①，得

0≤(1?b1)2?(2?b2)2???(n?bn)2?2(12?22???n2)?2(b1?2b2???nbn)，

因此，b1?2b2???nbn≤12?22???n2，即b1?2b2???nbn≤n(n?1)(2n?1)．（14分）

再证a1?2a2???nan≥Sn．

由bk?n?1?ak，得b1?2b2???nbn?(n?1?a1)?2(n?1?a2)???n(n?1?an)

16n(n?1)2?[1(n?1)?2(n?1)???n(n?1)]?(a1?2a2???nan)??(a1?2a2???nan)16

2分

1因为b1?2b2???nbn≤n(n?1)(2n?1)，

62n(n?1)1?(a1?2a2???nan)≤n(n?1)(2n?1)， 即

26n(n?1)21n(n?1)(n?2)?n(n?1)(2n?1)?所以a1?2a2???nan≥， 266即a1?2a2???nan≥Sn．（18分）

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