《数学分析》（华师大二版）课本上的习题6

P.124 习题

1．试讨论下列函数在指定区间内是否存在一点?，使f?(?)?0：

1??xsin（1）f(x)??x??0解 （1）因为f在[0,理，???(0,0?x?x?01?， （2）f(x)?|x|?1?x?1

11?]连续，在([0,?1)可导，且f(0)?f()，所以由Rolle定

?1?)，使得f?(?)?0。

?1x?0，且f?(0)不存在，故不存在一点?，使f?(?)?0

?1x?0?3（2）因为f?(x)??2．证明：（1）方程x?3x?c?0（这里c为常数）在区间[0,1]内不可能有两个不同的实根；

32证明 设f(x)?x?3x?c，由于方程f?(x)?3x?3?0在(0,1)内没有根，所以

（由P.120，例1）方程x?3x?c?0在区间[0,1]内不可能有两个不同的实根。

（2）方程x?px?q?0（n为正整数）当n为偶数时至多有两个实根；当n为奇数时至多有三个实根。

证明 设f(x)?x?px?q，于是f?(x)?nx奇数，故方程f?(x)?nxnn?1nn?1n3?p?0。当n为偶数时，n-1为

?p?0至多有一个实根（因为幂函数nxn?1?p严格递增），

从而方程x?px?q?0至多有两个实根；

当n为奇数时，n-1为偶数，故由上述证明的关于偶数的结论有：方程

nf?(x)?nxn?1?p?0至多有两个实根，从而方程x?px?q?0当n为奇数时至多有三

个实根。

3．证明：若函数f和g均在区间I上可导，且f?(x)?g?(x)，x?I，则在区间I上

f和g只相差一常数，即f(x)?g(x)?c（c为某一常数）

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证明 令F(x)?f(x)?g(x)，则F在区间I上可导，且F?(x)?f?(x)?g?(x)?0，由推论1，存在常数c，使得F(x)?c，即f(x)?g(x)?c

4．证明 （1）若函数f在[a,b]上可导，且f?(x)?m，则f(b)?f(a)?m(b?a) （2）若函数f在[a,b]上可导，且|f?(x)|?M，则|f(b)?f(a)|?M(b?a) （3）对任意实数x1,x2，都有|sinx1?sinx2|?|x2?x1|

证明 因为f在[a,b]上可导，所以f在[a,b]上满足Lagrange中值定理的条件，于是???(a,b)，使得f(b)?f(a)?f?(?)(b?a)

（1）因为f?(x)?m，所以f(b)?f(a)?f?(?)(b?a)?m(b?a)，从而有

f(b)?f(a)?m(b?a)

（2）因为|f?(x)|?M，所以|f(b)?f(a)|?|f?(?)|?|b?a|?M(b?a) （3）不妨设x1?x2，正弦函数f(x)?sinx在[x1,x2]上连续，在(x1,x2)可导，于是???(a,b)，使得|sinx1?sinx2|?|cos?|?|x1?x2|?|x2?x1|

5．应用拉格朗日中值定理证明下列不等式： （1）

b?abb?a，其中0?a?b ?ln?baa证明 设f(x)?lnx，则f在[a,b]上连续且可导，所以f在[a,b]上满足Lagrange中值定理的条件，于是???(a,b)，使得lnb1?lnb?lna?f?(?)(b?a)?(b?a)，a?因为0?a???b，所以

b?ab?ab?ab?abb?a，从而 ???ln?b?abaah2?arctanh?h，其中h?0 （2）21?h 59

证明 设f(x)?arctanx，则f在[0,h]上满足Lagrange中值定理的条件，于是

???(0,h)，使得arctanh?arctanh?arctan0?f?(?)(h?0)?h。因为 21??h2hh??h，从而?arctanh?h。 0???h，所以21?h21??21?h6．确定下列函数的单调区间：

（1）f(x)?3x?x （2）f(x)?2x?lnx

22x2?1（3）f(x)?2x?x （4）f(x)?

x2解 （1）f?(x)?3?2x，令f?(x)?0，得x?当x?3 233时，f?(x)?0，f递增；当x?时，f?(x)?0，f递减。 2214x2?11（2）f的定义域为x?0。f?(x)?4x??，令f?(x)?0，得x?

xx2当0?x?11时，f?(x)?0，f递减；当x?时，f?(x)?0，f递增。

221?x2x?x2（3）f的定义域为0?x?2。f?(x)?，令f?(x)?0，得x?1

当0?x?1时，f?(x)?0，f递增；当1?x?2时，f?(x)?0，f递减。

1x2?1?0，故f在其定义域 （4）f的定义域为x?0。f?(x)?1?2?2xx(??,0)?(0,??)递增。

7．应用函数的单调性证明下列不等式：

x3?（1）tanx?x?，x?(0,)

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x3证明 设f(x)?tanx?x?，则f在x?0连续，且f(0)?0。因为

3f?(x)?sec2x?1?x2?tan2x?x2?0，x?(0,?3)，故f在(0,?3)严格单调递

x3?增，又因f在x?0连续，于是f(x)?f(0)?0，从而tanx?x?，x?(0,)。

33（2）

2x??sinx?x，x?(0,2x?2)

2sinxsnix2?为此证明：?。设f(x)?则f在x??sinx，?，

??xx?2?xcosx?sinx(x?tanx)cosx?连续，且f()?0。因为f?(x)?，??0x?(0,)。2222xx??sinx2?所以f在(0,)严格单调递减，于是f(x)?f()?0，从而?，x?(0,)。

22x?2证明 先证

其次证明：sinx?x。设f(x)?x?sinx，则f在x?0连续，且f(0)?0。因为

f?(x)?1?cosx?0，x?(0,?2)。所以f在(0,?2)严格单调递增，又因f在x?0连

续，于是f(x)?f(0)?0，从而x?sinx，x?(0,?2)。

x2x2?ln(1?x)?x?（3）x?，x?0 22(1?x)x2x2?ln(1?x)，x?0。?nl(1?x)，证明 先证：x?令f(x)?x?则f在x?0221?x2??0，x?0。所以f在x?0严格连续，且f(0)?0。因为f?(x)?1?x?1?x1?xx2?ln(1?x)，x?0。单调递减，又因f在x?0连续，于是f(x)?f(0)?0，从而x? 2x2x2?ln(1?x)，则其次证明：ln(1?x)?x?，x?0。令f(x)?x?2(1?x)2(1?x) 61

2x?x21x2???0，x?0。且f(0)?0。因为f?(x)?1?f在x?0连续，

2(1?x)21?x(1?x)2所以f在x?0严格单调递增，又因f在x?0连续，于是f(x)?f(0)?0，从而

x2ln(1?x)?x?，x?0。

2(1?x)8．以S(x)记由(a,f(a)), (b,f(b)), (x,f(x))三点组成的三角形面积, 试对S(x)应用罗尔中值定理证明拉格朗日中值定理.

证明 因为S(x)?1?b2xaf(a)1f(b)1, 若f(x)在[a,b]连续, 在(a,b)可导, 则易见f(x)1S(x)也在[a,b]连续, 在(a,b)可导, 且S(a)?S(b)?0. 故由罗尔定理知, 存在

??(a,b), 使得S?(?)?0. 而

1?b21a1f(b)1?[f?(x)(b?a)?(f(b)?f(a))], 故

2f?(x)0f(a)1S?(x)?f(b)?f(a)?f?(?)(b?a).

P.132习题

1．试问函数f(x)?x,g(x)?x在区间[-1, 1]上能否应用柯西中值定理得到相应的结论，为什么？

2解 因为f?(x)?2x,g?(x)?3x，故当x?0时，f?(0)?0,g?(0)?0，不满足柯

23西中值定理的条件，所以在区间[-1, 1]上不能用柯西中值定理。

2．设函数f在[a,b]上可导，证明：存在??(a,b)，使得

2?[f(b)?f(a)]?(b2?a2)f?(?)

证明 设F(x)?x[f(b)?f(a)]?(b?a)f(x)，则F(x)在[a,b]上连续并可

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