洛伦兹模型与混沌 - 图文

洛伦兹模型与混沌

—————《蝴蝶效应》

混沌理论：

混沌理论（（Chaos theory）是关于非线性系统在一定参数条件下展现分岔（bifurcation）、周期运动与非周期运动相互纠缠，以至于通向某种非周期有序运动的理论。在耗散系统和保守系统中，混沌运动有不同表现，前者有吸引子，后者无（也称含混吸引子）。

从20世纪80年代中期到20世纪末，混沌理论迅速吸引了数学、物理、工程、生态学、经济学、气象学、情报学等诸多领域学者有关注，引发了全球混沌热。混沌，也写作浑沌（比如《庄子》）。自然科学中讲的混沌运动指确定性系统中展示的一种貌似随机的行为或性态。确定性（deterministic）是指方程不含随机项的系统，也称动力系统（dynamical system）。典型的模型有单峰映象（logistic map）迭代系统，洛伦兹微分方程系统，若斯叻吸引子，杜芬方程，蔡氏电路，Chen 吸引子等。为浑沌理论做出重要贡献的学者有庞加莱、洛伦兹、上田睆亮（Y. Ueda）、费根堡姆、约克、李天岩、斯美尔、芒德勃罗和郝柏林等。混沌理论向前可追溯到19世纪庞加莱等人对天体力学的研究，他提出了同宿轨道、异宿轨道的概念，他也被称为浑沌学之父。

混沌行为可以在许多自然系统中被观测到，例如天气和气候。[1]对于这个行为的研究，可以通过分析混沌数学模型，或者通过诸如递归图和庞加莱映射等分析技术。

定义

混沌理论是一种兼具质性思考与量化分析的方法，用以探讨动态系统中无法用单一的数据关系，而必须用整体，连续的数据关系才能加以解释及预测之行为。

“一切事物的原始状态，都是一堆看似毫不关联的碎片，但是这种混沌状态结束后，这些无机的碎片会有机地汇集成一个整体。”

混沌一词原指发现宇宙混乱状态的描述,古希腊哲学家对于宇宙之源起即持混沌论，主张宇宙是由混沌之初逐渐形成现今有条不紊的世界。在井然有序的宇宙中，西方自然科学家经过

长期的探讨，逐一发现众多自然界中的规律，如大家熟知的地心引力、杠杆原理、相对论等。这些自然规律都能用单一的数学公式加以描述，并可以依据此公式准确预测物体的行径。 近半世纪以来，科学家发现许多自然现象即使可以化为单纯的数学公式，但是其行径却无法加以预测。如气象学家爱德华·诺顿·劳仑次（Edward Lorenz）发现简单的热对流现象居然能引起令人无法想象的气象变化，产生所谓的“蝴蝶效应”。60年代，美国数学家史蒂芬·斯梅尔（Stephen Smale）发现某些物体的行径经过某种规则性变化之后，随后的发展并无一定的轨迹可循，呈现失序的混沌状态。

背景

1963年美国气象学家爱德华·劳仑次提出混沌理论（Chaos），非线性系统具有的多样性和多尺度性。混沌理论解释了决定系统可能产生随机结果。理论的最大的贡献是用简单的模型获得明确的非周期结果。在气象、航空及航天等领域的研究里有重大的作用。

应用

混沌理论在许多科学学科中得到广泛应用，包括：数学、生物学、信息技术、经济学、工程学、金融学、哲学、物理学、政治学、人口学、心理学和机器人学。

多种系统的浑沌状态在实验室中得到观察，包括电路、激光、流体的动态，以及机械和电磁装置。在自然中进行的有对天气、卫星运动、天体磁场、生态学中的种群增长、神经元中的动作电位和分子振动的观察。

浑沌理论最成功的应用之一在于生态学中的雷克动态综合模型，在其中显示了受密度制约之下的种群增长如何引致混沌状态。

混沌控制

混沌控制由狄透（William Ditto）、贾芬卡（Alan Garfinkel）、约克（Jim Yorke），将此想法化为实用技术，用微小的变化开始，造成希望所想的巨大改变。

混沌动力学

混沌系统有三种性质：

1. 受初始状态影响的敏感性，初始条件非常微小的变动也可以导致最终状态的巨大差

别。

2. 具有拓扑混合性；不严格地来说，就是系统会将初始空间的拓扑性质彻底打乱，使

得任何初始状态变换到其他任何位置。

3. 周期轨道稠密，即在任何初始值附近都可以找到具有周期轨道的值。

蝴蝶效应产生背景：

在1972年12月29日，美国麻省理工教授、混沌学开创人之一E.N.洛仑兹在美国科学发展学会第139次会议上发表了题为《蝴蝶效应》的论文，提出一个貌似荒谬的论断：在巴西一只蝴蝶翅膀的拍打能在美国得克萨斯州产生一个龙卷风，并由此提出了天气的不可确预报性。至此以后，人们对于混沌学研究的兴趣十分浓厚。

混沌蝴蝶——洛伦兹吸引子

混沌蝴蝶——洛伦兹吸引子

美国气象学家洛伦兹（E.N.Lorenz，不要和提出洛伦兹变换的那位搞混）是混沌理论的奠基者之一。20世纪50年代末到60年代初，他的主要工作目标是从理论上进行长期天气预报研究。他在使用计算机模拟天气时意外发现，对于天气系统，哪怕初始条件的微小改变也会显著影响运算结果。随后，他在同事工作的基础上化简了自己先前的模型，得到了有3个变量的一阶微分方程组，由它描述的运动中存在一个奇异吸引子，即洛伦兹吸引子。

洛伦兹的工作结果最初在1963年发表，论文题目为Deterministic Nonperiodic Flow，发表在Journal of the Atmospheric Sciences杂志上。如今，这一方程组已成为混沌理论的经典，也是“巴西蝴蝶扇动翅膀在美国引起德克萨斯的飓风”一说的肇始。它的形式看起来很简单：

dx???y-x? dtdy?x??-z?-y dtdz?xy-?z dt洛伦兹方程组是基于流体力学中的Navier-Stokes方程、热传导方程和连续性方程构建的，属于耗散系统。相空间中，耗散系统的终态都将收缩到吸引子的状态上。但对平庸吸引子来说，无论初值如何，终值只有一个，而奇异吸引子却是无数个点的集合，对初值极端敏感。如洛伦兹当年只是忽略了小数点4位以后的数值，得到的结果就有了相当大的偏差，甚至是完全相反。

在洛仑兹原始的工作中，x表示的是对流的翻动速率，y正比于上流与下流液体温差，z是垂直方向的温度梯度。式中三个参数（Prandtl数）、于0的数值。常用的组合是

，

，而令

和

（Rayleigh数）可任取大

取不同数值。??28时有混沌现

象，奇异吸引子出现，此时系统的演化轨迹如下图所示：

这一图案颇似蝴蝶展翅，所谓混沌理论的“蝴蝶效应”之得名据说也与此吸引子的形状有关。该系统中x、y、z这3个方向数值随时间的演化如下图，其中黑线为x轴变化情况，红线为y轴变化情况，蓝线是z轴变化情况（积分步长

）。

固定另2个参数，

的不同取值则决定了系统的不同性质。下面四图分别为该参数取值1、

10、14与99.6时的演化轨迹：

??1

??10

??14

??99.6

由图中可见，在随着

较小（如取1）的情况下，系统是稳定的，演化到两个吸引点中的一个。

时达到混沌状态。

的情况是所谓的圆

的增加，系统趋于复杂，在

环结（torus knot）。如果单独看以上三种情况x、y、z坐标的演化，可能会更清楚一些：

左上：

；右上：

；左下：

；右下：

再说所谓混沌。如庞加莱在《科学与方法》一书中所说，“初始条件的微小差异有可能在最终的现象中导致巨大的差异”，“预言变得不可能”。更准确的定义干《天体力学基础》“若初始值

有一点小偏差，则因这一点偏差引起的轨道未来预报的不准确将会指数增

长。”混沌的判据是最大Lyapunov指数，该指数大于0则系统混沌，至于具体计算再扯下去必然公式连篇，故不详谈。

其实混沌理论也不一定要求系统形式上的复杂性，比如描述洛伦兹吸引子的方程组就很简单。关键是，在简单的表象后面莫测的复杂。如今在混沌的研究中，计算机起了很大的作用。至于实际应用，混沌起作用的地方还是很多的，如天气系统、N体运动中的轨道，乃至经济问题……

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