专题二十七 极端性原理

极端性原理

题型一 代数中的最大（小）值

例1：夏令营组织1998名人员去游览长沙市的三大景点：岳麓山、烈士公园和世界之窗，规定每人必须去一处，最多去两处游览，那么至少有 个人游览的地方完全相同。

题型二 集合中的最大（小）值

例2：在边长为6cm的等边三角形内任取一点，由该点至三边作垂线段，这些垂线段的长度之和为

例3：在矩形ABCD中，AB=8，BC=6，P,Q,R,S分别是边AB，BC，CD,DA上的动点，则PQ2+QR2+RS2+SP2的最大值与最小值之和为

题型三 “分花生”问题

例4：把1600颗花生，分给100只猴子。证明：不管怎么分，至少有4只猴子得到的花生一样多，并设计出一种分法，使得没有5只猴子得到一样多的花生。

题型四 与比赛相关的问题

例5：设有n（n?2）名选手进行比赛，任两选手进行一场比赛，每场比赛均决出胜负，求证：存在选手A，使得其他的任一选手，或是输给A，或是输给A打败的某一名选手。

题型五 存在性问题

例6：平面上给定n个点（n?3），任三点不共线，求证：在这n个点中存在三个点A，B，C使其余n-3个都在△ABC之外.

例7：平面上有n个点，其中过任意两点的直线都必过第三点，证明：这n个点必在同一条直线上。

学科能力·训练

1. 在△ABC中，AB=AC=m，P为BC上任意一点，则PA2+PB·PC的值为（ ） A

B P C A.m2 B.m2+1 C.2m2 D.(m+1)2

2.已知△ABC的面积为24，且AB=AC=8，则底BC上任一点P到两腰距离之和为

3.要把54名学生分成若干个小组，使得每组中至少有一人，任意两个小组的人数均不相等，则至多可分成 个小组。

4.用百分制计分，得分为整数，证明：（1）若201人的总分为9999分，则至少有3人的分数相同；（2）若201人的总分为10101分，则至少有3人的分数相同；（3）若201人的总分为10000分，且已知无3人的分数相同，则必有1人100分，2人0分；（4）若201人总分为10100分，且已知无3人的分数相同，则必有1人0分，2人100分。

5.平面上有40个点，任何三个点不共线，已知每一个点至少和其余27个点之间有线段连接，求证：必可找到4个点A、B、C、D，它们之间任何两点间都有线段连接。

6.有n个男生，m个女生（n，m?2），每个男生至少与一个女生彼此相识，每个女生不全认识男生，证明：他们中必有两个男生与两个女生，其中每个男生恰好认识其中一个女生，其中每个女生恰好认识其中一个男生。

7.某车间的机床平均每小时有4台损坏需要修理，损坏期间因停工所造成的损失每小时8元，为保证生产，车间准备请一名修理工，为机床进行长期保养维修。现有甲，乙两名修理工情况如下：甲每小时可修5台，每小时工资3元；乙每小时可修8台机床，但每小时工资5元。试问：车间应请哪一名修理工合算？

8.如图，八个点处各写一个数字，已知每个点处所写的数字等于和这个点有线段相连的三个点处的数字的平均数，求 的值

a b e h f g

d c

9.试把220拆分成9个不同的自然数之和，使其中最大数减去最小数的差为最小，并求出这个最小值。

10.把100以内的自然数全部填入10行10列的方格表中，每格填一

个，试证：不存在这样的填法，使得每两个有公共边的相邻方格中所填的数字只差都不大于5.

11.设S为平面上的一个有限点集（点数?5），其中若干点涂上红色，其余的点涂上蓝色。设任何三个或三个以上同色的点不共线，求证：存在一个三角形，使得（1）它的三个顶点涂有相同的颜色；（2）这个三角形至少有一条边上不包含另一种颜色的点。

12.有20支球队参加全国联赛，问至少要进行多少场比赛，才能使任何三个队中必有两个队彼此比赛过？

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/uzat.html