2008级数学教育学授课教案 - 图文

《数学教学论》授课教案

授课教师： 龚 运 勤 授课时间： 2010—2011第2学期 授课年级：数应专业2008级1、2班 学生人数： 105人

参考书目：

1. 张奠宙、宋乃庆.《数学教育学概论》[M].北京：高等教育出版社，2009年第2版

2. 李求来，昌国良.《中学数学教学论》[M].长沙：湖南师大出版社，2006 3.翁凯庆.《数学教育学教程》[M].成都：四川大学出版社，2002

[M].郑州：郑州大学出版社，2007

4.曾峥，李劲.《中学数学教育学概论》

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《数学教学论》课程本学期计划

总体目标：

通过该课程的学习，让学生了解中学数学教学目标、内容及教材的选编；了解中学生数学学习的过程及有效学习活动的基本特征；熟悉中学数学课堂教学的基本工作；初步掌握中学数学课堂教学的基本技能；初步理解和掌握中学数学课堂教学设计的思路、方法；学会编写数学课时教案和制作课件。 课时安排：

本学期《数学教学法》课程的总课时数为68节。每周4课时。按照本人对该课程的改革计划要求，理论课时数与实践训课时数为1：3的比率，因此理论课为17课时，实训课为51课时。其中实训内容包括去中学见习与评课（计划1周），观摩全国优秀教师课堂录象（光碟）与评价（1周），参与观看本市在职教师?说课?竞赛等活动（1周）。以上训练内容与理论课?说课、听课、评课?一章结合。学生课堂教学技基本技能训练（包括教案编写，课件制作，5周），以?片段教学?的形式对学生的课堂教学基本技能进行考核（计划4周）。其中学生课堂教学基本技能训练与理论课交叉进行，安排在?数学教学基本技能?， ?数学教学设计与案例分析?等章节中。

总之，对《数学教学法》课程，教师按?观、评、试、说、作?为主线的?五字?教学法教学模式进行授课。学生按?5、4、3、2、1?实训方案进行训练。让每级学生观看教学案例5个,开展教育见习4次（或组织观看在职教师课堂教学比武和?说课?竞赛（每年三月中旬））；试教3次；制作课件2个，开展师范生?数学课堂教学技能比武?1次。使全体学生通过各种方式的训练，获得数学教学设计能力，提高数学课堂教学的基本技能和评价能力。

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绪 论

一、教学目标

通过该内容的学习，使学生对《数学教学论》的研究对象与内容有一个基本的认识，

为学习本课程作好充分的思想准备。

二、教学重点、难点及关键：《数学教学论》的研究对象与内容。 三、教学方法：讲授 四、教学时数：2学时。 六、教学内容

《数学教学论》是高等师范院校数学与应用数学专业的核心基础课程。通过本课程的学习，学生能够掌握数学教学论的基础知识、基本理论和数学教学的基本技能，把握数学教育的发展方向，为教育实习和毕业后从事中学数学教学、开展教育科学研究作好充分的准备。为了使读者系统地学习和研究这门课程，我们对数学教学论的历史、研究对象与内容、学科特性、学习意义等内容进行讨论。

0.1 数学教学论的研究对象及内容

《数学教学论》是研究数学教学过程中教和学的相互联系、相互作用及其统一的科学。它是数学教育学的一个重要组成部分。具体地说，数学教学论是以一般教学论和教育学的基本理论为基础，从数学教育的实际出发，分析数学教学过程的特点，总结长期以来数学教学的历史经验，揭示数学教学过程的规律，研究数学教学过程中的诸要素（教学方法、教学组织形式、教学的物质条件等）及其相互间的关系，帮助教师端正教学思想和形成教学技能，并对数学教学的效果开展科学的评价。

《数学教学论》的主要任务，这主要包括： 1） 数学课程目标与内容； 2） 数学学习与学法指导；

3） 数学教学（数学教学过程及其优化、数学教学模式、数学教学技能）；

4） 中学数学课堂教学设计；

5） 中学数学的基础知识及其教学； 6） 数学思维和数学能力； 7） 中学数学教学研究； 8） 数学教学评价；

9） 数学课堂教学设计与实践。

除上述课题外，数学教学论还应当结合时代条件和科学技术的发展状况对数学教学中的各种新问题开展范围广泛的研究。

0.2 数学教学论的理论基础

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1 以辩证唯物主义认识论为基础 2 以中学生心理学、生理学为基础

3 以系统科学和传播学等现代化的科学理论为基础 0.3 数学教学论的学科特性 1 理论性 2 实践性

3 学科交叉性 4 动态发展性

0.4 学习数学教学论的重要意义

1 数学教学论对当前数学教育的现实意义 2 数学教学论是数学教学工作所不可或缺的 3 数学教学论对新数学教师具有特殊的意义

第一章 中学数学的课程目标

一、教学目标：

通过对确定中学数学课程目标的依据、《全日制义务教育数学课程标准》和《高中数学课程标准》基本理念、中学数学课程目标的介绍，使学生深入了解当前我国中学数学教学的实际，从而为将来从事中学数学教学工作做好充分的思想准备。 二、教学重点、难点及关键：

确定中学数学课程目标的依据，新数学课程标准的理念和中学数学课程目标的内容。

三、教学方法： 讲授、讨论交流与阅读文献 四、教学时数：2学时。 五、教学内容：

1.1 确定数学课程目标的依据

1.1.1 中学教育的性质、任务和培养目标 1.1.2 数学的特点

1 数学的抽象性 2 数学的严谨性

3 数学应用的广泛性 4 数学的辩证性 5 数学的优美性 6 数学的语言性 7 数学的文化性

1.1.3 中学生的年龄特征

1.2 义务教育阶段的数学课程目标

1.2.1 “课程标准”与“教学大纲”

关于课程标准与教学大纲，下面几点认识是极为

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重要的。

1）课程标准主要是对学生在经过某一学段之后的学习结果的行为描述，而不是对教学内容的具体规定(如教学大纲或教科书)。

2）课程标准是国家制定的某一学段的共同的、统一的基本要求，而不是最高要求。

3）学生学习结果行为的描述应该尽可能是可理解的、可达到的、可评估的，而不是模糊不清、可望而不可及的。

4）课程标准隐含着教师不是教科书的执行者，而是教学方案(课程)的开发者，即教师是“用教科书教，而不是教教科书”。

5）课程标准的范围应该从知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观三个方面体现数学课程的总体目标和学段目标的基本要求。

6）课程标准的核心内容包括学科的性质与地位、课程目标、课程内容及各学段安排。

课程标准关心的是课程目标、课程改革的基本理念和课程设计思路；关注的是学生学习的过程和方法，以及伴随这一过程而产生的积极情感体验和正确的价值观；教师在使用课程标准的过程中，主要关注的是如何利用各门学科所特有的优势促进每一个学生的健康发展，而不是具体规定日常教学中所涉及的所有知识点的要求，不是仅仅关心学生对某个结论是否记住，记得是否准确，某项技能是否形成，并且运用起来是否得心应手，在规定的时间内能否完成教学任务和达到教学目标。

7）课程标准对教材编写、教学要求、教学建议、教学评价等也都做出相应的规定和要求，不再包括教学的重点、难点、时间分配等具体内容。这是课程标准与直接指导教学工作的教学大纲的本质区别。 1.2.2 全日制义务教育数学课程目标

1《全日制义务教育数学课程标准》的基本理念 (1) 义务教育阶段的数学课程应突出体现的普及性、基础性和发展性，使数学教育面向全体学生，实现：人人学有价值的数学；人人都能获得必需的数学；不同的人在数学上得到不同的发展。

(2) 数学是人们生活、劳动和学习必不可少的工具，能够帮助人们处理数据、进行计算、推理和证明，数学模型可以有效地描述自然现象和社会现象；数学为其他科学提供了语言、思想和方法，是一切重大技

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术发展的基础；数学在提高人的推理能力、抽象能力、想象力和创造力等方面有着独特的作用；数学是人类的一种文化，它的内容、思想、方法和语言是现代文明的重要组成部分。

(3) 学生的数学学习内容应当是现实的、有意义的、富有挑战性的，这些内容要有利于学生主动地进行观察、实验、猜测、验证、推理与交流等数学活动。内容的呈现应采用不同的表达方式，以满足多样化的学习需求。有效的数学学习活动不能单纯地依赖模仿与记忆，动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式。由于学生所处的文化环境、家庭背景和自身思维方式的不同，学生的数学学习活动应当是一个生动活泼的、主动的和富有个性的过程。

(4) 数学教学活动必须建立在学生的认知发展水平和已有的知识经验基础之上。教师应激发学生学习的积极性，向学生提供充分从事数学活动的机会，帮助他们在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法，获得广泛的数学活动经验。学生是数学学习的主人，教师是数学学习的组织者、引导者与合作者。

(5) 评价的主要目的是为了全面了解学生的数学学习历程，激励学生的学习和改进教师的教学；应建立评价目标多元、评价方法多样的评价体系。对数学学习的评价要关注学生学习的结果，更要关注他们的学习过程；要关注学生数学学习的水平，更要关注他们在数学活动中所表现出来的情感与态度，帮助学生认识自我，建立自信。

(6) 现代信息技术的发展对数学教育的价值、目标、内容以及学与教的方式产生了重大的影响。数学课程的设计与实施应当重视运用现代信息技术，特别要充分考虑计算器、计算机对数学学习内容和方式的影响，大力开发并向学生提供更为丰富的学习资源，把现代信息技术作为学生学习数学和解决问题的强有力工具，致力于改变学生的学习方式，使学生乐意并有更多的精力投入到现实的、探索性的数学活动中去。

2 义务教育阶段的数学课程总体目标

义务教育阶段的数学课程总体目标是通过义务教育阶段的数学学习，学生能够：

1）获得适应未来社会生活和进一步发展所必需的重要数学知识(包括数学事实、数学活动经验)以及

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基本的数学思想方法和必要的应用技能；

2）初步学会运用数学的思维方式去观察、分析现实社会，去解决日常生活中和其他学科学习中的问题，增强应用数学的意识；

3）体会数学与自然及人类社会的密切联系，了解数学的价值，增进对数学的理解和学好数学的信心；

4）具有初步的创新精神和实践能力，在情感态度和一般能力方面都能得到充分发展。

具体阐述如下: 经历将一些实际问题抽象为数与代数知 问题的过程，掌握数与代数的基础知识和基识 本技能，并能解决简单的问题。 与 经历探究物体与图形的形状、大小、位技 臵关系和变换的过程，掌握空间与图形的基能 础知识和基本技能，并能解决简单的问题。 经历提出问题、收集和处理数据、做出决策和预测的过程，掌握统计与概率基础知识和基本技能，并能解决简单的问题。 经历运用数学符号和图形描述现实世数 界的过程，建立初步的数感和符号感，发展学 抽象思维。 思 丰富对现实空间及图形的认识，建立初考 步的空间观念，发展形象思维。 经历运用数据描述信息、做出推断的过程，发展统计观念。 经历观察、实验、猜想、证明等数学活动过程，发展合情推理和初步的演绎推理能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点。 解 初步学会从数学的角度提出问题、理解决 问题，并能综合运用所学的知识和技能解决问 问题，发展应用意识。 题 形成解决问题的一些基本策略，体验解决问题策略的多样性，发展实践能力和创新精神。 学会与人合作，并能与他人交流思维的过程和结果。 初步形成评价和反思的意识。 情 能积极参与数学学习活动，对数学有好感 奇心和求知欲。

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与 在数学学习活动中获得成功的体验，锻态 炼克服困难的意志，建立自信心。 度 初步认识数学与人类生活的密切联系及对人类历史发展的作用，体验数学活动充满着探索与创造，感受数学的严谨性和数学结论的确定性。 形成实事求是的态度以及进行质疑和独立思考的习惯。 1.3 高中数学课程目标 1.3.1 《高中数学课程标准》的基本理念

1构建共同基础，提供发展平台 2 提供多样课程，适应个性选择

3 倡导积极主动、勇于探索的学习方式 4 注重提高学生的数学思维能力 5 发展学生的数学应用意识 6 与时俱进地认识“双基”

7 强调本质， 注意适度的形式化 8 体现数学的文化价值

9 注重信息技术与数学课程的整合 10 建立合理、科学的评价机制 1.3.2 普通高中的数学课程总体目标

高中数学课程的总目标是使学生在九年义务教育数学课程的基础上，进一步提高作为未来公民所必要的数学素养，以满足个人发展与社会进步的需要。 具体目标如下：

1）获得必要的数学基础知识和基本技能，理解基本的数学概念、数学结论的本质，了解概念、结论等产生的背景、应用，体会其中所蕴涵的数学思想和方法，以及它们在后续学习中的作用。通过不同形式的自主学习、探究活动，体验数学发现和创造的历程。

2）提高学生的空间想象、抽象概括、推理论证、运算求解、数据处理等基本能力。

3）提高学生数学地提出、分析和解决问题(包括简单的实际问题)的能力，数学表达和交流的能力，发展独立获取数学知识的能力。

4）发展学生数学应用意识和创新意识，力求对现实世界中蕴涵的一些数学模式进行思考和做出判断。

5）提高学生学习数学的兴趣，树立学好数学的信心，形成锲而不舍的钻研精神和科学态度。

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6）具有一定的数学视野，逐步认识数学的科学价值、应用价值和文化价值，形成批判性的思维习惯，崇尚数学的理性精神，体会数学的美学意义，从而进一步树立辩证唯物主义和历史唯物主义世界观。 六、思考题：

1 确定数学课程目标的依据有哪些?

2 从数学教育的角度来看，数学具有什么特点？

3 比较“课程标准”与“教学大纲”的主要区别。 4 《全日制义务教育数学课程标准》的基本理念是什么？ 义务教育阶段的数学课程总目标是什么?

5 《普通高中数学课程标准》的基本理念是什么？

6 普通高中数学课程的总目标是什么？

7 通过本章内容的学习，你对中学数学教学有什么新的认识和理解。

第二章 中学数学的教学内容

一、教学目标：

通过对中学数学课程内容的标准的研究，使学生了解《全日制义务教育数学课程标准》所确定的 ?数与代数?、?空间与图形?、?统计与概率?、?实践与综合应用?四个领域的内容标准及与传统内容相比的变化；对《普通高中数学课程标准》的内容框架以及高中数学课程内容的特点有明确的认识；对数学课程内容的编排原则有一定的了解。 二、教学重点、难点与关键：

数学课程内容选择标准、数学课程的具体内容、数学课程内容的编排原则。

三、教学方法： 讲授、讨论与阅读相结合 四、教学时数：2学时。 五、教学内容：

2.1 中学数学课程内容的选择

中学数学课程内容的选择一般要遵循以下标准： 1.基础性标准。

2.时代性与社会作用标准。 3.发展性标准。 4.后继作用标准。 5.适度性标准。

需要指出，根据以上五条主要标准选择课程内容时，还会遇到许多重要问题必须加以解决，主要有以下几

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点：１）需要与可能的矛盾。２）统一性和灵活性相结合的问题。３）精减和增加的关系问题。４）课程内容的衔接问题。

2.2 全日制义务教育阶段的数学课程内容 2.2.1 内容标准 ?数与代数?的内容主要包括数与式、方程与不等式、函数，它们都是研究数量关系和变化规律的数学模型，可以帮助人们从数量关系的角度更准确、清晰地认识、描述和把握现实世界。

?空间与图形?的内容主要涉及现实世界中的物体、几何体和平面图形的形状、大小、位臵关系及其变换，它是人们更好地认识和描述生活空间并进行交流的重要工具。

?统计与概率?主要研究现实生活中的数据和客观世界中的随机现象，它通过对数据收集、整理、描述和分析以及对事件发生可能性的刻画，来帮助人们做出合理的推断和预测。

?实践与综合应用?是新数学课程中一个全新的内容。理解和把握这个领域，对于数学课程的发展和数学教学的改革是非常重要的。?实践与综合应用?反映了数学课程与教学改革的要求，也为学生提供了一种进行实践性、探索性和研究性学习的课程渠道。 ?实践与综合应用?将帮助学生综合运用己有的知识和经验，经过自主探索和合作交流，解决与生活经验密切联系的、具有一定挑战性和综合性的问题，以发展他们解决问题的能力，加深对?数与代数?、?空间与图形?、?统计与概率?内容的理解，体会各部分内容

之间的联系。

2.2.2 第三学段(7 ?9年级)的数学课程的具体内容 1 数与代数 具体内容：

1) 数与式：①有理数；②实数；③代数式；④整式与分式。 2) 方程与不等式：①方程与方程组；②不等式与不等式组。

3) 函数：①探索具体问题中的数量关系和变化规律；②函数；③一次函数；④反比例函数；⑤二次函数。 2 空间与图形 具体内容：

1）图形的认识：① 点、线、面；② 角；③ 相交线与平行线；④ 三角形；⑤ 四边形；⑥ 圆；⑦ 尺规作图；⑧ 视图与投影。

2）图形与变换：① 图形的轴对称；② 图形的平移；③ 图形的旋转；④ 图形的相似。 3）图形与坐标。

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4）图形与证明。 3 统计与概率

具体内容：① 统计；② 概率。 4 课题学习

《标准》的?实践与综合应用?领域，是《标准》的一个特色。

在本学段中，学生将探讨一些具有挑战性的研究课题，发展应用数学知识解决问题的意识和能力；同时，进一步加深对相关数学知识的理解，认识数学知识之间的联系。

在前两个学段的基础上，教学时应引导学生结合生活经验提出课题、积极地思考所面临的课题、

清楚地表达自己的观点并能够解决一些问题。 2.2.3 义务教育阶段的数学课程内容的总体特点

第一，提倡有教育价值的数学，学生的数学学习内容应当是现实的、有趣的和富有挑战性的；第二，与现行教材中主要采取的?定义棗定理（公式）棗例题棗习题?的形式不同，《标准》提倡以?问题情境棗建立模型棗解释、应用与拓展?的基本模式呈现知识内容，让学生经历?数学化?与?再创造?的过程，形成自己对数学概念的理解；第三，提倡在关注获得知识结果的同时，关注知识获得的过程；第四，内容的设计应具有一定的弹性，《标准》提倡采取开放的原则，为有特殊需要的学生留出发展的时间和空间，满足多样化的学习需求。 2.2.4 义务教育阶段的数学课程内容的变化

与义务教育阶段数学教学大纲(试用修订版)相比，《标准》在课程内容上的变化主要体现在以下几个方面: 1 内容结构方面

《标准》通盘设计义务教育阶段的数学课程，将九年划分三个学段；1～3年级、4～6年级、7～9年级，明确了学生在相应学段应该达到的数学学习目标，而对内容呈现的顺序不作限定，为教材的多样化和教师创造性地教学留下了较大的空间。

《标准》将?统计与概率?、?实践与综合应用?作为与?数与代数?、?空间与图形?并列的两大学习领域，分学段提出了具体目标，有利于学生对数学形成更为全面的认识。 2 课程内容方面 (1) 加强的内容

数与代数方面：注重使学生经历从实际背景中抽象出数学模型、探索数量关系和变化规律的过程，重视发展学生的数感和符号感；重视口算，加强估算，提倡算法多样化，强调用计算器来进行复杂的运算并探索规律；重视引导学生运用所学知识和技能解决实际问题。 空间与图形的方面： 强调内容的现实背景，联系学生的生活经验和活动经验； 增加了图形变换、位臵的确定、视图与投影等内容； 重视通过观察、操作、推理、交流等活动，发展学生有条理的思考；突出?空间与图形?的文化价值； 重视量与测量，并把它融合在有关的内容中，加强测量的实践性； 加强合情推理，调整?证明?的要求，强化理性精神。 统计与概率方面：强调使学生经历统计的全过程，认识统计的作用；重视引导学生根据数据做出推断和预测，并进行交流；注重学生对可能性的感受和认识。

加强实践与综合应用。《标准》在第一学段设立了?实践活动?、第二学段设立了 ?综合应用?、第三学段设立了?课题学习?，便于教师结合不同学段学生的生活经验和知识背景，引导学生以自主探索与合作交流的方式，理解数学，发展解决问题的策略，体会数学与现实生活的联系。 重视新技术的应用。

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（2）削弱的内容

进一步控制计算的难度和速度。第一、二学段控制整数四则混合运算的步骤(不超过三步)，不要求学习小数与分数的四则混合计算；第三学段有理数的混合运算不超过三步。 不独立设臵?应用题?单元，取消对应用题的人为分类。

删除根式的运算、无理方程、可化为一元二次方程的分式方程、二元二次方程组和三元一次方程组。

降低有关术语在文字表达上的要求，淡化单纯的公式记忆和计算。

2.3 普通高中的数学课程内容

２.3.1 高中数学课程基本框架 1 必修课程

必修课程是整个高中数学课程的基础，是所有学生都要学习的内容。其内容的确定遵循两个原则：一是满足未来公民的基本数学需求，二是为学生进一步的学习提供必要的数学准备。 5个模块的内容为：

数学1：集合、函数概念与基本初等函数I(指数函数、对数函数、幂函数)； 数学2：立体几何初步、平面解析几何初步； 数学3：算法初步、统计、概率；

数学4：基本初等函数II(三角函数)、平面上的向量、三角恒等交换； 数学5：解三角形、数列、不等式。 2 选修课程

系列1的内容分别为：

选修l-1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、导数及其应用。

选修1-2：统计案例、推理与证明、数系的扩充与复数的引入、框图。

系列2则是为希望在理工、经济等方面发展的学生设臵的，包括3个模块，共6学分。 系列2的内容分别为：

选修2-1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、空间中的向量与立体几何。 选修2-2：导数及其应用、推理与证明、数系的扩充与复数的引入。 选修2-3：计数原理、统计案例、概率。

系列3包括：数学史选讲、信息安全与密码、球面上的几何、对称与群、欧拉公式与闭曲面分类、三等分角与数域扩充等6个专题。

系列4包括：几何证明选讲、矩阵与变换、数列与差分、坐标系与参数方程、不等式选讲、初等数论初步、优选法与试验设计初步、统筹法与图论初步、风险与决策、开关电路与布尔代数等10个专题。

2.3.2 普通高中数学课程内容的特点

《普通高中数学课程标准》的数学内容与过去相比有较大变化： 1 为不同学生的发展提供了不同的课程内容。 2 加入算法等一些新内容。

3 对已进入中学课程的微积分、统计与概率进行了新的设计。

4 设立了数学建模、数学探究、数学文化等学习活动，并分别对它们提出了具体要求。 5 调整原有内容。

6 特别需要指出的是，数学必修模块着重培养学生的探究、阅读、交流、创新能力。 7 注重信息技术与数学课程的整合。

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2.4 数学课程内容的编排

2.4.1 课程内容的编排原则 1 心理原则 2 系统性原则 3 一体化原则 4 兼顾性原则

2.4.2 数学课程内容的体系

所谓课程内容体系，是指课程内容排列所展现的知识序列及知识间的内在联系。数学课程的内容体系，就是把数学的一个分支学科经选择而得到的内容进行教学法的加工而形成的知识系统。 1 直线式体系

所谓直线式，就是指把一门数学学科的课程内容或其中一个课题的内容按照知识本身的逻辑结构来展开，使各种知识在内容上均不重复的编排形式。 2 螺旋式体系

螺旋式是一种循环编排课程内容的方式，就是把同一课题内容按深广度的不同层次安排在不同的阶段重复出现，每一次重复都将原有的知识进一步加深、逐级深化。 六、思考题：

1. 选择中学数学课程内容的标准主要有哪些？

2. 简述《全日制义务教育数学课程标准》的内容领域。 3. 义务教育阶段的数学课程内容有什么变化? 4. 普通高中数学课程内容具有什么特点？ 5. 数学课程内容的编排要遵循哪些原则？

第三章 中学数学学习

一、教学目的：

通过对数学学习理论及中学数学学习的介绍，使学生对中学数学学习有一个全面而深刻的认识；了解中学数学学习的过程及有效的数学学习活动的基本特征；了解情况研究性学习及其特点,从而使学生对数学学习形成一种正确的认识。 二、教学重点、难点及关键：

数学学习理论的发展；中学数学学习的特点；数学学习的过程；研究性学习。 三、教学方法：讲授讨论与文献查阅 四、教学时数：2学时。 五、教学内容：

3.1 数学学习心理研究的发展

数学学习研究一般采用两种方式，一种是从一般心理学的理论出发，去对数学学习的具体问题作解释与分析；另一种是尽可能从数学学习的具体过程出发，研究学生学习的真实心理活动，分析其认知过程、机制及心智变化，逐步形成具有自身特点的数学学习理论。 3.1.1 数学学习理论的发展

在20世纪，数学学习理论经历了从行为主义到认知主义的发展历程。

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20世纪下半叶，随着学习心理研究的不断深入，行为主义忽视学习的内在心理过程的严重缺陷已日益明显，越来越多的心理学家转向关注学习的内在过程，这促成了认知主义学习理论的形成。

从20世纪六七十年代始，数学学习理论中的认知主义取代行为主义已成必然之势。布鲁纳提出了发现学习理论，强调学习进程是一种积极的认知过程，提倡知识的发现学习。此外奥苏贝尔提出了“有意义学习”理论，加涅提出了“信息加工”学习理论。正是如此众多认知学习理论的出现，使数学心理研究范式发生了重要转变，并预示着认知理论将会有新的发展。

3.1.2 建构主义的学习理论及其影响

尽管建构主义有诸多流派，但对学生学习有如下共识：

（1）学习是一个积极主动的建构过程，学生不是被动地接受外在信息，而是根据先前认知结构主动地和有选择地知觉外在信息，建构其意义。

（2）课本知识并不是对现实的准确表征，它只是一种解释，一种较为可靠的假设，学生对这些知识的学习是在理解基础上对这些假设做出自己的检验和调整的过程。因此，知识可以视为个人经验的合理化，而不是说明世界的真理。

（3）学习中知识建构不是任意的，它具有多向社会性和他人交互性。知识建构的过程应有交流、磋商，并进行自我调整和修正。

（4）学生的学习过程是多元化的，由于对象的复杂多样化、学习情感的某种特殊性、个人经验的独特性，使得学生对对象意义的建构也是多维度的 建构主义学习理论对指导数学学习有多方面的意义： 首先，应该用建构主义观点看数学。

其次，应强调知识学习是一个建构过程，必须突出学习者的主体作用。

此外，应更加关注学生学习的个性化特征，使其在知识学习中获得合理的个人经验的内化。但是又要看到知识的建构不仅是个人的，也是社会的。

3.2 中学数学学习

3.2.１ 数学学习的概念

数学学习是指学生在教育情境中，以数学语言为中介，自觉地、积极主动地掌握数学概念、法则、定理、公式，形成数学技能和数学活动经验，发展数学能力和思维品质的过程。 3.2.2 数学学习的特点

1 学生的数学学习是数学知识“再发现”的学习。 2 学生的数学学习需要教师的?点拔?和?引导?。 3 学生的数学学习需要较强的抽象概括能力。 4 学生的数学学习受情感因素的制约。 5 学生的数学学习要经历不同的阶段。 3.2.3 数学学习的分类

按数学学习的内容分为：数学知识的学习；数学活动经验的学习；创造性数学活动经

验的学习。

按学生认知活动水平的层次，数学学习包括：数学符号学习；数学概念学习；数学原

理学习；数学运用学习；数学问题解决学习。

如果从学习的性质来看，数学学习包括：获得数学知识经验的学习；获得数学学习机

制的学习，即元学习。

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3.3 数学学习的过程

学生的有效数学学习活动主要呈现出如下一些特点:

1 学生数学学习的过程是建立在经验基础上的一个主动建构的过程。

2 学生数学学习的过程充满了观察、实验、猜想、验证、推理与交流等丰富多彩的数学活动。 3 学生的数学学习过程应当是富有个性、体现多样化学习需求的过程。

3.4 数学研究性学习

3.4.1 数学研究性学习

数学研究性学习是学生数学学习的一个有机组成部分，是在基础性、拓展性课程学习的基础上，进一步鼓励学生运用所学知识解决数学问题和现实问题的一种有意义的主动学习活动，是以学生动手、动脑，主动探索和相互交流为主要学习方式的学习研究活动。 2.研究性学习的特点 1) 开放性 2) 探究性 3) 实践性

3.4.3 数学研究性学习课题的选择 3.4.4 数学开放题与研究性学习

3.4.5 数学研究性学习中开放题的编制方法 六、本章思考题：

1.简述20世纪数学学习理论的发展。

2.建构主义学习理论对数学学习具有什么指导意义？ 3.中学数学学习具有什么特点？ 4.如何认识有效的数学学习活动过程？

5.什么是数学研究性学习？研究性学习具有什么特点？

第四章《数学课程标准》理念下的中学数学教学

一、教学目标：

通过对《数学课程标准》理念下的数学教学活动的介绍，使学生学会如何展开有效的数学教学活动。了解《数学课程标准》理念下的学生发展以及新课程标准理念下教师角色的变化等重要的内容，树立正确的师生观、教学观。 二、教学重点、难点及关键：

数学课程标准的理念，新数学课程标准理念下的数学教学的特征。 三、教学方法： 讲授讨论与文献查阅。 四、教学时数：2学时。 五、教学内容：

4.1 《数学课程标准》理念下的数学教学活动

1数学教学活动是结论与过程相统一的活动，应注重让学生经历数学知识的形成与应用过程 2数学教学活动是教师和学生之间的协作与互动的活动 3数学教学是促进学生认知与情意的协调统一发展的活动 4.２ 《数学课程标准》理念下的数学教师 4.2.1 新课程标准理念下教师角色的变化 教师的角色变化主要体现在以下几点：

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教师的职业观：要从“教书匠”式的教师，转向“学者型”的教师。 教师的教育主体观：要由以教师为本、或以教材为本，转向以学生为本。

教师的师生观：要由传统的“师道尊严”转变为教师是学生发展的促进者，师生是互动的合作关系、朋友关系。

教师的责任观：要由为学生升学负责，转向为学生的一生发展负责。 教师的教学观：要由“为教而教”转变为“教是为了不教”。 教师的功能观：要由知识的传授者转向学生发展的促进者。 教师的管理观：由学生的管理者转化为学生全面发展的引导者。

教师的课程观：由课程与教材的忠实执行者，转化为以教材为知识载体的师生课程文化的共建者。

4.2.2在课堂教学活动中，教师常规教学行为的改变 1 课堂中知识结构的变化

在未来的课堂上，知识将由三方面组成：教科书及教学参考书提供的知识、教师个人的知识、师生互动产生的新知识。新课程将改变教科书一统课堂的局面，教师不再只是传授知识，教师个人的知识也将被激活，师生互动产生的新知识的比重将大大增加。 2 课堂控制方式的变化

课程授受知识的变化，决定了教师课堂控制方式的变化。教师在新课程的授受时，将更多地采取“非结构”、“开放式”的控制方式，特别注重学生的创新品质的培养，因而，教科书知识的比例相对较少，教师个人知识和师生互动产生新知识的比例较大。这样一种控制方式是对权力型社会控制方式的挑战，是一种可生成、持续发展式的控制方式。 3 课堂常规经验的变化

当教师以知识传递为重点的时候，他的经验做法是：将知识、技能分解，并从部分到整体地、有组织地加以呈现，学生通过倾听、练习和记忆，再现由教师所传授的知识。让学生回答教材中的问题，记课堂笔记。当教师以学生发展为中心的时候，他的经验做法是：通过相互矛盾的事物引起学生认知的不平衡，引导学生完成解决问题的活动，监测他们发现后的反思。教师引发并适应学生的观念，参与学生开放式的探究，引导学生掌握真正的研究方法和步骤。 4.2.3 《数学课程标准》下的数学教师的主要任务 1 为学生创设适宜的问题情境

2 鼓励学生争论数学问题，展开思维活动，帮助学习解决疑难 3 组织学生小组活动，发展学生合作学习的互动意识 4 帮助学生建构数学知识，掌握科学的思维方法 5 指导学生数学应用，增强学生对数学的体验和感受 6 根据学生的年龄特征和认知特点组织教学 4.3 数学教学过程 4.3.1数学教学过程的基本要素分析 1 数学教学活动诸要素

学生； 教师； 数学教学目的； 数学课程、教材；教学方法；教学环境；教学反馈。

2 数学教学各要素之间的关系 4.3.2数学教学过程的优化 1 什么是数学教学过程的优化

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所谓数学教学过程的优化，就是根据培养目标和数学教学任务，结合学生、教师和教学环境的实际，按照教学的规律性和教学原则的要求，来选择(制定)一个最好的数学教学方案〈最优化〉，然后实施这个方案，用不超过规定的时间和精力，取得最佳效果。 2 数学教学过程的优化是一种现代教学理念 3 数学教学过程优化的基本要求 1) 数学教学目标最优化 2) 教学内容安排最优化

为了取得卓有成效的教学效果，数学课堂教学内容的安排上应当做到最优化。为此，应满足三个方面的要求：①目的明确；②重点突出；③练习适当。 3) 数学教学方法的最优化 选择数学教学方法的准则:

①根据教学目的与任务(是新知识的传授和学习，还是形成某种技能，或复习、巩固旧知识)。②根据教学内容的特点(是引人和讲授概念还是定理公式的获得、证明和应用，或计算、作图等)。③根据学生的实际状况(年龄特点、知识基础和心理准备等特征)。④根据教师自身的特点。⑤根据教学时间和效率的要求(好的教学方法应该是高效低耗的)。⑥根据教学环境对教学的影响以及采用的教学手段(利用幻灯或其他电化教学手段，特别是多媒体教学课件等)。

4) 习题、练习最优化

4 实施教学过程最优化对教师的要求

4.3.3 数学教学过程优化意义下的数学教学 1 学生优化的学习方式 2 实施优化的数学教学方式 1) 引导学生将知识转化为能力

2) 积极开展数学探究、相互交流、合作学习的教学方式 3) 淡化形式化的教学，注重应用与创新 4) 注重学生个性和健全人格的发展 5) 以人为本，渗透人文教育 六、思考题：

1、如何理解数学教学活动？ 2、如何理解数学教师角色变化？

3、你认为《数学课程标准》理念下的数学教师的主要任务有哪些？ ４、简述数学教学过程的基本要素及其关系。 ５、何谓数学教学过程的优化？其基本要求有哪些？ ６、如何实施优化的师生活动方式？

第五章 中学数学的教学模式

一、教学目的：

通过对数学教学模式的学习，使学生了解如何展开有效的数学教学活动。 二、教学重点、难点及关键：

中学数学的教学模式及其选择与设计。

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三、教学方法：讲授讨论与文献查阅。 四、教学时数：2学时。 五、教学内容：

教学模式是指在一定的教育思想、教学理论和学习理论指导下，为完成规定的教学目标，对构成教学的诸要素所设计的比较稳定的简化组合方式及其活动过程。

5.1 几种数学课堂教学模式

5.1.1 启发、讲授模式

启发、讲授式教学模式就是教师不直接地把现成的知识传授给学生，而是引导学生自己独立地去发现相应的结果的教学模式。它的基本程序是：复习讲授椘舴⒗斫鈼练习巩固椉觳榉蠢 ?/P>

实施启发、讲授式教学模式的关键是启发。启发方式有：归纳启发式；演绎启发式；类比启发式；实验启发式。

5.1.2 尝试指导〃效果回授模式

这是上海市青浦?顾泠沅教改实验小组?经过广泛的调查研究，认真筛选教学经验，并进行试验推广而总结出来的一种教学模式。这个模式的基本程序是：诱导棗尝试棗变式棗归纳棗回授棗调节。

此模式的具体操作步骤是： 启发诱导创设问题情境；探求知识的尝试；变式练习的尝试；归纳结论，纳入知识系统；回授尝试效果，组织质疑和讲解；单元教学效果的回授调节。 5.1.3 开放性教学模式 1 对开放性教学模式的认识 2 开放性数学教学模式的特点 （1）主体性与主动性 （2） 有利于数学交流 （3） 民主性与合作性 （4） 人人都有收获

3 开放性数学教学模式运用示例 5.1.4 发现式教学模式

发现式教学模式,也称为问题解决教学模式，是按照美国教育学家布鲁纳针对学生好奇、好问、好动的心理特点提出的教学理论基础而创立的教学模式。这种教学模式的特点是有利于学生独立思考和收集、处理有关信息能力的培养，有利于体现学生的主体地位及研究问题的方法，有利于激发学生学习数学的兴趣。发现式教学模式的基本程序是：创设情景椃治鲅芯織猜测归纳椦橹し此紬运用结论。

5.1.5 再创造数学教学模式（结构教学模式）

再创造数学教学模式是建立在系统论和原苏联心理学家维果茨基提出的建构主义学习观思想基础上的一种教学模式，这种模式的特点是强调学习的过程中学生主动性和建构性，主张自上而下的教学设计及知识结构的网络化，对于学生进一步认识学习的本质，揭示知识的规律性有很好的作用。这种教学模式的基本程序是：自学教材椞崃兑銞形成结构椑斫庹莆諚巩固练习。

1 对再创造数学教学模式的认识 2 再创造数学教学模式的特点

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其一，强调数学教学是师生共同参与的活动过程，教师的主导要为学生主体达到学习目标服务。

其二，尊重学生的学法，强调因材施教。

其三，模式强调数学知识的发生过程，思想方法的显现过程，强调数学知识学习的过程是数学认知结构建构的过程。

3 再创造数学教学模式的实施条件 5.1.6多媒体教学模式

多媒体教学模式就是在教学中运用现代教学媒体并与传统教学手段有机结合起来传递教学信息，以实现数学课堂教学最优化的一种教学模式，这种教学模式的特点是便于直观思维的教学，能增加教学的信息量，有利于学生在空间思维中学到数学知识，有利于激发学生学习数学的兴趣，有利于提高45分钟效率，当然对教师的素质提出了更高的要求。多媒体教学模式的基本程序是：媒体设计椏翁靡紬媒体演示椆塘废皸媒体演示椆槟烧莆铡?/P> 5.1.7 自主探究式教学模式 1 情境探究。 2 类比探究。 3 猜想椞骄俊?/P> 4 引导探究式。 5 交流椞骄俊?/P>

5.1.9 ?四主〃三段〃六环节?模式

本模式依据甘肃酒泉工业学校刘尧老师的?四主、三段、六环节教学法?而设计的。从横向联系上把学生、教师、教学内容、教学方法所组成的相互协调的同时态空间结构概括为：学生为主体，教师为主导，教学内容为主线，教学方法为主措施的?四主?新结构。从纵向联系看，其教学过程的程序是：（课前段）提纲〃认同→预习〃讨论→（课堂段）讲解〃辩论→讲评〃引申→（课后段）分类〃建构→作业〃反馈?三段六环构成。 5.1.10 数学合作学习模式 1 合作学习小组的组织与实施 2 合作学习小组的评价

5.2 MM教育方式

5.2.1 什么是MM教育方式

数学方法论(Mathematical methodology)的教育方式(简称MM方式)就是：教师在数学教学的全过程中，充分发挥数学教育的两个功能，自觉地遵循两条基本原则，瞄准三项具体目标，恰当地操作8个变量（运用八项教学措施），从而达到全面提高学生素质的目的。 ?教学全过程?：班级重组、学法培训、备课、上课、辅导、作业处理、学习评价、课外活动指导。

?两个功能?：技术教育功能、文化教育功能。

?两条基本原则?：既教证明，又教猜想原则和教学、学习、研究同步协调原则。 ?三项具体目标?：引导学生自我增进一般科学素养，自我提高社会文化修养，自我形成和发展数学品质。

?八个变量?（八项教学措施）：数学返璞归真教育，数学审美教育，数学发现法教育，数学家人品教育，数学史志教育，合情推理教学，演绎推理教学和一般解题方法的教学。 5.2.2 MM教育方式的特点

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1 MM教育方式具有明确的数学特色，是数学教学所特有的教育方式。 2 MM教育方式具有非模式性。 3 MM教育方式具有可行性。

5.3 数学教学模式的建构与创新

5.3.1 数学教学模式的建构和选用原则 1 注重教学落实，不要追求形式

2 建构和选定每种教学模式都要充分体现学生的主体性、启发性、思维性 3 不同的教学模式选定，取决于不同的教学内容

4 不同教学模式的选定，取决于不同层次学生的认知水平 5 综合应用各种模式，整体优化过程 5.3.2 发展教学模式，不断改革创新 七、思考题：

1 简述启发---讲授式教学模式、尝试指导〃效果回授模式、?四主〃三段〃六环节?模式的教学程序。

2 你对数学教学模式在教学中的作用有何认识？ 3 什么是MM教育方式？

4 在数学教学中如何进行数学教学模式的选择与创新？

第六章 数学教学技能

一、教学目的：

通过对各种数学教学技能的学习，使学生认识到要搞好数学教学，必须具备一定的数学教学技能，从而为在教学实践中训练教学技能做好准备。 二、教学重点、难点及关键：

各种数学教学技能的特征及运用时应遵循的原则。 三、教学方法：

讲授、讨论与文献查阅。

四、教学时数：理论2学时+实训26学时（技能训练与考核） 五、教学内容:

数学教学技能是教师在数学教学过程中运用数学专业知识和教育理论，促进学生数学学习的教学行为方式。

6.1 数学课堂教学技能及其形成

数学课堂教学技能主要包括：教学语言技能、讲解技能、板书板画技能、导入技能、提问技能、吸引技能、启发技能、交流技能、组织技能等。 6.1.1 数学教学语言技能 l 教学语言技能及其功能

数学教学语言技能是教师在完成数学教学任务过程中运用教学语言的行为方式，是教师应该掌握的最基本的教学技能。

教学语言技能在教学中的主要功能为： ① 传递教学信息，以保证教学任务的顺利完成。 ② 教学语言技能的熟练掌握可以促进学生智力的发展，提高学生的学习效率。 ③ 组织、调节功能。 ④ 示范功能。 2 教学语言类型

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教学语言主要有以下几种类型：阐释性语言；组织性语言；评断性语言。 3 运用教学语言的基本原则

① 教育性原则；② 科学性原则；③ 适应性原则；④ 启发性原则；⑤ 规范性原则。 6.1.2 讲解技能 l 讲解技能及其作用

讲解是用语言传授知识的一种教学方式。讲解技能就是教师运用系统连贯的语言，表述、阐明教学内容，传授知识的教学行为方式。

讲解技能在教学中的作用是： ① 使学生在一定的教学时间内可以获得较多的数学知识信息； ② 生动、活泼、有效的讲解能够感染学生，激发学生数学学习的兴趣，并可通过讲解内容的思想性影响学生，达到思想教育的目的； ③ 讲解技能在传授数学思维方法，表达解决问题的方法等方面具有积极的作用。 2 讲解技能的类型

解释式；描述式；论述式。 3 讲解技能的应用原则与操作要点

教师在运用讲解技能时，应遵循以下原则：启发性原则；科学性原则；针对性原则。 运用讲解技能的操作要点：

第一，教师要较好地掌握和运用语言技能；第二，讲解的目的要具体、明确，讲解要紧紧围绕主题进行；第三，讲解必须重点突出，抓住关键；第四，要注意讲解的阶段性；第五，要注意讲解技能与其他教学技能的配合运用。 6.1.3 导入技能 l 何谓导入技能

导入技能是教师在一个新的教学活动开始时，将学生引入一定的数学学习情境的教学行为方式。

2 导入技能的类型

常用于课堂教学导入的类型有：直接导入；复习导入；直观演示导入；问题导入；类比导入；数学故事导入。 3 导入技能的应用原则

教师在运用导入技能时，应遵循以下原则：目的性原则；针对性原则；启发性原则；高效性原则。

6.1.4 板书板画技能 l 板书板画技能及其作用

板书板画技能是教师运用板书板画实现教学目标的一种教学行为方式。其作用为：利用视觉感官，深化学生对知识的理解、强化记忆；利用板书图示，可以引起学生的兴趣，引导和控制学生的思路，发展学生的智力。 2 板书板画技能的类型

从表现形式上我们可以将板书板画分为以下几种：词语符号式；提纲式；线索式；表格式；图示式。 6.1.5 提问技能 1 提问技能及其作用

提问技能是教师运用提问实现教学目标的教学行为方式。其作用为： ① 促进学生学习，引导和组织学生参与教学活动； ② 在教会学生怎样发现问题、提出问题并掌握思考问题和有

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效地解决问题的方法方面发挥着积极作用； ③ 促进学生及时复习、巩固所学的知识，并且能够把新旧知识联系起来，系统地掌握知识；④ 能够加强师生之间的相互作用，及时调节教学活动。

2 提问技能的类型及其结构

依据教师运用提问技能时所提问题的性质，可以将其分为以下几种类型：回忆性提问；理解性提问；应用性提问；分析性提问；创造性提问；评价性提问。

课堂教学中，一个完整的提问过程应该由引入、陈述、介入 、评价四个环节构成。 3 提问技能的应用原则

面向全体的原则；目的性原则；评价性原则。 4 运用提问技能应注意的几个问题

教师在使用提问技能时，应注意以下几个方面：首先，提问需要设计。其次，提问应当含蓄，不能太简单。再次，对学生的回答要认真倾听，予以中肯而明确的评价，肯定合理的成分，提出还需改进的地方。 6.1.6 吸引技能 1 吸引技能的涵义

吸引技能是教师通过一定的方式吸引学生进行学习，变?要我学习数学?为?我要学习数学?，从而实现教学目标的教学行为方式。 ２ 吸引学生的主要方式

吸引学生的主要方式归纳起来有：联系；挑战；变化；魅力。 6.1.7 启发技能 1 启发技能的涵义

启发技能是指教师通过有效方式，充分调动学生学习的积极性和主动性，以高超精湛的教技,启迪、诱导学生的学习活动，从而实现教学目标的教学行为方式。 ２ 启发学生数学学习的主要途径

第一，教师要明确希望学生解决什么问题，目标不确定难以完成教学任务。

第二，教师要考虑：希望学生解决的问题与学生的现实之间有多大距离，应该设计哪些问题或进行哪些活动架桥铺路化解困难。

第三，有时教师可以设臵一些疑难问题引起学生思想的交锋和深层次思考，有助于深入理解某些重要的概念和定理的实质。

最后教师要将学生原先想做而不会做的正确做法，想说而说不出的正确想法用精练而明了的语言重述一遍。

3 运用启发技能的操作要领

运用启发技能的操作要领:符合教学内容的需要及情绪特点；具有能被学生“跳一跳，摘得到”的难度；有想象的余地，能激发学生的潜力。 6.1.8 交流技能

交流技能是指教师在数学课堂教学情境中，通过师生之间的相互交流达到教学信息的有效传递与反馈的教学行为方式。

包含语言交流对话和非语言交流对话。在语言交流对话中除了传统课堂上常常采用的?教师提问一学生回答?的形式外，还包括学生的发问。

非语言交流对话包括课堂倾听、面部语、体态语以及服饰语等等。课堂倾听由注意、理解和评价三个部分组成。第一是注意学生在对话中说出的信息是否适当、正确，包括强度及传递

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的时间和情境等；第二是对接收的信息进行心智加工的理解，包括理解说话人呈现的思想，说话人的动机等；第三就是对信息进行权衡评价，归纳说话人的主题思想、获知省略的内容、思考怎样完善信息等。 6.1.9 组织技能

组织技能是指教师在教学过程中，通过适当方式约束、控制学生的不良行为,组织学生从事积极的数学学习活动的教学行为方式。

在运用组织技能时，要注意以下几个方面：第一，教师要策划可预见的课堂规则和惯例，安排清楚、连续、节奏明快的教学程序,让学生都能够投入到紧张而有意义的学习活动中去。第二，创设适合学生物质的和心理的课堂学习环境。第三，在课堂教学中教师应正确导引，用强化的策略督促学生维护课堂规则，养成良好的学习习惯。第四，教师应公平对待所有学生，一视同仁。

6.2 数学教学艺术风格

6.3.1 教学风格的基本类型

教学风格。这些带有浓厚个性色彩的精湛的教学风格，大致可以总结为这样几种类型：儒雅型教学风格；新奇型教学风格；理智型教学风格；情感型教学风格。 6.3.2 教学风格的形成

教学风格的形成，是教师教学艺术达到炉火纯青的标志，教师要经历一个较为长期的教学艺术活动的实践过程，才能最后形成独具特色的教学风格。一般来说，教师教学风格的形成大致要经历四个阶段：模仿学习 → 独立探索 → 创造超越 → 发展成型 六、思考题：

1.数学课堂教学技能主要哪些？ 2.简述数学教学语言技能及其功能。 3.简述讲解技能及其应用原则。 4.简述导入技能的类型及其应用原则。 5.简述提问技能及其作用。

6.简述启发学生数学学习的主要途径。 7.简述吸引学生学习的主要方式。

第七章 数学教学设计

一、教学目标：

1. 通过对数学教学设计的学习，使学生掌握数学教学设计的基本理论，能够创造性地

进行课堂教学设计，后一阶段的数学教学实践活动奠定基础。 2. 会较好的编写课时教案，制作课时课件。 二、教学重点、难点及关键：

数学教学设计的基本理论及课堂教学设计实践。 三、教学方法：

讲授、讨论、文献查阅与实践。 四、教学时数：理论2学时+实训8学时。 五、教学内容：

7.1什么是数学教学设计

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数学教学设计是教师以数学教育理论为指导，运用系统方法分析数学教学问题，确定教学目标，建立数学教学方案，并对方案进行试行、评价和修改的过程。

7.2 教学设计的基本要素

数学教学设计，是为数学教学活动制定蓝图的过程。完成数学教学设计，教师需要考虑以下几个方面：

（１）数学教学内容及教学对象。 （２）数学教学目标。 （３）数学教学方案。 （４）数学教学方案的评价。

7.3 数学教学设计的前期分析

7.3.1 数学教学内容分析 1 数学教学内容的背景分析

数学教学内容的背景分析主要是指分析数学知识的发生、发展的过程，它与其它有关知识之间的联系，以及它在社会生产、生活和科学技术中的应用。通过背景分析，可以使教师对有关的数学知识有整体的、全面的和系统的了解，不仅知道这些数学知识从生产实践和科学研究中产生和发展的过程，而且知道它和数学其它部分知识以及其他学科知识之间有什么关系，知道它在实际中有些什么用处。 2 数学内容的功能分析

数学教学内容的功能分析是指通过对数学内容在培养和提高学生数学素质方面的功能分析，明确这部分内容在整个教材中所处的地位和作用，及其学习价值，包括智力价值、思想教育价值和应用价值。数学智力价值是指数学思维品质的培养，思想方法的训练，数学能力的提高等。数学的思想教育价值是指个性品质的培养、人格精神的塑造、世界观和人生观的形成等。数学的应用价值是指数学知识在生活、生产实践和科学技术中的应用。这些价值往往隐含在教学内容之中，是潜在的因素，需要教师深入钻研、积极挖掘。 ３ 数学教学内容的结构分析

数学教学内容的结构分析主要是指分析它有哪些知识要点，它们是如何安排的，前后次序如何，其中哪些是重点、难点和关键。

（１）数学知识结构。教学内容的结构一般为：感性材料引入→概念→定理、公式、法则→应用。

（２）数学教学结构。教学结构即教学顺序，是把规定了广度和深度的数学教学内容，采用有利于学生理解和接受的展开形式加以序列化。 （３）重点、难点和关键。 ４ 数学教学内容的要素分析

数学教学内容是一个系统，它是由一些基本要素构成的。一般来说，构成数学教学内容的基本要素有：感性材料、概念和命题、例题、习题。要素分析就是对这四个要素分别进行分析，从而为合理地教学设计提供依据 7.3.2 学生情况分析 1 学习准备情况的分析 2 学习数学的心理特点分析

７.４ 数学教学目标的确定

7.4.1教学目标及其功能

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教学目标是教学活动预期达到的结果，是学生通过学习以后产生的行为变化。它表现为对学习成果及终结行为的具体描述。 教学目标具有以下功能： （1）导向功能。 （2）评价功能。 （3）指导功能。 （4）激励功能。

7.4.2 数学教学目标的编制 1 编制数学教学目标的要求

为了使教学目标能够充分发挥它的功能，在编制教学目标时，应遵循以下基本要求： （1）全面性 （2）具体性

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（3）准确性 （4）明确性 （5）灵活性

2 数学课堂教学目标编制的步骤 （１）学习《数学课程标准》 （２）明确单元教学目标

（３）明确课堂教学的具体内容和要求 （４）了解学生的基础和学习特点 （５）确定教学目标并加以陈述

7.5 数学教学方案的设计

7.5.1 确定课的类型 7.5.2 数学教学模式的设计 7.5.3数学教学顺序的设计

数学教学的顺序是指数学教学过程进行的前后次序，即先做什么，后做什么。它包括以下三个方面：

第一，数学教学内容的呈现顺序。 第二，教师活动顺序。 第三，学生活动顺序。

不同类型的学习结果需要不同的学习条件，需要不同的教学顺序。下面分别讨论几种类型学习结果的教学内容的呈现顺序。 1.数学事实的呈现顺序

2.数学事实主要是指数学符号、数学概念的名称和数学命题的内容等。一般有两类，一类是一个数学事实与另一个数学事实几乎不存在逻辑的联系，这类数学事实在教学顺序上先学什么，后学什么，关系不大；另一类数学事实相互之间有一定的逻辑联系，因此就要按照逻辑顺序安排教学顺序。 数学概念和原理的呈现顺序 ① 从简单到复杂、从特殊到一般。 ② 由一般到个别，不断分化。 ③ 用类比的方式。

④ 从实践到理论，从感性到理性。 ⑤ 发现学习。

3.数学技能的呈现顺序

数学技能的教学顺序一般分成三个阶段：认知阶段；分解阶段；定位阶段。

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7.5.4 教学过程的展示（数学教学活动的设计） 数学命题的教学设计

1.数学命题包括公式、法则、定理和性质等。公式、定理是进行正确推理的依据，也是论证方法的依据，教学设计应有利于学生透彻理解并灵活地运用。

数学命题的设计一般分命题的提出、命题的明确、命题的证明与推导、命题的运用与系统化等等。数学命题的教学设计需注意以下几个方面：

（1）命题的明确。在设计时，要分清已知条件、结论和其应用范围。每个命题都是在条件完全具备之后才能适用，反之，在不具备这些条件时使用就会出现错误。同样地，应用范围变了，命题则有可能不成立。例如，公式

a?b2?ab，必须以a,b≥0为提前。还有一

些公式的条件是隐含的，如二次函数的极值公式就隐含着顶点横坐标包含在x的取值范围之中。

另外，公式的外形与特点，命题中的关键性词语，都是我们在设计时需考虑的方面。 （2）命题的证明与推导。命题的教学设计的重点是让学生理解命题证明的思路与方法，对那些思路、方法与技巧上具有典型意义的要加以总结，从中让学生学会数学思想方法，以提高学生的思维能力和分析、解决问题的能力。

（3）命题的应用和系统化。命题的教学目的之一在于应用，其应用也是培养学生能力的重要途径。

数学中的公式、法则、定理和性质又统称为数学原理，公式和法则的学习、定理和性

质的学习又统称为原理的学习．

2．数学原理学习的4种水平

从运用原理的角度看，数学原理学习可以分成4种水平．

(1)言语连锁学习水平：处于这一水平的学生，会说，会背，会写原理的客观陈述，但不理解原理的本质．他们尚未在心理上形成产生式，当然也就不能运用原理． (2)正向产生式水平(正用水平)：处于这一水平的学生，己在心理上形成?若……，则……?这一正向产生式，能够由满足原理的条件信息推出结论信息．属于正向使用数学原理的水平．

(3)逆向产生式水平(逆用水平)：处于这一水平的学生，已在心理上形成?要……，就要……?这一逆向产生式，能够由结论信息出发，追寻结论成立的充分条件．这一水平属于逆用数学原理的水平，是运用数学原理的较高级水平．逆向产生式的习惯性反应是逆向思维形成的基础．

(4)变形产生式水平(变形使用水平)：处于这一水平的学生，已在心理上形成变形产生式，能够由问题的部分信息检索出相关的数学原理模式，并根据当前解决问题的需要对数学模式进行变形使用，从而解决问题．这一水平属于变形使用数学原理的水平，是运用数学原理的高级阶段．变形产生式的习惯性反应是创新思维的基础．例如，学完两角和的正切公式后，具有变形产生式水平的学生，在解一个综合性问题时，面对两个实数?ab”，这一

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刺激，他想起了两角和的正切公式并根据需要，知道

促进原理学习的最有效的办法是让学生在运用原理的过程中掌握原理，因为让学生自己运用原理是原理具体化的过程，而这个过程对于全面、深刻地理解原理极为有利．因此，在原理的学习中，让学生进行练习是极其重要的一个环节．值得注意的是，练习不是越多越好，那种类别单一的重复练习并不有效．要想使学生真正掌握原理，形成产生式，就要让学生进行变式练习．所谓变式练习，就是在其他有效学习条件不变的情况下，命题例证的变化．在进行变式练习时，应先设臵与原先学习情境相似的问题情境进行练习，练习课题之间要保持一定的同一性．随着知识的逐渐巩固，问题类型要有变化，可逐渐演变成与原先的学习情境完全不同的新情境．同时，在练习的过程中，及时给学生提供反馈是十分必要的．及时分析指出学生练习中的错误，并让他们改正错误，可以防止学生将错误巩固下来而积习难改．

例如，要使学生熟练掌握?平方差公式?这下面各种类型的问题．

(1) 用于模仿的练习(此略)．

3．数学原理学习的形式

在数学学习中，习得原理不仅意味着习得描述原理的言语信息，而且能根据原理对一类刺激作出相应的反应，也就是说能在特定的情境中应用原理．一旦学生掌握了数学原理，就能用大量的例证来说明原理所反映的关系，或运用原理解决特定情境的下的问题．在数学课堂教学中，数学原理的学习一般有两种形式，即由例子到原理的学习和由原理到例子的学习． 1)由例子到原理的学习

由例子到原理的学习是指从若干例证中归纳出一般结论的学习．它是一种发现学习．这种学习方法简称为?例子—原理法?．例如，教师采用例子—原理法来教授数学原理?从l

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开始的n个连续自然数的立方和等于这n个自然数之和的平方．?其教学环节如下：

(1)学生计算

用例子—原理法教授原理时，学生的认知过程类似于概念形成的认知过程，都需要提供例证、辨别对象、提出假设、验证假设和进行概括．但一般地说，它对认知水平的要求较高，因为它概括的是由某些概念构成的特定关系．因此，原理学习要以概念学习为基础．用例子—原理法学习一些较简单、明显的原理时，学生可以不需要教师的指导，这种学习常被称为独立发现学习．但对那些不容易概括出来的原理，教师的指导是必需的．教师的提示越多，学生发现原理的难度就越低．这种在教师的指导下发现原理的学习常被称为指导发现学习．

2)由原理到例子的学习

由原理到例子的学习是指先向学生呈现要学习的原理，然后再用实例说明原理(有时要予以逻辑证明)，从而使学生掌握原理的学习．这是一种接受学习．简称为?原理—例子法?． 例如，要用原理—例子法来教授整式的加减法则时，教师先呈现整式的加减法则?整式的加减运算就是先去括号，然后再合并同类项．?然后通过具体的例子来说明这个法则的运用．最后通过巩固练习使学生掌握这个法则．

用原理—例子法教授原理的前提条件是，学生必须事先掌握构成原理的各个概念和原理．例如，在上一个例子中，学生要习得整式的加减法则这一原理，就必须先习得同类项的概念、合并同类项的法则、去括号法则，否则就不可能掌握由这些概念、原理构成的整式的加减法则．

和例子—原理法学习相比，原理—例子法学习所花的时间较少，但容易导致机械学习．因此，在用原理—例子法学习时，教师必须了解学生对构成新原理的相关观念的掌握程度，需要的时候，事先进行复习补漏，以便学生顺利同化新原理．例子—原理法学习在旧观念和认知水平上的要求不高，它适合于认知水平处于较低层次的学生．而原理—例子法学习则要求学生具备足够多的观念和一定的认知水平，它适合于认知水平较高的学生．在中学数

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学教学中，大多数原理的学习采用例子—原理法的学习方式，而且以指导发现学习方式居多．

４. 例子—原理的教学设计

由例子到原理的学习是指从若干例证中归纳出一般结论的学习．它是一种发现学习，简称为?例子—原理法?．

在利用例子—原理法教授原理时，为了使学生顺利概括出原理，需要为学生提供足够多的丰富的例证．这些例证应尽量涵盖例证的各种典型类别，以利于学生发现原理和全面理解原理．

例子—原理的教学如同数学概念的形成是一种由特殊到一般，由具体到抽象的过程．其教学过程为提供丰富的例证一提出假设一验证假设、进行推理论证和概括一提炼思想方法和原理的运用．

在为学生提供丰富的例子时，不能仅仅提供原理的例证，还应该提供原理的反例，以强化对原理的认识，使学生透彻理解原理。

例如，?三角形三边的关系?课题的教学，丰富的正反例证使学生能够更深入地认识该命题提出的根由，学生也获得了探求数学规律的科学方法．

一、复习旧课，引进新课

问：上节课学习了三角形的有关概念，请同学们回忆怎样的图形叫做做三角形?

答：三条线段首尾顺次连接所组成的图形叫做做三角形．

问：三角形都是由三条线段构成，那么是否任意的三条线段都可以构成一个三角形呢？

[通过演示教具让学生看到某三根付枝首尾不能顺次连接] 答：不是任意三条线段都可以构成一个三角形．

引入：可见，三角形三边是有一定的关系的，这节课就是要研究三角形三边的关系． [板书课题：三角形三边的关系]

二、讲授新课

[演示教具：用三根什枝摆咸三角形，边．于是得以下命题]引导学生观察到每两边之和大于第三边.

命题 三角形任何两边之和大于第三边．

[向学生指出：通过观察得出的命题不一定正确，必须经过严谨的论证] 用以前学过的一条公理可以证明上述命题是正确的． 复习公理：两点之间，线段最短．

在?ABC中，连接B，C两点有线段BC和折线BAC，根据上述公理有线段AB＜折线BAC,

由这三个不等式证明以上命题是正确的，于是推导出以下定理：

定理 三角形任意两边之和大于第三边(把上述?命题?二字改为?定理)．最后向学生阐明?任何?二字的合又，并阐明?大于?并不能?小于?或?等于? ５．例子—原理的教学设计案例

课题 等差数列的前n项和(第1课时)．

教材 普通高中课程标准实验教科书人教杜A版，教学必修5． 教学内容 第一章，数列，1．2．2等差数列的前n项和． 授课类型 新授课． 教学目标

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知识与技能：掌握等差数列前n项和公式及其获取思路；n项和公式解决一些简单的与前22项和有关的问题．舍用等差数列的前

过程与方法：通过公式推导的过程教学，使学生掌握倒序求和法，体会从特殊到一般，再从一般到特殊的思想方法．

情感态度与价值现：使学生感受领悟数学中的对称美． 教学重点、难点

重点：等差数列前n项和公式的理解、推导及应用．

难点：灵活应用等差数列前n项公式解决一些简单的有关问题． 教学过程设计

1．课题导入

?小故事?

高斯是伟大的数学家、天文学家，高斯10岁时，有一次老师出了一道题目，老师说：?现在给大家出道题目：1十2十…十l00＝??

过了两分钟，正当大家在：1十2＝3，3十3＝6，4十6时，高斯站起来回答说：所以…算得不亦乐乎

?1十2十3十…十100＝5050．?教师问：?你是如何算出答案的?高斯回答说：?因为配对求和

(1)这个故事告诉我们：作为数学王子的高斯从小就善于观察，敢于思考所以他能从一些简单的事物中发现和早找出某些规律性的东西．

(2)这个故事还告诉我们：求等差数列前22项和的一种很重要的思想方法：?配对思想?． 我们接着高斯的思路来求下列类似的问题：9十12十15十…十2007＝？ 这时我们发现运用、?配对思想?求和9十12十15十…十2007＝?时，还需要考虑和准确找出?中间数’’l005．这不是一件容易的事情! 有没有更好的方法来解决问题呢?

考虑到9十2007＝2016，12十2004＝2016，…，将配对竖写，由此

9 12 15 2007

2007 2004 2001 9

竖直方向每个方框内两数的和均相等，而横直方向各数的总和相同．等号左边的数清楚，右边的数就可以求了，这就是下面我们要介绍的?倒序相加?方法． Ⅱ．讲授新课

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[点评] 该教学设计从特殊例证中归纳出一般结论，运用了例子—原理的教学模式．尤其是教学设计以?高斯的故事(例子)一配对求和(思想)一倒序相加法(方法)一等差数列的前7Z项和公式?的线索，深刻地揭示了?倒序相加?这一数学方法的思想基础 ６.原理〃例子的教学设计

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由原理到例子的学习是指先向学生呈现要学习的原理，然后再用实例说明原理(有时要予以逻辑证明)，从而使学生掌握原理的学习．这是一种接受学习，简称为?原理—例子法?． 用原理—例子法教授原理的前提条件是，学生必须事先掌握构成原理的各个概念和原理．与概念学习一样，原理学习是有意义学习，是新旧知识相互作用并形成新的认知结构的过程．因此，要促进新原理的学习，就要使学生的认知结构中具备与新原理相关的适当观念．在教学中，教师可以引导学生复习、回忆与原理相关的旧知识，以帮助学生同化新原理． 例如，要学习原理?奇函数的图像关于原点成中心对称图形，偶函数的图像关于y轴成轴对称图形．?教师应引导学生复习奇函数、偶函数、中心对称图形、轴对称图形、两点关于一点对称和两点关于一条直线对称等概念，这样学生才有可能同化这一新原理． ７.原理—例子的教学案例 课题 两角差的余弦公式．

教材 普通高中课程标准实验教科书人教社A版，数学必修4

教学内容 第三章，三角恒等变换，3．1．1两角差的余弦公式． 教学目标

掌握用向量方法建立两角差的余弦公式．通过简单运用，使学生初步理解公式的结构及其功能，为建立其他两角和(差) 的公式打好基础． 教学重点、难点

教学重点：通过探索得到两角差的余弦公式．

教学难点：探索过程的组织和适当引导，这里不仅有学习积极性的问题，还有探索过程必用的基础知识是否已经具备的问题，运用已学知识和方法的能力问题等． 学法与教学用具

1．学法：启发式教学． 2．教学用具：多媒体． 教学过程设计

(一)

导入

22我们在初中时就知道cos45○=

○

, cos30○＝

32,由此能否得到cos15○=cos(45○-30

)?大家可以猜想，是不是等于cos45○-cos30○呢？

根据第1章所学的知识可知我们的猜想是错误的!下面就一起探讨两角差的余弦公式

cos(???)＝?

(二)探讨过程

在第1章三角函数的学习当中知道，在设角?的终边与单位圆的交点为p1，cos?等于角? 与单位圆交点的横坐标，也可以用角?的余弦线来表示，大家思考：怎样构造角

?和角???? (注意：要与它们的正弦线、余弦线联系起来．)

展示多媒体动画课件，通过正、余弦线及它们之间的几何关系探索cos(???)与cos?,cos?,sin?,sin?之间的关系，认识两角差余弦公式的结构．

思考：我们在第2章学习用向量的知识解决相关的几何问题，两角差余弦公式我们能否用向量的知识来证明?

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提示：1．结合图形，明确应该选择哪几个向量，它们是怎样表示的?

2．怎样利用向量的数量积的概念的计算公式得到探索结果?

比较用几何知识和向量知识解决问题的不同之处，体会向量方法的作用与便利之处．

(三)例题讲解

(四)小结：本节我们学习了两角差的余弦公式，首先要认识公式结构的特征，了解公式的推导过程，熟知由此衍变的两角和的余弦公式．在解题过程中注意角a、多的象限，也就是符号问题，学会灵活运用． 〃

(五)作业布臵：N 37习题3．1A组3，8． 数学知识应用的教学设计

常规课堂教学，从应用的用途上分：有数学例题、数学习题、数学讨论等几种。 1．数学例题的设计

数学例题的设计具有引入新知识、解题示范、加深理解、提高能力等功能。例题的选

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择应具有目的性、典型性、启发性、科学性和有序性。课本例题一般具有典型性和示范性，但设计时不排除对课本例题的深入剖析、改造与深化。

例题设计一般分例题的选择、例题的编制和例题的编排。 例1

不查表，求值：

① tan 750 ； ②

tan120?tan330001?tan12tan33tan(600；

③

?a)?tan(30000?a)?a)1?tan(60?a)tan(30；

④

1?tan751?tan7500；

⑤ tan 150+ tan 300 + tan 150tan 300 ；

⑥ tan 170 tan 430 + tan 170tan 300+ tan 430 tan 300 。 例2

已知tan?与tan?是一元二次方程 3x +5x-2=0的两个根，且 00﹤?﹤900 ，900﹤?﹤1800 ，求 ?+? 的值及cot(?-?)。

例1中的几道典型的例题包含了将一般角转化成特殊角计算求值的化归思想，单角与复角的辩证处理方法和三角公式的正、逆运用技巧，对学生学习三角恒等变形的方法与技巧极富启发性，而例2则更添创造性。

2 数学习题的类别.

关于数学习题的分类，按不同的分类标准数学习题的常见分类法有 1)传统分类法 (1)计算题； (2)证明题； (3)作图题； (4)轨迹题． 2)三分法

(1)求解题，包括①计算各种表达式的值；②解方程；③解方程组；④解不等式；⑤应用题；⑥几何计算题；⑦求已知函数的特殊点和特殊区间．

(2)证明或说明题，包括①证明恒等式；②证明不等式；②几何证明题；④确定几何图形的形状；⑤根据已知性质确定函数表达式或曲线方程．

(3)变换或求作题，包括①化表达式为标准型；②化简表达式；③多项式因式分解；④作函数图像；⑤表达式的运算；⑥几何作图；⑦图形的变换．

3)综合程度分类法

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2

(1)单一性题，知识和方法都不超出某一单元或学科； (2)综合性题，其中有知识性综合题与方法性综合题． 4)评分的客观性分类法

(1)客观性题，包括①是非题；②选择题；③填充题；④简短的问答题． (2)非客观性题，主要是论说题、证明题．

数学习题教学是教师根据教学内容、目的和能力要求，有计划、有目的、有侧重地组织学生而进行的训练活动，它穿插在教学过程中，对知识的形成、巩固、运用以及把知识转化为能力都起着极其重要的作用． 3. 数学习题的选择与设计

数学练习设计的ll条原则： 1)目的性原则

每次练习要有一个重点，要把练习的意图集中地、强烈地体现出来． 2)阶梯性原则

练习的设计要由易到难，由浅人深，要有层次，有梯度．第一层可练基本的，单项的，模仿性的题目，这是使知识内化的过程；第二层可设计综合性的，变式性的练习，把知识转化为技能、纳入认知结构，这是知识同化的过程；第三层设计一些思维性、创造性的题目，使知识结构向智能结构转化，这是知识的强化优化的过程．

3)量力性原则

练习设计要考虑学生的基础，年龄特征，否则会挫伤学生的积极性． 4)典型性原则

练习设计要从学生实际出发，以教材为基本内容，?以一当十??以少胜多?，练在关键处．

5)趣味性原则要讲究精当和典型，能

兴趣能激起学生的学习兴趣，有趣味的练习可使学生在愉快中获得知识，有利于提高学习和教学效果。除练习内容精心设计外，练习的形式也要新颖多样，以增强趣味性．可设计填空题、选择题、匹配题．也可设计求同、求异练习、类比对比练习、顺向逆向练习、静态动态练习等．让学生作练习的主人，设计改错题，让学生当医生；设计判断题，让学生当法官；设计操作实验题调动其各个感官参与学习．针对学生好胜的特点还可设计竞赛式练习．低年级要寓练于乐中，设计游戏性练习．的方法，2表示习题

6)伸缩性原则

由于学生水平有高低，练习题的设计应照顾不同层次学生．练习中要有一些具有弹性的题目．如补充问题、改变条件、一题多解、一题多变、看式编题等．这样题目优等生能做得好些，差生也能做出几种．能调动全体同学的积极性．

7)以少胜多的原则

要精心选择具有代表性、覆盖面大的习题．

8)发展思维的原则提倡以少胜多，反对题海战术

出一些符合学生知识水平和思维水平的?智慧题?，围绕书中的基本题出一些变式题等．

9)灵活新颖的原则

设计练习既要不超纲，围绕教材打基础；又要不落俗套，新颖灵活，发展学生的智力．做到活而不偏，新而不怪．

10)因材施教的原则

以中等生为着眼点，面向全体学生设计练习，配备好必做和自选练习题，既给优

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秀生设计提高题，又给后进生设计辅导题

11)适合儿童年龄特征的原则

设计练习题难度既不能拔高，也不能降低；习题内容尽量不脱离学生的生活实际和理解限度．在数学教学中，要使学生在探究新知过程中少走或不走弯路，必须从知识、思维和方法等角度去精心设计数学铺垫准备题．数学铺垫准备题的设计，第一铺垫题要体现新知的趣味性，就是通过新颖有趣的问题，激发学生探究新知的欲望，产生学习兴趣；第二铺垫题要体现知识的针对性，就是要弄清新知识的联络网，找准新知识的支撑点，分析新旧知识的衔接区，复习那些与新知识有直接关系的旧知识；第三铺垫题要体现思维的方向性，就是要确定思维的起点和方向，理清思维的顺序． 目的在于为学生指明探究新知识的思考方向，减缓思维坡度．

在中学数学教学中，我们反对?题海战术?，就必须在习题的使用质量上下工夫．一题多变是实现这一目标的重要途径之一． 中学数学教学中主要有5种?一题多变?的常用方法：例如给出一道讨论题：如图11-6，PM切⊙O于A，PBC为割线，AD⊥BC于D，BE⊥PM于E，CF⊥PM于F，求证：AD2 =BE·CF。

图11-6

学生进行讨论的大致思路是：

① 能分解成几个重要的基本图形？它们分别有什么主要的性质？ ② 证明形如a2 =b〃c问题有几种思考方法？ ③ 如何证明本题？有几种方法？

④ 如何推广此题？（把PA转化为割线，结论仍然成立吗？）证明你的结论。 ⑤ 你能总结出证明?推广后的命题?的基本思考方法吗？

1)类比法

与习题的结构、解法以及条件和结论之间的关系特征进行类比，变出一些新题来，然后判断是否有解、是否可解、怎样解

例1

求解本题时，除条件之外，重要的是利用特点变出：

这一结论，根据这个

37

2)引申法

变换题目中的条件，看结论在新的条件下有什么变化，其解法有什么新的

例3 经过A(3，4)的直线L分别与x轴、y轴的正半轴相交于M，N两点，试确定M的位臵，使?OMN的面积最小，并求出这个最小值．

变换题目中的条件，可以引申出下题：

题5 在直角坐标系xOy中，设点尸的坐标为(3，4)，点Q和点R分别在r轴的正半轴上及y轴的正半轴上，使得PQ＝QR＝RP，试求PQ的长度．

又如，变换例4的图形结构则可以引申出题6：

例4 如图2．8，已知E，F分别在正方形ABCD的边AB和BC上，AB＝l，∠EDF＝45。，求?BEF的周长．

题6 如图2．9，?ABC是等边三角形，且?DAC是等腰三角形，顶角／ADC＝120。．M，N分别在AB和BC上，／MDN＝60。，求?BMN的周长

．

3)推广法

将习题推广，使之适用于更一般的情况．

例5 求适合的有理数．

分析 方法一．代数法：分类讨论、去绝对值符号．

方法二．数形结合：从几何意义分析．

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例6 方程│x一2│十│y一3│＝1的有理数解的个数是( )个

(A)o； (B)1； (C)2； (D)3； (E)多于3个．

分析：从绝对值的几何意义分析入手，2，3两点将数轴分为三部分.（图2.10）

4)联想法

由原题的内部结构和外部特征与数学各部分内容建立联系，产生联想．

4.数学习题的教学

下面谈谈数学习题的教学设计．数学习题的设计常用的13种方式： 1）．新课之后单项练习

记忆和遗忘是心理现象中的一对矛盾．根据许多心理学家的研究，人们在记忆的最初阶段伴随着产生的遗忘现象不仅速度快而且数量多．因此当学生在学习新知识之后，为了加强记忆，避免遗忘，需要就本节课所学的新知识或关键部分进行有针对性的强化练习．实践也证明这样的练习，不仅有利于提高记忆效果，使学生正确理解的知识及时留下深刻的印象，还能使错误理解的知识在教师指导下得到及时纠正，达到强化、巩固、加深理解的作用．把所教的新知识从整体中分离出来，围绕某一具体内容进行的单项练习，不仅能使学生的注意力集中到知识的重、难点上，在较少时间内加大练习量，而且反馈快，便于及时纠正错误，保证教学要求落实到每个学生身上，达到当堂巩固，提高练习效率和记忆效果．

2）．习旧引新的练习

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新旧知识是相辅相成的，旧知识是学习新知识的基础，新知识是旧知识的发展和提高．因此，在讲授新知识时，要注意运用正迁移的原理，根据新旧知识的联系点设计习旧引新的练习．

3）．显示思维过程的练习

教学不仅很好的考虑传授知识，而且更重要的是考虑让学生在学习知识时掌握良好的思维方法．因此，教学时必须结合教学内容为学生提供显示思维过程的练习，让他们循序渐进地进行思考，逐步学会思考的方法．

4）．巩固教学重点的练习 学生在刚学习新知识后，对新知识的形成巩固需要在当时有限的时间内来完成．为此，教师必须根据教学重点，选准关键，设计具有针对性的巩固练习．

5）．突破难点的练习

新知识中的难点，是学生理解新知识的?拦路虎?，教师必须选准难点的突破口，为学生在理解、突破难点前设计?阶梯性?练习，在理解突破难点后设计?检验性?练习． 6）．发展性练习

让学生进行局部的专项练习或半独立性的?依样画葫芦?的练习，只是巩固新知识中基本一步，要使学生对新知识的理解达到全面、深刻、稳定、还必须在进行巩固重点的练习后进行发展性练习．

7）．综合性练习

在设计这种练习时，不仅要考虑到运用当时学的知识，而且要考虑到运用这以前学过的知识，把新旧知识有机地结合起来运用．但难度不宜过大，应以多数学生经过努力可以解答为宜．

8）．培养能力的练习

在数学教学中．要培养的能力是多方面的，而且与具体的教学内容有着紧密联系．因此，应根据不同的教学内容设计练习，达到培养不同能力的目的．

9）．伸缩性的练习

同班学生的智力因素与非智力因素都有差异，为使每个学生能够吃得了，吃得饱，达到下有保底，上不封顶的目的，在进行统一要求的练习后，可设计伸缩性的练习供不同程度的学生选用．

10）．关键部分集中练习

集中练习，就是在相对集中的时间里集中练习某一部分或某一方面的知识，帮助学生巩固提高．有些知识既是昨天所学内容的重现，又是今天要学内容的基础．对于这样关键部分知识必须让学生确实学好．然而要使学生牢固掌握知识达到正确熟练运用知识，就应在短时间内反复刺激大脑神经，形成有效信号储存起来．

11）．变式练习

?变式?是指从不同角度，不同方面和不同方式变换事物呈现的形式，以便揭示其本质属性．

从数学几何图形知识部分的检测中可以看到，多数学生识别几何图形和实际应用几何初步知识的能力较弱，其原因之一就是教师在几何初步知识教学中设有充分地应用变式，由于在教学中过多地使用定型标准图形，使几何图形的某些偶然的、非本质的特征一再重复，无意中起了强化作用，使学生误把它当成?本质特征?，而某些本质特征却又不能充分地显示出来，在学生头脑中印象淡薄，甚至被忽略，从而造成有关概念在理解上的错误和应用上的混乱．因此在教学中应有意识地应用变式，以帮助学生理解、掌握和灵活应用几何的概念与原理．如直角三角形的教学，如果只重视标准图形，学生会误认为只有成直角的两条边中的一条边在图形下方的三角形才是直角三角形．这种?标准?的直角三角形的直观图形就成

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