噶米高等数学函数、极限、无穷小、连续性

函数、极限、无穷小、连续性

专题一：求函数表达式

?1,1.（90）设函数f(x)???0,?x22.（92）设函数f(x)??2?x?x2x?1x?1则f?f(x)?= 1

?x2?x则f(?x)=?2x?0?xx?0x?0x?0

x23.（92）设f(x?1)?ln2且f(??x?)?lnx则??(x)dx?x?2lnx?1?c

x?2?2?x 4．（97）设g?x????x?2??15.（01）设f?x?????0?x2，f?x???x?0??xx?0?2?x2则g(f(x))=?x?0?2?xx?0x?0x?0，

x?1 则ff?f?x??= 1 x?1??

专题二：求数列极限

1.（03）设?an?，?bn?，?cn?均为非负数列，且liman?0,limbn?1,limcn??，则必有：

n??n??n?? A an?bn对任意n成立 B bn?cn对任意n成立 C 极限liman?cn不存在 D 极限limbn?cn不存在

n??n??2.（98）设数列xn与yn满足limxn?yn?0则下列断言正确的是：

n??A 若xn发散，则yn必发散 B 若xn无界，则yn必有界 C 若xn有界，则yn必为无穷 D若

1为无穷小，则yn必为无穷小 xn3.（99）对任意给定的???0,1?，总存在正整数N，当n>N时，恒有xn?a?2?，是数列?xn?收敛于a的 充分必要 条件。

114.（93）当x?0，变量2sin是：

xxA 无穷小 B 无穷大

C有界的，但是不是无穷小 D 无界的，但不是无穷大

2????sinsin?sin??2nn???? 5.（98）求lim?n??11??n?1?n?n??2n??6.（96）设x1?10,xn?1?6?xn,(n?1,2)，试证数列?xn?极限存在，并求之。答案：3

??2?7.（94）计算limtann????e4

n???4n?12??2?8.（95）lim?2n??n?n?1n?n?2??n?1?= 2n?n?n?21??2?9.（02）lim?1?cos?1?cos?n??n?nn??1?10．（04）limlnn?1??n???n?2?1?cos2n?n?22??=? ??2??1???n?22?n?2lnxdx 1?=???1?n?11.（99）设f?x?是区间[0,??)上单调递减且非负的连续函数，an??f?k???f(x)dx （n=1，

k?11nn2……），试证：?an?极限存在

12.（02）设0?x1?3，xn?1?xn?3?xn? （n=1，2……） 证明?xn?存在极限并求之。答案：

专题三：求函数的极限 1.（91）lim?x?03 21?e???x??1 （考点e??1?0x?ex1xx???x???）

x2?1x1e?1的极限： 2.（92）当x?1时，函数

x?1A 2 B 0 C ? D 不存在但不为? 3.（93）limxx????x2?100?x= -50 . = 1 .

?4.（97）lim4x2?x?1?x?1x?sinx2x???(有理化或同除以x2??x （x<0）) 5. (06) limx?13?x?1?x2?=

x2?x?261??x2?esinx?=1 ?6.（00）lim?4x?0?x??1?ex????ex?sinx?1?7.（92）lim??=1 2x?0?1?1?x?（直接洛必达或等价无穷小替换后再洛必达n1?x?1~8.（94）limcotx(x?01） x（x?0）

n111?)= sinxx61??23sinx?xcos?x?=3 9.（97）lim??x?0?1?cosx?ln?1?x???2??10.（98）limx?01?x?1?x?21= ?x241?1?111.（99）lim?2??= x?0xxtanx??312.（89）limxcot2x=

x?01 213.（95）lim?x?011?cosx=

x(1?cosx)2??3??1??14.（96）limx?sinln?1???sinln?1???=2

x???x??x???15.（04）limx?0112?cosxx= ?(()?1)6x3316.（91）limx?0x?sinx1= 2xx?e?1?61?1?x217.（92）limx=0

x?0e?cosx18.（93）limxlnx=0 ?x?019.（99）limx?011?tanx?1?sinx= ?2xln(1?x)?x220.（00）lim21.若lim

arctanx?x1?=

x?0ln(1?2x3)6sin6x?xf(x)6?f(x)=0，则= 36 . lim32x?0x?0xx22.(02)设y?y(x)是二阶线性常微分方程y???py??qy?e3x满足初始条件y(0)?y?(0)?0的特解，

ln(1?x2)? 2 则当x?0时，函数极限limx?0y(x)

型不定式极限专题

1.（89）lim?2sinx?cosx?

x?01x答案：e2

?13?xx2) 2.（92）lim(x??6?x答案：e 3.（90）lim(x???32x?ax) x?a答案：e2a

?4.（91）lim(cosx)x ?x?0答案：e??2

215.（93）lim(sin?cos)x

x??xx答案：e2 6.（95）lim(1?3x)x?02sinx

答案：e6

17.（03）lim(cosx)ln(1?x)

x?02答案：e

确定极限中的参数

x2?ax?b)?0，其中a，b是常数，求a，b 1.（90）已知lim(x??x?1?12答案a=1，b=-1

ln(1?x)?(ax?bx2)?2，求a，b 2.（94）设lim2x?0x5答案：b=?，a=1

23. 设limx?0atanx?b(1?cosx)cln(1?2x)?d(1?e?x)222?2，其中a?c?0，则必有（）

A b=4d B b= -4d C a=4c D a= -4c

x?ax4.（90）已知lim()?9，求常数a 答案：a?ln3

x??x?ax?2ax5．（96）已知lim()?8，求常数a= ln2 .

x??x?a

无穷小的比较与阶的确定

1.（92）当x?0时，x-sinx是x2的 A,低阶无穷小 B，高阶无穷小

C,等价无穷小 D，同阶但非等价无穷小

2.（04）把x?0时的无穷小，?=?costdt，???tantdt，???sint3dt排列起来，使排在

00?2xx2x0后面的是前一个的高阶无穷小，则正确的排列次序是 A, ?.?.? B, ?.?.? C, ?.?.? D， ?.?.?

确定无穷小比较中的参数

33.（91）已知当x?0时，(1??x)?1与cosx?1是等价无穷小，则常数?= 答案：?

21234.（96）设当x?0时，ex?(ax2?bx?1)是比x2高阶的无穷小，求a.b 答案：a=5.(97)设x?0时，与，etanx?ex与xn是同阶无穷小，则n为 3 1,b=1 26.（01）设当x?0时，(1?cosx)ln(1?x2)是比xsinxn高阶的无穷小，而xsinxn是比ex?1高阶的无穷小，则正整数n= 2

7.（03）若x?0时，(1??x)?1与xsinx等价无穷小，则?= - 4

8.（05）若x?0时，?(x)?kx2与?(x)?1?xarcsinx?cosx等价无穷小，则k=

12423 4fh()bf?h(2)f(0)?9.（02）设函数f(x)在x=0某领域内有一阶连续导数，且f(0)?0,f?(0)?0，若a在h?0时比h高阶的无穷小，试确定a,b值 答案：a=2,b= - 1

专题四：函数的连续性与间断点

（1）初等函数的连续性与间断点

1、（95） 设f(x)和?(x)在(??,??)上有定义，f(x)为连续函数，且f(x)?0, ?(x)有间断点，则

（ ）

2[?(x)] A、?(f(x))必有间断点 B、必有间断点

?(x) C、f[?(x)]必有间断点 D、f(x)必有间断点

xtan(x?)4?2、（98） 求函数f(x)?(x?1)在区间(0,2?)内的间断点，并判断其类型。

3?7??5?,,4444第二类间断点 答案：可去间断点;

3、（00） 设函数f(x)?f(x)?0x???,???内连续，且，xlim???在则常数 a、b满足：（ ） bxa?e A、a<0,b<0 B、a>0,b>0 C、a?0,b?0 D、a?0,b?0

?sint?4、已知lim??t?xsinx??xsint?sinx?f(x),求f(x)的间断点，并指明其类型。

答案： x=0可去间断点; x?k?(k??1,?2)第二类间断点 5、设f(x)?e1x1?x,则（ ）

?1 A、x=0,x=1是f(x)的第一类间断点 B、x=0,x=1是f(x)的第一类间断点

C、x=0是f(x)的第一类间断点，x=1是f(x)的第二类间断点 D、x=0是f(x)的第二类间断点，x=1是f(x)的第一类间断点 （2）、分段函数的连续性（间断点）

?a?bx2,x?0?1、（89） 设f(x)??sinbx在x=0处连续，则a、b满足的关系（ ） 答案：a=b

,x?0??x?f(x)',x?0?f2、(90.3) 设F(x)??x，其中f(x)在x=0处可导(0)?0,f(0)?0，则x=0是F(x)??f(0),x?0的（ ）

A、连续点； B、第一类间断点；

C、第二类间断点； D、连续点或间断点不能确定

?x2?1?,x?13、（93.3） 设f(x)??x?1，则在点x=1处，函数f(x) ( )

?2,x?1? A、不连续； B、连续，但不可导； C、可导，但导数不连续； D、可导，且导数连续

?12ax?(sin2x?e?1),x?04、（94）设f(x)??x?,x?0?a?2，在

???,???上连续，则a=( ) 答案：

（-2）

??(cosx)x,x?05、（94）已知f(x)??在x=0处连续，则a=( )

??a,x?0?1答案 ： a?e2

?1?etanx6、（02） 设f(x)????arcsinx,x?0在x=0处连续，则a=( )

?2??ae2x,x?0答案：-2

7、（04） 设f(x)?lim(n?1)xn??nx2?1，则f(x)的间断点为x=( )

答案：x=0

??ln(1?ax3?)?x?arcsinxx?08、（03，10分）设f(x)???6x?0 ??eax?x2?ax?1?xx?0??xsin41）、a为何值时，f(x)在x=0处连续

2）、a为何值时，x=0是f(x)的可去间断点 答案：a=1时，f(x)在x=0处连续

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