高中数学知识点总结及公式大全

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高中数学知识点总结

1. 对于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的“确定性、互异性、无序性”。 如：集合A??x|y?lgx?，B??y|y?lgx?，C??(x,y)|y?lgx?，A、B、C 中元素各表示什么？

2. 进行集合的交、并、补运算时，不要忘记集合本身和空集?的特殊情况。 注重借助于数轴和文氏图解集合问题。

空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。 如：集合A?x|x2?2x?3?0，B??x|ax?1? 若B?A，则实数a的值构成的集合为 （答：??1，0，?） 3. 注意下列性质：

（1）集合a1，a2，……，an的所有子集的个数是2n； （2）若A?B?A?B?A，A?B?B； （3）德摩根定律：

????1?3???CU?A?B???CUA???CUB?，CU?A?B???CUA???CUB?

ax?5?0的解集为M，若3?M且5?M，求实数a

x2?a 4. 你会用补集思想解决问题吗？（排除法、间接法） 如：已知关于x的不等式的取值范围。

（∵3?M，∴

a·3?5?032?aa·5?5?025?a5???a??1，???9，25?）

3??∵5?M，∴ 5. 可以判断真假的语句叫做命题，逻辑连接词有“或”(?)，“且”(?)和

“非”(?).

若p?q为真，当且仅当p、q均为真

若p?q为真，当且仅当p、q至少有一个为真 若?p为真，当且仅当p为假

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6. 命题的四种形式及其相互关系是什么？ （互为逆否关系的命题是等价命题。）

原命题与逆否命题同真、同假；逆命题与否命题同真同假。

7. 对映射的概念了解吗？映射f：A→B，是否注意到A中元素的任意性和B中与之对应元素的唯一性，哪几种对应能构成映射？

（一对一，多对一，允许B中有元素无原象。）

8. 函数的三要素是什么？如何比较两个函数是否相同？ （定义域、对应法则、值域）

9. 求函数的定义域有哪些常见类型？

y? 例：函数x?4?x?lg?x?3?2的定义域是

（答：0，2?2，3?3，4） 10. 如何求复合函数的定义域？

如：函数f(x)的定义域是a，b，b??a?0，则函数F(x)?f(x)?f(?x)的定 义域是_____________。 （答：a，?a）

11. 求一个函数的解析式或一个函数的反函数时，注明函数的定义域了吗？ 如：f 令t????????????2x?1?ex?x，求f(x). x?1，则t?0

? ∴x?t?1 ∴f(t)?et2?1?t2?1 ?x2?1?x?0?

∴f(x)?ex2?1 12. 反函数存在的条件是什么？

（一一对应函数）

求反函数的步骤掌握了吗？

（①反解x；②互换x、y；③注明定义域）

??1?x 如：求函数f(x)??2???x?1?x?0?的反函数

?x?0???x?1?x?1?f(x)??） （答：????x?x?0? 13. 反函数的性质有哪些？

①互为反函数的图象关于直线y＝x对称； ②保存了原来函数的单调性、奇函数性；

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③设y?f(x)的定义域为A，值域为C，a?A，b?C，则f(a)=b?f(b)?a ?f?1?f(a)??f?1(b)?a，ff?1(b)?f(a)?b 14. 如何用定义证明函数的单调性？ （取值、作差、判正负） 如何判断复合函数的单调性？

?1??（y?f(u)，u??(x)，则y?f??(x)?（外层）（内层）

当内、外层函数单调性相同时f??(x)?为增函数，否则f??(x)?为减函数。） 如：求y?log1?x?2x的单调区间

2?2? （设u??x?2x，由u?0则0?x?2 且log1u?，u???x?1??1，如图：

222 u O 1 2 x

当x?(0，1]时，u?，又log1u?，∴y?

2 当x?[1，2)时，u?，又log1u?，∴y?

2 ∴……）

15. 如何利用导数判断函数的单调性？

在区间a，b内，若总有f'(x)?0则f(x)为增函数。（在个别点上导数等于

??零，不影响函数的单调性），反之也对，若f'(x)?0呢？

如：已知a?0，函数f(x)?x?ax在1，??上是单调增函数，则a的最大 值是（ ） A. 0

B. 1

23?? C. 2 D. 3

?a??a? （令f'(x)?3x?a?3?x???x???0

33????中国教育开发网

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则x??a或x?3a 3a?1，即a?3 3 由已知f(x)在[1，??)上为增函数，则 ∴a的最大值为3）

16. 函数f(x)具有奇偶性的必要（非充分）条件是什么？ （f(x)定义域关于原点对称）

若f(?x)??f(x)总成立?f(x)为奇函数?函数图象关于原点对称 若f(?x)?f(x)总成立?f(x)为偶函数?函数图象关于y轴对称

注意如下结论：

（1）在公共定义域内：两个奇函数的乘积是偶函数；两个偶函数的乘积是偶函数；一个偶函数与奇函数的乘积是奇函数。

（2）若f(x)是奇函数且定义域中有原点，则f(0)?0。

a·2x?a?2为奇函数，则实数a? 如：若f(x)?x2?1 （∵f(x)为奇函数，x?R，又0?R，∴f(0)?0

a·20?a?2?0，∴a?1） 即02?12x， 又如：f(x)为定义在(?1，1)上的奇函数，当x?(0，1)时，f(x)?x4?1求f(x)在??1，1?上的解析式。

2?x （令x???1，0?，则?x??0，1?，f(?x)??x

4?12?x2x?? 又f(x)为奇函数，∴f(x)???x

4?11?4x?2x??x?4?1 又f(0)?0，∴f(x)??x?2??4x?1 17. 你熟悉周期函数的定义吗？

x?(?1，0)x?0x??0，1?）

（若存在实数T（T?0），在定义域内总有f?x?T??f(x)，则f(x)为周期

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函数，T是一个周期。）

如：若f?x?a???f(x)，则

（答：f(x)是周期函数，T?2a为f(x)的一个周期） 又如：若f(x)图象有两条对称轴x?a，x?b??? 即f(a?x)?f(a?x)，f(b?x)?f(b?x) 则f(x)是周期函数，2a?b为一个周期 如：

18. 你掌握常用的图象变换了吗？ f(x)与f(?x)的图象关于y轴对称 f(x)与?f(x)的图象关于x轴对称 f(x)与?f(?x)的图象关于原点对称 f(x)与f?1(x)的图象关于直线y?x对称 f(x)与f(2a?x)的图象关于直线x?a对称 f(x)与?f(2a?x)的图象关于点(a，0)对称

将y?f(x)图象??????????左移a(a?0)个单位右移a(a?0)个单位y?f(x?a)

y?f(x?a)上移b(b?0)个单位y?f(x?a)?b ???????? ??y?f(x?a)?b下移b(b?0)个单位 注意如下“翻折”变换：

f(x)???f(x)f(x)???f(|x|)

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如：f(x)?log2?x?1?

作出y?log2?x?1?及y?log2x?1的图象

y y=log2x O 1 x 19. 你熟练掌握常用函数的图象和性质了吗？

(k<0) y (k>0) y=b O’(a,b) O x x=a （1）一次函数：y?kx?b?k?0? （2）反比例函数：y?的双曲线。

kk?k?0?推广为y?b??k?0?是中心O'(a，b) xx?a2b?4ac?b2? （3）二次函数y?ax?bx?c?a?0??a?x?图象为抛物线 ???2a?4a2?b4ac?b2?b， 顶点坐标为???，对称轴x??

4a?2a?2a 开口方向：a?0，向上，函数ymin4ac?b2?

4a a?0，向下，ymax4ac?b2?

4a 应用：①“三个二次”（二次函数、二次方程、二次不等式）的关系——二次方程

ax2?bx?c?0，??0时，两根x1、x2为二次函数y?ax2?bx?c的图象与x轴

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的两个交点，也是二次不等式ax2?bx?c?0(?0)解集的端点值。

②求闭区间［m，n］上的最值。

③求区间定（动），对称轴动（定）的最值问题。 ④一元二次方程根的分布问题。

???0??b2 如：二次方程ax?bx?c?0的两根都大于k????k

?2a??f(k)?0 y (a>0) O k x1 x2 x

一根大于k，一根小于k?f(k)?0 （4）指数函数：y?ax?a?0，a?1? ?? （5）对数函数y?logaxa?0，a?1 由图象记性质！ （注意底数的限定！）

y y=ax(a>1) (01) 1 O 1 x (0

（6）“对勾函数”y?x?k?k?0? x 利用它的单调性求最值与利用均值不等式求最值的区别是什么？

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y ?k O k x 20. 你在基本运算上常出现错误吗？ 指数运算：a?1(a?0)，a amn0?p

?1(a?0) pa?nam(a?0)，a?mn?1nam(a?0)

对数运算：logaM·N?logaM?logaNM?0，N?0 loga??M1n?logM?logN，logM?logaaaaM Nnlogax 对数恒等式：a?x

og 对数换底公式l：ab? 21. 如何解抽象函数问题？

（赋值法、结构变换法）

lognncb?log?logmbab alogamc 如：（1）x?R，f(x)满足f(x?y)?f(x)?f(y)，证明f(x)为奇函数。 （先令x?y?0?f(0)?0再令y??x，……）

（2）x?R，f(x)满足f(xy)?f(x)?f(y)，证明f(x)是偶函数。 （先令x?y??t?f?(?t)(?t)??f(t·t) ∴f(?t)?f(?t)?f(t)?f(t) ∴f(?t)?f(t)……）

（3）证明单调性：f(x2)?f?x2?x1??x2?……

22. 掌握求函数值域的常用方法了吗？

（二次函数法（配方法），反函数法，换元法，均值定理法，判别式法，利用函数单调性法，导数法等。）

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如求下列函数的最值： （1）y?2x?3?13?4x （2）y?2x?4 x?32x2 （3）x?3，y?

x?3 （4）y?x?4?9?x （5）y?4x?2?设x?3cos?，???0，???

9，x?(0，1] x11l·R??·R2） 22

R

1弧度 O R 23. 你记得弧度的定义吗？能写出圆心角为α，半径为R的弧长公式和扇形面积公式吗？ （l??·R，S扇?

24. 熟记三角函数的定义，单位圆中三角函数线的定义

??MP，cos??OM，tan??AT siny T B S P α O M A x

如：若?????0，则sin?，cos?，tan?的大小顺序是8

又如：求函数y?1?2cos?????x?的定义域和值域。 ?2? （∵1?2cos?????x?）?1?2sinx?0 ?2?中国教育开发网

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∴sinx?2，如图： 2

∴2k??5???x?2k???k?Z?，0?y?1?2 44 25. 你能迅速画出正弦、余弦、正切函数的图象吗？并由图象写出单调区间、对称点、对称轴吗？

x?1，cosx?1 sin y y?tgx x ?? ? O ? 22

对称点为?k

???，0?，k?Z ?2? y?sinx的增区间为?2k???????，2k????k?Z? 22?中国教育开发网

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减区间为?2k??，2k???k?Z? ?22?? 图象的对称点为k?，0，对称轴为x?k?? y?cosx的增区间为2k?，2k????k?Z? 减区间为2k???，2k??2? 图象的对称点为?k????3??????k?Z? 2?????k?Z?

????，0?，对称轴为x?k??k?Z?

?2?，k??2???k?Z 2?x的增区间为?k?? y?tan?? 26. 正弦型函数y=Asin??x+??的图象和性质要熟记。或y?Acos??x??? （1）振幅|A|，周期T???2? |?|x?x0为对称轴。 若f?x0???A，则

若f?x0??0，则x0，0为对称点，反之也对。 （2）五点作图：令?x??依次为0，（x，y）作图象。

（3）根据图象求解析式。（求A、?、?值）

???3?，?，，2?，求出x与y，依点 22

??(x1)???0? 如图列出??

?(x2)????2? 解条件组求?、?值

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?正切型函数y?Atan??x???，T?? |?| 27. 在三角函数中求一个角时要注意两个方面——先求出某一个三角函数值，再判定角的范围。 如：cos?x? （∵??x?????23?????，x??，，求x值。 ????622??3?7??5??5?13，∴?x??，∴x??，∴x??） 26636412

28. 在解含有正、余弦函数的问题时，你注意（到）运用函数的有界性了吗？ 如：函数y?sinx?sin|x|的值域是 （x?0时，y?2sinx??2，2，x?0时，y?0，∴y??2，2） 29. 熟练掌握三角函数图象变换了吗？

（平移变换、伸缩变换） 平移公式：

??????x'?x?ha?(h，k) （1）点P（x，y）????? ??P'（x'，y'），则?y'?y?k平移至? （2）曲线f(x，y)?0沿向量a?(h，k)平移后的方程为f(x?h，y?k)?0 如：函数y?2sin?2x?图象？

（y?2sin?2x????????1的图象经过怎样的变换才能得到y?sinx的 4???????1???横坐标伸长到原来的2倍??1???????????y?2sin?2?x????1 4???2?4?????1个单位4?2sin?x???1????????y?2sinx?1?上平移???????y?2sinx ?4?左平移个单位12?y?sinx） ??????????纵坐标缩短到原来的倍 30. 熟练掌握同角三角函数关系和诱导公式了吗？

如：1?sin??cos??sec??tan??tan?·cot??cos?·sec??tan2222? 4??cos0?……称为1的代换。 2? “k·??”化为?的三角函数——“奇变，偶不变，符号看象限”，

2?sin“奇”、“偶”指k取奇、偶数。

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如：cos9??7???tan????sin?21????6?4

又如：函数y? A. 正值或负值

sin??tan?，则y的值为cos??cot?

B. 负值

C. 非负值

D. 正值

sin?2sin??cos??1?cos? （y???0，∵??0）

cos?cos2??sin??1?cos??sin?sin?? 31. 熟练掌握两角和、差、倍、降幂公式及其逆向应用了吗？ 理解公式之间的联系：

?cos??cos?sin??????sin2??2sin?cos? sin??????sin令???co?s?????cos?cos??sin?sin??????cos2??cos2??sin2? 令???tan??????tan??tan?22 ?2cos??1?1?2sin?? 1?tan?·tan?1?cos2?2 1?cos2?2sin??2co2s??tan2??

2tan? 21?tan?

asin??bcos??a2?b2sin?????，tan????? 4???? 3?b a??cos?? sin?2sin?????? sin?3cos??2sin???? 应用以上公式对三角函数式化简。（化简要求：项数最少、函数种类最少，分母中不含三角函数，能求值，尽可能求值。） 具体方法：

（1）角的变换：如?????????，???????????????????…… ??22??2 （2）名的变换：化弦或化切

（3）次数的变换：升、降幂公式

（4）形的变换：统一函数形式，注意运用代数运算。 如：已知sin?cos?2?1，tan???????，求tan???2??的值。

1?cos2?3中国教育开发网

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sin?cos?cos?1 ??1，∴tan??2sin?22sin2?2 又tan??????

3 （由已知得：21?tan?????tan??32?1） ∴tan??????????2???tan????1?tan?1?2·18?????·tan32 32. 正、余弦定理的各种表达形式你还记得吗？如何实现边、角转化，而解斜三角形？

b2?c2?a2 余弦定理：a?b?c?2bccosA?cosA?

2bc222 （应用：已知两边一夹角求第三边；已知三边求角。）

?a?2RsinAabc????2R??b?2RsinB 正弦定理：sinAsinBsinC?c?2RsinC? S??1a·bsinC 2 ∵A?B?C??，∴A?B???C ∴sinC，sin?A?B??sin 如?ABC中，2sin （1）求角C；

2A?BC?cos 22A?B?cos2C?1 2c2，求cos2A?cos2B的值。 （2）若a?b?2222 （（1）由已知式得：1?cos?A?B??2cosC?1?1

又A?B???C，∴2cosC?cosC?1?0

21或cosC??1（舍） 2? 又0?C??，∴C?

31222 （2）由正弦定理及a?b?c得：

232222? 2sinA?2sinB?sinC?sin? 343 1?cos2A?1?cos2B?

4 ∴cosC?中国教育开发网

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∴cos2A?cos2B??3） 4 33. 用反三角函数表示角时要注意角的范围。

arcsixn??? 反正弦：????，?，x???1，1? 2??2 反余弦：arccosx?0，?，x??1，1 反正切：arctanx???????????，?，?x?R? ?22? 34. 不等式的性质有哪些？

c?0?ac?bc （1）a?b，

c?0?ac?bc （2）a?b，c?d?a?c?b?d （3）a?b?0，c?d?0?ac?bd （4）a?b?0?1111?，a?b?0?? ababnnn （5）a?b?0?a?b，na?b

（6）|x|?a?a?0???a?x?a，|x|?a?x??a或x?a 如：若211??0，则下列结论不正确的是（ab2）

A.a?bB.ab?b2

C.|a|?|b|?|a?b| 答案：C

35. 利用均值不等式：

D.ab??2 ba?a?b? a2?b2?2aba，b?R?；a?b?2ab；ab???求最值时，你是否注

?2???2意到“a，b?R?”且“等号成立”时的条件，积(ab)或和(a?b)其中之一为定

值？（一正、二定、三相等） 注意如下结论：

a2?b2a?b2ab??ab?a，b?R? 22a?b?? 当且仅当a?b时等号成立。

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a2?b2?c2?ab?bc?caa，b?R 当且仅当a?b?c时取等号。 a?b?0，m?0，n?0，则

??bb?ma?na??1?? aa?mb?nb4 如：若x?0，2?3x?的最大值为x

（设y?2??3x?

??4???2?212?2?43 x? 当且仅当3x?423，又x?0，∴x?时，ymax?2?43） x3

又如：x?2y?1，则2x?4y的最小值为 （∵2x?22y?22x?2y?221，∴最小值为22） 36. 不等式证明的基本方法都掌握了吗？

（比较法、分析法、综合法、数学归纳法等） 并注意简单放缩法的应用。 如：证明1? （1?111??…??2 22223n111111??……??1???……?

1?22?3n?1n2232n2???1?1?

11111???……??223n?1n?2?1?2）n

37.解分式不等式f(x)?a?a?0?的一般步骤是什么？ g(x) （移项通分，分子分母因式分解，x的系数变为1，穿轴法解得结果。） 38. 用“穿轴法”解高次不等式——“奇穿，偶切”，从最大根的右上方开始

如：?x?1??x?1??x?2??0

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39. 解含有参数的不等式要注意对字母参数的讨论 如：对数或指数的底分a?1或0?a?1讨论

40. 对含有两个绝对值的不等式如何去解？

（找零点，分段讨论，去掉绝对值符号，最后取各段的并集。） 例如：解不等式|x?3|?x?1?1 （解集为?x|x???1??） 2? 41.会用不等式|a|?|b|?|a?b|?|a|?|b|证明较简单的不等问题 如：设f(x)?x?x?13，实数a满足|x?a|?1 求证：f(x)?f(a)?2(|a|?1)

证明：|f(x)?f(a)|?|(x?x?13)?(a?a?13)|

222?|(x?a)(x?a?1)|(?|x?a|?1) ?|x?a||x?a?1|?|x?a?1|

?|x|?|a|?1 又|x|?|a|?|x?a|?1，∴|x|?|a|?1 ∴f(x)?f(a)?2|a|?2?2?|a|?1?

（按不等号方向放缩）

42. 不等式恒成立问题，常用的处理方式是什么？（可转化为最值问题，或“△”问题） 如：a?f(x)恒成立?a?f(x)的最小值 a?f(x)恒成立?a?f(x)的最大值 a?f(x)能成立?a?f(x)的最小值

例如：对于一切实数x，若x?3?x?2?a恒成立，则a的取值范围是 （设u?x?3?x?2，它表示数轴上到两定点?2和3距离之和 umin?3???2??5，∴5?a，即a?5

或者：x?3?x?2??x?3???x?2??5，∴a?5） 43. 等差数列的定义与性质

an?1?an?d(d为常数，)an?a1??n?1?d 定义：中国教育开发网

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等差中项：x，A，y成等差数列?2A?x?y

前n项和Sna1?an?n???na21?n?n?1?2d

性质：?an?是等差数列

（1）若m?n?p?q，则am?an?ap?aq；

（2）数列?a2n?1?，?a2n?，?kan?b?仍为等差数列； Sn，S2n?Sn，S3n?S2n……仍为等差数列；

（3）若三个数成等差数列，可设为a?d，a，a?d； （4）若an，bn是等差数列Sn，Tn为前n项和，则amS2m?1?； bmT2m?12 （5）?an?为等差数列?Sn?an?bn（a，b为常数，是关于n的常数项为

0的二次函数）

2 Sn的最值可求二次函数Sn?an?bn的最值；或者求出?an?中的正、负分界

项，即：

当a1?0，d?0，解不等式组??an?0可得Sn达到最大值时的n值。

a?0?n?1?an?0 当a1?0，d?0，由?可得Sn达到最小值时的n值。

a?0?n?1 如：等差数列?an?，Sn?18，an?an?1?an?2?3，S3?1，则n? （由an?an?1?an?2?3?3an?1?3，∴an?1?1 又S3?

?a1?a3?·3?3a22?1，∴a2?1 3?1???1?na1?an?n?a2?an?1?·n?3?????18 ∴Sn?222 ?n?27）

44. 等比数列的定义与性质

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定义：an?1?q（q为常数，q?0），an?a1qn?1 an 等比中项：x、G、y成等比数列?G2?xy，或G??xy

?na1(q?1)? 前n项和：Sn??a11?qn（要注意!）

(q?1)?1?q??? 性质：?an?是等比数列

（1）若m?n?p?q，则am·an?ap·aq （2）Sn，S2n?Sn，S3n?S2n……仍为等比数列 45.由Sn求an时应注意什么？

（n?1时，a1?S1，n?2时，an?Sn?Sn?1） 46. 你熟悉求数列通项公式的常用方法吗？

例如：（1）求差（商）法

111a1?2a2?……?nan?2n?52221 解：n?1时，a1?2?1?5，∴a1?14

2111 n?2时，a1?2a2?……?n?1an?1?2n?1?52221 ?1???2?得：nan?2

2 如：?an?满足 ∴an?2n?1?1?

?2?

?14(n?1) ∴an??n?1

2(n?2)?［练习］

数列?an?满足Sn?Sn?1?5an?1，a1?4，求an 3Sn?1?4 Sn （注意到an?1?Sn?1?Sn代入得：n 又S1?4，∴?Sn?是等比数列，Sn?4

n?2时，an?Sn?Sn?1?……?3·4n?1

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（2）叠乘法

例如：数列?an?中，a1?3，an?1n?，求an ann?1 解：

a2aaa12n?11·3……n?·……，∴n? a1a2an?123na1n 又a1?3，∴an?3 n （3）等差型递推公式

由an?an?1?f(n)，a1?a0，求an，用迭加法

n?2时，a2?a1?f(2)??a3?a2?f(3)? ?两边相加，得：

…………?an?an?1?f(n)?? an?a1?f(2)?f(3)?……?f(n) ∴an?a0?f(2)?f(3)?……?f(n) ［练习］

n?1 数列?an?，a1?1，an?3?an?1?n?2?，求an

（an?1n3?1） 2?? （4）等比型递推公式

an?can?1?dc、d为常数，c?0，c?1，d?0

??an设?x?c?an?1?x? 可转化为等比数列， ?an?can?1??c?1?x 令(c?1)x?d，∴x? ∴?an?d c?1??d?d是首项为a?，c为公比的等比数列 ?1c?1?c?1 ∴an?dd??n?1??a1??·c c?1?c?1???d?n?1dc? ??c?1c?1 ∴an??a1?中国教育开发网

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［练习］

数列?an?满足a1?9，3an?1?an?4，求an

?4? （an?8????3? （5）倒数法

n?1?1）

例如：a1?1，an?1?2an，求an

an?2 由已知得：1an?1?an?211?? 2an2an ∴1an?1?11? an2 ???1?11 为等差数列，?1，公差为?a12?an?111?1??n?1?·??n?1? an22 ? ∴an?2 n?1 47. 你熟悉求数列前n项和的常用方法吗？

例如：（1）裂项法：把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数的项。 如：?an?是公差为d的等差数列，求1 ?k?1akak?1n 解：由n111?11???????d?0?

ak·ak?1ak?ak?d?d?akak?1?n11?11????? ∴??

aadaa?k?1kk?1k?1kk?1?

?11??11??11?1????????????……?????d??a1a2??a2a3??anan?1??1?11?????d?a1an?1?

［练习］ 求和：1?111??……? 1?21?2?31?2?3?……?n中国教育开发网

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（an?……?……，Sn?2? （2）错位相减法：

若?an?为等差数列，?bn?为等比数列，求数列?anbn?（差比数列）前n项

1） n?1和，可由Sn?qSn求Sn，其中q为?bn?的公比。

如：Sn?1?2x?3x?4x?……?nx23n?1?1?

?2?

234n?1?nxn x·Sn?x?2x?3x?4x?……??n?1?x2n?1?nxn ?1???2?：?1?x?Sn?1?x?x?……?x x?1时，Sn1?x?nx???nn?1?x?21?x

x?1时，Sn?1?2?3?……?n?n?n?1?2

（3）倒序相加法：把数列的各项顺序倒写，再与原来顺序的数列相加。

Sn?a1?a2?……?an?1?an???相加

Sn?an?an?1?……?a2?a1?? 2Sn??a1?an???a2?an?1??……??a1?an?…… ［练习］

x2?1??1??1?，则f(1)?f(2)?f?f(3)?f?f(4)?f 已知f(x)?????????2??3??4?1?x2

x?1?f(x)?f???? （由?x?1?x22x21???1 2221?x1?x?1?1????x??1????x?2 ∴原式?f(1)??f(2)?f?????f(3)?f?????f(4)?f???

?????????1???2???1???3???1??4? ?11?1?1?1?3） 22 48. 你知道储蓄、贷款问题吗？

△零存整取储蓄（单利）本利和计算模型：

若每期存入本金p元，每期利率为r，n期后，本利和为： Sn?p?1?r??p?1?2r??……?p?1?nr??p?n???n?n?1??r?……等差问题 2?中国教育开发网

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△若按复利，如贷款问题——按揭贷款的每期还款计算模型（按揭贷款——分期等额归还本息的借款种类）

若贷款（向银行借款）p元，采用分期等额还款方式，从借款日算起，一期（如一年）后为第一次还款日，如此下去，第n次还清。如果每期利率为r（按复利），那么每期应还x元，满足 p(1?r)n?x?1?r?n?1?x?1?r?n?2?……?x?1?r??x

n?1??1?r?n?1?r??1? ?x? ??x1?1?rr?????? ∴x?pr?1?r?n?1?r?n?1

p——贷款数，r——利率，n——还款期数

49. 解排列、组合问题的依据是：分类相加，分步相乘，有序排列，无序组合。 （1）分类计数原理：N?m1?m2?……?mn （mi为各类办法中的方法数） 分步计数原理：N?m1·m2……mn （mi为各步骤中的方法数）

（2）排列：从n个不同元素中，任取m（m≤n）个元素，按照一定的顺序排成一

列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列，所有排列的个数记为Amn.

An?n?n?1??n?2?……?n?m?1??mn!?m?n?

n?m!?? 规定：0!?1

（3）组合：从n个不同元素中任取m（m≤n）个元素并组成一组，叫做从n个不

同元素中取出m个元素的一个组合，所有组合个数记为Cmn.

n?n?1?……?n?m?1?Amn!?? C?n mm!m!?n?m?!Ammn 规定：Cn?1 （4）组合数性质： Cn?Cnmn?mm?101nn，Cm?Cmn?Cnn?1，Cn?Cn?……?Cn?2

0 50. 解排列与组合问题的规律是：

相邻问题捆绑法；相间隔问题插空法；定位问题优先法；多元问题分类法；至多至少问题间接法；相

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同元素分组可采用隔板法，数量不大时可以逐一排出结果。 如：学号为1，2，3，4的四名学生的考试成绩

xi?89，90，91，92，93，(i?1，2，3，4)且满足x1?x2?x3?x4，

则这四位同学考试成绩的所有可能情况是（ ） A. 24 B. 15 解析：可分成两类：

C. 12

D. 10

?? （1）中间两个分数不相等，

有C5?5（种）

4

（2）中间两个分数相等 x1?x2?x3?x4

相同两数分别取90，91，92，对应的排列可以数出来，分别有3，4，3种，∴有10种。 ∴共有5＋10＝15（种）情况 51. 二项式定理

(a?b)?Cna?Cnan0n1n?1n?22n?rrnb?C2b?…?Crb?…?Cnnananb

rn?r 二项展开式的通项公式：Tr?1?Cnarbr(r?0，1……n)

Cn为二项式系数（区别于该项的系数） 性质：

n?r （1）对称性：Cr?Cr?0，1，2，……，n nn?? （2）系数和：Cn?Cn?…?Cn?2 Cn?Cn?Cn?…?Cn?Cn?Cn?…?2135024n?101nn

（3）最值：n为偶数时，n＋1为奇数，中间一项的二项式系数最大且为第

?n?2；n为奇数时，(n?1)为偶数，中间两项的二项式 ??1?项，二项式系数为Cn?2?n?1n?1系数最大即第项及第?1项，其二项式系数为Cn2?Cn2

22 如：在二项式?x?1?的展开式中，系数最小的项系数为表示）

（∵n＝11

11n?1n?1n（用数字

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∴共有12项，中间两项系数的绝对值最大，且为第 由C11x6r11?r12?6或第7项 2(?1)r，∴取r?5即第6项系数为负值为最小：

5 ?C11??C11??426 又如：?1?2x?2004?a0?a1x?a2x2?……?a2004x2004?x?R?，则

（用数字作答）

?a0?a1???a0?a2???a0?a3??……??a0?a2004?? （令x?0，得：a0?1

令x?1，得：a0?a2?……?a2004?1

∴原式?2003a0?a0?a1?……?a2004?2003?1?1?2004） 52. 你对随机事件之间的关系熟悉吗？

（1）必然事件?，P??)?1，不可能事件?，P(?)?0

（2）包含关系：A?B，“A发生必导致B发生”称B包含A。

A B ??

（3）事件的和（并）：A?B或A?B“A与B至少有一个发生”叫做A与B 的和（并）。

（4）事件的积（交）：A·B或A?B“A与B同时发生”叫做A与B的积。

（5）互斥事件（互不相容事件）：“A与B不能同时发生”叫做A、B互斥。 A·B??

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（6）对立事件（互逆事件）：

“A不发生”叫做A发生的对立（逆）事件，A A?A??，A?A??

（7）独立事件：A发生与否对B发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件。 A与B独立，A与B，A与B，A与B也相互独立。

53. 对某一事件概率的求法：

分清所求的是：（1）等可能事件的概率（常采用排列组合的方法，即 P(A)?A包含的等可能结果m?

一次试验的等可能结果的总数nA、B互斥，则P?A?B??P(A)?P(B) （2）若 （3）若A、B相互独立，则PA·B?P?A?·P?B? （4）P(A)?1?P(A)

（5）如果在一次试验中A发生的概率是p，那么在n次独立重复试验中A恰好发生

kk次的概率：Pn(k)?Ckp?1?p?nn?k??

如：设10件产品中有4件次品，6件正品，求下列事件的概率。 （1）从中任取2件都是次品；

?C22?4?? ?P1?2C1015?? （2）从中任取5件恰有2件次品；

3?C210?4C6?? ?P2?521?C10? （3）从中有放回地任取3件至少有2件次品；

解析：有放回地抽取3次（每次抽1件），∴n＝103

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而至少有2件次品为“恰有2次品”和“三件都是次品” ∴m?C3·46?4

23C2·4·6?444? ∴P3?3 3125102213 （4）从中依次取5件恰有2件次品。

解析：∵一件一件抽取（有顺序） ∴n?A10，m?C4A5A6

23C2104A5A6 ∴P4? ?521A105223 分清（1）、（2）是组合问题，（3）是可重复排列问题，（4）是无重复排列问题。

54. 抽样方法主要有：简单随机抽样（抽签法、随机数表法）常常用于总体个数较少时，它的特征是从总体中逐个抽取；系统抽样，常用于总体个数较多时，它的主要特征是均衡成若干部分，每部分只取一个；分层抽样，主要特征是分层按比例抽样，主要用于总体中有明显差异，它们的共同特征是每个个体被抽到的概率相等，体现了抽样的客观性和平等性。

55. 对总体分布的估计——用样本的频率作为总体的概率，用样本的期望（平均值）和方差去估计总体的期望和方差。

要熟悉样本频率直方图的作法： （1）算数据极差?xmax?xmin?； （2）决定组距和组数； （3）决定分点； （4）列频率分布表； （5）画频率直方图。

其中，频率?小长方形的面积?组距× 样本平均值：x?频率 组距1x1?x2?……?xn n12 样本方差：S??x1?x?2??x2?x?2?……??xn?x?2

n???? 如：从10名女生与5名男生中选6名学生参加比赛，如果按性别分层随机抽样，则组成此参赛队的概率为____________。

42C10C5 （） 6C15 56. 你对向量的有关概念清楚吗？

（1）向量——既有大小又有方向的量。

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（2）向量的模——有向线段的长度，|a|

?? （3）单位向量|a0|?1，a0?????a|a| （4）零向量0，|0|?0

?

?长度相等?? （5）相等的向量??a?b

方向相同? 在此规定下向量可以在平面（或空间）平行移动而不改变。

（6）并线向量（平行向量）——方向相同或相反的向量。 规定零向量与任意向量平行。

b∥a(b?0)?存在唯一实数?，使b??a （7）向量的加、减法如图：

??????

??? OA?OB?OC ??? OA?OB?BA

（8）平面向量基本定理（向量的分解定理）

e1，e2是平面内的两个不共线向量，a为该平面任一向量，则存在唯一

???实数对?1、?2，使得a??1e1??2e2，e1、e2叫做表示这一平面内所有向量

的一组基底。

（9）向量的坐标表示

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i，j是一对互相垂直的单位向量，则有且只有一对实数x，y，使得

???a?xi?yj，称(x，y)为向量a的坐标，记作：a??x，y?，即为向量的坐标

?????表示。

设a?x1，y1，b?x2，y2

则a?b?x1，y1?y1，y2?x1?y1，x2?y2 ?a??x1，y1??x1，?y1 若Ax1，y1，Bx2，y2

??????????????????????? 则AB??x2?x1，y2?y1? ? |AB|???x2?x1?2??y2?y1?2，A、B两点间距离公式

????? 57. 平面向量的数量积

（1）a·b?|a|·|b|cos?叫做向量a与b的数量积（或内积）。 ?为向量a与b的夹角，??0，?

B ????? b O ? 数量积的几何意义：

?a D A

????? a·b等于|a|与b在a的方向上的射影|b|cos?的乘积。 （2）数量积的运算法则 ①a·b?b·a

②(a?b)c?a·c?b·c

???????????中国教育开发网

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③a·b?x1，y1·x2，y2?x1x2?y1y2

注意：数量积不满足结合律(a·b)·c?a·(b·c) （3）重要性质：设a?x1，y1，b?x2，y2 ①a⊥b?a·b?0?x1·x2?y1·y2?0 ②a∥b?a·b?|a|·|b|或a·b??|a|·|b| ?a??b（b?0，?惟一确定） ?x1y2?x2y1?0

③a?|a|?x?y，|a·b|?|a|·|b|

??2?22121??????????????????????????????????????? ④cos??［练习］

a·b??|a|·|b|??x1x2?y1y2x?y·x?y21212222

?????? （1）已知正方形ABCD，边长为1，AB?a，BC?b，AC?c，则 |a?b?c|? 答案：22

（2）若向量a?x，1，b?4，x，当x? 答案：2

（3）已知a、b均为单位向量，它们的夹角为60，那么|a?3b|? 答案：13 58. 线段的定比分点

设P1x1，y1，P2x2，y2，分点Px，y，设P1、P2是直线l上两点，P点在

??o??????

?????时a与b共线且方向相同

??

????????l上且不同于P1、P2，若存在一实数?，使P1P??PP2，则?叫做P分有向线段 ?P1P2所成的比（??0，P在线段P1P2内，??0，P在P1P2外），且 x1??x2x1?x2??x?x?????1??2，P为P1P2中点时， ? ?y??yy?y22?y?1?y?1??1??2??中国教育开发网

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如：?ABC，Ax1，y1，Bx2，y2，Cx3，y3 则?ABC重心G的坐标是???????y?y2?y3??x1?x2?x3，1?

??33 ※. 你能分清三角形的重心、垂心、外心、内心及其性质吗？

59. 立体几何中平行、垂直关系证明的思路清楚吗？ 平行垂直的证明主要利用线面关系的转化：

线∥线???线∥面???面∥面 ????线⊥线???线⊥面???面⊥面????

判定性质线∥线???线⊥面???面∥面 线面平行的判定：

a∥b，b?面?，a???a∥面?

a b ?? 线面平行的性质：

?∥面?，??面?，????b?a∥b 三垂线定理（及逆定理）：

PA⊥面?，AO为PO在?内射影，a?面?，则 a⊥OA?a⊥PO；a⊥PO?a⊥AO

线面垂直：

P ??O a

a⊥b，a⊥c，b，c??，b?c?O?a⊥?

a O α b c

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面面垂直：

a⊥面?，a?面???⊥?

面?⊥面?，????l，a??，a⊥l?a⊥?

α a l β

a⊥面?，b⊥面??a∥b 面?⊥a，面?⊥a??∥?

a b ??

60. 三类角的定义及求法

（1）异面直线所成的角θ，0°＜θ≤90°

（2）直线与平面所成的角θ，0°≤θ≤90° ?＝0时，b∥?或b??

o

（3）二面角：二面角??l??的平面角?，0???180

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（三垂线定理法：A∈α作或证AB⊥β于B，作BO⊥棱于O，连AO，则AO⊥棱l，∴∠AOB为所求。）

三类角的求法：

①找出或作出有关的角。

②证明其符合定义，并指出所求作的角。

③计算大小（解直角三角形，或用余弦定理）。 ［练习］

（1）如图，OA为α的斜线OB为其在α内射影，OC为α内过O点任一直线。 证明：cos??cos?·cos?

A θ O β B ????????????????????????C? D α

（?为线面成角，∠AOC=?，∠BOC=?）

（2）如图，正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中对角线BD1＝8，BD1与侧面B1BCC1所成的为30°。 ①求BD1和底面ABCD所成的角； ②求异面直线BD1和AD所成的角； ③求二面角C1—BD1—B1的大小。

D1 C1 A1 B1 H G D C A B

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（①arcsin；②60；③arcsin）

（3）如图ABCD为菱形，∠DAB＝60°，PD⊥面ABCD，且PD＝AD，求面PAB与面PCD所成的锐二面角的大小。

P F D C A E B 34o63

（∵AB∥DC，P为面PAB与面PCD的公共点，作PF∥AB，则PF为面PCD与面PAB的交线……） 61. 空间有几种距离？如何求距离？

点与点，点与线，点与面，线与线，线与面，面与面间距离。

将空间距离转化为两点的距离，构造三角形，解三角形求线段的长（如：三垂线定理法，或者用等积转化法）。

如：正方形ABCD—A1B1C1D1中，棱长为a，则： （1）点C到面AB1C1的距离为___________； （2）点B到面ACB1的距离为____________；

（3）直线A1D1到面AB1C1的距离为____________； （4）面AB1C与面A1DC1的距离为____________； （5）点B到直线A1C1的距离为_____________。

D C A B D1 C1 A1 B1

62. 你是否准确理解正棱柱、正棱锥的定义并掌握它们的性质？ 正棱柱——底面为正多边形的直棱柱

正棱锥——底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面的中心。

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正棱锥的计算集中在四个直角三角形中： Rt?SOB，Rt?SOE，Rt?BOE和Rt?SBE 它们各包含哪些元素？ S正棱锥侧? V锥?1C·h'（C——底面周长，h'为斜高） 21底面积×高 3 63. 球有哪些性质？

（1）球心和截面圆心的连线垂直于截面r?R2?d2

（2）球面上两点的距离是经过这两点的大圆的劣弧长。为此，要找球心角！ （3）如图，θ为纬度角，它是线面成角；α为经度角，它是面面成角。

（4）S球?4?R，V球?24?R3 3 （5）球内接长方体的对角线是球的直径。正四面体的外接球半径R与内切球半径r之比为R：r＝3：1。

如：一正四面体的棱长均为2，四个顶点都在同一球面上，则此球的表面 积为（ ） A.3?B.4?C.33?D.6?

答案：A

64. 熟记下列公式了吗？

（1）l直线的倾斜角??0，?，k?tan????y2?y1??????，x1?x2?

?x2?x1?2? P1x1，y1，P2x2，y2是l上两点，直线l的方向向量a?1，k （2）直线方程：

点斜式：y?y0?k?x?x0?（k存在） 斜截式：y?kx?b 截距式：??????xy??1 ab 一般式：Ax?By?C?0（A、B不同时为零）

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（3）点Px0，y0到直线l：Ax?By?C?0的距离d???Ax0?By0?CA?B22

tan?? （4）l1到l2的到角公式：k2?k1

1?k1k2 l1与l2的夹角公式：tan??k2?k1

1?k1k2 65. 如何判断两直线平行、垂直？

A1B2?A2B1???l1∥l2

A1C2?A2C1? k1?k2?l1∥l2（反之不一定成立） A1A2?B1B2?0?l1⊥l2 k1·k2??1?l1⊥l2

66. 怎样判断直线l与圆C的位置关系？ 圆心到直线的距离与圆的半径比较。

直线与圆相交时，注意利用圆的“垂径定理”。 67. 怎样判断直线与圆锥曲线的位置？

联立方程组?关于x（或y）的一元二次方程?“?”??0?相交；??0?相切；??0?相离

68. 分清圆锥曲线的定义

?椭圆?PF1?PF2?2a，2a?2c?F1F2?? 第一定义?双曲线?PF1?PF2?2a，2a?2c?F1F2

???抛物线?PF?PK 第二定义：e?PFPK?c a 0?e?1?椭圆；e?1?双曲线；e?1?抛物线

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y

b O F1 F2 a x a2x? c

x2y2 2?2?1?a?b?0?

ab a2?b2?c2

??

x2y2 2?2?1?a?0，b?0?

ab c2?a2?b2

?? e>1 e =1 P 0

x2y2x2y2 69.与双曲线2?2?1有相同焦点的双曲线系为2?2?????0?

abab 70. 在圆锥曲线与直线联立求解时，消元后得到的方程，要注意其二次项系数是否为零？△≥0的限制。

（求交点，弦长，中点，斜率，对称存在性问题都在△≥0下进行。） 弦长公式P1P2??1?k???x21?x2??4x1x2

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?1?2??1?2??y1?y2??4y1y2 ?k??? 71. 会用定义求圆锥曲线的焦半径吗？

如：

y P(x0,y0) K F1 O F2 x l

x2y2 2?2?1

ab?a2? ?e，PF2?e?x0???ex0?a

PKc?? PF1?ex0?a

y A P2 O F x P1 B 2 y?2px?p?0?

PF2

通径是抛物线的所有焦点弦中最短者；以焦点弦为直径的圆与准线相切。 72. 有关中点弦问题可考虑用“代点法”。

如：椭圆mx?ny?1与直线y?1?x交于M、N两点，原点与MN中点连

22线的斜率为2m，则的值为2n

答案：

m2? n2 73. 如何求解“对称”问题？

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（1）证明曲线C：F（x，y）＝0关于点M（a，b）成中心对称，设A（x，y）为曲线C上任意一点，设A'（x'，y'）为A关于点M的对称点。 （由a?x?x'y?y'，b??x'?2a?x，y'?2b?y） 22 只要证明A'2a?x，2b?y也在曲线C上，即f(x')?y' （2）点A、A'关于直线l对称?????AA'⊥l?AA'中点在l上

???kAA'·kl??1?AA'中点坐标满足l方程22

?x?rcos?74.圆x?y?r的参数方程为?（?为参数）

y?rsin??2?x?acos?x2y2 椭圆2?2?1的参数方程为?（?为参数）

ab?y?bsin? 75. 求轨迹方程的常用方法有哪些？注意讨论范围。

（直接法、定义法、转移法、参数法）

76. 对线性规划问题：作出可行域，作出以目标函数为截距的直线，在可行域内平移直线，求出目标函数的最值。

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高中数学常用公式及常用结论

1. 元素与集合的关系

x?A?x?CUA,x?CUA?x?A. 2.德摩根公式

CU(AB)?CUACUB;CU(AB)?CUACUB.

3.包含关系

AB?A?AB?B?A?B?CUB?CUA ?ACUB???CUAB?R

4.容斥原理

card(AB)?cardA?cardB?card(AB)

card(ABC)?cardA?cardB?cardC?card(AB)

?card(AB)?card(BC)?card(CA)?card(ABC).

nnn 5．集合{a1,a2,,an}的子集个数共有2 个；真子集有2–1个；非空子集有2 –1

个；非空的真子集有2n–2个.

6.二次函数的解析式的三种形式

(1)一般式f(x)?ax?bx?c(a?0); (2)顶点式f(x)?a(x?h)?k(a?0); (3)零点式f(x)?a(x?x1)(x?x2)(a?0). 7.解连不等式N?f(x)?M常有以下转化形式

22N?f(x)?M?[f(x)?M][f(x)?N]?0

f(x)?NM?NM?N?0 |??|f(x)??M?f(x)2211?. ?f(x)?NM?N8.方程f(x)?0在(k1,k2)上有且只有一个实根,与f(k1)f(k2)?0不等价,前者是后

2者的一个必要而不是充分条件.特别地, 方程ax?bx?c?0(a?0)有且只有一个实根在

k?k2b(k1,k2)内,等价于f(k1)f(k2)?0,或f(k1)?0且k1???1,或f(k2)?0且

2a2k1?k2b???k2. 22a9.闭区间上的二次函数的最值

二次函数f(x)?ax?bx?c(a?0)在闭区间?p,q?上的最值只能在x??2b处及区2a ?；

间的两端点处取得，具体如下：

(1)当a>0时，若x??bb??p,q?，()nm?f(?,)()fx则fxi2a2axmaxma?(f,)p()f?qx??b??p,q?，f(x)max?max?f(p),f(q)?，f(x)min?min?f(p),f(q)?. 2a中国教育开发网

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(2)当a<0时，若x??b??p,q?，则f(xm)i?n2am?infp()fq(若)?,，

x??b??p,q?，则f(x)max?max?f(p),f(q)?，f(x)min?min?f(p),f(q)?. 2a10.一元二次方程的实根分布

依据：若f(m)f(n)?0，则方程f(x)?0在区间(m,n)内至少有一个实根 . 设f(x)?x2?px?q，则

?p2?4q?0?（1）方程f(x)?0在区间(m,??)内有根的充要条件为f(m)?0或?p；

???m?2?f(m)?0?f(n)?0??（2）方程f(x)?0在区间(m,n)内有根的充要条件为f(m)f(n)?0或?p2?4q?0??m??p?n??2?f(m)?0?f(n)?0或?或?；

af(n)?0af(m)?0???p2?4q?0?（3）方程f(x)?0在区间(??,n)内有根的充要条件为f(m)?0或?p .

???m?211.定区间上含参数的二次不等式恒成立的条件依据

(1)在给定区间(??,??)的子区间L（形如??,??，???,??，??,???不同）上含参数的二次不等式f(x,t)?0(t为参数)恒成立的充要条件是f(x,t)min?0(x?L).

(2)在给定区间(??,??)的子区间上含参数的二次不等式f(x,t)?0(t为参数)恒成立的充要条件是f(x,t)man?0(x?L).

?a?0?a?0?42(3)f(x)?ax?bx?c?0恒成立的充要条件是?b?0或?2.

?c?0?b?4ac?0?12.真值表 ｐ ｑ 非ｐ ｐ或ｑ ｐ且ｑ 真 真 假 真 真 真 假 假 真 假 假 真 真 真 假 假 假 真 假 假 13.常见结论的否定形式 原结论 反设词 原结论 是 不是 至少有一个 都是 不都是 至多有一个 大于 不大于 至少有n个 小于 不小于 至多有n个 对所有x， 存在某x， 成立 不成立 p或q 对任何x， 存在某x， 反设词 一个也没有 至少有两个 至多有（n?1）个 至少有（n?1）个 ?p且?q 中国教育开发网

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不成立 成立 p且q ?p或?q 14.四种命题的相互关系

原命题 互逆 逆命题 若ｐ则ｑ 若ｑ则ｐ 互 互 互 为 为 互 否 否 逆 逆 否 否 否命题 逆否命题 若非ｐ则非ｑ 互逆 若非ｑ则非ｐ 15.充要条件

（1）充分条件：若p?q，则p是q充分条件.

（2）必要条件：若q?p，则p是q必要条件.

（3）充要条件：若p?q，且q?p，则p是q充要条件.

注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然. 16.函数的单调性

(1)设x1?x2??a,b?,x1?x2那么

f(x1)?f(x2)?0?f(x)在?a,b?上是增函数；

x1?x2f(x1)?f(x2)?0?f(x)在?a,b?上是减函数. (x1?x2)?f(x1)?f(x2)??0?x1?x2(2)设函数y?f(x)在某个区间内可导，如果f?(x)?0，则f(x)为增函数；如果f?(x)?0，则f(x)为减函数.

17.如果函数f(x)和g(x)都是减函数,则在公共定义域内,和函数f(x)?g(x)也是减函数; 如果函数y?f(u)和u?g(x)在其对应的定义域上都是减函数,则复合函数y?f[g(x)]是增函数.

(x1?x2)?f(x1)?f(x2)??0?18．奇偶函数的图象特征

奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称;反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y轴对称，那么这个函数是偶函数．

19.若函数y?f(x)是偶函数，则f(x?a)?f(?x?a)；若函数y?f(x?a)是偶函数，则f(x?a)?f(?x?a).

20.对于函数y?f(x)(x?R),f(x?a)?f(b?x)恒成立,则函数f(x)的对称轴是函数x?a?ba?b;两个函数y?f(x?a)与y?f(b?x) 的图象关于直线x?对称. 22a21.若f(x)??f(?x?a),则函数y?f(x)的图象关于点(,0)对称; 若

2f(x)??f(x?a),则函数y?f(x)为周期为2a的周期函数.

nn?122．多项式函数P(x)?anx?an?1x??a0的奇偶性

多项式函数P(x)是奇函数?P(x)的偶次项(即奇数项)的系数全为零.

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多项式函数P(x)是偶函数?P(x)的奇次项(即偶数项)的系数全为零. 23.函数y?f(x)的图象的对称性

(1)函数y?f(x)的图象关于直线x?a对称?f(a?x)?f(a?x)

?f(2a?x)?f(x).

(2)函数y?f(x)的图象关于直线x?a?b对称?f(a?mx)?f(b?mx) 2?f(a?b?mx)?f(mx).

24.两个函数图象的对称性

(1)函数y?f(x)与函数y?f(?x)的图象关于直线x?0(即y轴)对称. (2)函数y?f(mx?a)与函数y?f(b?mx)的图象关于直线x?(3)函数y?f(x)和y?f?1a?b对称. 2m(x)的图象关于直线y=x对称.

25.若将函数y?f(x)的图象右移a、上移b个单位，得到函数y?f(x?a)?b的图象；若将曲线f(x,y)?0的图象右移a、上移b个单位，得到曲线f(x?a,y?b)?0的图

象.

26．互为反函数的两个函数的关系

f(a)?b?f?1(b)?a.

27.若函数y?f(kx?b)存在反函数,则其反函数为y?1?1[f(x)?b],并不是ky?[f?1(kx?b),而函数y?[f?1(kx?b)是y?1[f(x)?b]的反函数. k28.几个常见的函数方程

(1)正比例函数f(x)?cx,f(x?y)?f(x)?f(y),f(1)?c.

(2)指数函数f(x)?a,f(x?y)?f(x)f(y),f(1)?a?0.

(3)对数函数f(x)?logax,f(xy)?f(x)?f(y),f(a)?1(a?0,a?1).

?(4)幂函数f(x)?x,f(xy)?f(x)f(y),f(1)??.

'x(5)余弦函数f(x)?cosx,正弦函数g(x)?sinx，f(x?y)?f(x)f(y)?g(x)g(y)，

f(0)?1,limx?0g(x)?1. x29.几个函数方程的周期(约定a>0)

（1）f(x)?f(x?a)，则f(x)的周期T=a； （2）f(x)?f(x?a)?0，

1(f(x)?0)， f(x)1或f(x?a)??(f(x)?0),

f(x)12或?f(x)?f(x)?f(x?a),(f(x)??0,1?),则f(x)的周期T=2a； 21(f(x)?0)，则f(x)的周期T=3a； (3)f(x)?1?f(x?a)f(x1)?f(x2)(4)f(x1?x2)?且f(a)?1(f(x1)?f(x2)?1,0?|x1?x2|?2a)，则

1?f(x1)f(x2)f(x)的周期T=4a；

或f(x?a)?中国教育开发网

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(5)f(x)?f(x?a)?f(x?2a)f(x?3a)?f(x?4a)

?f(x)f(x?a)f(x?2a)f(x?3a)f(x?4a),则f(x)的周期T=5a； (6)f(x?a)?f(x)?f(x?a)，则f(x)的周期T=6a. 30.分数指数幂 (1)a(2)amn??1n?mnam1mn（a?0,m,n?N，且n?1）. （a?0,m,n?N，且n?1）.

??a31．根式的性质

n（1）(na)?a.

（2）当n为奇数时，nan?a； 当n为偶数时，nan?|a|??32．有理指数幂的运算性质 (1) a?a?arsrrsrrrsr?s?a,a?0.

??a,a?0(a?0,r,s?Q).

(2) (a)?a(a?0,r,s?Q). (3)(ab)?ab(a?0,b?0,r?Q).

注： 若a＞0，p是一个无理数，则ap表示一个确定的实数．上述有理指数幂的运算性质，对于无理数指数幂都适用.

33.指数式与对数式的互化式

logaN?b?ab?N(a?0,a?1,N?0).

34.对数的换底公式

logmN (a?0,且a?1,m?0,且m?1, N?0).

logmann推论 logamb?logab(a?0,且a?1,m,n?0,且m?1,n?1, N?0).

mlogaN?35．对数的四则运算法则

若a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，则 (1)loga(MN)?logaM?logaN;

M?logaM?logaN; Nn(3)logaM?nlogaM(n?R).

(2) loga2236.设函数f(x)?logm(ax?bx?c)(a?0),记??b?4ac.若f(x)的定义域为

R,则a?0，且??0;若f(x)的值域为R,则a?0，且??0.对于a?0的情形,需要

单独检验.

37. 对数换底不等式及其推广

1,则函数y?logax(bx) a11 (1)当a?b时,在(0,)和(,??)上y?logax(bx)为增函数.

aa11)和(,??)上y?logax(bx)为减函数. ， (2)当a?b时,在(0,aa 若a?0,b?0,x?0,x?中国教育开发网

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推论:设n?m?1，p?0，a?0，且a?1，则 （1）logm?p(n?p)?logmn. （2）logamlogan?loga2m?n. 238. 平均增长率的问题

如果原来产值的基础数为N，平均增长率为p，则对于时间x的总产值y，有

y?N(1?p)x.

39.数列的同项公式与前n项的和的关系

n?1?s1,( 数列{an}的前n项的和为sn?a1?a2?an??s?s,n?2?nn?140.等差数列的通项公式

?an).

an?a1?(n?1)d?dn?a1?d(n?N*)；

其前n项和公式为

n(a1?an)n(n?1)?na1?d 22d1?n2?(a1?d)n. 22sn?41.等比数列的通项公式

an?a1qn?1?a1n?q(n?N*)； q其前n项的和公式为

?a1(1?qn),q?1?sn??1?q

?na,q?1?1?a1?anq,q?1?或sn??1?q.

?na,q?1?142.等比差数列?an?:an?1?qan?d,a1?b(q?0)的通项公式为

?b?(n?1)d,q?1?an??bqn?(d?b)qn?1?d；

,q?1?q?1?其前n项和公式为

?nb?n(n?1)d,(q?1)?sn??. d1?qnd(b?)?n,(q?1)?1?qq?11?q?43.分期付款(按揭贷款)

ab(1?b)n每次还款x?元(贷款a元,n次还清,每期利率为b).

(1?b)n?1中国教育开发网

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44．常见三角不等式 （1）若x?(0,(2) 若x?(0,?2)，则sinx?x?tanx.

?2(3) |sinx|?|cosx|?1.

)，则1?sinx?cosx?2. 45.同角三角函数的基本关系式

sin2??cos2??1，tan?=

46.正弦、余弦的诱导公式

sin?，tan??cot??1. cos?(n为偶数) (n为奇数) (n为偶数) (n为奇数) n?n??(?1)2sin?,sin(??)?? n?12?(?1)2cos?,?

n?)co?s,n??(?12 cos(??)??n?12?(?1)2si?n,?47.和角与差角公式

sin(???)?sin?cos??cos?sin?;

cos(???)?cos?cos?sin?sin?;

tan??tan?tan(???)?.

1tan?tan?sin(???)sin(???)?sin2??sin2?(平方正弦公式); cos(???)cos(???)?cos2??sin2?.

asin??bcos?=a2?b2sin(???)(辅助角?所在象限由点(a,b)的象限决

b定,tan?? ).

a48.二倍角公式

sin2??sin?cos?.

cos2??cos2??sin2??2cos2??1?1?2sin2?.

2tan?. tan2??21?tan?49. 三倍角公式

sin3??3sin??4sin3??4sin?sin(??)sin(??).

33cos3??4cos3??3cos??4cos?cos(??)cos(??)333tan??tan3???tan3???tan?tan(??)tan(??). 21?3tan?3350.三角函数的周期公式

函数y?sin(?x??)，x∈R及函数y?cos(?x??)，x∈R(A,ω,?为常数，且A≠0，

????.

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ω＞0)的周期T?2??；函数y?tan(?x??)，x?k???2,k?Z(A,ω,?为常数，且A

≠0，ω＞0)的周期T?51.正弦定理

?. ?abc???2R. sinAsinBsinC52.余弦定理

a2?b2?c2?2bccosA; b2?c2?a2?2cacosB; c2?a2?b2?2abcosC.

53.面积定理

111aha?bhb?chc（ha、hb、hc分别表示a、b、c边上的高）. 222111（2）S?absinC?bcsinA?casinB.

2221(3)S?OAB?(|OA|?|OB|)2?(OA?OB)2. 2（1）S?54.三角形内角和定理

在△ABC中，有A?B?C???C???(A?B)

?C?A?B???2C?2??2(A?B). 222k55. 简单的三角方程的通解

sinx?a?x?k??(?1)arcsina(k?Z,|a|?1). cosx?a?x?2k??arccosa(k?Z,|a|?1).

tanx?a?x?k??arctana(k?Z,a?R).

特别地,有

sin??sin????k??(?1)k?(k?Z).

cos??cos????2k???(k?Z).

tan??tan????k???(k?Z).

56.最简单的三角不等式及其解集

sinx?a(|a|?1)?x?(2k??arcsina,2k????arcsina),k?Z.

sinx?a(|a|?1)?x?(2k????arcsina,2k??arcsina),k?Z. cosx?a(|a|?1)?x?(2k??arccosa,2k??arccosa),k?Z.

cosx?a(|a|?1)?x?(2k??arccosa,2k??2??arccosa),k?Z.

tanx?a(a?R)?x?(k??arctana,k???2),k?Z.

tanx?a(a?R)?x?(k???2,k??arctana),k?Z.

57.实数与向量的积的运算律 设λ、μ为实数，那么

(1) 结合律：λ(μa)=(λμ)a; (2)第一分配律：(λ+μ)a=λa+μa; (3)第二分配律：λ(a+b)=λa+λb. 58.向量的数量积的运算律：

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(1) a·b= b·a （交换律）;

(2)（?a）·b= ?（a·b）=?a·b= a·（?b）; (3)（a+b）·c= a ·c +b·c. 59.平面向量基本定理

如果e1、e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ1、λ2，使得a=λ1e1+λ2e2．

不共线的向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． 60．向量平行的坐标表示

设a=(x1,y1),b=(x2,y2)，且b?0，则ab(b?0)?x1y2?x2y1?0. 53. a与b的数量积(或内积) a·b=|a||b|cosθ． 61. a·b的几何意义

数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积． 62.平面向量的坐标运算

(1)设a=(x1,y1),b=(x2,y2)，则a+b=(x1?x2,y1?y2).

(2)设a=(x1,y1),b=(x2,y2)，则a-b=(x1?x2,y1?y2). (3)设A(x1,y1)，B(x2,y2),则AB?OB?OA?(x2?x1,y2?y1).

(4)设a=(x,y),??R，则?a=(?x,?y).

(5)设a=(x1,y1),b=(x2,y2)，则a·b=(x1x2?y1y2). 63.两向量的夹角公式

cos??x1x2?y1y2x?y?x?y21212222(a=(x1,y1),b=(x2,y2)).

64.平面两点间的距离公式 dA,B=|AB|?AB?AB ?(x2?x1)2?(y2?y1)2(A(x1,y1)，B(x2,y2)).

65.向量的平行与垂直

设a=(x1,y1),b=(x2,y2)，且b?0，则 A||b?b=λa ?x1y2?x2y1?0. a?b(a?0)?a·b=0?x1x2?y1y2?0. 66.线段的定比分公式

设P1P2的分点,?是实数，且PP1(x1,y1)，P2(x2,y2)，P(x,y)是线段P1??PP2，则

x1??x2OP??OP21?? ?OP?1y1??y21??1??1（）. t??(1?t)OP?OP?tOP121???x?????y???67.三角形的重心坐标公式

△ABC三个顶点的坐标分别为A(x1,y1)、B(x2,y2)、C(x3,y3),则△ABC的重心的坐标是G(x1?x2?x3y1?y2?y3,). 3368.点的平移公式

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''???x?x?h?x?x?h''?OP?OP?PP . ???''???y?y?k?y?y?k注:图形F上的任意一点P(x，y)在平移后图形F'上的对应点为P(x,y)，且PP的坐标为(h,k).

69.“按向量平移”的几个结论

（1）点P(x,y)按向量a=(h,k)平移后得到点P(x?h,y?k).

(2) 函数y?f(x)的图象C按向量a=(h,k)平移后得到图象C,则C的函数解析式为y?f(x?h)?k.

(3) 图象C按向量a=(h,k)平移后得到图象C,若C的解析式y?f(x),则C的函数解析式为y?f(x?h)?k.

(4)曲线C:f(x,y)?0按向量a=(h,k)平移后得到图象C,则C的方程为f(x?h,y?k)?0.

(5) 向量m=(x,y)按向量a=(h,k)平移后得到的向量仍然为m=(x,y). 70. 三角形五“心”向量形式的充要条件

设O为?ABC所在平面上一点，角A,B,C所对边长分别为a,b,c，则 （1）O为?ABC的外心?OA?OB?OC. （2）O为?ABC的重心?OA?OB?OC?0.

（3）O为?ABC的垂心?OA?OB?OB?OC?OC?OA. （4）O为?ABC的内心?aOA?bOB?cOC?0. （5）O为?ABC的?A的旁心?aOA?bOB?cOC. 71.常用不等式：

（1）a,b?R?a?b?2ab(当且仅当a＝b时取“=”号)．

22222'''''''''''a?b?ab(当且仅当a＝b时取“=”号)． 2333（3）a?b?c?3abc(a?0,b?0,c?0).

（2）a,b?R??（4）柯西不等式

(a2?b2)(c2?d2)?(ac?bd)2,a,b,c,d?R.

（5）a?b?a?b?a?b. 72.极值定理

已知x,y都是正数，则有

（1）若积xy是定值p，则当x?y时和x?y有最小值2p； （2）若和x?y是定值s，则当x?y时积xy有最大值推广 已知x,y?R，则有(x?y)?(x?y)?2xy （1）若积xy是定值,则当|x?y|最大时,|x?y|最大； 当|x?y|最小时,|x?y|最小.

（2）若和|x?y|是定值,则当|x?y|最大时, |xy|最小； 当|x?y|最小时, |xy|最大.

73.一元二次不等式ax?bx?c?0(或?0)(a?0,??b?4ac?0)，如果a与

2212s. 422ax2?bx?c同号，则其解集在两根之外；如果a与ax2?bx?c异号，则其解集在两根之

间.简言之：同号两根之外，异号两根之间.

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x1?x?x2?(x?x1)(x?x2)?0(x1?x2)； x?x1,或x?x2?(x?x1)(x?x2)?0(x1?x2).

74.含有绝对值的不等式 当a> 0时，有

x?a?x2?a??a?x?a.

2x?a?x2?a2?x?a或x??a.

75.无理不等式 （1）（2）（3）?f(x)?0? . f(x)?g(x)??g(x)?0?f(x)?g(x)??f(x)?0?f(x)?0?. f(x)?g(x)??g(x)?0或?g(x)?0?f(x)?[g(x)]2???f(x)?0?. f(x)?g(x)??g(x)?0?f(x)?[g(x)]2?76.指数不等式与对数不等式 (1)当a?1时,

af(x)?ag(x)?f(x)?g(x);

?f(x)?0?logaf(x)?logag(x)??g(x)?0.

?f(x)?g(x)?(2)当0?a?1时,

af(x)?ag(x)?f(x)?g(x);

?f(x)?0?logaf(x)?logag(x)??g(x)?0

?f(x)?g(x)?77.斜率公式

k?y2?y1（P1(x1,y1)、P2(x2,y2)）.

x2?x178.直线的五种方程

（1）点斜式 y?y1?k(x?x1) (直线l过点P1(x1,y1)，且斜率为k)． （2）斜截式 y?kx?b(b为直线l在y轴上的截距).

y?y1x?x1?(y1?y2)(P1(x1,y1)、P2(x2,y2) (x1?x2)).

y2?y1x2?x1xy(4)截距式 ??1(a、b分别为直线的横、纵截距，a、b?0)

ab（5）一般式 Ax?By?C?0(其中A、B不同时为0).

（3）两点式

79.两条直线的平行和垂直

(1)若l1:y?k1x?b1，l2:y?k2x?b2

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