单元4、5

第四章 电路的暂态分析

自然界事物的运动，在一定条件下有一定的稳定状态。当条件改变，就要转变成新的稳定状态。如前面各章分析的直流电路和交流电路中，所有响应都是稳恒不变或按周期性规律稳定变化。电路的这种工作状态称为稳定状态，简称稳态。当电路的工作条件发生变化时，可能会使电路由原来的稳定状态转变成另一个稳定状态。但是这种状态的变化往往不能立即完成，需要一个过程。这样处在两个稳定状态之间的过渡阶段称为电路的暂态过程，也称过渡过程，它是电气工程人员经常遇到的问题。

暂态过程虽然持续时间短暂，但在实际工作中却是非常重要的。因此研究电路的暂态过程有着重要的实际意义：一方面是为了便于利用它以实现某种技术目的；另一方面则是为了对某些电路在暂态过程中可能出现的过电压、过电流作出预测，以便及时采取必要的措施加以防止。

暂态分析的研究方法有两种，一种是直接求解微分方程的方法，称为经典法。因为它是以时间t作为未知量进行分析，所以又称为时域分析。另一种是采用积分变换求解微分方程的方法，将时间t转换为复频率变量，称为复频域分析。它的特点是将微分方程的问题转化为代数方程的问题，所以又称为运算法。分析复杂电路的暂态响应时运算法比经典法简便，但经典法可以更明显地反映出暂态现象的物理实质。

4.1 暂态过程的基本知识

直流电路及周期性电路中的电压、电流或是稳恒不变，或是周期性变动，处于稳态。但是在含有储能元件：电容、电感的电路中，当电路的结构或元件参数发生改变时，电路就会发生暂态过程。 4.1.1 电路中的暂态过程

对于电阻元件，其伏安关系是iR?uR，也就是说在电阻元件上，有电压就有电R流，任意时刻的电流都取决于该时刻的电压。所以电阻元件接入电路后其电流从0到达新稳态值是立即完成的，电阻的电压与电流同时产生了跃变，所以电阻电路不会产生暂态过程。

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对于电感元件，其伏安关系是uL?LdiL。也就是说在电感元件上每个瞬间的电dt压值不取决于该瞬间电流的大小，而是取决于该瞬间电流的变化情况。由于电感元件接入电路的瞬间电流变化最大，此刻电感元件两端电压最高，相当于开路。此后电感中电流逐渐增大，但是电流的变化率逐渐减小，电压随之减小。到达新的稳态时，电流不再变化，电感元件两端电压减小到0，相当于短路。所以电感电流由0到达最大需要一个过程。

对于电容元件，其伏安关系是iC?CduC。也就是说在电容元件上每个瞬间的电dt流值不取决于该瞬间电压的大小，而是取决于该瞬间电压的变化情况。由于电容元件接入电路的瞬间没有储存电荷，电容两端电压为0，相当于短路，电流最大。此后随着电容充电，电压逐渐增大，但是电压的变化率逐渐减小，电流随之减小。到达新的稳态时，电压不再变化，电容元件两端电流减小到0，相当于开路。所以电容电压由0到达最大需要一个过程。

从能量角度看，电阻是耗能元件，由电流产生的电能总是立刻转化为其它形式的能量消耗掉。如果电路中含有电容或电感这样的储能元件，则电路中电压和电流的建立以及大小的改变，必然伴随着电容中电场能量和电感中磁场能量的改变。能量的变化只能是渐变，不可能发生跃变，否则意味着功率P?不可能的。

对于电容元件，其电场储能为WC?12CuC，由于电路接通瞬间能量不能跃变，所2duC趋于无穷大，这是不可能的。因dtdW趋于无穷大，在实际中是dt以电压也不能跃变，否则会导致其中电流iC?C此电流iC只能是有限值，以有限的电流对电容充电，电荷及电压只能逐渐增大，不可能在某一时刻突然跃变。同样电感中储能WL?变。否则会导致其端电压uL?L12LiL，所以电路接通瞬间电流不能跃2diL趋于无穷大，这也是不可能的。所以uL只能是有dt限值，电感的磁链和电流只能逐渐增大，不可能在某一时刻突然跃变。

综上所述，电路产生暂态过程的原因有两个：内因是电路中存在动态元件电感或

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电容；外因是电路的结构或参数发生突然变化，例如开关的接通或断开，元件的接入或拆除等，即发生换路。 4.1.2 换路定则

在换路瞬间，电容元件的电流有限时，其电压

uc不能跃变；电感元件的电压有限时，

其电流iL不能跃变。这一结论称为换路定则。如果把换路发生的时刻定义为计时起点，即取为t?0，同时以t?0?作为换路前的最后一瞬间，它和t?0之间的时间间隔趋近于0；以t?0?作为换路后的最开始瞬间，它和t?0之间的时间间隔也趋近于0。换路定则可表示为

uc?0???uc?0?? （4. 1）

iL?0???iL?0??

除了电容电压及其电荷量、电感电流及其磁链外，其余的电压、电流在换路瞬间都是可以跃变的。因为它们的跃变不会引起电场和磁场能量的跃变，即不会出现无限大的功率。 4.1.3 电路初始值的计算

在换路后的开始瞬间产生的电压、电流响应称为初始值。初始值组成求解电路微分方程的初始条件，是分析暂态响应的重要条件。

如前所述，根据换路定律，由

uc?0??、iL?0??可以求得

uc?0??和iL?0??，而电路中其

它电压、电流响应的初始值，需要利用0+时刻的等效电路（也称为初始值等效电路）求得。计算步骤如下： i.确定换路前电路中的

uc?0??、iL?0??，并由换路定律求得

uc?0??uc?0??和iL?0??。

ii.画出电路在0+时刻等效电路。用电压等于

的电压源代替电容元件，用电流等于

iL?0??的电流源代替电感元件，独立电源不变。这样原电路在0时刻变成一个在直流电

+

源作用下的电阻电路，称为0+时刻的等效电路。

iii.由0+时刻的等效电路求各电压、电流在0+时刻的初始值。

例1．图示4.1电路中, 已知Us=12V, R1=4kΩ, R2=8kΩ, C=1μF, 开关S原来处于断开状态, 电容上电压uC(0-)=0。求开关S闭合后, t=0+时, 各电流及电容电压的数值。

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S＋Us－

R1i1R2i2iCCuC＋－R1i1 (0＋)i2 (0＋)R2iC (0＋)CuC (0＋)Us(a)(b)图4.1 例1电路图

(a) 电路原理图 (b) t=0+等效电路

解 选定有关参考方向如图所示。  (1) 由已知条件可知: uC(0-)=0。 (2) 由换路定律可知: uC(0+)=uC(0-)=0。

(3) 求其它各电流、电压的初始值。画出t=0+时刻的等效电路, 如图4.1.1（b）所示。由于uC(0+)=0, 所以在等效电路中电容相当于短路。故有

u(0)0i2(0?)?C? ??0,R2R2

U12i1(0?)?s??3mA3R14?10 由

KCL

SUs有

R1i1iC(0+)=i1（0+）-i2

R1i1(0+)（0+）=3-0=3mA。

R2i2(a)图4.1（a）电路原理图iCCuCUsi2(0+)R2iC(0+)CuC(0+)(b)例1电路图（b）t=0+等效电路

例2 如图4. 2所示电路, 已知Us=10V, R1=6Ω, R2=4Ω, L=2mH, 开关S原处于断开状态。求开关S闭合后t=0+时, 各电流及电感电压uL的数值。 

＋Us－i1R1LuLi2R2Si3＋Us－i1 (0＋)R1iL (0＋) =1 Ai2 (0＋)R2i3 (0＋)uL (0＋) 4

(a)(b)

解 选定有关参考方向如图所示。  (1) 求t=0-时电感电流iL(0-)。  由原电路已知条件得

iL(0?)?i1(0?)?i2(0?)?i3(0?)?0Us10??1AR1?R26?4(2) 求t=0+时iL(0+)。 由换路定律知

iL(0?)?iL(0?)?1A(3) 求其它各电压、电流的初始值。画出t=0+时的等效电路如图4. 2（b）所示。由于S闭合, R2被短路, 则R2两端电压为零, 故i2(0+)=0。  由KCL有 由KVL有

例3 如图4. 3所示电路, 已知Us=12V, R1=4Ω, R2=8Ω, R3=4Ω, uC（0-）=0, iL（0-）=0, 当t=0时开关S闭合。 求当开关S闭合后, 各支路电流的初始值和电感上电压的初始值。

解 (1) 由已知条件可得

R1UsiSiLCuCiCR3R1R2R3LuLUsi (0＋)iC (0＋)CuC (0＋)uL (0＋)iL (0＋)i3(0?)?i1(0?)?i2(0?)?i1(0?)?1AUs?i1(0?)R1?uL(0?)UL(0?)?Us?i1(0?)R1?10?1?6?4V

(a)R2(b)5

图4. 3 例3电路图

(a) 电路原理图 (b) t=0+等效电路

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