数学建模，，供水分配问题

供水分配问题

一、摘要：

本题要求讨论出合理的灾区乡镇供水分配方案，以确保民众

的满意度最大。根据民政厅对各受灾区防旱救灾的文件要求，在保证民众满意度最大的同时，还更应该注重统筹兼顾，公平分配，使各地方各民众都能够达到最好的满意度。根据问题的要求，可以建立两种数学模型，模型一通过建立线性函数，讨论民众的总体满意度，运用LINGO软件计算出给各乡镇分配水的数量，并借助Excel作图分析；模型二主要是在模型一的基础上，考虑各地方满意度反应一致，运用标准差缩小分配落差，建立线性函数模型，可以计算出各地方满意度均达到900/0以上。建议采用模型二对灾区进行供水分配。

关键词：统筹兼顾、线性函数、LINGO软件、Excel作图、

标准差、缩小分配落差、最优分配额。

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二、问题重述与分析

7月份跃进县持续干旱少雨，全县5个受灾乡镇出现了严重

旱灾，极大地影响民众生活生产，县里启动紧急救灾预案，向各受灾乡镇每日运送生活用水2000t，各乡镇每日基本用水需求量见表，供水量与民众需求量差别越大，民众越不满意，试制定合理的供水分配方案，使民众满意度最大。 乡镇 需求量t

图表显示各受灾区对供水量的需求各不相同，但总体需求

量大过了政府所能承受的供应量，如果只要求群众满意度最大，则会引起民众争议。如何分配才使得才能使得民众满意度最大。在满意度最大的同时，是否做到了统筹兼顾的原则，怎样做才是统筹兼顾的最优方案，民众呼声一致。因此，采用建立两个数学模型取最优方案。

1 400 2 600 3 300 4 500 5 400

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三、模型假设与变量说明

1、假设各受灾乡镇的受灾情况相同，且需水量只与本地相关；

2、假设表中数据真实有效，需水量无其他变动； 3、假设民众的满意度只与供求差值有关；

4、假设运送的水均能到达民众家中，无其他损耗因素； 5、设向各地运水量分别为xi（t），民众不满意度为y，则民众满意度为Z=1-y。

四、模型的建立与求解

由问题中所给数据，我们得出以下约束条件：

?x1?x2?x3?x4?x5?2000?0?x?4001???0?x2?600s.t.??0?x3?300?0?x4?500???0?x5?400

由于问题中没有给出关于实际供水量与民众满意度之间的关系，所以民众满意度与实际供水量之间成正比关系：

民众满意度Z?K?实际供水量?100%

需求量假设K值等于1；在整个受灾地民众的不满意度为：

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y?400?x1600?x2300?x3500?x4400?x5???400600300500400 模型一

利用LINGO软件可求解（详见附录一），若使得整个受灾地民众不满

? ，民众满意度Z=0.6666… 意度最低为ymin?0.33331

?x1?400?x?4002???x3?300?x?500?4??x5?400

各灾镇实际供水量为：

xi??400400300500400?；?i?1,2,3,4,5?

应用Excel作图（图表1）

各乡镇满意度图表1.210.8满意0.6度0.40.20123乡镇45

由此可看出除了灾镇2，其余灾镇实际供水量都等于需求量，满意度均为100%，而灾镇2满意度则只有66.67%，在这种不均衡的情况下，必然引起灾镇2民众的强烈不满。

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为了实现公平，缩小各灾镇供水差异，因为各灾镇灾情不同，所以，在通过建立模型二使各灾镇民众满意度相差最小，则有：

lim?0Z?1?xxx1xxyyyyy??1?2??1?3??1?4??1?5?40056005300550054005

模型二

利用LINGO软件可求解(详见附录二)，整个受灾民众不满意度为ymin?0.4545? ，民众满意度Z2=0.5454…

?x1?363.6364?x?545.45452???x3?272.7273?x?454.5455?4??x5?363.6364

各灾镇实际供水量为：

?；?i?1,2,3,4,5? xi??4363.6364545.4545272.7273454.5455363.6364应用Excel作图（图表2）

各乡镇满意度图表（2）10.90.80.7满0.6意0.5度0.40.30.20.10123乡镇45

图表数据显示：各乡镇的民众满意度均在90%以上，而总体满意度为54.54%。

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本文来源：https://www.bwwdw.com/article/uykv.html