概率论与数理统计教程习题答案

第一章 事件与概率

1.1 写出下列随机试验的样本空间及表示下列事件的样本点集合。 (1)10件产品中有1件是不合格品，从中任取2件得1件不合格品。

(2)一个口袋中有2个白球、3个黑球、4个红球，从中任取一球，(ⅰ)得白球，(ⅱ)得红球。 解 (1)记9个合格品分别为 正1,正2，?，正9，记不合格为次，则

(正2，正4)，?，(正2，正9)，(正2，次)， ??{(正1，正2)，(正1，正3)，?，(正1，正9)，(正1，次)，(正2，正3)，(正3，正4)，?，(正3，正9)，(正3，次)，?，(正8，正9)，(正8，次)，(正9，次)}

A?{(正1，次)，(正2，次)，?，(正9，次)}

r3，b3，(2)记2个白球分别为?1，3个黑球分别为b1，4个红球分别为r1，则??{?1，?2，b2，r4。r2，

?2，b1，b2，b3，r1，r2，r3，r4}

(ⅰ) A?{?1，?2} (ⅱ) B?{r1，r2，r3，r4}

1.2 在数学系的学生中任选一名学生，令事件A表示被选学生是男生，事件B表示被选学生是三年级学生，事件C表示该生是运动员。

(1) 叙述ABC的意义。

(2)在什么条件下ABC?C成立？ (3)什么时候关系式C?B是正确的？ (4) 什么时候A?B成立？

解 (1)事件ABC表示该是三年级男生，但不是运动员。

(2) ABC?C 等价于C?AB，表示全系运动员都有是三年级的男生。 (3)当全系运动员都是三年级学生时。

(4)当全系女生都在三年级并且三年级学生都是女生时`。

1.3 一个工人生产了n个零件，以事件Ai表示他生产的第i个零件是合格品（1?i?n）。用Ai表示下列事件：

(1)没有一个零件是不合格品； (2)至少有一个零件是不合格品； (3)仅仅只有一个零件是不合格品； (4)至少有两个零件是不合格品。

解 (1) ?Ai; (2) ?Ai??Ai; (3) ?[Ai(?Aj)];

i?1i?1i?1nnnnni?1j?1j?i(4)原事件即“至少有两个零件是合格品”，可表示为?AiAj；

i,j?1i?jn1.4 证明下列各式： (1)A?B?B?A; (2)A?B?B?A

(3)(A?B)?C?A?(B?C); (4)(A?B)?C?A?(B?C) (5)(A?B)?C?(A?C)?(B?C) (6) ?Ai??Ai

i?1i?1nn证明 （1）—（4）显然，（5）和（6）的证法分别类似于课文第10—12页（1.5）式和(1.6)式的证法。

1.5 在分别写有2、4、6、7、8、11、12、13的八张卡片中任取两张，把卡片上的两个数字组成一个分数，求所得分数为既约分数的概率。

解 样本点总数为A82?8?7。所得分数为既约分数必须分子分母或为7、11、13中的两个，或为2、4、6、8、12中的一个和7、11、13中的一个组合，所以事件A“所得分数为既约分数”包含

11A32?2A3?A5?2?3?6个样本点。于是

2?3?69?。 8?7141.6 有五条线段，长度分别为1、3、5、7、9。从这五条线段中任取三条，求所取三条线段能构成一个三角形的概率。

P(A)??5?解 样本点总数为??3???10。所取三条线段能构成一个三角形，这三条线段必须是3、5、7或3、7、

??9或多或5、7、9。所以事件A“所取三条线段能构成一个三角形”包含3个样本点，于是P(A)?3。 101.7 一个小孩用13个字母A,A,A,C,E,H,I,I,M,M,N,T,T作组字游戏。如果字母的各种排列是随机的（等可能的），问“恰好组成“MATHEMATICIAN”一词的概率为多大？

解 显然样本点总数为13!，事件A“恰好组成“MATHEMATICIAN”包含3!2!2!2!个样本点。所以

3!2!2!2!48 ?13!13!1.8 在中国象棋的棋盘上任意地放上一只红“车”及一只黑“车”，求它们正好可以相互吃掉的概率。 解 任意固定红“车”的位置，黑“车”可处于9?10?1?89个不同位置，当它处于和红“车”同行或同列的9?8?17个位置之一时正好相互“吃掉”。故所求概率为

17P(A)?

891.9 一幢10层楼的楼房中的一架电梯，在底层登上7位乘客。电梯在每一层都停，乘客从第二层起离开电梯，假设每位乘客在哪一层离开电梯是等可能的，求没有两位及两位以上乘客在同一层离开的概率。 P(A)?解 每位乘客可在除底层外的9层中任意一层离开电梯，现有7位乘客，所以样本点总数为97。事件A“没有两位及两位以上乘客在同一层离开”相当于“从9层中任取7层，各有一位乘客离开电梯”。

A97所以包含A个样本点，于是P(A)?7。

9791.10 某城市共有10000辆自行车，其牌照编号从00001到10000。问事件“偶然遇到一辆自行车，其牌照号码中有数字8”的概率为多大？

94?9????，所以 解 用A表示“牌照号码中有数字8”，显然P(A)?10000?10?94?9??1??? P(A)?1-P(A)?1?10000?10?441.11 任取一个正数，求下列事件的概率：

(1)该数的平方的末位数字是1； (2)该数的四次方的末位数字是1； (3)该数的立方的最后两位数字都是1；

1解 (1) 答案为。

5(2)当该数的末位数是1、3、7、9之一时，其四次方的末位数是1，所以答案为

42? 105(3)一个正整数的立方的最后两位数字决定于该数的最后两位数字，所以样本空间包含102个样本点。用事件A表示“该数的立方的最后两位数字都是1”，则该数的最后一位数字必须是1，设最后第二位数字为a，则该数的立方的最后两位数字为1和3a的个位数，要使3a的个位数是1，必须a?7，因此A所包含的样本点只有71这一点，于是

。

1.12 一个人把6根草掌握在手中，仅露出它们的头和尾。然后请另一个人把6个头两两相接，6个尾也两两相接。求放开手以后6根草恰好连成一个环的概率。并把上述结果推广到2n根草的情形。

解 (1)6根草的情形。取定一个头，它可以与其它的5个头之一相接，再取另一头，它又可以与其它未接过的3个之一相接，最后将剩下的两个头相接，故对头而言有5?3?1种接法，同样对尾也有5?3?1种接法，所以样本点总数为(5?3?1)2。用A表示“6根草恰好连成一个环”，这种连接，对头而言仍有5?3?1种连接法，而对尾而言，任取一尾，它只能和未与它的头连接的另4根草的尾连接。再取另一尾，它只能和未与它的头连接的另2根草的尾连接，最后再将其余的尾连接成环，故尾的连接法为4?2。所以A包含的样本点数为(5?3?1)(4?2)，于是P(A)?(5?3?1)(4?2)8? 15(5?3?1)2(2) 2n根草的情形和(1)类似得

1.13 把n个完全相同的球随机地放入N个盒子中（即球放入盒子后，只能区别盒子中球的个数，不能区别是哪个球进入某个盒子，这时也称球是不可辨的）。如果每一种放法都是等可能的，证明(1)某一个指定的盒子中恰好有k?N?n?k?2????n?k?个球的概率为??，0?k?N?n?1?????n???n

?N??n?1??????N?m?1??m(2)恰好有m个盒的概率为?????，N?N?n?1?????n???n?m?N?1

(3)指定的m个盒中正好有

?m?j?1??N?m?n?j?1????????，m?1n?j1?m?j个球的概率为??????N?n?1?????n??N,0?j?N.

解 略。

1.14 某公共汽车站每隔5分钟有一辆汽车到达，乘客到达汽车站的时刻是任意的，求一个乘客候车时间不超过3分钟的概率。

3解 所求概率为P(A)?

5n?111.15 在?ABC中任取一点P，证明?ABP与?ABC的面积之比大于的概率为2。

nn1n?1解 截取CD??CD，当且仅当点P落入?CA?B?之内时?ABP与?ABC的面积之比大于，因此

nn21?CD2?A?B?C有面积CD?1n?所求概率为P(A)?。 ??222?ABC的面积nCDCD21.16 两艘轮船都要停靠同一个泊位，它们可能在一昼夜的任意时刻到达。设两船停靠泊位的时间分

别为1小时与两小时，求有一艘船停靠泊位时必须等待一段时间的概率。

解 分别用x,y表示第一、二艘船到达泊位的时间。一艘船到达泊位时必须等待当且仅当

11242??232??222220?x?y?2,0?y?x?1。因此所求概率为P(A)??0.121 2241.17 在线段AB上任取三点x1,x2,x3，求： (1) x2位于x1与x3之间的概率。

(2) Ax1,Ax2,Ax3能构成一个三角形的概率。

111?3??132?1 解 (1) P(A)? (2) P(B)?3121.18 在平面上画有间隔为d的等距平行线，向平面任意地投掷一个三角形，该三角形的边长为a,b,c（均小于d），求三角形与平行线相交的概率。

解 分别用A1,A2,A3表示三角形的一个顶点与平行线相合，一条边与平行线相合，两条边与平行线相交，显然P(A1)?P(A2)?0.所求概率为P(A3)。分别用Aa,Ab,Ac,Aab,Aac,Abc表示边a,b,c，二边ab,ac,bc与平行线相交，则P(A3)?P(Aab?Aac?Abc).显然P(Aa)P(Aab)?P(Aac)，P(Ab)?P(Aab)?P(Abc)，

P(Ac)?P(Aac)?P(Abc)。所以

P(A3)?211(a?b?c)?(a?b?c) [P(Aa)?P(Ab)?P(Ac)]?2?d?d2（用例1.12的结果）

1.19 己知不可能事件的概率为零，现在问概率为零的事件是否一定为不可能事件？试举例说明之。 解 概率为零的事件不一定是不可能事件。例如向长度为1的线段内随机投点。则事件A“该点命中AB的中点”的概率等于零，但A不是不可能事件。

1.20 甲、乙两人从装有a个白球与b个黑球的口袋中轮流摸取一球，甲先取，乙后取，每次取后都有不放回，直到两人中有一人取到白球时停止。试描述这一随机现象的概率空间，并求甲或乙先取到白球的概率。

b个???解?1表示白，?2表示黑白，?3表示黑黑白，??b?1表示黑?黑白，

a则样本空间??{?1，?2，?，?b?1}，并且P({?1})?，

a?bbabb?1a， P({?3})?，?， P({?2})????a?ba?b?1a?ba?b?1a?b?2P({?i})?bb?1b?(i?2)a ?????a?ba?b?1a?b?(i?2)a?b?(i?1)b!a

(a?b)(a?b?1)?aP({?b?1})?甲取胜的概率为P({?1})+P({?3})+P({?5})+? 乙取胜的概率为P({?2})+P({?4})+P({?6})+?

1.21 设事件A,B及A?B的概率分别为p、q及r，求P(AB)，P(AB)，P(AB)，P(AB) 解 由P(A?B)?P(A)?P(B)?P(AB)得

P(AB)?P(A)?P(B)?P(A?B)?p?q?r

P(AB)?P(A?AB)?P(A)?P(AB)?r?q ，P(AB)?r?p P(AB)?P(A?B)?1?P(A?B)?1?r

1.22 设A1、A2为两个随机事件，证明： (1) P(A1A2)?1?P(A1)?P(A2)?P(A1A2);

(2) 1?P(A1)?P(A2)?P(A1A2)?P(A1?A2)?P(A1)?P(A2).

证明 (1) P(A1A2)?P(A1?A2)?1?P(A1?A2)=1?P(A1)?P(A2)?P(A1A2)

(2) 由(1)和P(A1A2)?0得第一个不等式，由概率的单调性和半可加性分别得第二、三个不等式。 1.23 对于任意的随机事件A、B、C，证明：P(AB)?P(AC)?P(BC)?P(A) 证明 P(A)?P[A(B?C)]?P(AB)?P(AC)?P(ABC)

?P(AB)?P(AC)?P(BC)

1.24 在某城市中共发行三种报纸：甲、乙、丙。在这个城市的居民中，订甲报的有45%，订乙报的有35%，订丙报的有30%，同时订甲、乙两报的有10%，同时订甲、丙两报的有8%，同时订乙、丙两报的有5%，同时订三种报纸的有3%，求下述百分比：

(1)只订甲报的；

(2)只订甲、乙两报的； (3)只订一种报纸的； (4)正好订两种报纸的； (5)至少订一种报纸的； (6)不订任何报纸的。

解 事件A表示订甲报，事件B表示订乙报，事件C表示订丙报。

(1) P(ABC)?P(A?(AB?AC))=P(A)?P(AB?AC)=30% (2) P(ABC)?P(AB?ABC)?7%

(3) P(BAC)?P(B)?[P(AB)?P(BC)?P(ABC)]?23% P(CAB)?P(C)?[P(AC)?P(BC)?P(ABC)]?20% P(ABC?+BAC+CAB)=P(ABC)+P(BAC)+P(CAB)=73% (4) P(ABC?ACB?BCA)?P(ABC)?P(ACB)?P(BCA)?14% (5) P(A?B?C)?90%

(6) P(ABC)?1?P(A?B?C)?1?90%?10%

1.26 某班有n个学生参加口试，考签共N张，每人抽到的考签用后即放回，在考试结束后，问至少有一张考没有被抽到的概率是多少？

解 用Ai表示“第i张考签没有被抽到”， i?1,2,?,N。要求P(?Ai)。

i?1N?N?1?P(Ai)????N?NnN?2?，??，?N?N?，P(AiAj)??P(A1?AN)??????Nnnn??N??0

?N??N?1?1?1?N??N?1?P(Ai)????1????N??(?1)??1???N? ??i?1???????N??N?2?2?1?N??N?2?????P(AiAj)????(?1)???2?N?2???N?，??

??1?i?N??????nnn??{(b,b,b),(b,b,g),(b,g,b)(g,b,b),(b,g,g)g,b,g}(g,g,b)(g,g,g)}

其中样本点依年龄大小的性别排列。A表示“有女孩”， B表示“有男孩”，则

P(B|A)?P(AB)6/86?? P(A)7/871.30 设M件产品中有m件是不合格品，从中任取两件，

(1)在所取产品中有一件是不合格品的条件下，求另一件也是不合格品的概率。 (2) 在所取产品中有一件是合格品的条件下，求另一件也是不合格品的概率。 解（1）设A表示“所取产品中至少有一件是不合格品”， B表示“所取产品都是不合格品”，则

?m??m??M?m???2?????1????1?? ??????P(A)?P(B)??M???2?????m???2???? ?M???2????P(B|A)?P(AB)P(B)m?1 ??P(A)P(A)2M?m?1(2)设C表示“所取产品中至少有一件合格品”， D表示“所取产品中有一件合格品，一件不合格品”。则

?m??M?m??M?m???1????1?????2?? ??????P(C)?P(D)??M???2?????m??M?m???1????1???????M???2????

P(D|C)?P(CD)P(D)2m ??P(C)P(C)M?m?11.31 n个人用摸彩的方式决定谁得一张电影票，他们依次摸彩，求： (1)已知前k?1(k?n)个人都没摸到，求第k个人摸到的概率； (2)第k(k?n)个人摸到的概率。

解 设Ai表示“第i个人摸到”， i?1,2,?,n。 (1) P(Ak|A1?Ak?1)?11 ?n?(k?1)n?k?1(2) P(Ak)?P(A1?Ak?1Ak)?n?1n?211????? nn?1n?k?1n1.32 已知一个母鸡生k个蛋的概率为

?kk!e??(??0)，而每一个蛋能孵化成小鸡的概率为p，证明：

(?p)r??pe。 一个母鸡恰有r个下一代（即小鸡）的概率为r!解 用Ak表示“母鸡生k个蛋”， B表示“母鸡恰有r个下一代”，则

P(B)??P(Ak)P(B|Ak)??k?rk?r???ke???k?????pr(1?p)k?r ??k!?r?(?p)r???[?(1?p)]k?r(?p)r???(1?p)?e?e ?e?r!r!(k?r)!k?r(?p)r??p?e

r! 1.33 某射击小组共有20名射手，其中一级射手4人，二级射手8人，三级射手7人，四级射手一人，一、二、三、四级射手能通过选拔进入决赛的概率分别是0.9、0.7、0.5、0.2，求在一组内任选一名射手，该射手能通过选拔进入决赛的概率。

解 用Ak表示“任选一名射手为k级”， k?1,2,3,4，B表示“任选一名射手能进入决赛”，则

P(B)??P(Ak)P(B|Ak)?4?0.9?8?0.7?7?0.5?1?0.2?0.645

k?14202020201.34 在某工厂里有甲、乙、丙三台机器生产螺丝钉，它们的产量各占25%，35%，40%，并在各自的产品里，不合格品各占有5%，4%，2%。现在从产品中任取一只恰是不合格品，问此不合格品是机器甲、乙、丙生产的概率分别等于多少？

解 用A1表示“任取一只产品是甲台机器生产”

A2表示“任取一只产品是乙台机器生产” A3表示“任取一只产品是丙台机器生产”

。 B表示“任取一只产品恰是不合格品”

则由贝叶斯公式：

P(A|B)?P(A1)P(B|A1)?25 P(A|B)?P(A2)P(B|A2)?28

1233?P(Ak)P(B|Ak)k?169?P(Ak)P(B|Ak)k?169P(A3|B)?P(A3)P(B|A3)?P(Ak?13?k)P(B|Ak)16

691.35 某工厂的车床、钻床、磨床、刨床的台数之比为9:3:2:1，它们在一定时间内需要修理的概率之比为1:2:3:1。当有一台机床需要修理时，问这台机床是车床的概率是多少？

9321解 则 P(A1)?， P(A2)? ，P(A3)?，P(A4)?

151515151231P(B|A1)?，P(B|A2)?，P(B|A3)?，P(B|A4)?

7777由贝时叶斯公式得 P(A|B)?P(A1)P(B|A1)?9

1?P(Ak?14k)P(B|Ak)221.36 有朋友自远方来访，他乘火车、轮船、汽车、飞机来的概率分别是0.3、0.2、0.1、0.4。如

111果他乘火车、轮船、汽车来的话，迟到的概率分别是、、，而乘飞机不会迟到。结果他迟到了，

4312试问他是乘火车来的概率是多少？

解 用A1表示“朋友乘火车来”，A2表示“朋友乘轮船来”，A3表示“朋友乘汽车来”，A4表示“朋友乘飞机来”，B表示“朋友迟到了”。

则 P(A|B)?P(A1)P(B|A1)?1

14?P(Ak?1k)P(B|Ak)21.37 证明：若三个事件A、B、C独立，则A?B、AB及A?B都与C独立。 证明 （1）P((A?B)C)?P(AC)?P(BC)?P(ABC)

=P(A?B)P(C)

（2）PABC)?P(A)P(B)P(C)?P(AB)P(C)

（3）P((A?B)C)?P((A?AB)C)?P(AC?ABC)=P(A?B)P(C)

1.38 试举例说明由P(ABC)?P(A)P(B)P(C)不能推出P(AB)?P(A)P(B)一定成立。 解 设??{?1,?2,?3,?4,?5}，P({?1})?P({?2})? P({?3})?P(A)?P(B)?P(C)?118，P({?5})?， 6464P({?4})?15，A?{?1,?2}，A?{?1,?3}，A?{?1,?4} 则 641151??， 646441 P(ABC)?P({?1})??P(A)P(B)P(C)

641但是P(AB)?P({?1})??P(A)P(B)

641.39 设A1,A2,?,An为n个相互独立的事件，且P(Ak)?pk(1?k?n)，求下列事件的概率： (1) n个事件全不发生；

(2) n个事件中至少发生一件； (3) n个事件中恰好发生一件。

解 (1) P(?Ak)??P(Ak)??(1?pk)

k?1k?1k?1nnn(2) P(?Ak)?1?P(?Ak)?1??(1?pk)

k?1k?1k?1nnn(3) P[?(Ak?Aj)]??(Ak?Aj)??[pk?(1?pj)].

k?1j?1j?kk?1j?1j?kk?1j?1j?knnnnnn1.40 已知事件A,B相互独立且互不相容，求min(P(A),P(B))（注：。 min(x,y)表示x,y中小的一个数）解 一方面P(A),P(B)?0，另一方面P(A)P(B)?P(AB)?0，即P(A),P(B)中至少有一个等于0，所以min(P(A),P(B))?0.

1.41 一个人的血型为O,A,B,AB型的概率分别为0.46、0.40、0.11、0.03，现在任意挑选五个人，

求下列事件的概率

(1)两个人为O型，其它三个人分别为其它三种血型； (2)三个人为O型，两个人为A型； (3)没有一人为AB。

?5?解 (1)从5个人任选2人为O型，共有??2??种可能，在其余3人中任选一人为A型，共有三种可能，

??在余下的2人中任选一人为B型，共有2种可能，另一人为AB型，顺此所求概率为：

?5?2???3?2?0.46?0.40?0.11?0.13?0.0168 ?2????5?22??0.46?0.40?0.1557 (2) ??3???(3) (1?0.03)5?0.8587

1.42 设有两门高射炮，每一门击中目标的概率都是0.6，求同时发射一发炮弹而击中飞机的概率是多少？又若有一架敌机入侵领空，欲以99%以上的概率击中它，问至少需要多少门高射炮。

解 用Ak表示“第k门高射炮发射一发炮弹而击中飞机”， k?1,2,?，B表示“击中飞机”。则

P(Ak)?0.6，k?1,2,?。

(1) P(A1?A2)?1?P(A1A2)?1?0.42?0.84 (2) P(A1??An)?1?P(?Ak)?1?0.4n?0.99 , n?k?1nlg0.01?5.026 lg0.4取n?6。至少需要6门高射炮，同时发射一发炮弹，可保证99%的概率击中飞机。

1.43 做一系列独立的试验，每次试验中成功的概率为p，求在成功n次之前已失败了m次的概率。 解 用A表示“在成功n次之前已失败了m次”， B表示“在前n?m?1次试验中失败了m次”， C表示“第n?m次试验成功”

?n?m?1?n?1m?则 P(A)?P(BC)?P(B)P(C)???m?p(1?p)?p

???n?m?1?nm???p(1?p) ?m???1.45 某数学家有两盒火柴，每盒都有n根火柴，每次用火柴时他在两盒中任取一盒并从中抽出一根。求他用完一盒时另一盒中还有r根火柴（1?r?n）的概率。

解 用Ai表示“甲盒中尚余i根火柴”， 用Bj表示“乙盒中尚余j根火柴”， C,D分别表示“第2n?r次在甲盒取”，“第2n?r次在乙盒取”， A0BrC表示取了2n?r次火柴，且第2n?r次是从甲盒中取的，

?2n?r?1??1?即在前2n?r?1在甲盒中取了n?1，其余在乙盒中取。所以 P(A0BrC)???n?1???2?????n?1?1?????2?n?r?1 2由对称性知P(ArB0C)?P(A0BrD)，所求概率为：

?2n?r?1??1?P(A0BrC?ArB0D)?2P(A0BrC)???n?1???2?????2n?r?1

第二章 离散型随机变量

2.1 下列给出的是不是某个随机变量的分布列？

35?23??1?1(1)??0.50.30.2?? (2) ??0.70.10.1??

?????0(3) ?1??2?11?1???2?3?2?n??2?n???1222n? ? (4)?1?1?1?1?1?1??1???????????????????2?3?2?3??2???2?2??解 （1）是

（2）0.7?0.1?0.1?1，所以它不是随机变量的分布列。

1?1?1?1?1?3（3）1?1??????????????,所以它不是随机变量的分布列。 22?3?2?3?2?3?4?1??1?（4）?为自然数，且n???0,???1，所以它是随机变量的分布列。 ??2?n?1?2?2nnn2.2 设随机变量?的分布列为：P(??k)?k,k?1,2,3,4,5，求(1)P(??1或??2); 1515(2P(???)) ； (3) P(1???2)。

22121解 (1) P(??1或??2)???;

15155151(2) P(???)?P(??1)?P(??2)?;

2251(3) P(1???2)?P(??1)?P(??2)?.

52?2.3 解 设随机变量?的分布列为P(??i)?C????,i?1,2,3。求C的值。 ?3?2?2?解 C??????3?3?2??，所以C?????1?3??3???2i?27。 382.4 随机变量?只取正整数N，且P(??N)与N2成反比，求?的分布列。 解 根据题意知P(??N)?C2N2C?6，其中常数C待定。由于?2?C??1，所以C?2，即?的分布列

6?N?1N?为P(??N)?6?2N2，N取正整数。

2.5 一个口袋中装有m个白球、n?m个黑球，不返回地连续从袋中取球，直到取出黑球时停止。设此时取出了?个白球，求?的分布列。

解 设“??k”表示前k次取出白球，第k?1次取出黑球，则?的分布列为：

P(??k)?m(m?1)?(m?k?1)(n?m),k?0,1,?,m.

n(n?1)?(n?k)2.6 设某批电子管的合格品率为次测到合格品，求?的分布列。

1?解 P(??k)?????4?k?131，不合格品率为，现在对该批电子管进行测试，设第?次为首443,k?1,2,?. 42.7 一个口袋中有5个同样大小的球，编号为1、2、3、4、5，从中同时取出3只球，以?表示取出球的取大号码，求?的分布列。

?k?1???2???解 P(??k)??,k?3,4,5. ?5???3????2.8 抛掷一枚不均匀的硬币，出现正面的概率为p(0?p?1)，设?为一直掷到正、反面都出现时所需要的次数，求?的分布列。

解P(??k)?qk?1p?pk?1q,k?2,3,?，其中q?1?p。

2.9 两名篮球队员轮流投篮，直到某人投中时为止，如果第一名队员投中的概率为0.4,第二名队员投中的概率为0.6，求每名队员投篮次数的分布列。

解 设?，?表示第二名队员的投篮次数，则

P(??k)?0.6k?10.4k?10.4+0.6k0.4k?10.6?0.76?0.24k?1,k?1,2,?； P(??k)?0.6k0.4k?10.6?0.6k0.4k0.4?0.76?0.6k0.4k?1,k?1,2,?。

2.10 设随机变量?服从普哇松分布，且P(??1)?P(??2)，求P(??4)。 解P(??k)??kk!e(??0)k?0,1,2,?。由于?e??????22e??,得?1?2,?2?0（不合要求）。所以

24?22?2P(??4)?e?e。

4!32.11 设某商店中每月销售某种商品的数量服从参数为7的普哇松分布，问在月初进货时应进多少件此种商品，才能保证当月不脱销的概率为0.999。

解 设?为该种商品当月销售数，x为该种商品每月进货数，则P(??x)?0.999。查普哇松分布的数值表，得x?16。

2.12 如果在时间t（分钟）内，通过某交叉路口的汽车数量服从参数与t成正比的普哇松分布。已知在一分钟内没有汽车通过的概率为0.2，求在2分钟内有多于一辆汽车通过的概率。 解 设?为时间t内通过交叉路口的汽车数，则

(?t)k??t P(??k)?e(??0),k?0,1,2,?

k!t?1时，P(??0)?e???0.2，所以??ln5；t?2时，?t?2ln5，因而

P(??1)?1?P(??0)?P(??1)?(24?ln25)/25?0.83。

2.13 一本500页的书共有500个错误，每个错误等可能地出现在每一页上（每一页的印刷符号超过500个）。试求指定的一页上至少有三个错误的概率。

1解 在指定的一页上出现某一个错误的概率p?，因而，至少出现三个错误的概率为

500?500??1??499? ???k???500??500????k?3???500k500?k?500??1??499??1????k???500??500????k?0???2k500?k

利用普哇松定理求近似值，取??np?500?151??e?1?1??0.080301

k!2ek?021?1，于是上式右端等于 5002．14 某厂产品的不合格品率为0.03，现在要把产品装箱，若要以不小于0.9的概率保证每箱中至少有100个合格品，那么每箱至少应装多少个产品？

解 设每箱至少装100?x个产品，其中有k个次品，则要求x,使

?100?x?k100?x?k?0.030.97 0.9???， ?k?k?0??x3k?3利用普哇松分布定理求近似值，取??(100?x)?0.03?3，于是上式相当于0.9??e，查普哇松分

k?0k!x布数值表，得x?5。

2.15 设二维随机变量(?,?)的联合分布列为：

P(??n,??m)??npm(1?p)n?mm!(n?m!)e??(??0,0?p?1) m?0,1,?,nn?0,1,2,?

求边际分布列。

解 P(??n)??P(??n,??m)?m?0n?ne??n!n!pm(1?p)n?m ?m?0m!(n?m)!n??ne??n!n?0,1,2,?

pme??P(??m)?P(??n,??m)?m!n?0??n!pm(1?p)n?m ?n?mm!(n?m)!?(?p)me??p?m!m?0,1,2,?。

2.17 在一批产品中一等品占50%，二等品占30%，三等品占20%。从中任取4件，设一、二、三等品的件数分别为?、?、?，求(?,?,?)的联合分布列与各自的边际分布列。

解 P(??m,??n,??k)?4!0.5m0.3n0.2k ，m,n,k?0,1,2,3,4m?n?k?4. m!n!k!?4?m4?m ，m?0,1,2,3,4； P(??m)???m??0.50.5???4?n4?nP(??n)???n??0.30.7 ，n?0,1,2,3,4；

???4?k4?kP(??k)???k??0.20.8 ，k?0,1,2,3,4。

??2.18 抛掷三次均匀的硬币，以?表示出现正面的次数，以?表示正面出现次数与反面出现次数之差的绝对值，求(?,?)的联合分布列及边际分布列。

2.21 设随机变量?与?独立，且P(??1)?P(??1)?p?0，

1若???为偶数又P(??0)?P(??0)?1?p?0，定义???，问p取什么值时?与?独立？ ??0若???为奇数解P(??1)?P(??0)P(??0)?P(??1)P(??1)=(1?p)2?p2

P(??0)?P(??0)P(??1)?P(??0)P(??1)?2p(1?p)

而P(??1,??1)?P(??1,??1)?p2，由P(??1,??1)?P(??1)P(??1)得p?1

2 2.22 设随机变量?与?独立，且P(???1)?P(???1)?但不相互独立。

证明P(??1)?P(??1)P(??1)?P(???1)P(???1)?P(???1)?P(??1)P(???1)?P(???1)P(??1)?1 21 21，定义????，证明?,?,?两两独立，2因为P(??1,??1)?P(??1,??1)?1?P(??1)P??1) 41P(??1,???1)?P(??1,???1)?P(??1)P???1)

41P(???1)P(??1) 41P(???1,???1)?P(???1,??1)?P(???1)P(???1)

4P(???1,??1)?P(???1,???1)?所以?,?相互独立。同理?与?相互独立。

但是P(??1,??1,??1)?P(??1)P(??1)P(??1)，因而?,?,?不相互独立。

2.23设随机变量?与?独立，，且只取值1、2、3、4、5、6，证明???不服从均匀分（即不可能有

P(????k)?1） ,k?2,3,?,12。

11证明 设P(??k)?pk,P(??k)?qk,k?1,2,?,6。

若P(????k)?1,k?2,3,?,12，则 111P(????2)?p1q1? (1)

111P(????7)?p1q6?p2q5???p6q1? (2)

111P(????12)?p6q6? (3)

111，11将（2）式减去（1）式，得：(p6?p1)q1?0，于是p6?p1。同理q6?q1。因此p6q6?p1q1?与（3）式矛盾。

??02.24 已知随机变量?的分布列为?1???4?212???4?2，求????2与??cos?的分布列。 ?31??解 ?分布列为P(??2)?1?12?1，P(??2?)?，P(??2?)?； 43234111?的分布列为P(???1)?，P(??0)?，P(??1)?。

424??2?101111?6515?53?211?，求???的分布列。 ?30?2.25 已知离散型随机变量?的分布列为?1解P(??0)?17111 , P(??1)? , P(??4)? , P(??9)? 530530?0：?1??21382.26 设离散型随机变量?与?的分布列为??03??1? ， ? ：1???38?1?2?，且?与?相互独立，求?3??????的分布列。

解 ?1111??624?012431244?1? ?12?

2.27 设独立随机变量?与?分别服从二项分布：b(k;n1,p)与b(k;n2,p)，求???的分布列。 解 设?为n1重贝努里试验中事件A发生的次数（在每次试验中P(A)?p），?为n2重贝努里试验中事件A发生的次数（在每次试验中P(A)?p），而?与?相互独立，所以???为n1?n2重贝努里试验中事件A发生的次数，因而

?n1?n2?kn1?n2?kP(????k)???k??pq??,k?0,1,,?,n1?n2。

2.28 设?与?为独立同分布的离散型随机变量，其分布列为 P(??n)?P(??n)?求???的分布列。

解P(????n)??P(??k)P(??n?k)??k?1n?11,n?1,2,? n211n?1 ??kn?kn22k?12n?112.29 设随机变量?具有分布：P(??k)?,k?1,2,3,4,5，求E?、E?2及E(??2)2。

511解，E??(1?2?3?4?5)?3，E?2?(12?22?32?42?52)?11

55 E(??2)2?E?2+4E?+4=27 2.30设随机变量?具有分布：P(??k)?k1??1?解 E???k??k??2k?1?2?k?12?k?121,k?1,2,?，求E?及D?。 k2?k?1k21?2?1??2，E???k??k??2k?1?2?k?12?6

D??E?2?(E?)2?2

2k1]?k,k?1,2,?，问?是否有数学期望？ 2.31设离散型随机变量?的分布列为：P[??(?1)k2k??2k111|?k??，因为级数?发散，所以?没有数学期望。 解 ?|(?1)k2k?1k?1kk?1k?k2.32 用天平秤某种物品的重量（砝码仅允许放在一个秤盘中），物品的重量以相同的概率为1克、2

克、?、10克，现有三组砝码：

（甲组）1，2，2，5，10（克） （乙组）1，2，3，4，10（克） （丙组）1，1，2，5，10（克）

问哪一组砝码秤重时所用的平均砝码数最少？

解 设?1、?2、?3分别表示及甲组、乙组、丙组砝码秤重时所用的砝码数，则有

物品重量度 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ?1 1 1 2 2 1 2 2 3 3 1 ?2 1 1 1 1 2 2 2 3 3 1 ?3 1 1 2 3 1 2 2 3 4 1

1(1?1?2?2?1?2?2?3?3?1)?1.8 101 E?2?(1?1?1?1?2?2?2?3?3?1)?1.7

101E?3?(1?1?2?3?1?2?2?3?4?1)?2

10所以，用乙组砝码秤重时所用的平均砝码数最少。 2.33某个边长为500米的正方形场地，用航空测量法测得边长的误差为：0米的概率是0.49, ?10米的概率各是0.16，?20米的概率各是0.08，?30米的概率各是0.05，求场地面积的数学期望。

于是 E?1?解 设场地面积为S米2，边长的误差为?E??0E?2?2(102?0.16?202?0.08?302?0.05)?186

米，则S?(??500)2且

所以ES?E(??500)2?E?2?1000E??250000?250186(米2)

2.34 对三架仪器进行检验，各仪器发生故障是独立的，且概率分别为p1、p2、p3。试证发生故障的仪器数的数学p1+p2+p3。

?1第i架仪器发生故障i?1,2,3 证 令?i??0第i架仪器未发生故障??为发生故障的仪器数，则E?i?P(?i?1)?pi,i?1,2,3， 所以E??E?1?E?2?E?3?p1+p2+p3。

2.37 如果在15000件产品中有1000件不合格品，从中任意抽取150件进行检查，求查得不合格品

数的数学期望。

解 设，

?10?1则?i的分布列为?114?，因而E?i?。设?为查得的不合格品数，则

??15?1515?????i，所以E???E?i?10。

i?1i?11501502.38 从数字0，1，?，n中任取两个不同的数字，求这两个数字之差的绝对值的数学期望。 解 设?为所选两个数字之差的绝对值，则P(??k)?n?k?1,k?1,2,?,n，

?n?1???2????nn?k?12n?22?[(n?1)k?k]?于是E???k。 ?n?1n(n?1)3??k?1k?1???2???n2.39 把数字1,2,?,n任意在排成一列，如果数字k恰好出现在第k个位置上，则称有一个匹配，求匹配数的数学期望。

?1数字k出现在第k个位置上解 设?k???0数字k不在第k个位置上0??1?1? 则?k的分布列为：11???n??nnn1于是E?k?P(?k?1)?，设匹配数为?，则????k，因而E???E?k?1。

nk?1k?12.40 设?为取非负整数值的随机变量，证明： (1) E???P(??n);

n?1?(2) D??2?nP(??n)?E?(E??1).

n?1?证明 (1)由于E???nP(??n)存在，所以该级数绝对收敛。从而

n?0?E???nP(??n)?n?1???n?1i?12?nP(??n)???P(??n)??P(??i)。

i?1n?ii?1????(2) D?存在，所以级数E???n2P(??n)也绝对收敛，从而

n?0D??E??E??E?(E??1)??n(n?1)P(??n)?E?(E??1)

2?n?1?2??iP(??n)?E?(E??1)?2??iP(??n)?E?(E??1)

n?1i?1?i?1n?i?n???2?nP(??n)?E?(E??1).

n?12.41 在贝努里试验中，每次试验成功的概率为p，试验进行到成功与失败均出现时停止，求平均试验次数。

解 设成功与失败均出现时的试验次数为?，则

P(??1)?1，P(??n)?pn?1?qn?1,n?2,3,?(q?1?p)

利用上题的结论，E??P(??1)+?P(??n)=1+?(pn?1?qn?1)

n?2n?2??pqp2?p?1?1???

1?p1?qp(1?p)2.42 从一个装有m个白球、n个黑球的袋中摸球，直至摸到白球时停止。如果(1)摸球是为返回的，

(2)摸球是返回的，试对这两种不同的摸球方式求：取出黑球数的数学期望。

解 略。

2.43 对一批产品进行检验，如果检查到第n0件仍未发现不合格品就认为这批产品合格，如在尚未抽到第n0件时已检查到不合格品即停止继续检查，且认为这批产品不合格。设产品数量很大，可以认为每次检查到不合格品的概率都是p，问平均每批要检查多少件？

解 略。

2.44 流水作业线上生产出的每个产品为不合格品的概率p，当生产出k个不合格品时即停工检修一次。求在两次检修之间产品总数的数学期望与方差。

解 设第i?1个不合格出现后到第i个不合格品出现时的产品数为?i，i?1,2,?,k.又在两次检修之间产品总数为?，则????i.

i?1k因?i独立同分布，P(?i?j)?qj?1p,j?1,2,?(q?1?p)，由此得：

E?i??jqj?1?j?11?p?，E?i2??j2qj?1p?2?p，

pp2j?11?p。 p2D?i?E?i2?(E?i)2?kkk(1?p)k。 E???E?i?，D???D?i?2ppi?1i?12.46 设随机变量?与?独立，且方差存在，则有

D(??)?D??D??(E?)2?D??D??(E?)2（由此并可得D(??)?D??D?）

证明 D(??)?E?2?2?(E??)2?E?2E?2?(E?)2(E?)2

?E?2E?2?E?2(E?)2?E?2(E?)2?(E?)2(E?)2

?E?2D??(E?)2D??D??D??(E?)2?D??D??(E?)2

2.47 在整数0到9中先后按下列两种情况任取两个数，记为?和?：(1)第一个数取后放回，再取

第二个数；(2)第一个数取后不放回就取第二个数，求在??k(0?k?9)的条件下?的分布列。

解 (1) P(??i|??k)?(2) P(??i|??k)?110i?0,1,?,9.

1(i?0,1,?,9,i?k) , P(??k|??k)?0 92.49 在n次贝努里试验中，事件A出现的概率为p，令

?i???1在第i次试验中A出现?0在第i次试验中A不出现i?1,2,?,n

求在?1??2????n?r(0?r?n)的条件下，?i(0?i?n)的分布列。 解 P(?i?0|???2????n?r)?P(?i?0,?1????i?1??i?1????n?r)

1P(?1??2????n)?n?1?rn?1?r?pqq?q? ?n?r ????n?n?rn?r??pq?r???P(?i?1|?1??2????n?r)?1?n?r?r。

nn2.50 设随机变量?1，?2相互独立，分别服从参数为?1与?2的普哇松分布，试证：

?1??n???? P(?1?k|?1??2?n)???k??????????12?证明 P(?1?k|?1??2?n)?k??1??1???????12??n?k

P(?1?k,?1??2?n)

P(?1??2?n)?P(?1?k)P(?2?n?k)

P(?1??2?n)由普哇松分布的可加性知?1+?2服从参数为?1+?2的普哇松分布，所以

?k11(n?k)! P(?1?k|???2?n)?k!(?1??2)n?(???n!e1e??1??n2?ke??22)?1??n???????k??????????12?k??1??1???????12??n?k

2.51 设?1，?2，?，?r为r个相互独立随机变量，且?i(1?i?r)服从同一几何分布，即有

(?1,?2,?,?r)P(?i?k)?qpk?1,k?1,2,?,(1?i?r),其中q?1?p。试证明在?1??2????r?n的条件下，

的分布是均匀分布，即

P(?1?n1,?,?r?nr|?1??2????r?n?1，其中n1?n2???nr?n. n?1????r?1????P(?1????r?n)证明 P(?1?n1,?,?r?nr|???2????r?P(?1?n1,?,?r?nr,?1????r?n)

1 ?P(?1?n1,?,?r?nr)

P(?1????r?n)由于?1，?2，?，?r相互独立且服从同一几何分布，所以

P(?1??2????r?n)??n?1?rn?rki?1?(q?p)????r?1??qp。

k1???kr?ni?1??rki?1,2,?i?1,?,rqrpn?r1?从而P(?1?n1,?,?r?nr|???2????r?n)?。

n?1n?1??rn?r?????qp?r?1??r?1??????1第三章 连续型随机变量

3.1 设随机变数?的分布函数为F(x)，试以F(x)表示下列概率： （1）P(??a)；（2）P(??a)；（3）P(??a)；（4）P(??a) 解：（1）P(??a)?F(a?0)?F(a)； （2）P(??a)?F(a?0)； （3）P(??a)=1-F(a)； （4）P(??a)?1?F(a?0)。

1是否可以作为某一随机变量的分布函数，如果 21?x（1）???x??

（2）0?x??，在其它场合适当定义； （3）-??x?0，在其它场合适当定义。

3.2 函数F(x)?解：（1）F(x)在（-?,?）内不单调，因而不可能是随机变量的分布函数； （2）F(x)在（0，?）内单调下降，因而也不可能是随机变量的分布函数； （3）F(x)在（-?,0)内单调上升、连续且F(??,0)，若定义

?F(x)???x?0~F(x)??x?0?1

则F(x)可以是某一随机变量的分布函数。

3.3 函数sinx是不是某个随机变数?的分布密度？如果?的取值范围为 （1）[0,~?3（2）[0,?]；（3）[0,?]。 ]；22解：（1）当x?[0,?2?]时，sinx?0且?2sinxdx=1，所以sinx可以是某个随机变量的分布密度；

0 （2）因为

??0sinxdx=2?1，所以sinx不是随机变量的分布密度；

32 （3）当x?[?,?]时，sinx?0，所以sinx 不是随机变量的分布密度。

3.4 设随机变数?具有对称的分布密度函数p(x)，即p(x)?p(?x),证明：对任意的a?0,有（1）

1F(?a)?1?F(a)??2?a0p(x)dx；

（2）P（??a)?2F(a)?1； （3）P(??a)?2?1?F(a)?。 证：（1）F(?a)???a??p(x)dx?1??p(x)dx

?a??a? =1??ap(?x)dx?1??p(x)dx

??a =1?F(a)?1? ??0??p(x)dx

?01ap(x)dx???p(x)dx；

20 （2）P(??a??a?ap(x)dx?2?p(x)dx，由（1）知

0a1-F(a)? 故上式右端=2F(a)?1；

1a??p(x)dx 20 （3）P(??a)?1?P(??a)?1?[2F(a)?1]?2[1?F(a)]。

3.5 设F1(x)与F2(x)都是分布函数，又a?0,b?0是两个常数，且a?b?1。证明

F(x)?aF1(x)?bF2(x)

也是一个分布函数，并由此讨论，分布函数是否只有离散型和连续型这两种类型？

证：因为F1(x)与F2(x)都是分布函数，当x1?x2时，F1(x1)?F1(x2)，F2(x1)?F2(x2)，于是

F(x1)?aF1(x1)?bF2(x1)?aF1(x2)?bF2(x2)?F(x2)

又

x???limF(x)?lim[aF1(x)?bF2(x)]?0

x???x??limF(x)?lim[aF1(x)?bF2(x)]?a?b?1

x??F(x?0)?aF1(x?0)?bF2(x?0)?aF1(x)?bF2(x)?F(x)

所以，F(x)也是分布函数。

取a?b?1，又令 2?0x?0F1(x)???1x?0x?0?0?F2(x)??x0?x?1

?1x?1?这时

?0?1?xF(x)???2?1x?00?x?1 x?1显然，与F(x)对应的随机变量不是取有限个或可列个值，故F(x)不是离散型的，而F(x)不是连续函数，所以它也不是连续型的。

3.6 设随机变数?的分布函数为

?1?(1?x)e?xF(x)???0求相应的密度函数，并求P(??1)。 解：

x?0x?0

d[1?(1?x)e?x]?xe?x，所以相应的密度函数为 dx?xe?xp(x)???0x?0x?0

2P(??1)?F(1)?1?。

e3.7 设随机变数?的分布函数为

?0?F(x)??Ax2?1?求常数A及密度函数。

解：因为F(1?0)?F(1)，所以A?1，密度函数为

x?00?x?1 x?1?2x0?x?1p(x)??

0其它?3.8 随机变数?的分布函数为F(x)?A?Barctgx，求常数A与B及相应的密度函数。 解：因为limF(x)?A?B(?x????2)?0

limF(x)?A?Bx????2?1

11,B? 2?所以

A?因而

F(x)?3.9 已知随机变数?的分布函数为

111。 ?arctgx,p(x)?F?(x)?22??(1?x)?x?p(x)??2?x?0?（1） 求相应的分布函数F(x)；

（2） 求P(??0.5),P(??1.3),P(0.2???1.2)。

0?x?11?x?2 其它x?0?0?x12ydy?x0?x?1???02解：F(x)?? 1x12??ydy??(2?y)dy?2x?x?11?x?212?0?x?2?118P(??1.3)?1?P(??1.3)?1?F(1.3)?0.245 P(??0.5)?F(0.5)?P(0.2???1.2)?F(1.2)?F(0.2)?0.663.10确定下列函数中的常数A，使该函数成为一元分布的密度函数。 （1）p(x)?Ae?x；

????Acosx??x?（2）p(x)??22

?其它?0（3）

?Ax2?p(x)??Ax?0?1?x?22?x?3 其它?0解：（1）

????Ae?xdx?2A?e?xdx?2A?1所以A??1； 21; 2? （2）

??2?2Acosxdx?2A?2cosxdx?2A?1，所以A=

0(3)

?21Axdx??Axdx?228296。 A?1,所以A?2963.12 在半径为R,球心为O的球内任取一点P,求??oP的分布函数。 解：当0?x?R时

43?xxF(x)?P(??x)?3?()3

43R?R3所以

0??x3F(x)??()?R?1x?00?x?R x?R3.13 某城市每天用电量不超过一百万度，以?表示每天的耗电率（即用电量除以一万度），它具有分布密度为

?12x(1?x)20?x?1p(x)??

0其它?若该城市每天的供电量仅有80万度，求供电量不够需要的概率是多少？如每天供电量90万度又是怎样呢？

解： P(??0.8)? P(??0.9)??10.8112x(1?x)2dx?0.0272 12x(1?x)2dx?0.0037

?0.9因此，若该城市每天的供电量为80万度，供电量不够需要的概率为0.0272,若每天的供电量为90万度，则

供电量不够需要的概率为0.0037。 3.14

设随机变数?服从（0，5）上的均匀分布，求方程

4x2?4?x???2?0

有实根的概率。 解：当且仅当

(4?)?16(??2)?0 （1） 成立时，方程4x?4?x???2?0有实根。不等式（1）的解为：??2或???1。

22

因此，该方程有实根的概率

13p?P(??2)?P(???1)?P(??2)??dx?。

25553.17 某种电池的寿命?服从正态N(a,?)分布，其中a?300（小时），??35（小时） (1) 求电池寿命在250小时以上的概率；

（2）求x，使寿命在a?x与a?x之间的概率不小于0.9。

解：（1）P(??250)?P( =P(2??30035??1.43)

??30035?1.43)??(1.43)?0.9236；

x??300x ??353535 （2）P(a?x???a?x)?P(? =?(即

xxx)??(?)?2?()?1?0.9 353535?(x)?0.95 35所以

x?1.65 35即

x?57.75

3.18 设?(x)为N(0,1)分布的分布函数，证明当x?0时，有

12? 证： 1??(x)?1?ey22?x22.1?1??(x)?x12?12?e?x2211(?3) xx12??x??e?dy?y2??xe?y22dy

=

12?1e?x2211.?x2???x1?2edy 2y =所以

111e(?3)?xx2?2?x22x22??x3ey4?y22dy

12?e?.1?1??(x)?x12?e?x2211(?3)。 xx3.21 证明：二元函数

?1x?y?0F(x,y)??

?0x?y?0

对每个变元单调非降，左连续，且F(??,y)?F(x,??)?0，F(??,??)?0，但是 F(x,y)并不是一个分布函数。 证：（1）设?x?0，

若x?y?0，由于x??x?y?0，所以F(x,y)?F(x??x,y)?1， 若x?y?0，则F(x,y)?0。当x??x?y?0时，F(x??x,y)?0；

当x??x?y?0时，F(x??x,y)?1。所以 F(x,y)?F(x??x,y)。 可见，F(x,y)对x非降。同理，F(x,y)对y非降。 （2）x?y?0时

limF(x??x,y)?limF(x,y??y)?0=F(x,y)，

?x?0?y?0 x?y?0时，

limF(x??x,y)?limF(x,y??y)?1=F(x,y)，

?x?0?y?0 所以F(x,y)对x、y左连续。

（3）F(??,y)?F(x,??)?0，F(??,??)?0。

（4）P(0???2,0???2)?F(2,2)?F(2,0)?F(0,2)?F(0,0)??1， 所以F(x,y)不是一个分布函数。 3.23 设二维随机变数(?,?)的密度

?1?sin(x?y)p(x,y)??2??0求的分布函数。 （?,?）解：当0?x?0?x?其它?2,0?y??2

?2，0?y??2时，

F(x,y)?P(??x,??y) =

??0xy01sin(t?s)dsdt 2=

1x[cot?cos(t?y)]dt ?02=[sinx?siny?sin(x?y)],所以

12(x?0)?(y?0)?0?1??[sinx?siny?sin(x?y)]0?x?,0?y??22?2???1(sinx?1?cosx)0?x?,y? F(x,y)??222

?1??(1?siny?cosy)x?,0?y??222????1x?,y?22?3.24 设二维随机变数(?,?)的联合密度为

?ke?3x?4yp(x,y)???0（1） 求常数k；

（2） 求相应的分布函数； （3） 求P(0???1,0???2)。 解：（1）

x?0,y?0其它

??0??0ke?3x?4ydxdy?k??3xk， edx?4?012所以k?12；

（2）x?0,y?0时， F(x,y)???0xyy12e?3t?48dtds?12(?e?3tdt)(?e?48ds)

00?3xxy =(1?e)(1?e?4y)，所以

?(1?e?3x)(1?e?4y) F(x,y)???0（3）P(0???1,0???2)

x?0,y?0其它

=F(1,2)?F(0,2)?F(1,0)?F(0,0) =1?e?3?e?8?e?11。

3．25 设二维随机变数(?,?)有密度函数

p(x,y)?求常数A及(?,?)的密度函数。

A 222?(16?x)(25?y)??解： ????????p(x,y)dxdy?A???????2(16?x2)(25?y2)dxdy 4A?dx?dyA?2???1?016?x2?025?y220所以，A?20；

F(x,y)???20xyx?????yp(t,s)dtdsdtds?2??????(16?t2)(25?s2)

y20xdtds?2(?)()???16?t2???25?s21x?y??2(arctg?)(arctg?)4252?3.26 设二维随机变数(?,?)的密度函数为

?4xy0?x?1,0?y?1p(x,y)??

0其它?求（1）P(0???解：

111115(1)P(0???,???1)??2?14xydxdy?4?2xdx?1ydy?;002464441111,???1);(2)P(???);(3)P(???);(4)P(???)。 24(2)P(???)?(3)P(???)?(4)P(???)?x?y??4xydxdy?0;124xydydx?2(x?x)dx?;?00?x2111

x?y??4xydxdy??123.28 设(?,?)的密度函数为

?1?0?x?1,0?y?2p(x,y)??2

?其它?0求?与?中至少有一个小于解：

1的概率。 21111P[(??)?(??)]?1?P(??,??)2222

??1115?1??1?1p(x,y)dxdy?1??1?1dxdy?8222223.30 一个电子器件包含两个主要组件，分别以?和?表示这两个组件的寿命（以小时计），设(?,?)的分布函数为

?1?e?0.01x?e?0.01y?e?0.01(x?y)F(x,y)???0求两个组件的寿命都超过120的概率。 解：

x?0,y?0其它

P(??120,??120)?1?P[(??120)?(??120)]?1?P(??120)?P(??120)?P(??120,??120)?1?F(120?0,?)?F(?,120?0)?F(120?0,120?0) ?1?(1?e?1.2)?(1?e?1.2)?(1?2e?1.2?e?2.4)?e?2.4?0.093.31 设p1(x),p2(x)都是一维分布的密度函数，为使

p(x,y)?p1(x)p2(y)?h(x,y)

成为一个二维分布的密度函数，问其中的h(x,y)必需且只需满足什么条件？ 解：若p(x,y)为二维分布的密度函数，则

p(x,y)?0,?所以条件(1)h(x,y)?p1(x)p2(y);(2)???????p(x,y)dxdy?1

????????h(x,y)dxdy?0得到满足。

??反之，若条件（1），（2）满足，则

p(x,y)?0,?p(x,y)为二维分布的密度函数。

?????p(x,y)dxdy?1

因此，为使p(x,y)成为二维分布的密度函数，h(x,y)必需且只需满足条件（1）和（2）。 3.32 设二维随机变数(?,?)具有下列密度函数，求边际分布。

?2e?y?1?（1）p(x,y)??x3??0x?1,y?1其它

(x2?y2)?1?1?e2（2）p(x,y)?????0x?0,y?0或x?0,y?0

其它

1?xk1?1(y?x)k2?1e?y?（3）p(x,y)???(k1)?(k2)??0解：（1）p?(x)?0?x?y其它

??12e?y?12dy?,(x?1)x3x32e?y?1?y?1dx?e,(y?1)3xx22p?(x)?0,(x?1)

p?(x)?（2）x?0时， p?(x)???1p?(x)?0,(y?1)

?01???e1?(x2?y2)2dy?12?e?

x?0时，

p?(x)???10?1e1?(x2?y2)2dy?12?e?x22

y22所以，p?(x)?2?e?x22。同理，p?(y)?12?e?。

?xk1?11k2?1?yk2?1?xp(x)?(y?x)edy?xe,(x?0) （3）??x?(k1)?(k2)?(k1) p?(x)?0,(x?0)

ye?y1k1?1k2?1k1?k2?1p?(y)?x(y?x)dx?y,(y?0)?0?(k)?(k)?(k?k) 1212p?(y)?0,(y?0)3.34 证明：若随机变数?只取一个值a，则?与任意的随机变数?独立。 证：?的分布函数为

?0x?aF?(x)??

1x?a?设?的分布函数、(?,?)的联合分布函数分别为F?(y),F(x,y)。

当

x?a时，

F(x,y)?P(??x,??y)?0?F?(x)F?(y)。当

x?a时，

F(x,y)?P(??x,??y)?P(??y)?F?(x)F?(y)。所以，对任意实数x,y，都有F(x,y)?F?(x)F?(y)，故?与

?相互独立。

3.35 证明：若随机变数?与自己独立，则必有常数c，使P(??c)?1。

证：由于P(??x)?P(??x,??x)?P(??x)P(??x)，所以F(x)?[F(x)]2，F(x)?0或1。由于

F(??)?0,F(??)?1，F(x)非降、左连续，所以必有常数c，使得

?0x?cF(x)??

0x?c?故P(??c)?1。

3.36设二维随机变量(?,?)的密度函数为

?1?p(x,y)?????0问?与?是否独立？是否不相关？

1?x2x2?y2?1其它

解：p?(x)??dy?1?x2??21?x2?,(|x|?1);p?(x)?0,(|x|?1)。

同理，p?(y)?21?y2?,(|y|?1);p?(y)?0,(|y|?1)。

由于p(x,y)?p?(x)p?(y)，所以?与?不相互独立。

又因p(x,y),p?(x),p?(y)关于x或关于y都是偶函数，因而E??E??E(??)?0，故cov(?,?)?0， ?与?不相关。

3.41 设某类电子管的寿命（以小时计）具有如下分布密度：

?100?p(x)??x2??0x?100x?100

一台电子管收音机在开初使用的150小时中，三个这类管子没有一个要替换的概率是多少？三个这类管子全部要替换

的概率又是多少？（假设这三个管子的寿命分布是相互独立的） 解：设这类电子管的寿命为?，则

P(??150)??3所以三个这类管子没有一个要替换的概率为(2)?81002 dx?150x23?3273；三个这类管子全部要替换的概率是(1?2)?1327。

3.44 对球的直径作近似测量，设其值均匀分布在区间[a,b]内，求球体积的密度函数。 解：设球的直径为?，则其体积为??131??。y??x3的反函数x?36y?,dx?266336?y2dy。由?的密度函数

p?(x)?1(b?a)，a?x?b，得?的密度函数为

2??p?(y)??(b?a)?336?y2?0?3.45 设随机变数?服从N(0,1)分布，求?的分布密度。 解：在x?0时，

?6a3?y??6b3,

其它。P(??x)?P(?x???x)??所以?的分布密度

x12??xe?t22dt。

p?(x)?2/??e?x22/2,(x?0);p?(x)?0,(x?0)。

3.46 设随机变数?服从N(a,?)分布，求e的分布密度。 解：

?y?ex的反函数x?lny,dx?1/y?dy。由?服从N(a,?2)分布，推得??e?的分布密度为

?1?12??oxp??(lny?a)??y?0, 2p?(y)??2??y?2???y?0.?03.47 随机变数?在任一有限区间?a,b?上的概率均大于0（例如正态分布等），其分布函数为F?(x)，又?服从?0,1?上的均匀分布。证明??F?(?)的分布函数与?的分布函数相同。

解：因为?在任一有限区间?a,b?上的概率均大于0，所以F?(x)是严格上升函数。由于?0,1?上的均匀分布，所以?的分布函数F?(x)?P(??x)?P(F?(?)?x)?P(??F?(x)?F?(x)，对任意的x都成立。所以?与?的分布函数相同。

3.48 设随机变量?与?独立，求???的分布密度。若（1）?与?分布服从(a,b)及(?,?)上的均匀分布，且（2）?与?分别服从(?a,0)及(0,a)上的均匀分布，a?0。 a???b??；

解（1）p?(x)?1/(b?a),a?x?b;p?(x)?0,其它。 p?(x)?1/(???),??x??;p?(y)?0，其它。

?1?1p???(x)??p?(x?y)?p?(y)dy

??? =

1?man(x?b,?)(b?a)(???)dy

min(x?a,?) =?min(x?a,?)?max(x?b,?)?/?(b?a)(???)?,a???x?b??;p???(x)?0，其它。

（2）p?(x)?1/a,?a?x?0;p?(x)?0，其它， p?(x)?1/a,0?x?a;p?(x)?0，其它。

p???(x)??p?(x?y)?p?(y)dy?????min(x?a,?)max(x,0)21/a2dy

=?min(x?a,a)?max(x,0)?/a

=

a?xa2,?a?x?a;p???(x)?0，其它

3.49 设随机变量?与?独立，服从相同的拉普拉斯分布，其密度函数为

p(x)?求?+?的密度函数。

解： p?(x)?p?(x)?1?x/a?e,(a?0) 2a1?x/a， ?e2a???p???(x)??p?(x?y)?p?(y)dy，

当x?0时，

p???(x)??1?|x?y|?|y|?exp???dy??4a2a???x?y?yx?y?ya0?x?1?2[?eady??e04a??1x?x?(1?)ea4aady??ex??y?x?yady]

当x?0时，

x?1p???(x)?2[?e4a??x?y?yady??ex0?y?x?yady??e0??y?x?ya1xxady]?(1?)e

4aa所以

1?|x|p???(x)?2(a?|x|)ea

4a3.50 设随机变量?与?独立，服从相同的柯西分布，其密度函数为

p(x)?证明：??证：

1

?(1?x2)1(???)也服从同一分布。 211dx???21?x21?(y?x)2?2x?y12(x?y)?y?2[?]dx222????y(y?4)x?1(x?y)?1

122??2[ln(x?1)?yarctgx?ln((x?y)?1)?yarctg(x?y)]|???y(y2?4)2??(y2?4)p???(y)???1所以

p12(???)(z)?212?

?[(2z)2?4]?(1?z2)即??1(???)也服从相同的柯西分布。 23.51 设随机变量?与?独立，分别具有密度函数

??e??xp?(x)???0??e??xp?(x)???0（其中??0,??0），求?+?的分布密度。 解：x?0时，

x?0x?0x?0x?0

p???(x)???e??(x?y)?e??ydy0x???e??x?e?(???)ydy0x

????x??x??(???)[ee],?????2??x??????xe,x?0时，

p???(x)?0

3.53 设随机变量?与?独立，都服从(0,1)上的均匀分布，求|???|的分布。 解：??服从(?1,0)上的均匀分布，据3.48(2)知，

?x?1?1?x?0p???(x)?[min(x?1,1)?max(x,0)]??

1?x0?x?1?在0?x?1时，|???|的分布函数

F(x)?P(|???|?x)?P(?x?????x)??(t?1)dt??(1?t)dt?2x?x2?x00x

所以|???|的分布密度为

?2(1?x)0?x?1p|???|(x)??

0其它?3.54 设随机变量?与?独立，分别服从参数为?与?的指数分布，求???的分布密度。 解：由p?(x)??e??x,x?0得p??(x)??e?x,x?0，所以

p???(x)??p?(y)p??(x?y)dy

???在x?0时，

p???(x)???e0???y?e?(x?y)?x??edy?(???)

在x?0时，

p???(x)???ex?????e?(x?y)??x??edy?(???)

所以

???e?xx?0?(???) p???(x)????x???ex?0(???)?3.56 设随机变量?与?独立，且分别具有密度函数为

1??p?(x)???1?x2??0x??xe?p?(y)????02|x|?1|x|?1

2x?0 x?0证明??服从N(0,1)分布。 证：由p?(x)?xe?x22,x?0得p1(x)?xe??3?12x2,x?0。故

?p??(y)?p令12y?u??1?(y)??|x|p?(yx)p?(x)dx

??2x22，则

p??(y)?12?e?y22??0ue?udu??1212?e?y22

所以??服从N(0,1)分布。

3.58 设随机变量?与?独立，都服从(0,a)上的均匀分布，求??的密度函数。

1?解：p?(x)??p?(xz)p?(z)|z|dz??zp?(xz)dz

??a0??当0?x?1时，

p?(x)??1a2?axa0zdz?1 2当x?1时

1p?(x)?2a?所以??0zdz?1 2x2?的密度函数为

?0x?0??p?(x)??10?x?1

2??1x?1??2x23.59 设随机变量?与?独立，都服从参数为?的指数分布，求?解：在x?0时，

?的密度函数。

p?(x)??p?(xy)p?(y)|y|dy???????e0?2??xye??y1ydy?(x?1)2

在x?0时，p?(x)?0。

?3.60 设二维随机变量(?,?)的联合分布密度为

?1?xy?|x|?1,|y|?1 p(x,y)??4?其它?0证明：?与?不独立，但?与?独立。

证：由于p(x,y)?p?(x)p?(y)，所以?与?不独立。由于

22?1?x11?tyP(?2?x)???(?dy)dt?x?x?14??0x?10?x?1 x?0y?1?1?y11?tx2P(??y)???(?dx)dt?y0?y?1

?y?14?y?0?0x,y?1?1?x0?x?1,y?1??P(?2?x,?2?y)??yx?1,0?y?1

?xy0?x,y?1??其它?0所以对一切的x,y，都有P(??x,??y)?P(??x)P(??y)，故?与?相互独立。 3.61 设随机变量?具有密度函数

222222???2?cos2x??x?p(x)???22

?其它?0求E?,D?。

解：E??????22x2?cos2xdx?0

?D??E????x?22222?cosxdx?2?212?1 23.62 设随机变量?具有密度函数

?x?p(x)??2?x?0?求E?及D?。 解 E??20?x?11?x?2

其它?10x2dx??x(2?x)dx?1，

1132012 E???xdx??2x2(2?x)dx?7/6，

D??E??(E?)?1/6。 3.63 设随机变量?的分布函数为

2?0?F(x)??a?barcsinx?1?x??1?1?x?1

x?1试确定常数(a,b)，并求E?与D?。 解：由分布函数的左连续性，

?a?b?arcsin1?1, ??a?b?arcsin0?0,故a?1/2,b?1/?。

11E???x?d(?arcsinx)

?12?1 =

?1x?1?1?x12dx?0， x2x2dx1?x22D??E???3.64

?1?1?x2dx???10????/20sin2tdt?1/2。

随机变量?具有密度函数

?A?x??e?x/?,x?0p(x)??

x?0?0,其中??1,??0,求常数A,E?及D?。 解：1???0A?x?e??1??x/?dx?A?????1y?e?ydy

0? =A?故

T(??1)，

A??1。 ??1??T(??1)

E???A?x??1?e?x/?dx?A????2?T(??2)?(??1)?,0E???A?x0?

??2?e?x/?dx?A????3?T(??3) =(??1)(??2)?

D??E??(E?)?(??1)? 3.66 设随机变量?服从(?121?2222211)上的均匀分布，求??sin??的数学期望与方差。 2,2解：E???sin?xdx?0,

D??E???sin2?xdx?1/2。

3.67 地下铁道列车的运行间隔时间为五分钟，一个旅客在任意时刻进入月台，求候车时间的数学期望与方差。 解：设旅客候车时间为?（秒），则?服从?0,300?上的均匀分布，则

2121?21， ?x?dx?150（秒）030030012， E????x2?dx?30000(秒2）0300E???300。 D??30000?1502?7500(秒2）3.71 设?1,?2,??n为正的且独立同分布的随机变量（分布为连续型或离散型），证明：对任意的k(1?k?n)，有

??1????kE???????n?1nn?k???n。 ?n??证：?j/??i同分布(j?1,?,n)，又?j/??i?1，所以E??j/??i?都存在且相等(j?1,?,n)。由于

i?1i?1??i?1nn?n???1?E???i/??i??n?E??1/??i?，所以

i?1i?1?i?1?????1????kE???????n?1n???k??k?E?/??1?i??n。 ?i?1???3.72 设?是非负连续型随机变量，证明：对x?0，有

P(??x)?1?证：P(??x)?E?。 x?x0p?(t)?1??p?(t)dt

x?x??1???1?t1??p?(t)dt?1??t?p?(t)dt xx0E?。 xr3.73 若对连续型随机变量?，有E???(r?0)，证明有P(???)?E?r?r。

证：P(???)??x??p?(x)dx???rxx??r?r?p?(x)dx

r?1?r???x?p?(x)?E?/?r。

3.75 已知随机变量?与?的相关系数为?，求?1?a??b与?1?c??d的相关系数，其中a,b,c,d均为常数，a,c

3.99 设?1,?2,?,?n为独立同T?分布的随机变量，求

??i?1ni的分布。

??n?it?????1??x解：T?分布p(x)?xe，x?0；p(x)?0，x?0的特征函数?(t)???1????。故??i的特征函数

T(?)i?1??为

??(t)?nn?it???1????????n?，

?n??xn??1?e??x，x?0；p(x)?0，x?0。 所以??i也是T?分布，其密度函数为p(x)?T(n?)i?13.100 设二维随机变量??,??具有联合密度函数为

?1?1?xy(x2?y2)p(x,y)??4??0??x?1,y?1其它

证明：???的特征函数等于?，?的特征函数的乘积，但是?与?并不相互独立。 证：p???(z)?????p(x,z?x)dx

?(2?x)4?2?x?0?0?x?2 ??(2?x)4?0其它。??sint????的特征函数为??。

?t?2p?(x)?12,?1?x?1;p?(x)?0,x?1.p?(y)?12,?1?y?1;p?(y)?0,y?1。

故?与?的特征函数皆为故?与?不互相独立。

3.101 设随机变量?服从柯西分布，其特征函数为e征函数的乘积，但?与?不独立。 证：由?的特征函数??(t)?e?tsint，所以???的特征函数等于?、?的特征函数的乘积。由p(x,y)?p?(x)?p?(y)，t?t，又令??a?(a?0)，证明???的特征函数等于?、?的特

推得，??a?与???的特征函数分别为??(t)?e?at与????(t)?e?(a?1)t，故

????(t)???(t)???(t)。

倘

若

?与

?相互独立，令

?的分布函数为

F(x)，则

F(x)?P(??x,??ax)?P(??x)?P(??ax)?P(??x)?P(??x)??F(x)?，

2故F(x)?0或1，此与?服从柯西分布相矛盾，故?与?互不独立。 3.102 判别下列函数是否为特征函数（说明理由）： （1）sint；（2）

111?tln(e?t)；（3）；（4）；（5）。 2221?it1?t?1?t?解：（1）不是，因为sin0?1。 （2）不是，因为当?1?t?0时，

1?t?1。 1?t2 （3）不是，因为ln(e?t)?1不成立 （4）不是，因为?(t)?1??(?t)。 1?it11?x1，所以也是特征函数。 ?e的特征函数为22221?t?1?t? （5）是的，拉普拉斯分布p(x)?第四章 大数定律与中心极限定理

4.1 设D(x)为退化分布：

?1x?0D(x)??

?0x?0讨论下列分布函数列的极限是否仍是分布函数？

11(1){D(x?n)};(2){D(x?)};(3){D(x?0},其中n?1,2,?

nn解：（1）（2）不是；（3）是。 4.2 设分布函数Fn(x)如下定义：

?0?x?nFn(x)???2n?1x??n?n?x?n

x?n问F(x)?limFn(x)是分布函数吗？

n??解：不是。

4.3设分布函数列{Fn(x)}弱收敛于分布函数F(x)，且F(x)为连续函数，则{Fn(x)}在(??,?)上一致收敛于F(x)。

证：对任意的??0，取M充分大，使有

1?F(x)??,?x?M;F(x)??,?x??M

对上述取定的M，因为F(x)在[?M,M]上一致连续，故可取它的k分点：

x1??M?x2???xk?1?xk?M，使有F(xi?1)?F(xi)??,1?i?k，再令x0???,xk?1??，则有

F(xi?1)?F(xi)??,0?i?k?1 （1）

这时存在N，使得当n?N时有

|Fn(xi)?F(xi)|??,0?i?k?1 （2）

成立，对任意的x?(??,?)，必存在某个i(0?i?k)，使得x?(xi,xi?1)，由（2）知当n?N时有

Fn(x)?Fn(xi?1)?F(xi?1)?? （3） Fn(x)?Fn(xi)?F(xi)?? （4）

由（1），（3），（4）可得

Fn(x)?F(x)?F(xi?1)?F(x)???F(xi?1)?F(xi)???2?， Fn(x)?F(x)?F(xi)?F(x)???F(xi)?F(xi?1)????2?，

即有Fn(x)?F(x)?2?成立，结论得证。

4.5 设随机变量序列??n?同时依概率收敛于随机变量?与?，证明这时必有P(???)?1。

?????证：对任意的??0有???????????n?????，故

2??????????0?P????????P????n???P??n?????0,n?0

2?2???即对任意的??0有P????????0成立，于是有

???1????1?P??????P???????????P???????0

k??k?1?k??k?1?从而P(???)?1成立，结论得证。

?n?分别依概率收敛于随机变量?与?，证明： 4.6 设随机变量序列??n?，?PP?????；?????。 （1）?n??n?（2）?n??n?????????证：（1）因为??????n??n?????????n???????n???故

2??2??????????0?P(?????n??n??)?P????n???P????n???0,n??

2?2???P?????成立。 即?n??n?M?1?????P???2。（2）先证明这时必有?n2?对任给的??0,??0取M足够大?使有P????1?，???2??M?????成立，对取定的M，存在N，当n?N时有P??n???1??P??n??????成立这时有

M??P??n???M??P??n???2??M?

?P???n???2??M????n???1?? ?P{(|?n??|?|2?|?M)?(|?n??|?1)}

?P(|2?|?M?1)?P(|?n??|?1)?2?

从而有

P(|?n2??2|??)?P(|?n??||?n??|??)?P{(|?n??||?n??|??)?(|?n??|?M)}?P{(|?n??||?n??|??)?(|?n??|?M)} ?P(|?n??|?2nP22nP?M)?P(|?n??|?M)?3?由?,?的任意性知???，同理可证???2，由前述（1）有

2?n?n?(?n??n)?????(???)2????2?2??

P?????，结论成立。 故?n??n?22n2nPP??a，a?0是一个常数，且?n?0，证明4.7 设随机变量序列?n?1?nP???1。 a证：不妨设a?0对任意的0???a，当?n?a??时有?na?a2?a(?n?a)?a2?a?，

??n?a???n?a??????????因而??。于是有 ??a2?a??a??n???11?? 0?P????????na????????n?a?n?a?????????? ?P??????????a???P?????a?????? nn????????????na????na???n?a????P?? ?a2?a???P??n?a????0,n??。 ??结论成立。

4.9 证明随机变量序列??n?依概率收敛于随机变量?的充要条件为：

?n??E?0,n?? 1??n??证：充分性，令f(x)?1x，x?0，则f'(x)??0,x?0，故f(x)是x(x?0)的单调上升函数，1?x(1?x)2??，于是有 ???? ????n????因而??n????????1?|???|1??n???n???P??n??????P???1????1??n??n??E?0,n?? ??1??n??1??对任意的??0成立，充分性得证。

P?:?n?????，因为?n????，故存在充分大的N使得当n?N必要性，对任给的??0，令A???时有P(A?)??，于是有

??n????n???n????)IA? E?E?IA???E(1??n??1????1????nn?? ?P(A?)???2?，

?n???0,n??，结论为真。 由?的任意性知E1??n??4.10 设随机变量?n按分布收敛于随机变量?，又数列an?a，bn?b，证明an?n?bn也按分布收敛于a??b。

证：先证明a?n按分布收敛于a?。a?0时为显然，不妨设a?0（a?0时的修改为显然），若a?，

?x??，a?n，?n的分布函数分别记作Fa????，F????，Fa?n???与Fn???，则Fa??x?=F???，当x是Fa????的连续

?a?点时，

x是F????的连续点，于是有 a?x??x?limFa?n(x)?limFn???limF????Fa?(x) n??n???a?n???a?成立，结论为真。由4.12知?n(an?a)?0，再由4.6(1)知?n(an?a)?bn?b，于是由前述结论及4.11知?nan?bn?a?n?(an?a)?n?bn按分布收敛于a??b，结论得证。

PP

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