计算方法简明教程总复习

数值分析 计算方法

第一章 绪论1. 什么是计算方法？ 2. 计算方法研究的主要内容是什么？ 3. 误差的主要来源有哪些？ 4. 误差是如何描述的？ 5. 有效数字是如何定义的？ 6. 有效数字与绝对误差、相对误差是怎样的关系？ 7. 选用和设计算法时应注意哪些问题？

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1.近似值 x* = 32.231 关于真值 x = 32.229 有( )位有效 数字，其绝对误差是( ),相对误差是( )。绝对误差 E ( x ) = x x * = 32 .229 32 .231 = 0 .002E ( x ) x x * 32 .229 32 .231 = = ≈ 0 .006 % 相对误差 E r ( x ) = x x 32 .229

定义1: 若近似值x*的误差限是某一位的半个单位，该位到x*的 第一位非零数字共有n位，则称x*有n位有效数字 n位有效数字。x 最后一位有效数字确定 ： x * = 0 .002 < 0 .005 = 1 × 0 .01 2

定义 2:设 x * = ± 0 . a 1 a 2 L a n L a p × 10 m ( a 1 ≠ 0 , p < ∞ ). 1 位有效数字。 若 x x ≤ × 10 m n,则说 x * 具有 n 位有效数字。 2 x * = 32 .231 = 0 .32231 × 10 2 1 1 x x * = 0 .002 < 0 .005 = × 10 2 = × 10 2 4 2 2*

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2. -324.7500是舍入得到的近似值，它有( 7 )位有效数字。 3.计算方法主要研究( 截断 )误差和( 舍入 )误差。 4.用 1+x近似表示ex所产生的误差是( 截断 )误差。 5.试给出模型误差、观测误差、截断误差及舍入误差 忽略空气阻力 的实例。 1 模型误差 忽略o点处的摩擦力 20 观测误差：g = 9.8米 / 秒2 , l长度 观测误差：0

30 截断误差：θ ≈ sinθ 截断误差： 展式： sin 由Taglor展式： θ = θ + [

θ

3

3! 5! 40 舍入误差：, ,*, /, 开方运算中计算机的有限位数 舍入误差： +

+

θ

5

...] ≈ θ

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第二章 线性方程组的直接解法1. 高斯顺序消元法的步骤？ 2. 高斯消去法的缺陷？高斯列主元消去法的步骤? 3. 矩阵可作LU 分解的充分条件是什么？ 4. 用紧凑格式进行LU分解的公式是什么？ 5. 平方根法的适用条件是什么？ 6. 改进的平方根法与平方根法相比的优点是什么？ 7. 追赶法的适用条件是什么？求解公式的形式？

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1. 用高斯列主元消去法解线性方程组(作业) x1 + 2 x2 2 x3 = 1 3x1 x2 + 4 x3 = 7 2 x 3 x 2 x = 0 2 3 1

2. 用紧凑格式解线性方程组(作业) x1 + 2 x2 + 3x3 = 14 2 x1 + 5 x2 + 2 x3 = 18 3x + x + 5 x = 20 2 3 1

3. 用平方根法解以下线性方程组(作业) 4 2 4 x1 10 2 17 10 x = 3 2 4 10 9 x3 7

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4. 用改进的平方根法解线性方程组(作业) 2 1 1 x1 4 1 2 3 x = 5 2 1 x3 6 1 3

5. 用追赶法解三对角线性方程组(作业

) 2 1 x1 1 1 3 1 x 3 2 = 1 4 1 x3 5 1 5 x 4 6

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第二章 线性方程组的迭代解法1. 雅可比迭代法的迭代矩阵是如何构造的？ 2. 高斯—塞德尔迭代法的迭代矩阵是如何构造的？ 3. 什么是逐次超松弛迭代法(SOR)?SOR方法的 迭代矩阵或迭代公式是什么？ 4. 对哪些问题雅可比迭代法是收敛的？ 对哪些问题高斯—塞德尔迭代法是收敛的？ 对哪些问题超松弛迭代法(SOR)是收敛的？ 松弛因子一般如何选取？

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请写出用雅可比迭代法和高斯6. 请写出用雅可比迭代法和高斯-塞德尔迭代法分别求解以下线性 方程组时所对应的迭代矩阵，并判断迭代法的收敛性。 方程组时所对应的迭代矩阵，并判断迭代法的收敛性。

2 1 1 x1 1 1 1 1 x2 = 1 1 1 2 x3 1

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第三章 非线性方程的近似解法1.如何判定区间[a,b]上是否有根(根的存在性判定)? 2.有根区间的确定方法有哪些? 3.n次代数方程根的上下界如何确定？ 4.二分法的主要思想是什么？有什么优缺点？ 5.埃特金方法的迭代公式及计算步骤? 6.牛顿迭代法的迭代公式及计算步骤？ 7.弦截法的迭代公式及计算步骤?

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1 .用牛顿迭代法计算

15的值 ( 例题 )

2.写出用牛顿迭代法求解非线性方程 3-1.8x2+0.15x+0.65=0根 写出用牛顿迭代法求解非线性方程x 写出用牛顿迭代法求解非线性方程 根 的步骤(典型综合题)。 的步骤(典型综合题)。分析： 分析：牛顿迭代法的收 敛条件为

定理： 在区间[a, 上存在二阶导数 上存在二阶导数， 定理：设 f (x) 在区间 b]上存在二阶导数，且 (1) f (a) f (b) < 0; ) ; 3) ′′(x)在 ′′(x) b]上不变号 上不变号； (3)f ′′ 在 [a, b]上不变号； (2)在 [a, b]上 f ′(x) ≠ 0; ) 上 ； 4) ′′(x (4)对x0 ∈ [a, b] ,有 f ′′ 0) f (x0) > 0

则牛顿迭代法产生的序列{ 收敛于方程f 内的唯一根x 则牛顿迭代法产生的序列 xk }收敛于方程 (x)=0 在 [a, b] 内的唯一根 *。 收敛于方程

因此， 是牛顿迭代法的关键。 因此，选择合理的初始 点 x0 是牛顿迭代法的关键。

该题求解步骤： 该题求解步骤：

应包含各步中的 主要思想或迭代 步骤

1 ()求方程根模的上下界 ； )有根区间的确定； (2 有根区间的确定； ) 的选择； (3 初始点 x0的选择； 4 ( )牛顿迭代法的迭代步 骤。

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3 .请写出用弦截法求方程

e2x + x 4 = 0

上的根的计算步骤。 在区间 [ 0 . 5,1]上的根的计算步骤。

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第四章 插值与数据拟合1.拉格朗日插值公式

的一般形式？ 2.为什么要进行分段插值? 3.牛顿插值公式的一般形式？(什么是差商？) 4.与拉格朗日插值相比牛顿插值公式有什么优点？ 5.等距节点插值公式的一般形式？ (什么是差分？) 6.三次样条插值函数的构造方法? 7.什么是最小二乘拟合？什么是正规方程？

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1 , sin π = 3 π 1 π 1. 已知 sin 6 = 2 , sin 4 = 3 2 2

(例题 例题) 例题

分别利用 sin x 的1次、2次 Lagrange 插值计算 sin 50° 次 次 ° 并估计误差。 并估计误差。 2.已知 已知

x y

1 0

2 -5

3 -6

4 3

请给出差商表并写出牛顿插值多项式。 请给出差商表并写出牛顿插值多项式。 3. 已知函数 y = f

( x ) 的数值表： 的数值表：

0 1

1 2

2 17

3 64

三次Newton向前 向后插值公式 并计 向前/向后插值公式 试给出差分表并作出 f ( x ) 三次 向前 向后插值公式,并计 的近似值。 算 f ( 0 .5 )、 f ( 2 .5 ) 的近似值。

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4 .通过实验获得数据如下 xi yi 1 2 2 3 3 6 4 7 5 5

:

试确定拟合多项式 a0 + a1 x1 + a2 x12 2 a0 + a1 x2 + a2 x 2 2 a0 + a1 x3 + a2 x 3 2 a0 + a1 x4 + a2 x 4 a + a x + a x2 2 5 0 1 5 = y1 = y2 = y3 = y4 = y5

p ( x ) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2中的系数 .

) 2 3, 5 解：将 ( xi , y i ( i = 1,, 4, 代入到拟合函数 p ( x )中得到矛盾方程组 ) 1 1 即 1 1 1 x1 x2 x3 x4 x5 x12 y1 1 x22 a0 y2 1 2 = y 1 x3 a1 3 x42 a1 y4 1 2 y5 1 x5 1 2 3 1 2 4 a0 3 a = 6 9 1 4 16 a1 7 5 5 25

将以上矛盾方程组记为 则最佳拟合问题成为求

: Aa = y 的最优近似解问题。 解矛盾方程组 Aa = y 的最优近似解问题。

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的解。 矛盾方程Aa = y的近似最优解实际上是 正规方程为AT Aa = AT y的解。以上矛盾方程组的正规 1 1 1 1 2 4 1 3 9 1 4 16 1 1 1 1 5 25 1 1 1 2 3 4 5 方程求解如下： 方程求解如下： 1 4 a 0 1 9 a 1 = 1 16 a 1 1 25 1 2 4 1 3 9 1 4 16 2 1 3 6 5 25 7 5

5 15 55

15 55 225

55 a 0 23 225 a 1 = 79 979 a 1 305

于是得到 : 12 31 4 a0 = ,a1 = ,a2 = , 5 7 7 12 31 4 p( x ) = + x x 2 . 5 7 7

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第五章 数值积分与数值微分1.梯形公式及复化梯形公式？ 2.辛甫生公式及复化辛甫生公式? 3.柯特斯公式及复化柯特斯公式？ 4.龙贝格求积

公式？ 5.高斯公式？ 6.什么是代数精度？以上几种求积公式的代数精度？ 7.数值微分的基本思想是什么？

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1 .利用复化梯形公式 ( n = 4 ) 求积分b

∫

1

0

1 + x 2 dx .

N 1 h ,其中步长 h = b a 复化梯形公式： f ( a ) + 2 ∑ f ( xk ) + f ( b ) 复化梯形公式：∫a f ( x ) dx = 2 n k =1

解： f ( x ) = 1 + x 2 , a = 0, b = 1, h = (n 为区间的等分个数 )

b a 1 0 = = 0.25 n 4

f ( a ) = f ( 0) = 1 f ( x1 ) = f ( 0.25) = 1.03078; ; f ( x2 ) = f ( 0.5) = 1.11803; f ( x3 ) = f ( 0.75) = 1.25; f ( b ) = f (1) = 1.41421; n 1 1 h 2 1 + x dx = f ( a ) + 2 ∑ f ( xi ) + f ( b ) ∫0 2 i =1 0 .25 [1 + 2 × (1 .03078 + 1 .11803 + 1 .25 ) + 1 .41421 ] = 1 .15148 = 2

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2 .利用复化辛甫生公式b

( n = 2 ) 求积分

∫

1

0

1 + x 2 dx .

N 1 N 1 h b a 复化辛甫生公式： f ( a ) + 4 ∑ f ( x k + 1 ) + 2 ∑ f ( x k ) + f ( b ) , h = 复化辛甫生公式：∫a f ( x ) dx ≈ 2 6 n k =0 k =1

解： f ( x ) = 1 + x 2 , a = 0, b = 1, h =

b a 1 0 = = 0 .5 n 2

(n 为区间的等分个数 ) f ( a ) = f ( 0) = 1 f ( x 1 ) = f ( 0.25) = 1.03078; ;2

f ( x1 ) = f ( 0.5) = 1.11803; f ( x1+ 1 ) = f (0.75) = 1.25;2

f (b ) = f (1) = 1.41421; n 1 n 1 1 h 2 1 + x dx = f ( a ) + 4 ∑ f ( xi + 1 ) + 2 ∑ f ( xi ) + f ( b ) ∫0 2 6 i=0 i =1 0 .25 [1 + 4 × (1 .03078 + 1 .25 ) + 2 × (1 .11803 ) + 1 .41421 ] = 1 .14778 = 6 1 3 .利用两点高斯公式求积 分 ∫ 1 + x 2 dx . (例题 例题) 例题0

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第六章 常微分方程初值问题的 数值解法1.欧拉方法、梯形法则、改进的欧拉方法以及预 报—校正公式？它们的区别是什么？ 2.龙格库塔方法的构造过程?四阶龙格库塔公式？ 3.阿达姆斯外推、内插公式的区别是什么？开头 三点函数值的通用求解方法是什么？ 4.一阶微分方程组及高阶微分方程如何求解？

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用四阶龙格库塔法求解下面二阶常微分方程

&& 5 y + y = 0 & y & y (0) = 0, y (0) = 1其中步长h 0.1,求 其中步长h=0.1,求y(0.1)=? (例题) (例题) 例题

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第七章 矩阵特征值及特征向量 计算1.幂法与反幂法的迭代公式？ 2.幂法与反幂法求解的对象有什么不同？ 3.原点平移法的主要作用是什么？ 4.雅克比方法的基本思想是什么？求解的对象？

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/uyi4.html