数的起源和发展

数的起源和发展

［摘要］ 文章讨论了新旧石器时代数的起源问题以及数的发展及其进化史，重点介绍了数的四次扩张及由数引起的第一、 二次数学危机。

［关键词］ 数；具象；抽象；序列；数学危机；记数符号；数系

数是人类日常生活中不可缺少的内容，是我们表示数量关系的尺度。 从远古时期以绳打结、 刻痕的记数方式到近现代四元数的产生，经历了漫长而复杂的历史进程，可以说数的起源和发展已成为人类文明的一个重要组成部分。 一、 数的起源

探讨数的起源问题不仅是对数的起源作理性思维的概貌性描述和进行简单的直观类比判断，而且需要追溯数的起源中的每一个别的步骤，研究数的观念是怎样从模糊走到纯粹的。人类所创造的自然数是从 1和 2开始的，因此了解数的起源，必须要追溯 1 和 2 这两个数字在人们的思维中是如何产生的。

旧石器时代早期的人类尚未完成由猿到人的转变，谈不上数的观念。要追溯数的起源，必须从旧石器时代晚期的二元对立观念的产生说起。因为只有对立观念产生，数才能起源，单个的事物是不能形成数的观念的。在对立统一规律中，一方相对于另一方而存在。数字中的1 和 2的关系也是如此，它们共存共亡，共生共灭。笔者认为， 1 和 2 是同时起源的，并且这一组对立形成之后，按一分为二对立原则不断扩大使用。 也就是说，人脑思维的对立运动首先萌生了 1 和 2 这样两个基本的数的概念，然后才有可能发展和扩大去滋生更多的数。 从这个意义上说数起源于二元对立的出现，二元对立观念是数的起源史上第一个里程碑。 然而，此时人们远未产生纯粹的数的概念。

到了新石器时代早中期，数的观念在继承旧石器时代的二元对立观念的同时，朝着抽象化的方向迈进了一大步。 在这个时期，彩陶纹饰和神话是重要的符号形式，数的观念也在其中得到体现。从总体上看，此时数的抽象化程度仍未达到消除在系统整体中位置相同的一切事物和现象差异的高度。 随着社会的发展，中期仰韶文化的庙底沟类型的彩陶纹饰使得数的观念从具象化到抽象化迈出了决定性的一步，从而具备了符号的抽象化本质。符号的抽象化在数的产生中完成了重要一步，但其还未决定数的观念的最后产生。 人们只有将开头不自觉的、 无意识的 “偶然的并列” 转化为自觉地、 有意识地去进行排列，才能正式产生数列的观念。

因此，在古代的新、 旧石器时代，数的起源历史经过了三个发展阶段，即从具象走向抽象，再从抽象走向序列。 在 “具象—— 抽象—— 序列” 的发展过程中，数的观念的形成历史皆是通过艺术符号表达出来的。 也就是说，数的发展还有待于外化为固定的符号表达方式，这就是数的观念起源历史的最后一步，它是与文字同步产生的。 在许多数学史书中均指出，在文字产生之前，人类已形成数的概念，并开始记载数目，但此时的数并非抽象的数。 从所属关系上来讲，数字是字，属于文字，是随着文字产生而形成的。

数的符号表达从现有文字材料看，可知世界上较早的几个文明国家或地区在公元前就有了比较完整的文字体系，相应地也有了文字记数符号，即数字。例如公元前 3400 年左右的古埃及象形数字，公元前 2400年左右的巴比伦楔形数字，公元前 1600 年左右的中国甲骨文数字，公元前 500 年左右的希腊阿提卡数字，公元前 500 年左右的中国筹算数码，公元前 300 年左右的印度婆罗门数字以及年代不详的玛雅数字等等。与此同时随着数的概念的发展，数的记载和运算仅仅靠数字已比较繁琐，所以逐渐出现了一些特殊的记数符号，形成数码。如古希腊的阿提卡数码和字母记数、 罗马数码、 中国的筹算记数与暗码、 玛雅人

的符号记数、印度—— 阿拉伯数码等等。人们最初记数时并没有进位制，当结绳或书契记数时，有多大的数目就结多少个绳结或刻多少道痕迹。 随着文明的进步，人们需要记载的数目越来越大。 为了更简明地去记数，就产生了进位制。进位的方法是造新的数目符号代替原来同样大的数，数字的进位表示方法主要有三种：简单累数制、 逐级命数制、乘法累数制。根据考古学家提供的证据表明，人类在 5 万年前就采用了一些记数方法，最早采用的进位制有二进制、 三进制、 五进制、 十进制、 二十进制、 六十进制等。

数字是算术学科发展的基石，继而影响到整个数学的发展。算术知识的各种读本都有数字，账单、 票据等商业用品中也有许多数目符号。还有在数学发展的萌芽时期与初等数学时期，算术、 代数、 三角及天文学和物理学都遇到了大量的数目的计算问题。计算方法的优劣直接关系到诸学科的发展水平，而数的计算与数的表示方法密切相关。 因此，记数方法在一定程度上也表明了一个国家或地区的数学发展水平。

二、 数的发展

纵观数的概念的发展史可知，人们在认识了自然数后又认识了正分数。所谓分数就是把两个自然数相除所得之商当作一个数。 由于现实生活的需要，正整数不能适应表示一些事物整体与部分之间的关系的要求，如七个人分三个猎物，每人分多少？运用正整数无法表示这一要求。为解决这些问题，于是就产生了分数。 中国古代数学著作 《周髀算经》 中已有了分数运算，而稍迟一些的中国古代数学名著 《九章算术》“方田” 章给出了完整的分数运算法则及求最大公约数的方法。

为了使减法运算也在数系内通行无阻和表示相反意义的量，人们引进了负数的概念，其具体年代已无从考证，但负数产生的直接原因却是由于解方程的需要。中国人最早提出了负数并深刻地认识它，它大大促进了数学学科的进一步发展。中国的 《九章算术》 一书中记载了 “正负开方术” ，魏晋时期的中国古代大数学家

刘徽对负数的出现作了很自然的解释： “两算得失相反，要令正负以名之” ，并且能在筹算中用红筹代表正数，黑筹代表负数。 而印度数学家在公元 7 世纪才开始使用负数的。欧洲直到十六、 十七世纪，绝大多数的数学家还不承认其是数，有些人称负数为 “谬论”。 为了表示没有物体的量，人们引进了零的概念。同时，中国也是最早认识 “零” 的国家之一。 刘徽注 《九章算术》 中，已明确以 “零” 为数，在算筹中则以空位表示 “零”。 印度人是最先使用 “0” 这个符号的。“0” 是正数和负数的分界点，也是解析几何中笛卡尔坐标轴上的原点，没有 “0”也就没有原点，也就没有了坐标系，几何学大厦就会分崩离析。 所以说，数的一步步完善和发展是为了满足人们的生活需要而产生的。

整数、 分数统称为有理数。 有理数的产生是数学史上数的第一次扩张。

在公元前5 世纪，古希腊是奴隶制社会，当时的毕达哥拉斯学派证明了勾股定理、三角形内角和为 180度等重要的数学定理，首先提出了黄金分割和正多边形和正多面体等精彩概念，对古代数学的发展做出了巨大的贡献。 但是，毕达哥拉斯学派的数学研究的主要目的并不在于发现各种具体的数学规律，而是希望能揭示出数学规律的 “普遍含义” ，并由此对世上的事物和现象作出解释。 毕达哥拉斯学派认为 “任何量都可以表成两个整数之比（即有理数） ”。 但该学派的成员希帕苏斯在公元前 470年左右首先发现了不能用整数比表示的数，他画了一个边长为1 的正方形，设其对角线长为 x，由勾股定理得 x= 2 姨 ，而这个 x却无法用两个整数之比表示。希帕苏斯提出的问题及这个新数的出现使毕达哥拉斯学派感到恐慌，其动摇了当时被尊为神圣真理的信念和这个学派的哲学核心——万物皆依赖于整数。而毕达哥拉斯学派的比例和相似形的全部理论都是建立在这一假设之上的，新数的出现使得已经确立的几何学的大部分理论的证明都失效了。正方形的对角线不能没有长度，这是任何人都承认的事实，但是正是这条直观具体的对角线的客观存在与毕达哥拉斯时

代的数学观念之间发生了短时间内不可调和的矛盾和冲突，这个 “逻辑上的丑闻” 使得他们对新数的发现严守秘密，这个数后来被叫做 “无理数” ，它的发现引发了 “第一次数学危机”。 大约在公元前 370 年，希腊数学家欧多克索斯以及毕达哥拉斯的学生阿尔希塔斯巧妙地消除了这一危机，但要从理论上彻底克服这一危机还有待于现代实数理论的建立。 在实数理论中，无理数可以定义为有理数的极限，从而又恢复了毕达哥拉斯的 “万物皆依赖于整数” 的思想。 无理数的引进，是数学史上数的第二次扩张，它的引入，排除了第一次数学危机，使无理数登上数学的舞台。 这充分说明了科学是批判的、 疑问的、 创造的、 严谨的和求实的。 第一次数学危机表明，希腊的数学已由经验科学变为演绎科学。

17 世纪中叶，牛顿、 莱布尼发明微积分，但因实数理论不完善，微积分不能严格化，引发了 “第二次数学危机”。直到19世纪中叶，魏尔斯特拉斯、 康拓、 戴德金等人建立了实数理论，第一、 二次数学危机才彻底消除。

在实数范围内对各种数的研究使数学理论达到了相当高深和丰富的程度。许多数学家认为数学成就已经登峰造极，数的形式不会有什么新的发现了，但在解方程时，常遇到负数开平方的问题，为了解决这一问题，引入了虚数，虚数的出现是数学史上的一件大事，这是数的第三次扩张，此次扩张放弃了实数的大小顺序关系，这是非常有意义的。 因为复数不仅能表示量的大小，还能表明方位，有极大的实用价值。大约到了 19世纪初叶，数学家们考虑能不能再进一步地扩充数系？确切地说，是不是可以把复数本身作为更广泛的数系的特点，而且这类数系也是从实际出发，但借助了两个以上不同的单位而建立起来的，且还能保持全部的基本运算规律呢？答案是否定的，原则上不可能再进一步扩充数系并且使得算术的全部基本规律仍被保持。但是，若舍去其中几条，那么数的第四次扩张是可能的。在数学史上，出现了两种途径的第四次扩张。 第一种扩张大约在 1843 年，由英国数学家哈密顿提出了四元数。 四元数的发现具有十分重大的意义，其转变了人们关于运算的传统观念，开阔了思路，促使数学家们离开实数和复数固有的性质去开拓新的数学领域，导致了线性代数和线性结合代数的诞生。后来数学家凯莱在1845 年又提出了八元数，德国数学家格拉斯曼在 1844年提出了一种有几个分量的所谓的超复数。 此时，数学家们已从扩大数系的方向转到了对数系内部的研究上去了。第二种扩张是在 1960 年秋，美国数学家阿伯拉罕·鲁宾逊用数理逻辑的方法将 “无穷小” 和 “无穷大”作为 “数” 深入到实数系中，使得实数域 R 扩充到了超实数域 R＊。 人们有趣地发现，曾被柯西从数系中排除出去的无穷小，经过否定之否定又回到数系中来，并占据了合法的席位。

参考文献

［1］张顺燕. 数学的美与理［M］ . 北京：北京大学出版社，2004. ［2］李文林. 数学史概论［M］ . 北京：高等教育出版社，2003.

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