宁夏固原市第一中学2015届高三第二次模拟数学（理）试题

固原一中2015届高考数学（理科）模拟试卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．如图，在复平面内，已知复数z1、z2、z3，对应的向量分别是OA,OB,OC，（i是虚数单位），已知z?11z1?z2i|?（ A ） ,则|z?2z3A. 3 B.10?11 C.6?11 D.

3 22．设x,y是两个实数，命题“x,y中至少有一个数大于1”成立的充分不必要条件是（ B ） A．x?y?2 B．x?y?2 C．x2?y2?2 D．xy?1

3．设f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时恒有f(x+2)=f(x)，当x∈[0,2]时，f(x)=ex?1，则f(2014)+f(-2015)=（ B ） A.e-1 B.1-e

C.-1-e D.e+1

中

4．某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图的x的值是( D ) A.2 B.

93 C. D.3 225．已知双曲线ax2–by2=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程是x–3y=0，它的一个焦点在抛物线y2=–4x的准线上，则双曲线的方程为（ D ）． A.4x2–12y2=1 B.4x2–

424y=1 C.12x2–4y2=1 D.x2–4y2=1 333cosx1， 将其图象向左平移m(m?0)个单sinx6．定义：

a1a2a3a4?a1a4?a2a3，若函数f(x)?位长度后，所得到的图象关于y轴对称，则m的最小值是 ( B ) A．

?3 B．?

23C．

?6 D．?

56?x?3y?3?0，?7．若实数x,y满足不等式组?x?y?1?0，则z?2|x|?y的取值范围是（ D ）

?y??1，?A.[?1,3] B.[1,11] C.[1,3] D.[?1,11]

8．在《爸爸去哪儿》第二季第四期中，村长给6位“萌娃”布置一项搜寻空投食物的任务。已

知：①食物投掷地点有远、近两处；②由于Grace年纪尚小，所以要么不参与该项任务，但此时另需一位小孩在大本营陪同，要么参与搜寻近处投掷点的食物；③所有参与搜寻任务的小孩须被均分成两组，一组去远处，一组去近处，那么不同的搜寻方案有( C ) A．80 种 B．70 种 C．40 种 D．10种 9．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b2=a2+bc，A=A.

?6，则角C=（ B ）．

?6 B.

?4 C.

3??3? D.或 44410．一个结晶体的形状为平行六面体ABCD?A1B1C1D1，以顶点A为端点的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是60?,则

AC1． ?（ D ）

ABA.3 B.2 C.5 D.6 11．如图，已知双曲线

=1（a＞0，b＞0）上有一点A，它关于原点的对称点为B，点

，

，则双曲线离心率e的]

F为双曲线的右焦点，且满足AF⊥BF，设∠ABF=α，且α∈[取值范围为（ B ） A.[C．[

，2+，

] B． [] D．[

，，

+1]

]

12．若函数y1?sin2x1?小值为（ B ）

3(x1??0,??)，函数y2?x2?3，则(x1?x2)2?(y1?y2)2的最2(??18)2(??18)22?(??33?15)2A． B． C． D．

72121272二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13．若二项式(

m52162x?)的展开式中的常数项为m，则?(x2?2x)dx= .

15x332015，则输出的s值为__________．2 14．如图所示的程序框图，若输入n?

15．已知正三角形ABC的边长为2，点D，E分别在边AB，AC上，且AD=?AB，AE=? AC．若点F为线段BE的中点，点O为△ADE的重心，则OF?CF= ．0

16．定义在R上的函数f（x）满足f（x）+f（x+5）=16，当x∈（-1，4]时，f（x）=x-2，则函数f（x）在[0，2013]上的零点个数是______．604 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）

设数列{an}满足：a1=1，an+1=3an，n∈N．设Sn为数列{bn}的前n项和，已知b1≠0，2bn–b1=S1?Sn，n∈N．

（Ⅰ）求数列{an}，{bn}的通项公式；

（Ⅱ）设cn=bn?log3an，求数列{cn}的前n项和Tn； （Ⅲ）证明：对任意n∈N且n≥2，有

*

*

*

2

x

1113++?+＜．

2a2?b2a3?b3an?bn（17）解：（Ⅰ）∵an+1=3an，∴{an}是公比为3，首项a1=1的等比数列，

∴通项公式为an=3n–1． ???? 2分 ∵2bn–b1=S1?Sn，∴当n=1时，2b1–b1=S1?S1，

∵S1=b1，b1≠0，∴b1=1． ???? 3分 ∴当n＞1时，bn=Sn–Sn–1=2bn–2bn–1，∴bn=2bn–1， ∴{bn}是公比为2，首项a1=1的等比数列，

∴通项公式为bn=2n–1． ????5分

（Ⅱ）cn=bn?log3an=2n–1log33n–1=(n–1)2n–1， ???? 6分

Tn=0?20+1?21+2?22+?+(n–2)2n–2+(n–1)2n–1 ??① 2Tn= 0?21+1?22+2?23+??+(n–2)2n–1+(n–1) 2n ??②

①–②得：–Tn=0?20+21+22+23+??+2n–1–(n–1)2n

=2n–2–(n–1)2n =–2–(n–2)2n

∴Tn=(n–2)2n+2． ???? 10分 （Ⅲ）

11111=n?1==≤ n?1n?2n?1n?2n?2n?2n?23?3?2an?bn3?23?2(3?2)3111++?+

a2?b2a3?b3an?bn

11?()n?11113＜0+1+?+n?2=

13331?3133=(1–n?1)＜． ????14分 22318．（本小题满分12分）

如图，在四棱锥P?ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD//BC，?ADC?90?，平面

PAD⊥底面ABCD，Q为AD的中点，M是棱PC上的点，PA?PD?AD?2，BC?1，

CD?3．

（Ⅰ）求证：平面PQB⊥平面PAD；

?M?BQ?C30（Ⅱ）若二面角为，设PM?t?MC，试确定 t 的值．

【知识点】平面与平面垂直的证明; 实数的取值G10 G11 【答案】【解析】（1）见解析；（2）t?3

1解析：（1）证法一：∵AD∥BC，BC=2AD，Q为AD的中点，

∴四边形BCDQ为平行四边形，∴CD∥BQ． ???????1分 ∵∠ADC=90°，∴∠AQB=90°，即QB⊥AD． ???????2分 又∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，???????4分 ∴BQ⊥平面PAD． ???????5分 ∵BQ?平面PQB，∴平面PQB⊥平面PAD． ???????6分

1证法二：AD∥BC，BC=2AD，Q为AD的中点，∴四边形BCDQ为平行四边形，

∴CD∥BQ． ???????1分 ∵∠ADC=90°∴∠AQB=90°，即QB⊥AD． ???????2分 ∵PA=PD，∴PQ⊥AD． ???????3分 ∵PQ∩BQ=Q PQ、BQ?平面PBQ， ???????4分

∴AD⊥平面PBQ． ???????5分 ∵AD?平面PAD，∴平面PQB⊥平面PAD． ???????6分 （2）法一：∵PA=PD，Q为AD的中点，∴PQ⊥AD．

∵面PAD⊥面ABCD，且面PAD∩面ABCD=AD，∴PQ⊥面ABCD．?????7分

?如图，以Q为原点建立空间直角坐标系．则平面BQC的法向量为n?(0,0,1)；??8分 Q(0,0,0)，P(0,0,3)，B(0,3,0)，C(?1,3,0)．

设M(x,y,z)，则

??????????PM?(x,y,z?3)，MC?(?1?x,3?y,?z)??9分

t?x???1?t?x?t(?1?x)??3t?y?t(3?y)?y???1?t???z?3?t(?z)?3???????????z?1?t，???10分 ??PM?t?MC,∴

??????t3t3?QM??,,??????1?t1?t1?t??QB?(0,3,0)??， 在平面MBQ中，，

??∴平面MBQ法向量为m?(3,0,t)．??12分

???n?mt3cos30???????2n?m3?0?t2M?BQ?C∵二面角为30°，∴，得t?3??14分

法二：过点M作MO//PQ交QC于点O，过O作OE⊥QB交于点E，连接ME， 因为PQ?面ABCD,所以MO⊥面ABCD，由三垂线定理知ME⊥QB， 则?MEO为二面角M?BQ?C的平面角。????9分（没有证明扣2分） 设CM?a，则PM?a?t，PC?7，

3aMOCM1??MO?CP，1?t7?????10分 ?PQ?OE⊥QB，BC⊥QB，且三线都共面，所以BC//OE EOQOPMtt?a???EO?PC，?1?t7 ????11分 ?BCQCE E O

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