§11.1 反常积分概念 数学分析课件（华师大 四版） 高教社ppt 华东师大教材配套课件 - 图文

数学分析第十一章反常积分§1 反常积分概念反常积分讨论的是无穷区间上的积分和无界函数的积分，是定积分概念的推广.一、反常积分的背景二、两类反常积分的定义*点击以上标题可直接前往对应内容§1 反常积分概念反常积分的背景两类反常积分的定义

反常积分的背景

积分区间在讨论定积分时有两个最基本的条件：

的有穷性; 被积函数的有界性.

但以下例子告诉我们有时我们需要考虑无穷区间上的“积分”或无界函数的“积分”.

例1 (第二宇宙速度问题) 在地球表面垂直发射火箭, 要使火箭克服地球引力无限远离地球, 试问初速度v0至少要多大？

解设地球半径为R,火箭质量为m,地面上的重力加速度为g,按万有引力定理, 在距地心x(?R)数学分析第十一章反常积分高等教育出版社后退

前进

目录

退出

§1 反常积分概念反常积分的背景两类反常积分的定义

mgR处火箭所受的引力为F?,2x于是火箭从地面上升到距地心为r(?R)处需作功

2rmgR1?2?1dx?mgR?.??2?Rx?Rr?当r???时,其极限mgR就是火箭无限远离地球需作的功．于是自然把这一极限写作上限为??的积分2???RmgRdx?lim2r???x22?mgRdx?mgR.2Rxr2由机械能守恒定律初速度v0至少应使mv?mgR.1220用g?9.81(m/s),R?6.371?10(m)代入,得v0?2gR?11.2(km/s).数学分析第十一章反常积分高等教育出版社6§1 反常积分概念反常积分的背景两类反常积分的定义

例2圆柱形桶的内壁高为h,内半径为R, 桶底有

一半径为r 的小孔．试问从盛满水开始打开小孔直至流完桶中的水, 共需多少时间？

解桶内水位高度为h?x时,流出水的速度为v?2g(h?x).在时间dt 内, 桶中液面降低的微小量为dx,它们

之间应满足πRdx?vπrdt,22因此

dt?Rr222g?h?x?dx,x??0,h?.于是流完一桶水所需时间形式上为

数学分析第十一章反常积分高等教育出版社§1 反常积分概念反常积分的背景两类反常积分的定义

t??h0Rr222g?h?x?dx.但由于被积函数是[0,h)上的无界函数,所以它的确切含义为

t?lim??u?hu0Rr2222g?h?x?dx?lim?u?h2R2gr2?h?h?u??高等教育出版社2h?R?.??g?r?数学分析第十一章反常积分

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/uxov.html