坐标系转换

坐标系转换问题

1.坐标系基础知识

1.1 1954年北京坐标系

1954年北京坐标系可以认为是前苏联1942年坐标系的延伸。它的原点不在北京，而在前苏联的普尔科沃。相应的椭球为克拉索夫斯基椭球。

1954年北京坐标系建立以来，我国依据这个坐标系建成了全国天文大地网，完成了大量的测绘任务。但是随着测绘新理论、新技术的不断发展，人们发现该坐标系存在如下缺点：

（1）椭球参数有较大误差。克拉索夫斯基椭球参数与现代精确的椭球参数相比，长半轴约大109m。

（2）参考椭球面与我国大地水准面存在着自西向东明显的系统性的倾斜，在东部地区大地水准面差距最大达+68m。着使得大比例尺地图反映地图面的精度受到影响，同时也对观测元素的归算提出了严格要求。

（3）几何大地测量和物理大地测量应用的参考面不统一。我国在处理重力数据时采用赫尔默特1900~1909年正常重力公式，与这个公式相应的赫尔默特扁球不是旋转椭球，它与克拉索夫斯基椭球是不一致的，这给实际工作带来了麻烦。 （4）定向不明确。椭球短轴的指向既不是国际上比较普遍采用的国际协议（习用）原点CIO（Conventional International Origin），也不是我国地极原点

JYD1968.0；起始大地子午面也不是国际时间局BIH（Bureau International de I Heure）所定义的格林尼治平均天文台子午面，从而给坐标换算带来一些不便和误差。 另外，鉴于该坐标系是按局部平差逐步提供大地点成果的，不是整体平差结果，因而不可避免地出现一些矛盾和不够合理的地方。

随着我国测绘事业的发展，现在已经具备条件，可以利用我国测量资料和其他有关资料，建立起适合我国情况的新的坐标系。

1.2 新1954北京坐标系

新1954年北京坐标系，是由1980年国家大地坐标系转换得来的，简称BJ54新；原1954年北京坐标系又称为旧1954年北京坐标系BJ54旧。由于在全国的以GDZ80为基准的测绘成果建立之前，BJ54旧的测绘成果仍将存在较长时间，而

BJ54旧与GDZ80两者之间差距较大，给成果的使用带来不便，所以又建立了

BJ54新作为过渡坐标系。经过渡坐标系的转换，BJ54新和BJ54旧的控制点的高斯平面坐标，其差值在全国80%地区内小于5m，局部地区最大达12.9m。 BJ54新是在GDZ80基础上，改变GDZ80相对应的IUGG1975椭球几何参数为克拉索夫斯基椭球参数，并将坐标原点（椭球中心）平移，使坐标轴保持平行而建立起来的。

BJ54新的特点是：

（1）采用克拉索夫斯基椭球参数。

（2）是综合GDZ80和BJ54旧建立起来的参心坐标系。

（3）采用多点定位，但椭球面与大地水准面在我国境内不是最佳拟合。

（4）定向明确，坐标轴与GDZ80相平行，椭球短轴平行于地球质心指向地极原

?X??Y??Z?0。点JYD1968.0方向，起始大地子午面平行于我国起始天文子午面，

（5）大地原点与GDZ80相同，但大地起算数据不同。

（6）大地高程基准采用1956年黄海高程系。

（7）与BJ54旧相比，所采用的椭球参数相同，其定位相近，但定向不同。BJ54旧的坐标是局部平差结果，而BJ54新是GDZ80整体平差结果的转换值，两者之间无全国统一的转换参数，只能进行局部转换。

1.3 1980年国家大地坐标系

为了适应我国大地测量发展的需要，在1978年4月于西安召开的“全国天文大地网整体平差会议”上，参加会议的专家对建立我国比1954年北京坐标系更精确的新大地坐标系进行了讨论和研究。到会专家普遍认为1954年北京坐标系相对应的椭球参数不够精确，其椭球面与我国大地水准面差距较大，在东部经济发达地区差距高达60余米，因而建立我国新的大地坐标系是必要的。该次会议关于建立新大地坐标系提出了如下原则：

（1）全国天文大地网整体平差要在新的坐标系的参考椭球面上进行。为此，首先要建立一个新的大地坐标系，并命名为1980国家大地坐标系；

（2）1980国家大地坐标系的大地原点固定在我国中部，具体选址是陕西省泾阳县永乐镇； （3）采用国际大地测量和地球物理联合会1975年推荐的四个地球椭球基本参数(a,J2,GM,?)，并根据这四个参数求解椭球扁率和其他参数。

(4)1980国家大地坐标系的椭球短轴平行于地球质心指向我国地极原点

JYD1968.0方向，大地起始子午面平行于格林尼治平均天文台的子午面； (5)椭球定位参数以我国范围内高程异常值平方和等于最小为条件求解。

1980国家大地坐标系就是根据以上原则在1954年北京坐标系基础上建立起来的。

1980国家大地坐标系的特点是：

(6)采用1975年国际大地测量与地球物理联合会（IUGG）第16届大会上推荐的4个椭球基本参数。

地球椭球长半径 a=6 378 140m，

地心引力参数 GM=3.986 005×1014m3s2， 地球重力场二阶带球谐系数 J2=1.082 63×10?8， 地球自转角速度 ??7.292115?10?5rads。

根据物理大地测量学中的有关公式，可由上述4个参数算得 地球椭球扁率 a=1/298.257，

赤道的正常重力值 ?0?9.78032ms2。

(7)参心大地坐标系是在1954年北京坐标系基础上建立起来的。 (8)椭球面同似大地水准面在我国境内最为密合，是多点定位。

(9)定向明确。椭球短轴平行于地球质心指向地极原点JYD1968.0方向，起始大地子午面平行于我国起始天文子午面，?X??Y??Z?0。

(10)大地原点地处我国中部，位于西安市以北60km处的泾阳县永乐镇，简称西安原点。

(11)大地高程基准采用1956年黄海高程系。 精度高，点位中误差±0.84m。

2. 坐标的换带计算

为了限制高斯投影长度变形，将椭球面按一定经度的子午线划分成不同的投影带；或者为了抵偿长度变形，选择某一经度的子午线作为测区的中央子午线。由于中央子午线的经度不同，使得椭球面上统一的大地坐标系，变成了各自独立的平面直角坐标系，就需要将一个投影带的平面直角坐标系，换算成另外一个投影带的平面直角坐标，称为坐标换带。

2.1 坐标换带的方法

坐标换带有直接换带计算法和间接换带计算法两种。目前采用间接换带计算法，因此下面仅就此方法作一介绍。

如将第一带（东带或西带）的平面坐标换算为第二带（西带或东带）的平面坐标，方法是先根据第一带的平面坐标x,y和中央子午线的经度L。按高斯投影

坐标反算公式求得大地坐标B,L然后根据B,L和第二带的中央子午线经度按高

斯投影坐标正算公式求得在第二带中的平面坐标 x',y'。由于在换带计算中，把椭球面上的大地坐标作为过渡坐标，因而称为间接换带法。这种方法理论上是严密的，精度高，而且通用性强，他适用于6°带与6°带，3°带与3°带，6°带与3°带之间的坐标换带。

如图所示，图（a）是P点在Ⅰ带平面直角坐标系的投影，它的平面直角坐标是P(x,y)1；图（b）是该P点在Ⅱ带平面直角坐标系的投影，它的平面直角坐标是P(x,y)2。假若已知P(x,y)1要求P(x,y)2，或已知P(x,y)2要求P(x,y)1，这就是所谓的邻带坐标换算。

x x l1 B l2 P(x,y)2 B P(x,y)1 (a) y (b) y

利用高斯投影正反算公式进行邻带坐标换算的实质是把椭球面上的大地坐标作为过渡坐标。其解法是，首先利用高斯投影坐标反算公式，根据(x,y)1换算成椭球面大地坐标(B,l1)，进而得到L?L10?l1。然后再由大地坐标(B,l2)，利用高斯投影坐标正算公式，根据(B,l2)计算该点在Ⅱ度带的平面直角坐标(x,y)2，但在这一步计算时，要根据第Ⅱ带的中央子午线的经度L20计算P点在第Ⅱ带的经差l2?L?L20。为了检核计算的正确性，每步都需要往返计算。

2.2 坐标换带的实际应用

在生产实践中通常有以下两种情况需要换带计算

（1） 控制网中的已知点位于相邻的两个投影带中。如图一

（图一：坐标换带示意图）

中的附合导线，A,B,C,D为已知高

级点。A,B 两点位于西带内，具有西带的高斯平面直角坐标值；C,D两点位于东带内，具有东带的高斯平面直角坐标值。在坐标平差计算时，就必须将它们的坐标系统统一起来，或是将A,B点的西带坐标值换算至东带，或是将C,D点的东带坐标值换算至西带。

（2） 国家控制点的坐标通常是6°带的坐标，而在工程测量中往往需要采用带或1.5°带，这就产生了6°带与

带或 1.5°带之间的坐标换算问题。

我们知道，带的中央子午线中，有半数与6°带的中央子午线重合。所以，由

6°带到3°带的换算区分为2种情况：

① 3°带与6°带的中央子午线重合 如图二所示，3°带第 （图二：坐标换带示意图）

41带与6°第21带的中央子午线重合。既然中央子午线一致，坐标系统也就一致。所以，图中P1点在6°带第21带的坐标，也就是该点在3°带第41带的坐标。在这种情况下，6°带与3°带之间，不存在换带计算问题。

② 3°带中央子午线与6°带分带子午线不重合如图所示，若已知P2点在6°带第21带的坐标，求它在3°带第42带的坐标。由于这2个投影带的中央子午线不同，坐标系统不一致，必须进行换带计算。不过P2点在6°带第21带的坐标与它在3°第41带的坐标相同，所以6°带到3°带坐标换算，也可看作是3°带到3°带的邻带坐标换算。

换带计算目前广泛采用高斯投影坐标正反算方法 ，他适用于任何情况下的换带计算工作。这种方法的程序是：首先将某投影带的已知平面坐标(x1,y1),按高斯投影坐标反算公式求得其大地坐标（B,L）;然后根据纬度B和对于所选定的中央子午线的经差面坐标(x2,y2)。

例如，某点A在新54坐标系6°带的平面坐标为

,按高斯投影坐标正算公式求其在选定的投影带的平

x2=3589644.287 y2=20679136.439 求A点在3°带的平面直角坐标（x2,y2）.

首先确定A点所在投影带中央子午线经度。由横坐标的规定值可以直接判定，A点位于6°带第20带，其中央子午线经度L。=117°，横坐标的自然值为

y1=679136.493-500000=+179136.439m;该坐标等同于3°带第39带的平面坐标。 其次将已知的6°带坐标反算为大地坐标。为此，可直接应用坐标反算公式进行计算，其结果为

B=32°2457.6522＂ L=118°5415.2206＂

由大地经度L可判断，A点位于3°第40带，中央子午线为L。=120°。 最后根据高斯投影坐标正算公式，由已知的纬度B和经度计算A点在3°带第40带的平面直角坐标，得

x2=3588576.591 y2=40396922.874

其中横坐标y2为规定值。

3. 坐标系转换

首先，我们要弄清楚几种坐标表示方法。大致有三种坐标表示方法：经纬度和高程，空间直角坐标，平面坐标和高程。

我们通常说的西安80坐标是经纬度和高程这一种，北京54坐标是平面坐标和高程着一种。

现在，再搞清楚转换的严密性问题，在同一个椭球里的转换都是严密的，而在不同的椭球之间的转换这时不严密的。举个例子，在西安坐标和北京54坐标之间是不存在一套转换参数可以全国通用的，在每个地方会不一样，因为它们是两个不同的椭球基准。

那么，两个椭球间的坐标转换应该是怎样的呢？一般而言比较严密的是用七参数法，即X平移，Y平移，Z平移，X旋转，Y旋转，Z旋转，尺度变化K。要求得七参数就需要在一个地区需要3个以上的已知点，如果区域范围不大，最远点间的距离不大于30Km(经验值)，这可以用三参数，即X平移，Y平移，Z平移，而将X旋转，Y旋转，Z旋转，尺度变化K视为0，所以三参数只是七参数的一种特例。在本软件中提供了计算三参数、七参数的功能。

在一个椭球的不同坐标系中转换需要用到四参数转换，举个例子，在深圳既有北京54坐标又有深圳坐标，在这两种坐标之间转换就用到四参数，计算四参数需要两个已知点。

下面举例子说明：在湖北有一个测区，需要完成北京54坐标系到西安80坐标系的转换，整个转换过程是：

坐标系转换

七已知点 四参数计算 北京54平面坐标 七已知点 四参数转换 转换为空间坐标 七参数转换 七参数计算 80西安坐标系

3.1 四参数转换

如果区域范围不大，可采用4参数方法计算坐标转换，计算4参数法需要两个已知点的80和54两套坐标。该方法计算简单且在一定范围内计算结果精度较高，有一定的实用性。

四参数即两个平移参数，一个旋转参数，一个尺度参数，四参数没有转换模型，是强制转换。

实例：

湖北用户在一个测区内有一些点的北京54的坐标,现在希望将其转换为国家80坐标。用户有测区的七个GPS C级点(112.5度带）控制点，这些控制点既有北京54坐标也有国家80坐标，转换步骤为：

3.1.2 4参数计算

首先在需进行坐标转换的区域内，选取两个或两个以上等级较高的国家一、二等三角点，这两个或两个以上点需有54和80两套坐标成果，然后计算出4参数既：X坐标平移量、Y坐标平移量、坐标变换尺度比因子K，旋转角△α(同一条边在新、旧网中坐标轴的交角，单位为弧度)。其计算公式为：

X平移量??1?(x1cos???y1sin??)K ?平移量?Y1?(y1cos???x1sin??)K ???atan?

K??X1(?X2cos????Y4xin??)

其中，X1、Y1、X2、Y2为转换后的80坐标，x1、y1、x2、y2为转换前的坐标。

?X1?X1?X2 ?X2?x1?x2

?Y3?Y1?Y2 ?Y4?y1?y2

??(?X2Y3??X1?Y4)(?X1X2??Y3?Y4)

3.1.3 4参数转换

坐标转换计算公式：

X80?X平移量?X54Kcos???Y54Ksin?? Y80?Y平移量?X54Ksin???Y54Kcos??

式中：X平移量、Y平移量为平移参数、K为坐标变换尺度比因子，??为旋转角（单位为弧度），X54、X54为旋转前54坐标值，X80、Y80为旋转后的80坐标值。

3.2七参数转换

采用七参数方法计算坐标转换，主要是在较大区域内进行的，转换需要在区域内有3个以上的已知点，且在3个点要有54和80的两套坐标，最好是国家一等三角点或高精度的GPS点。

七参数是三个平移参数，三个旋转参数，一个尺度参数。

进行基准转换的算法也很多，较为常用的有布尔沙-沃尔夫（Bursa-Wolf）模型和莫洛金斯基（Molodensky）模型。在这里我们以布尔沙-沃尔夫（Bursa-Wolf）模型为例祥述基准转换的方法。

布尔沙-沃尔夫模型（在我国被简称为布尔沙模型）又被称为七参数转换（7-ParameterTransformation）或七参数赫尔默特变换（7-ParameterHelmert Transformation）,如下图所示。在该模型中共采用了7个参数，分别是3个平移参数TX、TY、TZ，3个旋转参数?X、?Y、?Z（也被称为3个欧拉角）和一个尺度参数m。假设有两个分别基于不同基准的空间直角坐标系OA?XAYAZA和

K??X(?X2cos????Y2xin??)???atan????(?X2Y3??X1?Y4)(?X1X2??Y3?Y4)OB?XBYBZB，采用布尔沙模型将X80?X平移量?X54Kcos???Y54Ksin??下坐标

Y80?Y平移量?X54Ksin???Y54Kcos??x1y1x2y2转换为OB?XBYBZB下坐标的步骤是：

ZA

ZB

?Z

A,B?X

A,BOA

?Y

A,BXA

TTXA,B,TYA,B,TZA,B OB

YB

??YA

XB

(1) 从XA正向看向原点OA，以OA点为固定旋转点，将OA?XAYAZA绕XA轴逆时针旋转?XA,B角，使经过旋转后的YA轴与OB?XBYBZB平面平行；

(2) 从YA正向看向原点OA，以OA点为固定旋转点，将OA?XAYAZA绕YA轴逆时针旋转?YA,B角，使经过旋转后的XA轴与OB?XBYBZB平面平行。显然，此时ZA轴也与ZB轴平行；

(3) 从ZA正向看向原点OA，以OA点为固定旋转点，将OA?XAYAZA绕ZA轴逆时针旋转?ZA,B角，使经过旋转后的XA轴与XB轴平行。显然，此时OA?XAYAZA的三个坐标轴已与OB?XBYBZB中相应的坐标轴平行；

(4) 将OA?XAYAZA中的长度单位缩放1?m倍，使其与OB?XBYBZB的长度单位一致；

(5) 将OA?XAYAZA的原点分别沿XA、YA和ZA轴移动?TXA,B、?TYA,B和?TZA,B，使其与OB?XBYBZB的原点重合。可用数学公式将该转换过程表达如下：

?XB??TXA,B??XA????Y??T?Y? ?(1?m)R(?)R(?)R(?)BY3Z2Y1XA?A,BA,BA,B????A,B??????ZB???TZA,B??ZA??式中：

XA，YA，ZA和XB，YB，ZB为某点分别在OA?XAYAZA和OB?XBYBZB下的坐标：

?XA,B，?YA,B，?ZA,B为由OA?XAYAZA转换到OB?XBYBZB的旋转参数；

mA,B为由OA?XAYAZA转换到OB?XBYBZB的尺度参数；

TXA,B，TYA,B，TZA,B为由OA?XAYAZA转换到OB?XBYBZB的平移参数； ?100??cos?YA0?sin?YA,B?R?)??1(XA,B?0cos?Xsin???,BX?A,BA,B?，R2(?YA,B)??010???0?sin?XA,Bcos?X??A,B??sin?YA,B0cos?Y?A,B???cos?ZA,Bsin?ZA,B0?R3(?ZA,B)???sin?ZA,Bcos?ZA,B0?分别为三个旋转矩阵。 ?01??0?? 可将三个旋转矩阵的乘积用矩阵RA,B表示：

?rr1,2r1,3?RA,B?R?1,13(?ZA,B)R2(?YA,B)R1(?XA,B)??r2,1r2,2r?2,3??

?r3,1r3,2r3,3??A,B式中：

r1,1?cos?ZA,Bcos?YA,B；

r1,2?cos?ZA,Bsin?YA,Bsin?XA,B?sin?ZA,Bcos?XA,B； r1,3?sin?ZA,Bsin?XA,B?cos?ZA,Bsin?YA,Bcos?XA.B； r2,1??sin?ZA,Bcos?YA,B；

r2,2?cos?ZA,Bcos?XA,B?sin?ZA,Bsin?YA,Bsin?XA,B； r2,3?sin?ZA,Bsin?YA,Bcos?XA,B?cos?ZA,Bsin?XA,B； r3,1?sin?YA,B；

r3,2??cos?YA,Bsin?XA,B；

， r3,3?cos?YA,Bcos?XA,B。

在通常情况下，涉及两个不同大地基准间旋转的3个欧拉角?XA,B，?YA,B和?ZA,B都非常小，在这一前提下可取：

cos?X?1，cos?Y?1，cos?Z?1；

sin?XA,B??XA,B，sin?YA,B??YA,B，sin?ZA,B??ZA,B。 这样，就可以将矩阵RA,B表示为：

RA,B?1?????ZA,B???YA,B?ZA,B1??XA,B??YA,B???XA,B? 1??从而采用布尔沙模型将OA?XAYAZA下坐标转换为OB?XBYBZB下坐标的公式可表示为：

?1?XB??TXA,B??Y???T??(1?m)???A,B?ZA,B?B??YA,B???????ZB???TZA,B??YA,B也可将上式进一步表示为：

?ZA,B1??XA,B??YA,B??XA??? ?XA,B??YA???1???ZA???TXA,B??T??YA,B?XA??TZA,B????YA?X??A,B? ?YA,B?ZA???????ZA,B??m??A,B?0?XB??XA??100?Y???Y???010ZA?B??A????A??ZB????Z???001?YA?ZA0XAYA?XA0

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