福建连城县第一中学2022届高三上学期期中联考数学试卷 Word版含

2020-2021学年第一学期半期考 高三数学试题 （考试时间：120分钟 总分：150分）

试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分

第Ⅰ卷（选择题，共60分）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的。请将正确答案的代号涂在答题卡上。

1.设全集{|0}=≥U x x ，集合}1{=A ，则A C U =（ ）

A.(,1)(1,)-∞+∞

B.(,1)-∞

C.[0,1)(1,)+∞

D.(1,)+∞ 2.命题:p ABC ?为锐角三角形，命题:q ABC ?中，B A cos sin >. 则命题p 是命题q 的（ ）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

3.幂函数)(x f 满足)2(3)4(f f =,则)21(f 等于( )

A.31

B.3

C.3

1- D.3- 4.若3sin(2)25

πα-= ，则44sin cos αα-的值为（ ） A ．45 B ．35 C ．45

- D ．35

- 5.设π

πln ,33ln ,22ln ===c b a ,则下列判断中正确的是( ) A. c b a >> B.a c b >> C. b c a >> D.a b c >> 6.我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休。在数学的学习和研究中，函数的解析式常用来琢磨函数的图象的特征。函数()(1)sin e 21x f x x =-

+在区间ππ(,)22-上的图象的大致形状是( ) A ． B ． C ． D ． 7.某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况．

加油时间 加油量（升） 加油时的累计里程（千米）

2020年5月1日 12

35000 2020年5月15日 60

35600

注：“累计里程“指汽车从出厂开始累计行驶的路程。在这段时间内，该车每百千米平均耗油量为（ ）

A ．6升

B ．8升

C ．10升

D ．12升

8.若函数)(0

,30,2)(R a x a x x a x f x ∈???>-≤-=－在R 上没有零点,则a 的取值范围是( )

A.）+∞,0(

B.}0{),1 +∞（

C.]0,(-∞

D.]1,(-∞

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分。

9.己知实数y x ,满足约束条件??

???≥≤--≤-+10202x y x y x ,则（ ）

A.目标函数y x z -=的最小值为0

B. 目标函数y x z +=的最小值为0

C.目标函数22)1(y x z ++=的最小值为5

D.目标函数22)1(y x z ++=的最小值为 4 10.设正实数a ，b 满足1a b +=，则（ ）

A. 22log log 2a b +≥- B ．4171≥+

ab ab C.22312+≤+b

a D ．122

a b

-> 11.已知函数()[]x x f cos sin =（[x ]表示不超过实数x 的最大整数部分），则（ ）

A.()x f 的最小正周期为π2

B. ()x f 是偶函数

C.()x f 在??

? ??20π，单调递减 D.()x f 的值域为[]11sin sin ，- 12.已知函数)(x f 为R 上的可导函数，则下列判断中正确的是（ ）

A.若)(x f 在0x x =处的导数值为0，则)(x f 在0x x =处取得极值

B.若)(x f '为奇函数，则)(x f 为偶函数

C.若)(x f '为偶函数，则)(x f 为奇函数

D.若)(x f 的图像关于某直线对称，则)('x f 的图像关于某点成中心对称

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。其中16题两空，第一空2分，第二空3分，请将正确答案填写在答题卡上。 13.不等式a x <-1的解集为()20，

，则a 的值为_________________. 14.命题[]1,1:0-∈?x p ，012

0≤-+m x 为真命题，则实数m 的取值范围是______________. 15.已知函数12

1)(2---=kx x e x f x 有两个极值点，则k 的取值范围是____________. 16.托勒密是古希腊天文学家、地理学家、数学家，托勒密定理就是由其名字命名，该定理原文：圆的内接四边形中，两对角线所包矩形的面积等于一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和。其意思为：圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积。 从这个定理可以推出正弦、余弦的和差公式及一系列的三角恒等式，托勒密定理实质上是关于共圆性的基本性质．已知四边形ABCD 的四个顶点在同一个圆的圆周上，AC 、BD

是其两条对角线，4=BD ，且ACD ?为正三角形，则ABC ?面积的最大值为___________，四边形ABCD 的面积为________________.(注：圆内接凸四边形对角互补）

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（本题满分10分）

已知函数b ax x x f +-=3

)(在1=x 处的切线方程为0=y .

（1）求实数b a ,的值；

（2）求函数)(x f 在区间]2,1[-上的最大值与最小值之和.

18.（本题满分12分） ○

1函数())0(412cos 212cos 2sin 232>-+=ωωωω）（）（）（x x x x f ， ○2函数1π()sin()(0,||)22f x x ω?ω?=+><的图像向右平移π12

个单位长度得到()g x 的图像，()g x 的图像关于原点对称. 在这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答：

“已知_______，函数()f x 图像的相邻两条对称轴之间的距离为

π2.” （1）求π()6

f 的值；

（2）求函数()f x 在[0,π]上的单调递增区间.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

19.（本题满分12分） （1）已知角α的终边上有一点)4,3(P ，求)cos()2

3cos()23sin(

)sin(απαπαπαπ-++---的值. （2）已知2tan tan 6=++βαπβα，＝，求)cos(βα-的值.

20.（本题满分12分）

如图，在ABC ?中，3

B π

=，2BC =，线段AC 的垂直平分线交AB 于点D ，连接CD . （1）若BCD ?的面积为3，求CD 的长；

（2

）若2

DE =

，求角A 的大小.

21.（本题满分12分）

已知函数()ln g x x a x =-. （1）讨论()g x 的单调性；

（2）若2a >，且()1

()f x g x x =-存在两个极值点12,x x ()21x x <，

证明：()()()1212(2)f x f x a x x ->--.

22.（本题满分12分） 已知函数mx e x f x

+=)(.

（1）讨论)(x f 的零点个数；

（2）若不等式1ln 1++≥+-x a x x e a x 对1>x 恒成立，求实数a 的取值范围.

数学科试题参考答案及评分标准

一、选择题

二、多项选择题

三、填空题

13. 1 14. ]1,(-∞ 15. ),1(+∞ 16.3 34 四、解答题

17.（本题满分12分）

解：（1）由已知得切点为)0,1(，且a x x f -='2

3)(，.........................1分

∴???='=0)1(0)1(f f ，即???=-=+-0

301a b a ，解得2,3==b a .........................5分 （2）由（1）知23)(3+-=x x x f ，33)(2-='x x f

令033)(2

=-='x x f 得1,1=-=x x .........................7分 ∴4)2(,0)1(,4)1(===-f f f

则)(x f 在区间]2,1[-上的最大值与最小值之和为4..........................10分

18.（本题满分12分）

选择条件①：

依题意，()f x 相邻两对称轴之间距离为

π2

，则周期为π，从而2ω=，..........2分 1()sin(2)2f x x φ=+，1π()sin(2)26

g x x φ=+-， 又()g x 的图像关于原点对称，则(0)0g =，由π||2φ<知π6

φ=，................5分 从而1π()sin(2)26f x x =+，π1()62f =........................7分 选择条件②：

())0(4

12cos 212cos 2sin 232>-+=ωωωω）（）（）（x x x x f

即有：11π()cos =sin()426

f x x x x ωωω=++ 又因为()f x 相邻两对称轴之间距离为

π2，则周期为π，从而2ω=， 从而1π()sin(2)26f x x =+，π1()62

f =........................7分 （2）1π()sin(2)26f x x =+，令ππ2π-22π,262

k x k k z π≤+≤+∈， 解得πππ,π,36x k k k z ?

?∈-+∈????

， 从而()f x 在[]0,π上的单调递增区间为π20,,,63ππ????????????

.........................12分 19.（本题满分12分）

.解：（1）原式1

tan 1tan cos sin cos sin -+=-+=αααααα

由已知可得3

4tan =α，故原式7=........................6分 （3）由2tan tan =+βα，可得2cos cos )sin(cos sin cos sin =+=+β

αβαββαα 4

1cos cos ,6=∴=+βαπ

βα 又23sin sin cos cos )cos(=

+=+βαβαβα 2

341sin sin -=∴βα 231sin sin cos cos )cos(-=

+=-∴βαβαβα........................12分 20.（本题满分12分）

解：(1)由已知得S △BCD ＝12BC ·BD ·sin B

BC ＝2，sin B

∴BD ＝

23，cos B ＝12

．在△BCD 中，由余弦定理，得 CD 2＝BC 2＋BD 2－2BC ·BD ·cos B ＝22＋232）（－2×2×23×12＝289． ∴CD

．........................6分 (2) ∵CD ＝AD

＝

sin DE A =， 在△BCD 中，由正弦定理，得sin sin BC CD BDC B

=∠， 又∠BDC ＝2A

，得2sin22sin sin A A B

=， 解得cos A

＝2，所以A ＝4

π．........................12分 21.本题满分12分）

解：解（1）()ln g x x a x =-的定义域为()0,∞+，()1a x a g x x x

-'=-=....................2分 (i )若0a ≤，则()0g x '≥，所以()g x 在()0,∞+单调递增. ........................3分

(ii )若0a >，当()0,x a ∈时，()0g x '<；当(),x a ∈+∞时，()0g x '>.

所以()g x 在()0,a 单调递减，在(),a +∞单调递增........................5分

（2）因为()f x 存在两个极值点且2a >.()221x ax f x x

-+'=-， 所以()f x 的两个极值点12,x x 满足210x ax -+=，

所以121=x x ，不妨设12x x <，则21>x ........................7分

则()()1212121212

1ln ln 1f x f x x x a x x x x x x --=--+-- 1221222ln ln 2ln 221x x x a

a x x x x --=-+=-+--，........................8分 要证()()1212

2f x f x a x x -<--，只需证22212ln 0x x x -+<. 设()12ln (1)h x x x x x =-+>，则()22

(01)h x x x

-'=-<，........................10分 知()h x 在()1,+∞单调递减，又()10h =

当()1,x ∈+∞时，()0h x <，故222

12ln 0x x x -+<， 即()()1212

2f x f x a x x -<--，所以()()()1212(2)f x f x a x x ->--........................12分 22.（本题满分12分）

（1）令()0=x f ，即0=+mx e x

0=x 不是方程的根，x

e m x

=-∴........................1分 令x e x g x =)(,则()()21x

e x x g x

-='........................2分 当1>x 时，0)(>'x g ，)(x g 单调递增，当10<

所以，当e m -=或0>m 时，函数有1个零点；

当e m -<时，函数亦两个零点；

当0e ≤<-m 时，函数亦0个零点.........................6分

（2）不等式可化为()x a e x e

x a x ln 1ln 1+≥-+-........................7分 令x e x h x +=)(，则)(x h 为增函数

所以有()()x a h x h ln 1≥-，得到x a x ln 1≥-，

所以不等式1ln 1++≥+-x a x x e a x 对1>x 恒成立等价于不等式0ln 1≥--x a x 对1>x 恒成立........................8分

令)1(,ln 1)(>--=x x a x x m ，有x

a x x m -=')( 当1≤a 时，因为1>x ，所以0>-a x ，所以0)(>'x m ，函数)(x m 为增函数，所以0)1()(=≥m x m ，即1≤a 时，不等式恒成立；

当1>a 时，因为a x <<1时，0)(<'x m ，函数)(x m 为减函数，有0)1()(=

综上，当1≤a 时，不等式1ln 1++≥+-x a x x e a x 对1>x 恒成立。........................12分

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