【备考2014】2013高考数学 (真题+模拟新题分类汇编) 解析几何 文

- 1 - 解析几何

H1 直线的倾斜角与斜率、直线的方程

21．B12，H1[20132新课标全国卷Ⅱ] 已知函数f(x)＝x 2e －x .

(1)求f(x)的极小值和极大值；

(2)当曲线y ＝f(x)的切线l 的斜率为负数时，求l 在x 轴上截距的取值范围．

21．解：(1)f(x)的定义域为(－∞，＋∞)．

f ′(x)＝－e －x x(x －2)．①

当x∈(－∞，0)或x∈(2，＋∞)时，f′(x)<0；

当x∈(0，2)时，f′(x)>0.

所以f(x)在(－∞，0)，(2，＋∞)单调递减，在(0，2)单调递增．

故当x ＝0时，f(x)取得极小值，极小值为f(0)＝0；当x ＝2时，f(x)取得极大值，极大

值为f(2)＝4e －2.

(2)设切点为(t ，f(t))，则l 的方程为

y ＝f′(t)(x－t)＋f(t)．

所以l 在x 轴上的截距为

m(t)＝t －f （t ）f′（t ）＝t ＋t t －2＝t －2＋2t －2

＋3. 由已知和①得t∈(－∞，0)∪(2，＋∞)．

令h(x)＝x ＋2x

(x≠0)，则当x∈(0，＋∞)时，h(x)的取值范围为[2 2，＋∞)；当x∈(－∞，－2)时，h(x)的取值范围是(－∞，－3)．

所以当t∈(－∞，0)∪(2，＋∞)时，m(t)的取值范围是(－∞，0)∪[2 2＋3，＋∞)． 综上，l 在x 轴上的截距的取值范围是(－∞，0)∪[2 2＋3，＋∞)．

5．H1，H4[20132天津卷] 已知过点P(2，2)的直线与圆(x －1)2＋y 2＝5相切，且与直线

ax －y ＋1＝0垂直，则a ＝( )

A ．－12

B ．1

C ．2 D.12

5．C [解析] 设过点P(2，2)的圆的切线方程为y －2＝k(x －2)，由题意得

|k －2|1＋k 2＝5，解之得k ＝－12

.又∵切线与直线ax －y ＋1＝0垂直，∴a＝2. 15．H1，C8，E8[20132四川卷] 在平面直角坐标系内，到点A(1，2)，B(1，5)，C(3，

6)，D(7，－1)的距离之和最小的点的坐标是________．

15．(2，4) [解析] 在以A ，B ，C ，D 为顶点构成的四边形中，由平面几何知识：三角形两边之和大于第三边，可知当动点落在四边形两条对角线AC ，BD 交点上时，到四个顶点的距离之和最小．AC 所在直线方程为y ＝2x ，BD 所在直线方程为y ＝－x ＋6，交点坐标为(2，

4)，即为所求．

- 2 - H2 两直线的位置关系与点到直线的距离

20．H2，H4[20132新课标全国卷Ⅱ] 在平面直角坐标系xOy 中，已知圆P 在x 轴上截得线段长为2 2，在y 轴上截得线段长为2 3.

(1)求圆心P 的轨迹方程；

(2)若P 点到直线y ＝x 的距离为22

，求圆P 的方程． 20．解：(1)设P(x ，y)，圆P 的半径为r.

由题设y 2＋2＝r 2，x 2＋3＝r 2.从而y 2＋2＝x 2＋3.

故P 点的轨迹方程为y 2－x 2＝1.

(2)设P(x 0，y 0)，由已知得 |x 0－y 0|2

＝22. 又P 点在双曲线y 2－x 2

＝1上，从而得?????|x 0－y 0|＝1，y 20－x 20＝1. 由?????x 0－y 0＝1，y 20－x 20＝1得?

????x 0＝0，y 0＝－1. 此时，圆P 的半径r ＝ 3.

由?????x 0－y 0＝－1，y 20－x 20＝1得?

????x 0＝0，y 0＝1， 此时，圆P 的半径r ＝ 3.

故圆P 的方程为x 2＋(y －1)2＝3或x 2＋(y ＋1)2＝3.

4．H2、H3和H4[20132重庆卷] 设P 是圆(x －3)2＋(y ＋1)2＝4上的动点，Q 是直线x ＝

－3上的动点，则|PQ|的最小值为( )

A ．6

B ．4

C ．3

D ．2

4．B [解析] |PQ|的最小值为圆心到直线距离减去半径．因为圆的圆心为(3，－1)，半径为2，所以|PQ|的最小值d ＝3－(－3)－2＝4.

H3 圆的方程

14．H3[20132江西卷] 若圆C 经过坐标原点和点(4，0)，且与直线y ＝1相切，则圆C 的方程是________．

14．(x －2)2＋? ????y ＋322

＝254 [解析] r 2＝4＋(r －1)2，得r ＝52，圆心为? ????2，－32.故圆C 的方程是(x －2)2＋? ????y ＋322

＝254.

- 3 - 21．F2、F3、H3、H5和H8[20132重庆卷] 如图1－5所示，椭圆的中心为原点O ，长轴

在x 轴上，离心率e ＝

22

，过左焦点F 1作x 轴的垂线交椭圆于A ，A′两点，|AA′|＝4. (1)求该椭圆的标准方程；

(2)取平行于y 轴的直线与椭圆相交于不同的两点P ，P′，过P ，P′作圆心为Q 的圆，使椭圆上的其余点均在圆Q 外．求△PP′Q 的面积S 的最大值，并写出对应的圆Q 的标准方程．

图1－5

21．解：(1)由题意知点A(－c ，2)在椭圆上，则（－c ）2a 2＋22

b 2＝1，从而e 2＋4b

2＝1. 由e ＝22得b 2＝41－e ＝8，从而a 2＝b 21－e

＝16. 故该椭圆的标准方程为x 216＋y 28

＝1. (2)由椭圆的对称性，可设Q(x 0，0)，又设M(x ，y)是椭圆上任意一点，则 |QM|2＝(x －x 0)2＋y 2＝x 2－2x 0x ＋x 2

0＋8? ????1－x 2

16 ＝12

(x －2x 0)2－x 20＋8(x∈[－4，4])． 设P(x 1，y 1)，由题意，P 是椭圆上到Q 的距离最小的点，因此，上式当x ＝x 1时取最小值，

又因为x 1∈(－4，4)，所以上式当x ＝2x 0时取最小值，所以x 1＝2x 0，且|QP|2＝8－x 20.

由对称性知P′(x 1，－y 1)，故|PP′|＝|2y 1|，所以

S ＝12|2y 1||x 1－x 0|＝12

32 8? ????1－x 2116|x 0|＝ 2（4－x 20）x 20＝2－（x 20－2）2＋4.

当x 0＝±2时，△PP′Q 的面积S 取到最大值2 2.

此时对应的圆Q 的圆心坐标为Q(±2，0)，半径|QP|＝8－x 20＝6，因此，这样的圆有

两个，其标准方程分别为(x ＋2)2＋y 2＝6，(x －2)2＋y 2＝6.

4．H2、H3和H4[20132重庆卷] 设P 是圆(x －3)2＋(y ＋1)2＝4上的动点，Q 是直线x ＝

－3上的动点，则|PQ|的最小值为( )

A ．6

B ．4

C ．3

D ．2

4．B [解析] |PQ|的最小值为圆心到直线距离减去半径．因为圆的圆心为(3，－1)，半径为2，所以|PQ|的最小值d ＝3－(－3)－2＝4.

H4 直线与圆、圆与圆的位置关系

6．H4[20132安徽卷] 直线x ＋2y －5＋5＝0被圆x 2＋y 2－2x －4y ＝0截得的弦长为

( )

- 4 - A ．1 B ．2 C ．4 D ．4 6

6．C [解析] 圆的标准方程是(x －1)2＋(y －2)2＝5，圆心(1，2)到直线x ＋2y －5＋5＝

0的距离d ＝1，所以直线x ＋2y －5＋5＝0被圆x 2＋y 2－2x －4y ＝0所截得的弦长l ＝2r 2－d

2＝4.

7．H4[20132广东卷] 垂直于直线y ＝x ＋1且与圆x 2＋y 2＝1相切于第Ⅰ象限的直线方程

是( )

A ．x ＋y －2＝0

B ．x ＋y ＋1＝0

C ．x ＋y －1＝0

D ．x ＋y ＋2＝0

7．A [解析] 设直线方程为y ＝－x ＋m ，且原点到此直线的距离是1，即1＝

m 2，解得m

＝± 2.当m ＝－2时，直线和圆切于第Ⅲ象限，故舍去，选A.

14．H4[20132湖北卷] 已知圆O ：x 2＋y 2＝5，直线l ：x cos θ＋y sin θ＝1? ????0＜θ＜π2.设圆O 上到直线l 的距离等于1的点的个数为k ，则k ＝________．

14．4 [解析] 圆心到直线的距离d ＝1，r ＝5，r －d>d ，所以圆O 上共有4个点到直线的距离为1，k ＝4.

10．H4[20132江西卷] 如图1－3所示，已知l 1⊥l 2，圆心在l 1上、半径为1 m 的圆O 在t ＝0时与l 2相切于点A ，圆O 沿l 1以1 m/s 的速度匀速向上移动，圆被直线l 2

所截上方圆弧长记为x ，令y ＝cos x ，则y 与时间t(0≤t≤1，单位：s)的函数y ＝f(t)的图像大致为( ) 图1－

3

图1－4

10.

B [解析] 如图，设∠MOA＝α，cos α＝1－t ，cos 2α＝2cos 2 α－1＝2t 2－4t ＋1，

x ＝2α21＝2α，y ＝cos x ＝cos 2α＝2t 2－4t ＋1，故选B.

20．H2，H4[20132新课标全国卷Ⅱ] 在平面直角坐标系xOy 中，已知圆P 在x 轴上截得线段长为2 2，在y 轴上截得线段长为2 3.

(1)求圆心P 的轨迹方程；

- 5 - (2)若P 点到直线y ＝x 的距离为

22

，求圆P 的方程． 20．解：(1)设P(x ，y)，圆P 的半径为r.

由题设y 2＋2＝r 2，x 2＋3＝r 2.从而y 2＋2＝x 2＋3.

故P 点的轨迹方程为y 2－x 2＝1.

(2)设P(x 0，y 0)，由已知得 |x 0－y 0|2

＝22. 又P 点在双曲线y 2－x 2

＝1上，从而得?????|x 0－y 0|＝1，y 20－x 20＝1. 由?????x 0－y 0＝1，y 20－x 20＝1得?

????x 0＝0，y 0＝－1. 此时，圆P 的半径r ＝ 3.

由?????x 0－y 0＝－1，y 20－x 20＝1得?

????x 0＝0，y 0＝1， 此时，圆P 的半径r ＝ 3.

故圆P 的方程为x 2＋(y －1)2＝3或x 2＋(y ＋1)2＝3.

13．H4[20132山东卷] 过点(3，1)作圆(x －2)2＋(y －2)2＝4的弦，其中最短弦的长为

________．

13．2 2 [解析] 设弦与圆的交点为A 、B ，最短弦长以(3，1)为中点，由垂径定理得? ????|AB|22

＋(3－2)2＋(2－1)2＝4，解之得|AB|＝2 2.

8．H4[20132陕西卷] 已知点M(a ，b)在圆O ：x 2＋y 2＝1外，则直线ax ＋by ＝1与圆O 的位置关系是( )

A ．相切

B ．相交

C ．相离

D ．不确定

8．B [解析] 由题意点M(a ，b)在圆x 2＋y 2＝1外，则满足a 2＋b 2>1，圆心到直线的距离

d ＝1a 2＋b

2<1，故直线ax ＋by ＝1与圆O 相交． 5．H1，H4[20132天津卷] 已知过点P(2，2)的直线与圆(x －1)2＋y 2＝5相切，且与直线

ax －y ＋1＝0垂直，则a ＝( )

A ．－12

B ．1

C ．2 D.12

5．C [解析] 设过点P(2，2)的圆的切线方程为y －2＝k(x －2)，由题意得

|k －2|1＋k 2＝5，解之得k ＝－12

.又∵切线与直线ax －y ＋1＝0垂直，∴a＝2. 20．H4，E8，B1[20132四川卷] 已知圆C 的方程为x 2＋(y －4)2＝4，点O 是坐标原点．直

- 6 - 线l ：y ＝kx 与圆C 交于M ，N 两点．

(1)求k 的取值范围；

(2)设Q(m ，n)是线段MN 上的点，且2|OQ|2＝1|OM|2＋1|ON|2.请将n 表示为m 的函数． 20．解：(1)将y ＝kx 代入x 2＋(y －4)2

＝4，得

(1＋k 2)x 2－8kx ＋12＝0.(*)

由Δ＝(－8k)2－4(1＋k 2)312>0，得k 2>3.

所以，k 的取值范围是(－∞，－3)∪(3＋∞)．

(2)因为M ，N 在直线l 上，可设点M ，N 的坐标分别为(x 1，kx 1)，(x 2，kx 2)，则

|OM|2＝(1＋k 2)x 21，|ON|2＝(1＋k 2)x 22.

又|OQ|2＝m 2＋n 2＝(1＋k 2)m 2，

由2|OQ|2＝1|OM|2＋1|ON|2，得 2（1＋k 2）m 2＝1（1＋k 2）x 21＋1

（1＋k 2）x 22

， 即2m 2＝1x 21＋1x 22＝（x 1＋x 2）2－2x 1x 2x 21x 22

. 由(*)式可知，x 1＋x 2＝8k 1＋k 2，x 1x 2＝121＋k 2， 所以m 2＝365k 2－3

. 因为点Q 在直线y ＝kx 上，所以k ＝n m ，代入m 2＝365k 2－3

中并化简，得5n 2－3m 2＝36. 由m 2＝365k －3

及k 2>3，可知00， 所以n ＝36＋3m 25＝15m 2＋1805

. 于是，n 与m 的函数关系为n ＝15m 2＋1805(m∈(－3，0)∪(0，3))． 13．H4[20132浙江卷] 直线y ＝2x ＋3被圆x 2＋y 2－6x －8y ＝0所截得的弦长等于________．

13．4 5 [解析] 圆的标准方程为(x －3)2＋(y －4)2＝25，圆心到直线的距离为d ＝|233－4＋3|5

＝5，所以弦长为252－（5）2＝220＝4 5. 4．H2、H3和H4[20132重庆卷] 设P 是圆(x －3)2＋(y ＋1)2＝4上的动点，Q 是直线x ＝－3上的动点，则|PQ|的最小值为( )

A ．6

B ．4

C ．3

D ．2

4．B [解析] |PQ|的最小值为圆心到直线距离减去半径．因为圆的圆心为(3，－1)，半径为2，所以|PQ|的最小值d ＝3－(－3)－2＝4.

H5 椭圆及其几何性质

- 7 -

21．H5，H10[20132安徽卷] 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的焦距为4，且过点P(2，3)．

(1)求椭圆C 的方程；

(2)设Q(x 0，y 0)(x 0y 0≠0)为椭圆C 上一点，过点Q 作x 轴的垂线，垂足为E ，取点A(0，22)，联结AE ，过点A 作AE 的垂线交x 轴于点D ，点G 是点D 关于y 轴的对称点，作直线QG ，问这样作出的直线QG 是否与椭圆C 一定有唯一的公共点？并说明理由．

21．解：(1)因为焦距为4，所以a 2－b 2＝4.又因为椭圆C 过点P(2，3)，所以2a 2＋3b 2＝1，故a 2＝8，b 2＝4，

从而椭圆C 的方程为x 28＋y 24

＝1. (2)由题意，E 点坐标为(x 0，0)，设D(x D ，0)，则AE →＝(x 0，－22)，AD →＝(x D ，－22)．

再由AD⊥AE 知，AE →2AD →＝0，即x 0x D ＋8＝0.由于x 0y 0≠0，故x D ＝－8x 0

. 因为点G 是点D 关于y 轴的对称点，所以G 8x 0

，0， 故直线QG 的斜率k QG ＝y 0x 0－8x 0

＝x 0y 0x 20－8. 又因Q(x 0，y 0)在椭圆C 上，所以x 20＋2y 20＝8.①

从而k QG ＝－x 02y 0

. 故直线QG 的方程为y ＝－x 02y 0x －8x 0

.② 将②代入椭圆C 方程，得(x 20＋2y 20)x 2－16x 0x ＋64－16y 20＝0.③

再将①代入③，化简得x 2－2x 0x ＋x 20＝0，

解得x ＝x 0，y ＝y 0，即直线QG 与椭圆C 一定有唯一的公共点．

19．M2，H5，H10[20132北京卷] 直线y ＝kx ＋m(m≠0)与椭圆W ：x 24

＋y 2＝1相交于A ，C 两点，O 是坐标原点．

(1)当点B 的坐标为(0，1)，且四边形OABC 为菱形时，求AC 的长；

(2)当点B 在W 上且不是W 的顶点时，证明：四边形OABC 不可能为菱形．

19．解：(1)因为四边形OABC 为菱形，所以AC 与OB 相互垂直平分．

所以可设A ? ??

??t ，12，代入椭圆方程得t 24＋14＝1，即t ＝± 3. 所以|AC|＝2 3.

(2)证明：假设四边形OABC 为菱形．

因为点B 不是W 的顶点，且AC⊥OB，所以k≠0.

由?

????x 2＋4y 2＝4，y ＝kx ＋m 消y 并整理得

- 8 - (1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2

－4＝0.

设A(x 1，y 1)，C(x 2，y 2)，则

x 1＋x 22＝－4km 1＋4k 2，y 1＋y 22＝k2x 1＋x 22＋m ＝m 1＋4k 2. 所以AC 的中点为M ? ??

??－4km

1＋4k 2，m

1＋4k 2. 因为M 为AC 和OB 的交点，且m≠0，k≠0，所以直线OB 的斜率为－14k

. 因为k2? ??

??－14k ≠－1，所以AC 与OB 不垂直． 所以OABC 不是菱形，与假设矛盾．

所以当点B 不是W 的顶点时，四边形OABC 不可能是菱形．

15．H5[20132全国卷] 若x ，y 满足约束条件?????x≥0，x ＋3y≥4，3x ＋y≤4，

则z ＝－x ＋y 的最小值为

________．

15．0 [解析] 已知不等式组表示区域如图中的三角形ABC 及其内部，目标函数的几何意义是直线y ＝x ＋z 在y 轴上的截距，显然在点A 取得最小值，点A(1，1)，故z min ＝－1＋1＝

0.

8．H5[20132全国卷] 已知F 1(－1，0)，F 2(1，0)是椭圆C 的两个焦点，过F 2且垂直于x 轴的直线交C 于A ，B 两点，且|AB|＝3，则C 的方程为( )

A.x 22＋y 2＝1

B.x 23＋y 22

＝1 C.x 24＋y 23＝1 D.x 25＋y 24

＝1 8．C [解析] 设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)，与直线x ＝1联立得y ＝±b 2a

(c ＝1)，所以2b 2＝3a ，即2(a 2－1)＝3a ，2a 2－3a －2＝0，a>0，解得a ＝2(负值舍去)，所以b 2＝3，

故所求椭圆方程为x 24＋y 23

＝1. 15．H5，H8[20132福建卷] 椭圆Γ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，焦距为2c.若直线y ＝3(x ＋c)与椭圆Γ的一个交点M 满足∠MF 1F 2＝2∠MF 2F 1，则该椭圆的离心率等于________．

- 9 - 15.3－1 [解析] 如图，△MF 1F 2中，∠MF 1F 2＝60°，所以∠MF 2F 1＝30°，∠F 1MF 2＝90°.又|F 1F 2|＝2c ，所以|MF 1|＝c ，|MF 2|＝3c.根据椭圆定义得2a ＝|MF 1|＋|MF 2|＝c ＋3c ，得e ＝c a ＝23＋1

＝3－1. 9．H5[20132广东卷] 已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为F(1，0)，离心率等于12

，则C 的方程是( )

A.x 23＋y 24＝1

B.x 24＋y 23

＝1 C.x 24＋y 22＝1 D.x 24＋y 2

3

＝1 9．D [解析] 设椭圆C 的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)，由题知c ＝1，c a ＝12

，解得a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝4－1＝3，选D.

12．H5[20132江苏卷] 在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的标准方程为x 2a 2＋y 2b

2＝1(a>0，b>0)，右焦点为F ，右准线为l ，短轴的一个端点为B.设原点到直线BF 的距离为d 1，F 到l 的距离为d 2.若d 2＝6d 1，则椭圆C 的离心率为________．

12.33 [解析] 由题意知F(c ，0)，l ：x ＝a 2c ，不妨设B(0，b)，则直线BF ：x c ＋y b

＝1，即bx ＋cy －bc ＝0.

于是d 1＝|－bc|b 2＋c

2＝bc a ， d 2＝a 2c －c ＝a 2－c 2c ＝b 2c . 由d 2＝6d 1，得? ????b 2c 2＝6? ??

??bc a 2， 化简得6c 4＋a 2c 2－a 4＝0，

即6e 4＋e 2－1＝0，

解得e 2＝13或e 2＝－12

(舍去)， 故e ＝33，故椭圆C 的离心率为33

. 20．H5，H8[20132江西卷] 椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的离心率e ＝32

，a ＋b ＝3. (1)求椭圆C 的方程；

(2)如图1－8所示，A ，B ，D 是椭圆C 的顶点，P 是椭圆C 上除顶点外的任意一点，直线DP 交x 轴于点N ，直线AD 交BP 于点M ，设BP 的斜率为k ，MN 的斜率为m.

- 10 - 证明：2m －k 为定值．

图1－8

20．解：(1)因为e ＝

32＝c a ， 所以a ＝2

3c ，b ＝1

3

c ，代入a ＋b ＝3得，c ＝3，a ＝2，b ＝1， 故椭圆C 的方程为x 24

＋y 2＝1. (2)方法一：因为B(2，0)，P 不为椭圆顶点，则直线BP 的方程为y ＝k(x －

2)?

????k≠0，k≠ ±12，① ①代入x 24＋y 2＝1，解得P ? ????8k 2

－24k 2＋1，－4k 4k 2＋1. 直线AD 的方程为y ＝12

x ＋1.② ①与②联立解得M ?

????4k ＋22k －1，4k 2k －1. 由D(0，1)，P ? ????8k 2－24k 2＋1

，－4k 4k 2＋1，N(x ，0)三点共线知 －4k 4k 2＋1－18k 2－24k 2＋1

－0＝0－1x －0，解得N ? ????4k －22k ＋1，0. 所以MN 的斜率为m ＝4k 2k －1－04k ＋22k －1－4k －22k ＋1

＝4k （2k ＋1）2（2k ＋1）－2（2k －1）＝2k ＋14， 则2m －k ＝2k ＋12－k ＝12

(定值)． 方法二：

设P(x 0，y 0)(x 0≠0，±2)，则k ＝y 0x 0－2

. 直线AD 的方程为：y ＝12

(x ＋2)， 直线BP 的方程为：y ＝y 0x 0－2

(x －2)， 直线DP 的方程为：y －1＝y 0－1x 0x ，令y ＝0，由于y 0≠1可得N ? ??

??－x 0y 0－1，0，

- 11 - 联立?????y ＝12（x ＋2），y ＝y 0

x 0

－2（x －2）， 解得M ? ??

??4y 0＋2x 0－42y 0－x 0＋2，4y 02y 0－x 0＋2， 因此MN 的斜率为

m ＝4y 0

2y 0－x 0＋24y 0＋2x 0－42y 0－x 0＋2＋x 0y 0－1

＝4y 0（y 0－1）4y 20－8y 0＋4x 0y 0－x 20＋4 ＝4y 0（y 0－1）4y 20－8y 0＋4x 0y 0－（4－4y 20）＋4＝y 0－12y 0＋x 0－2

. 所以2m －k ＝2（y 0－1）2y 0＋x 0－2－y 0x 0－2

＝2（y 0－1）（x 0－2）－y 0（2y 0＋x 0－2）（2y 0＋x 0－2）（x 0－2）

＝2（y 0－1）（x 0－2）－2y 20－y 0（x 0－2）（2y 0＋x 0－2）（x 0－2）

＝2（y 0－1）（x 0－2）－12（4－x 20）－y 0（x 0－2）（2y 0＋x 0－2）（x 0－2）

＝12

(定值)． 11．H5[20132辽宁卷] 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a>b>0)的左焦点为F ，C 与过原点的直线相交于A ，B 两点，联结AF ，BF.若|AB|＝10，|BF|＝8，cos ∠ABF ＝45

，则C 的离心率为( ) A.35 B.57

C.45

D.67

11．B [解析] 设椭圆的右焦点为Q ，由已知|BF|＝8，利用椭圆的对称性可以得到|AQ|

＝8，△FAQ 为直角三角形，然后利用椭圆的定义可以得到2a ＝14，2c ＝10，所以e ＝57

. 5．H5[20132新课标全国卷Ⅱ] 设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是C 上的点，PF 2⊥F 1F 2，∠PF 1F 2＝30°，则C 的离心率为( ) A.36 B.13 C.12 D.33

- 12 - 5．D [解析] 设PF 2＝x, 则PF 1＝2x ，由椭圆定义得3x ＝2a ，结合图形知，2a 32c ＝33 c a ＝33

，故选D. 22．H5，H8[20132山东卷] 在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C 的中心在原点O ，焦点在x 轴上，短轴长为2，离心率为

22. (1)求椭圆C 的方程；

(2)A ，B 为椭圆C 上满足△AOB 的面积为

64

的任意两点，E 为线段AB 的中点，射线OE 交椭圆C 于点P.设OP →＝tOE →，求实数t 的值．

22．解：(1)设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)， 故题意知?????a 2＝b 2＋c 2，c a ＝22，2b ＝2， 解得a ＝2，b ＝1，

因此椭圆C 的方程为x 22

＋y 2＝1. (2)(i)当A ，B 两点关于x 轴对称时，

设直线AB 的方程为x ＝m ，由题意－2＜m ＜0或0＜m ＜ 2.

将x ＝m 代入椭圆方程x 22

＋y 2＝1， 得|y|＝2－m 22

. 所以S △AOB ＝|m|

2－m 22＝64. 解得m 2＝32或m 2＝12

.① 又OP →＝tOE →＝12t(OA →＋OB →)＝12

t(2m ，0)＝(mt ，0)， 因为P 为椭圆C 上一点， 所以（mt ）22

＝1.② 由①②得 t 2＝4或t 2＝43

， 又因为t>0，所以t ＝2或t ＝2 33

. (ii)当A ，B 两点关于x 轴不对称时，

设直线AB 的方程为y ＝kx ＋h.

- 13 - 将其代入椭圆的方程x

22＋y 2＝1，

得(1＋2k 2)x 2＋4khx ＋2h 2－2＝0，

设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)．

由判别式Δ>0可得1＋2k 2>h 2，

此时x 1＋x 2＝－4kh 1＋2k 2，x 1x 2＝2h 2

－2

1＋2k 2，

y 1＋y 2＝k(x 1＋x 2)＋2h ＝2h

1＋2k 2， 所以|AB|＝1＋k 2（x 1＋x 2）2

－4x 1x 2＝ 2 21＋k 2 1＋2k 2－h 2

1＋2k 2.

因为点O 到直线AB 的距离d ＝|h|

1＋k 2， 所以S △AOB ＝1

2|AB|d

＝1232 21＋k 2 1＋2k 2－h

2

1＋2k 2|h|

1＋k 2

＝ 2 1＋2k 2－h 2

1＋2k |h|.

又S △AOB ＝6

4，

所以 2 1＋2k 2－h 2

1＋2k 2|h|＝6

4.③

令n ＝1＋2k 2，代入③整理得3n 2－16h 2n ＋16h 4＝0， 解得n ＝4h 2或n ＝4

3h 2，

即1＋2k 2＝4h 2或1＋2k 2＝43h 2

.④

又OP →＝tOE →＝1

2t(OA →＋OB →)＝1

2t(x 1＋x 2，y 1＋y 2)＝? ????－2kht

1＋2k 2，ht

1＋2k 2，

因为P 为椭圆C 上一点，

所以t 2??????

12? ?

???－2kh

1＋2k 22＋? ????h 1＋2k 22＝1，

即h 2

1＋2k 2t 2

＝1.⑤

将④代入⑤得t 2＝4或t 2＝4

3，又知t>0，

故t ＝2或t ＝2 3

3，

经检验，适合题意．

- 14 - 综合(i)(ii)得t ＝2或t ＝2 33

. 20．H5，H8[20132陕西卷] 已知动点M(x ，y)到直线l ：x ＝4的距离是它到点N(1，0)的距离的2倍．

(1)求动点M 的轨迹C 的方程；

(2)过点P(0，3)的直线m 与轨迹C 交于A ，B 两点．若A 是PB 的中点，求直线m 的斜率．

20．解： (1)设M 到直线l 的距离为d ，根据题意，d ＝2|MN|.

由此得|4－x|＝2（x －1）2＋y 2.

化简得x 24＋y 2

3＝1， 所以，动点M 的轨迹方程为x 24＋y

2

3＝1.

(2)方法一：由题意，设直线m 的方程为y ＝kx ＋3，A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)．

将y ＝kx ＋3代入x

24＋y

2

3＝1中，有(3＋4k 2)x 2＋24kx ＋24＝0，

其中，Δ＝(24k)2－4324(3＋4k 2)＝96(2k 2－3)>0.

由求根公式得，x 1＋x 2＝－24k

3＋4k 2，①

x 1x 2＝24

3＋4k .②

又因A 是PB 的中点，故x 2＝2x 1.③

将③代入①，②，得

x 1＝－8k 3＋4k 2，x 21＝12

3＋4k 2，

可得? ????－8k 3＋4k 22＝12

3＋4k 2，且k 2>3

2，

解得k ＝－32或k ＝3

2，

所以，直线m 的斜率为－3

2或3

2.

方法二：由题意，设直线m 的方程为y ＝kx ＋3，A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)．

∵A 是PB 的中点，

- 15 - ∴x 1＝x 22

，① y 1＝3＋y 22

.② 又x 214＋y 2

13

＝1，③ x 224＋y 223

＝1，④ 联立①，②，③，④解得?????x 2＝2，y 2＝0或?????x 2＝－2，y 2＝0， 即点B 的坐标为(2，0)或(－2，0)，

所以，直线m 的斜率为－32或32

. 9．H5[20132四川卷] 从椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)上一点P 向x 轴作垂线，垂足恰为左焦点F 1，A 是椭圆与x 轴正半轴的交点，B 是椭圆与y 轴正半轴的交点，且AB∥OP(O 是坐标原点)，则该椭圆的离心率是( ) A.

24 B.12 C.22 D.32

9．C [解析] 由已知，P 点坐标为?

????－c ，b 2a ，A(a ，0)，B(0，b)，于是由k AB ＝k OP 得－b a ＝b

2a －c ，整理得b ＝c ，从而a ＝b 2＋c 2＝2c.于是，离心率e ＝c a ＝22

. 18．H5，H8[20132天津卷] 设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的左焦点为F ，离心率为33

，过点F 且与x 轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为4 33

. (1)求椭圆的方程；

(2)设A ，B 分别为椭圆的左、右顶点， 过点F 且斜率为k 的直线与椭圆交于C ，D 两点．若AC →2DB →＋AD →2CB →＝8，求k 的值．

18．解：(1)设F(－c ，0)，由c a ＝33

，知a ＝3c.过点F 且与x 轴垂直的直线为x ＝－c ， 代入椭圆方程有（－c ）2a 2＋y 2b 2＝1，解得y ＝±6b 3.于是2 6b 3＝4 33

，解得b ＝ 2.又a 2－c 2＝b 2，从而a ＝3，c ＝1，所以椭圆的方程为x 23＋y 22＝1. (2)设点C(x 1，y 1)，D(x 2，y 2)，由F(－1，0)得直线CD 的方程为y ＝k(x ＋1)．

- 16 - 由方程组?????y ＝k （x ＋1），x 23＋y 22

＝1消去y ，整理得(2＋3k 2)x 2＋6k 2x ＋3k 2－6＝0. 由根与系数的关系得x 1＋x 2＝－6k 22＋3k 2，x 1x 2＝3k 2－62＋3k 2.因为A(－3，0)，B(3，0)，所以AC →2DB →＋AD →2CB →＝(x 1＋3，y 1)2(3－x 2，－y 2)＋(x 2＋3，y 2)2(3－x 1，－y 1) ＝6－2x 1x 2－2y 1y 2＝6－2x 1x 2－2k 2(x 1＋1)(x 2＋1)

＝6－(2＋2k 2)x 1x 2－2k 2(x 1＋x 2)－2k 2

＝6＋2k 2＋122＋3k 2. 由已知得6＋2k 2＋122＋3k 2＝8，解得k ＝± 2. 21．H5、H9、H10[20132新课标全国卷Ⅰ] 已知圆M ：(x ＋1)2＋y 2＝1，圆N ：(x －1)2＋y 2＝9，动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，圆心P 的轨迹为曲线C.

(1)求C 的方程；

(2)l 是与圆P ，圆M 都相切的一条直线，l 与曲线C 交于A ，B 两点，当圆P 的半径最长时，求|AB|.

21．解：由已知得圆M 的圆心为M(－1，0)，半径r 1＝1；圆N 的圆心为N(1，0)，半径r 2＝3.

设圆P 的圆心为P(x ，y)，半径为R.

(1)因为圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，所以|PM|＋|PN|＝(R ＋r 1)＋(r 2－R)＝r 1＋r 2＝4.

由椭圆的定义可知，曲线C 是以M ，N 为左、右焦点，长半轴长为2，短半轴长为3的椭

圆(左顶点除外)，其方程为x 24＋y 23

＝1(x≠－2)． (2)对于曲线C 上任意一点P(x ，y)，由于|PM|－|PN|＝2R －2≤2，所以R≤2，当且仅当

圆P 的圆心为(2，0)时，R ＝2.所以当圆P 的半径最长时，其方程为(x －2)2＋y 2＝4.

若l 的倾斜角为90°，则l 与y 轴重合，可得|AB|＝2 3.

若l 的倾斜角不为90°，由r 1≠R 知l 不平行于x 轴，设l 与x 轴的交点为Q ， 则|QP||QM|＝R r 1

，可求得Q(－4，0)，所以可设l ：y ＝k(x ＋4)． 由l 与圆M 相切得|3k|

1＋k 2

＝1，解得k ＝±24. 当k ＝24时，将y ＝24x ＋2代入x 24＋y 23

＝1，并整理得7x 2＋8x －8＝0，解得x 1，2＝－4±6 27

， 所以|AB|＝1＋k 2|x 2－x 1|＝187. 当k ＝－24时，由图形的对称性得|AB|＝187

.

- 17 - 综上，|AB|＝2 3或|AB|＝187

. 9．H5，H6[20132浙江卷] 如图1－4所示，F 1，F 2是椭圆C 1：x 24

＋y 2＝1与双曲线C 2的公共焦点，A ，B 分别是C 1，C 2在第二、四象限的公共点．若四边形AF 1BF 2为矩形，则C 2的离心率是(

) 图1－4 A. 2 B. 3

C.32

D. 62

9．D [解析] 设双曲线实半轴长为a ，焦半距为c ，|AF 1|＝m ，|AF 2|＝n ，由题意知c ＝3，?

????m ＋n ＝4，m 2＋n 2＝（2c ）2＝12，2mn ＝(m ＋n)2－(m 2＋n 2)＝4，(m －n)2＝m 2＋n 2－2mn ＝8，2a ＝m －n ＝2 2，a ＝2，则双曲线的离心率e ＝c a ＝32＝62

，选择D. 21．F2、F3、H3、H5和H8[20132重庆卷] 如图1－5所示，椭圆的中心为原点O ，长轴在x 轴上，离心率e ＝22

，过左焦点F 1作x 轴的垂线交椭圆于A ，A′两点，|AA′|＝4. (1)求该椭圆的标准方程；

(2)取平行于y 轴的直线与椭圆相交于不同的两点P ，P′，过P ，P′作圆心为Q 的圆，使椭圆上的其余点均在圆Q 外．求△PP′Q 的面积S 的最大值，并写出对应的圆Q 的标准方程．

图1－5

21．解：(1)由题意知点A(－c ，2)在椭圆上，则（－c ）2a ＋22b ＝1，从而e 2＋4b

＝1. 由e ＝22得b 2＝41－e 2＝8，从而a 2＝b 21－e 2＝16. 故该椭圆的标准方程为x 216＋y 28

＝1. (2)由椭圆的对称性，可设Q(x 0，0)，又设M(x ，y)是椭圆上任意一点，则 |QM|2＝(x －x 0)2＋y 2＝x 2－2x 0x ＋x 2

0＋8? ????1－x 2

16 ＝12

(x －2x 0)2－x 20＋8(x∈[－4，4])．

- 18 - 设P(x 1，y 1)，由题意，P 是椭圆上到Q 的距离最小的点，因此，上式当x ＝x 1时取最小值，

又因为x 1∈(－4，4)，所以上式当x ＝2x 0时取最小值，所以x 1＝2x 0，且|QP|2＝8－x 20.

由对称性知P′(x 1，－y 1)，故|PP′|＝|2y 1|，所以

S ＝12|2y 1||x 1－x 0|＝12

32 8? ????1－x 2116|x 0|＝ 2（4－x 20）x 20＝2－（x 20－2）2＋4.

当x 0＝±2时，△PP′Q 的面积S 取到最大值2 2.

此时对应的圆Q 的圆心坐标为Q(±2，0)，半径|QP|＝8－x 20＝6，因此，这样的圆有

两个，其标准方程分别为(x ＋2)2＋y 2＝6，(x －2)2＋y 2＝6.

H6 双曲线及其几何性质

22．H6、H8、D3[20132全国卷] 已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b

2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为3，直线y ＝2与C 的两个交点间的距离为 6.

(1)求a ，b ；

(2)设过F 2的直线l 与C 的左、右两支分别交于A ，B 两点，且|AF 1|＝|BF 1|，证明：|AF 2|，|AB|，|BF 2|成等比数列．

22．解：(1)由题设知c a ＝3，即a 2＋b 2a

2＝9，故b 2＝8a 2. 所以C 的方程为8x 2－y 2＝8a 2.

将y ＝2代入上式，并求得x ＝±

a 2＋12. 由题设知，2 a 2＋12

＝6，解得a 2＝1. 所以a ＝1，b ＝2 2.

(2)证明：由(1)知，F 1(－3，0)，F 2(3，0)，C 的方程为8x 2－y 2＝8.①

由题意可设l 的方程为y ＝k(x －3)，|k|<22，代入①并化简得(k 2－8)x 2－6k 2x ＋9k 2＋8＝0.

设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则x 1≤－1，x 2≥1，x 1＋x 2＝6k 2k 2－8，x 1x 2＝9k 2＋8k 2－8

. 于是

|AF 1|＝（x 1＋3）2＋y 21＝（x 1＋3）2＋8x 21－8＝－(3x 1＋1)，

|BF 1|＝（x 2＋3）2＋y 22＝（x 2＋3）2＋8x 22－8＝3x 2＋1. 由|AF 1|＝|BF 1|得－(3x 1＋1)＝3x 2＋1，即x 1＋x 2＝－23

. 故6k 2k 2－8＝－23，解得k 2＝45，从而x 1x 2＝－199

. 由于|AF 2|＝（x 1－3）2＋y 21＝（x 1－3）2＋8x 21－8＝1－3x 1，

|BF 2|＝（x 2－3）2＋y 22＝（x 2－3）2＋8x 22－8＝3x 2－1，

故|AB|＝|AF 2|－|BF 2|＝2－3(x 1＋x 2)＝4，

|AF 2|2|BF 2|＝3(x 1＋x 2)－9x 1x 2－1＝16.

- 19 -

因而|AF 2|2|BF 2|＝|AB|2

，

所以|AF 2|，|AB|，|BF 2|成等比数列．

4．H6[20132福建卷] 双曲线x 2－y 2

＝1的顶点到其渐近线的距离等于( ) A.12 B.22 C ．1 D. 2

4．B [解析] 取一顶点(1，0)，一条渐近线x －y ＝0，d ＝

12

＝

2

2

，故选B. 2．H6[20132湖北卷] 已知0＜θ＜π4，则双曲线C 1：x 2

sin 2θ－y 2

cos 2θ＝1与C 2：y

2

cos 2θ－

x

2

sin 2

θ

＝1的( ) A ．实轴长相等 B ．虚轴长相等 C ．离心率相等 D ．焦距相等

2．D [解析] c 1＝c 2＝sin 2

θ＋cos 2

θ＝1，故焦距相等．

14．H6[20132湖南卷] 设F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y

2b 2＝1(a>0，b>0)的两个焦点．若在C

上存在一点P ，使PF 1⊥PF 2，且∠PF 1F 2＝30°，则C 的离心率为________．

14.3＋1 [解析] 如图，因PF 1⊥PF 2，且∠PF 1F 2＝30°，故|PF 2|＝1

2|F 1F 2|＝c ，则|PF 1|

＝3c ，又由双曲线定义可得|PF 1|－|PF 2|＝2a ，即3c －c ＝2a ，故c a ＝2

3－1

＝3＋1.

3．H6[20132江苏卷] 双曲线x 2

16－y

2

9＝1的两条渐近线的方程为________．

3．y ＝±34x [解析] 令x 2

16－y 29＝0，得渐近线方程为y ＝±3

4

x.

11．H6，H7[20132山东卷] 抛物线C 1：y ＝12p x 2(p>0)的焦点与双曲线C 2：x 2

3－y 2

＝1的右

焦点的连线交C 1于第一象限的点M.若C 1在点M 处的切线平行于C 2的一条渐近线，则p ＝( )

A.

316 B.38 C.2 33 D.4 3

3

11．D [解析] 抛物线C 1：y ＝12p x 2()p>0的焦点坐标为? ??

??0，p 2，双曲线x 2

3－y 2

＝1的右焦

点坐标为(2，0)，连线的方程为y ＝－p

4(x －2)，联立?????y ＝－p

4（x －2），y ＝1

2p x

2

得2x 2

＋p 2

x －2p 2

＝

0.设点M 的横坐标为a ，则在点M 处切线的斜率为y′|x ＝a ＝? ??

??12p x 2′错误!错误!＝错误!.又

- 20 - ∵双曲线x 23－y 2＝1的渐近线方程为x 3

±y ＝0，其与切线平行，∴a p ＝33，即a ＝33p ，代入2x 2＋p 2x －2p 2＝0得，p ＝4 33

或p ＝0(舍去)． 11．H6[20132陕西卷] 双曲线x 216－y 29

＝1的离心率为________． 11.54 [解析] 由双曲线方程中a 2＝16, b 2＝9，则c 2＝a 2＋b 2＝25，则e ＝c a ＝54

. 11．H6，H7[20132天津卷] 已知抛物线y 2＝8x 的准线过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)的一个焦点，且双曲线的离心率为2，则该双曲线的方程为________．

11．x 2－y 2

3＝1 [解析] 由抛物线的准线方程为x ＝－2，得a 2＋b 2＝4，又∵双曲线的离心率为2，得c a ＝2，得a ＝1，b 2＝3，∴双曲线的方程为x 2－y 2

3

＝1. 7．A2，H6[20132北京卷] 双曲线x 2－y 2m ＝1的离心率大于2的充分必要条件是( ) A ．m>12

B ．m ≥1

C ．m>1

D ．m>2

7．C [解析] 双曲线的离心率e ＝c a ＝1＋m>2，解得m>1.故选C. 4．H6[20132新课标全国卷Ⅰ] 已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为52

，则C 的渐近线方程为( ) A ．y ＝±14x B ．y ＝±13

x C ．y ＝±12

x D ．y ＝±x 4．C [解析] 52＝c a ＝1＋? ??

??b a 2，所以b a ＝12，故所求的双曲线渐近线方程是y ＝±12x. 9．H5，H6[20132浙江卷] 如图1－4所示，F 1，F 2是椭圆C 1：x 24

＋y 2＝1与双曲线C 2的公共焦点，A ，B 分别是C 1，C 2在第二、四象限的公共点．若四边形AF 1BF 2为矩形，则C 2的离心率是(

)

图1－4

A. 2

B. 3

- 21 - C.32 D. 62

9．D [解析] 设双曲线实半轴长为a ，焦半距为c ，|AF 1|＝m ，|AF 2|＝n ，由题意知c ＝3，?????m ＋n ＝4，m 2＋n 2＝（2c ）2＝12，

2mn ＝(m ＋n)2－(m 2＋n 2)＝4，(m －n)2＝m 2＋n 2－2mn ＝8，2a ＝m －n ＝2 2，a ＝2，则双曲线的离心率e ＝c a ＝32＝62

，选择D. 10．E1、H6和H8[20132重庆卷] 设双曲线C 的中心为点O ，若有且只有一对相交于点O ，所成的角为60°的直线A 1B 1和A 2B 2，使|A 1B 1|＝|A 2B 2|，其中A 1，B 1和A 2，B 2分别是这对直线与双曲线C 的交点，则该双曲线的离心率的取值范围是( )

A.? ??

??2

33

，2 B.??????2 33，2 C.? ????2 33，＋∞ D.??????2 33，＋∞ 10．A [解析] 设双曲线的焦点在x 轴上，则由作图易知双曲线的渐近线的斜率b a

必须满足33

≤2.又双曲线的离心率为e ＝c a ＝1＋? ????b a 2，所以23 3

H7 抛物线及其几何性质

9．H7[20132北京卷] 若抛物线y 2＝2px 的焦点坐标为(1，0)，则p ＝________；准线方

程为________.

9．2 x ＝－1 [解析] ∵抛物线y 2＝2px 的焦点坐标为(1，0)，∴p 2

＝1，解得p ＝2，∴准线方程为x ＝－1.

20．H7，H8[20132福建卷] 如图1－5，抛物线E ：y 2＝4x 的焦点为F ，准线l 与x 轴的

交点为A.点C 在抛物线E 上，以C 为圆心，|CO|为半径作圆，设圆C 与准线l 交于不同的两点M ，N.

(1)若点C 的纵坐标为2，求|MN|；

(2)若|AF|2＝|AM|2|AN|，求圆C 的半径．