概率论与数理统计试题库及答案（考试必做）

概率论与数理统计

<概率论>试题

一、填空题

1．设 A、B、C是三个随机事件。试用 A、B、C分别表示事件 1）A、B、C 至少有一个发生 2）A、B、C 中恰有一个发生 3）A、B、C不多于一个发生

2．设 A、B为随机事件， P (A)=0.5，P(B)=0.6，P(BA)=0.8。则P(BA)＝

3．若事件A和事件B相互独立, P(A)=?,P(B)=0.3，P(AB)=0.7,则?? 4. 将C,C,E,E,I,N,S等7个字母随机的排成一行，那末恰好排成英文单词

SCIENCE的概率为

5. 甲、乙两人独立的对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和0.5，现已知目标被命中，则它是甲射中的概率为

6.设离散型随机变量X分布律为P{X?k}?5A(1k/2)k?(A=______________

则?1?,??ax?b,0?x?17. 已知随机变量X的密度为f(x)??,且P{x?1/2}?5/8,则

0,其它?a?________ b?________

8. 设X～N(2,?2),且P{2?x?4}?0.3,则P{x?0}? _________ 9. 一射手对同一目标独立地进行四次射击，若至少命中一次的概率为射手的命中率为_________

10.若随机变量?在（1，6）上服从均匀分布，则方程x2+?x+1=0有实根的概率是 11.设P{X?0,Y?0}?34，P{X?0}?P{Y?0}?，则P{max{X,Y}?0}? 7780，则该8112.用（X,Y）的联合分布函数F（x,y）表示P{a?X?b,Y?c}? 13.用（X,Y）的联合分布函数F（x,y）表示P{X?a,Y?b}?

1

14.设平面区域D由y = x , y = 0 和 x = 2 所围成，二维随机变量(x,y)在区域D上服从均匀分布，则（x,y）关于X的边缘概率密度在x = 1 处的值为 。

15.已知X~N(?2,0.42)，则E(X?3)2＝ 16.设X~N(10,0.6),Y~N(1,2)，且X与Y相互独立，则D(3X?Y)? 17.设X的概率密度为f(x)?1e?x，则D(X)＝ 2?18.设随机变量X1，X2，X3相互独立，其中X1在[0，6]上服从均匀分布，X2服从正态分布N（0，22），X3服从参数为?=3的泊松分布，记Y=X1－2X2+3X3，则D（Y）=

19.设D(X)?25,D?Y??36,?xy?0.4，则D(X?Y)? 20.设X1,X2,???,Xn,???是独立同分布的随机变量序列,且均值为?,方差为?2,那么当n充分大时,近似有X～ 或 nX???～ 。特别是，当

同为正态分布时，对于任意的n，都精确有X～ 或

nX???～ .

21.设X1,X2,???,Xn,???是独立同分布的随机变量序列,且EXi??，

1n2DXi??(i?1,2,???) 那么?Xi依概率收敛于 .

ni?1222.设X1,X2,X3,X4是来自正态总体N(0,22)的样本，令

Y?(X1?X2)2?(X3?X4)2, 则当C? 时CY～?2(2)。 23.设容量n = 10 的样本的观察值为（8，7，6，9，8，7，5，9，6），则样本均值= ，样本方差= 24.设X1,X2,?Xn为来自正态总体?1n????i服从

ni?12

则样本均值N(?,?2)的一个简单随机样本，

二、选择题

1. 设A,B为两随机事件，且B?A，则下列式子正确的是 （A）P (A+B) = P (A); （B）P(AB)?P(A); （C）P(B|A)?P(B); （D）P(B?A)?P(B)?P(A)

2. 以A表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则其对立事件A为 （A）“甲种产品滞销，乙种产品畅销”； （B）“甲、乙两种产品均畅销” （C）“甲种产品滞销”； （D）“甲种产品滞销或乙种产品畅销”。 3. 袋中有50个乒乓球，其中20个黄的，30个白的，现在两个人不放回地依次从袋中随机各取一球。则第二人取到黄球的概率是 （A）1/5 （B）2/5 （C）3/5 （D）4/5 4. 对于事件A，B，下列命题正确的是 （A）若A，B互不相容，则A与B也互不相容。 （B）若A，B相容，那么A与B也相容。

（C）若A，B互不相容，且概率都大于零，则A，B也相互独立。 （D）若A，B相互独立，那么A与B也相互独立。 5. 若P(BA)?1，那么下列命题中正确的是

B?A P(A?B)?0 （A）A?B （B）（C）A?B?? （D）

6． 设X～N(?,?2),那么当?增大时，P{X????}? A）增大 B）减少 C）不变 D）增减不定。

7．设X的密度函数为f(x)，分布函数为F(x)，且f(x)?f(?x)。那么对任意给定的a都有

A）f(?a)?1??f(x)dx B） F(?a)?0aa1??f(x)dx 02 C）F(a)?F(?a) D） F(?a)?2F(a)?1 8．下列函数中，可作为某一随机变量的分布函数是

3

A）F(x)?1?111F(x)??arctanx B）

x22??1?xx???(1?e),x?0 C）F(x)??2 D） F(x)??f(t)dt，其中?f(t)dt?1

?????0,x?0?9． 假设随机变量X的分布函数为F(x),密度函数为f(x).若X与-X有相同的分布函数，则下列各式中正确的是

A）F(x) = F(-x); B) F(x) = - F(-x); C) f (x) = f (-x); D) f (x) = - f (-x).

?Ae?x,x??10．已知随机变量X的密度函数f(x)=?(?>0,A为常数)，则概率

x??0,?P{??X0）的值

A）与a无关，随?的增大而增大 B）与a无关，随?的增大而减小 C）与?无关，随a的增大而增大 D）与?无关，随a的增大而减小 11．X1,X2独立,且分布率为 (i?1,2),那么下列结论正确的是 A）X1?X2正确

Ｂ）P{X1?X2}?1 C）P{X1?X2}?12(X,Y)(1,1)(1,2)(1,3)(2,1)(2,2)(2,3)P1/61/91/181/312．设离散型随机变量(X,Y)的联合分布律为 ?? 且X,Y相互独立，则

A） ??2/9,??1/9 B） ??1/9,??2/9 C） ??1/6,??1/6 D） ??8/15,??1/18

213．若X～(?1,?12)，Y～(?2,?2)那么(X,Y)的联合分布为

A） 二维正态，且??0 B）二维正态，且?不定 C） 未必是二维正态 D）以上都不对

14．设X，Y是相互独立的两个随机变量，它们的分布函数分别为FX(x),FY(y),则Z = max {X,Y} 的分布函数是

A）FZ（z）= max { FX(x),FY(y)}; B) FZ（z）= max { |FX(x)|,|FY(y)|}

4

C) FZ（z）= FX（x）·FY(y) D)都不是

15．下列二无函数中， 可以作为连续型随机变量的联合概率密度。

???cosx,??x?,0?y?1 A）f(x,y)=? 220,?其他??1?cosx,??x?,0?y?B) g(x,y)=?222

?0,其他?cosx,0?x??,0?y?1C) ?(x,y)=?

其他0,?1?cosx,0?x??,0?y?D) h(x,y)=?2

?0,其他16．掷一颗均匀的骰子600次，那么出现“一点”次数的均值为

A） 50 B） 100 C）120 D） 150

117． 设X1,X2,X3相互独立同服从参数??3的泊松分布，令Y?(X1?X2?X3)，

3则

E(Y2)? A）1. B）9. C）10. D）6. 18．对于任意两个随机变量X和Y，若E(XY)?E(X)?E(Y)，则

A）D(XY)?D(X)?D(Y) B）D(X?Y)?D(X)?D(Y) C）X和Y独立 D）X和Y不独立

19．设?P(?)(Poission分布)，且E??(X?1)?X?2????1，则?=

A）1， B）2， C）3， D）0 20． 设随机变量X和Y的方差存在且不等于0，则D(X?Y)?D?X??D?Y?是X和Y的

A）不相关的充分条件，但不是必要条件； B）独立的必要条件，但不是充分条件；

5

C）不相关的充分必要条件； D）独立的充分必要条件 21．设X～N(?,?2)其中?已知，?2未知，X1,X2,X3样本，则下列选项中不是统计量的是

A）X1?X2?X3 B）max{X1,X2,X3} C）?i?13Xi2?2 D）X1??

22．设X～?(1,p) ,X1,X2,???,Xn,是来自X的样本，那么下列选项中不正确的是

?p(1?p)?A）当n充分大时，近似有X～N?p,?

n??kkB）P{X?k}?Cnp(1?p)n?k,k?0,1,2,???,n

kkkp(1?p)n?k,k?0,1,2,???,n C）P{X?}?CnnkkD）P{Xi?k}?Cnp(1?p)n?k,1?i?n

23．若X～t(n)那么?2～ A）F(1,n) B）F(n,1) C）?2(n) D）t(n)

24．设X1,X2,?Xn为来自正态总体N(?,?2)简单随机样本，X是样本均值，记

1n1n1n2222S?(Xi?X)，S2??(Xi?X)，S3?(Xi??)2， ??n?1i?1ni?1n?1i?1211nS??(Xi??)2，则服从自由度为n?1的t分布的随机变量是

ni?124A) t?X??S1/n?1 B) t?X??S2/n?1 C) t?X??S3/n D) t?X??S4/n

25．设X1,X2,?Xn，Xn+1, ?,Xn+m是来自正态总体N(0,?2)的容量为n+m的样本，

m??i2n??i2i?n?1i?1n?mn则统计量V?服从的分布是

A) F(m,n) B) F(n?1,m?1) C) F(n,m) D) F(m?1,n?1)

6

三、解答题

1．10把钥匙中有3把能打开门，今任意取两把，求能打开门的概率。 2.任意将10本书放在书架上。其中有两套书，一套3本，另一套4本。求下列事件的概率。

1） 3本一套放在一起。 2）两套各自放在一起。 3）两套中至少有一套放在一起。

3.调查某单位得知。购买空调的占15％，购买电脑占12％，购买DVD的占20%；其中购买空调与电脑占6%，购买空调与DVD占10%，购买电脑和DVD占5％，三种电器都购买占2％。求下列事件的概率。 1）至少购买一种电器的； 2）至多购买一种电器的； 3）三种电器都没购买的；

4．仓库中有十箱同样规格的产品，已知其中有五箱、三箱、二箱依次为甲、乙、丙厂生产的，且甲厂，乙厂、丙厂生产的这种产品的次品率依次为1/10,1/15,1/20.从这十箱产品中任取一件产品，求取得正品的概率。 5．一箱产品，A，B两厂生产分别个占60％，40％，其次品率分别为1％，2％。现在从中任取一件为次品，问此时该产品是哪个厂生产的可能性最大？ 6．有标号1～n的n个盒子，每个盒子中都有m个白球k个黑球。从第一个盒子中取一个球放入第二个盒子，再从第二个盒子任取一球放入第三个盒子，依次继续，求从最后一个盒子取到的球是白球的概率。

7．从一批有10个合格品与3个次品的产品中一件一件地抽取产品，各种产品被抽到的可能性相同，求在二种情况下，直到取出合格品为止，所求抽取次数的分布率。（1）放回 （2）不放回

8．设随机变量X的密度函数为f(x)?Ae?x (???x???), 求 (1）系数A, (2) P{0?x?1} (3) 分布函数F(x)。

7

9．对球的直径作测量，设其值均匀地分布在[a,b]内。求体积的密度函数。 10．设在独立重复实验中，每次实验成功概率为0.5，问需要进行多少次实验，才能使至少成功一次的概率不小于0.9。

11．公共汽车车门的高度是按男子与车门碰头的机会在0.01以下来设计的，设男子的身高XN(168,72),问车门的高度应如何确定？

12． 设随机变量X的分布函数为：F(x)=A+Barctanx,(-??x???). 求：（1）系数A与B；

（2）X落在（-1，1）内的概率； （3）X的分布密度。

13．把一枚均匀的硬币连抛三次，以X表示出现正面的次数，Y表示正、反两面次数差的绝对值 ，求(X,Y)的联合分布律与边缘分布。 14．设二维连续型随机变量(X,Y)的联合分布函数为

F(x,y)?A(B?arctanxy)(C?arctan) 23求（1）A、B、C的值， （2）(X,Y)的联合密度， （3） 判断X、Y的独立性。

?Ae?(3x?4y),x?0,y?015．设连续型随机变量（X，Y）的密度函数为f(x,y)=?,

其他0,?求 （1）系数A；（2）落在区域D：{0?x?1,0?y?2}的概率。 16． 设(X,Y)的联合密度为f(x,y)?Ay(1?x),0?x?1,0?y?x，

（1）求系数A，（2）求(X,Y)的联合分布函数。

17．上题条件下：（1）求关于X及Y的边缘密度。 （2）X与Y是否相互独立？ 18．在第16）题条件下，求f(yx)和f(xy)。

19．盒中有7个球，其中4个白球，3个黑球，从中任抽3个球，求抽到白球数

X的数学期望E(X)和方差D(X)。

20． 有一物品的重量为1克，2克，﹒﹒﹒，10克是等概率的，为用天平称此物品的重量准备了三组砝码 ，甲组有五个砝码分别为1，2，2，5，10克，乙组

8

为1，1，2，5，10克，丙组为1，2，3，4，10克，只准用一组砝码放在天平的一个称盘里称重量，问哪一组砝码称重物时所用的砝码数平均最少?

21． 公共汽车起点站于每小时的10分，30分，55分发车，该顾客不知发车时间，在每小时内的任一时刻随机到达车站，求乘客候车时间的数学期望（准确到秒）。

22．设排球队A与B比赛，若有一队胜4场，则比赛宣告结束，假设A，B在每场比赛中获胜的概率均为1/2,试求平均需比赛几场才能分出胜负？

23．一袋中有n张卡片，分别记为1，2，﹒﹒﹒，n，从中有放回地抽取出k张来，以X表示所得号码之和，求E(X),D(X)。

24．设二维连续型随机变量（X ，Y）的联合概率密度为：f

?k,0?x?1,0?y?x(x ,y)=?

其他?0,求：① 常数k， ② E?XY?及D(XY).

25．设供电网有10000盏电灯，夜晚每盏电灯开灯的概率均为0.7，并且彼此开闭与否相互独立，试用切比雪夫不等式和中心极限定理分别估算夜晚同时开灯数在6800到7200之间的概率。

26．一系统是由n个相互独立起作用的部件组成，每个部件正常工作的概率为

0.9，且必须至少由 80%的部件正常工作，系统才能正常工作，问n至少为多

大时，才能使系统正常工作的概率不低于 0.95？

27．甲乙两电影院在竞争1000名观众，假设每位观众在选择时随机的，且彼此相互独立，问甲至少应设多少个座位，才能使观众因无座位而离去的概率小于

1%。

28．设总体X服从正态分布，又设X与S2分别为样本均值和样本方差，又设

Xn?1N(?,?2)，且Xn?1与X1,X2,???,Xn相互独立，求统计量 Xn?1?XSn的n?1分布。

29．在天平上重复称量一重为?的物品，假设各次称量结果相互独立且同服从正态分布N(?,0.22，)若以Xn表示n次称量结果的算术平均值，为使

9

2的样本, S12和S2分别是其样本方差，则下列服从F(7,9)的统计量是( )

2S124S125S125S12 (B) (C) (D) 2 (A)2224S25S25S22S21n4.设总体X~N(?,?)，X1,?,Xn为抽取样本，则?(Xi?X)2是（ ）

ni?12(A)?的无偏估计 (B)?2的无偏估计 (C)?的矩估计 (D) ?2的矩估计

5、设X1,?,Xn是来自总体X的样本，且EX??，则下列是?的无偏估计的是（ ）

1n?11n?11n1n(A)?Xi (B)Xi (C)?Xi (D)Xi ??n?1i?1ni?1ni?2n?1i?12X,X,?,XN(?,?)的一个样本，若进行假设检验，当12n6．设为来自正态总体

__ __时，一般采用统计量t?X??0S/n 2222?未知，检验?＝??已知，检验?＝?0 (B)0 (A)

22(C)?未知，检验?＝?0 (D)?已知，检验?＝?0

7．在单因子方差分析中，设因子A有r个水平，每个水平测得一个容量为mi的样本，则下列说法正确的是___ __ (A)方差分析的目的是检验方差是否相等 (B)方差分析中的假设检验是双边检验

(C)方差分析中

Se???(yij?yi.)2i?1j?1rrmi包含了随机误差外,还包含效应间的差异

(D)方差分析中

SA??mi(yi.?y)2i?1包含了随机误差外,还包含效应间的差异

8．在一次假设检验中，下列说法正确的是______ (A)既可能犯第一类错误也可能犯第二类错误

(B)如果备择假设是正确的，但作出的决策是拒绝备择假设，则犯了第一类错误 (C)增大样本容量，则犯两类错误的概率都不变

15

(D)如果原假设是错误的，但作出的决策是接受备择假设，则犯了第二类错误

2X~N(?,?)的均值?和作区间估计，得到置信度为95%的置信区间，9．对总体

意义是指这个区间

(A)平均含总体95%的值 (B)平均含样本95%的值

(C)有95%的机会含样本的值 (D)有95%的机会的机会含?的值 10．在假设检验问题中，犯第一类错误的概率α的意义是（ ） (A)在H0不成立的条件下，经检验H0被拒绝的概率 (B)在H0不成立的条件下，经检验H0被接受的概率 (C)在H00成立的条件下，经检验H0被拒绝的概率 (D)在H0成立的条件下，经检验H0被接受的概率 11. 设总体X服从正态分布N??,?2?,X1,X2,大似然估计为

221n1n1n2（A）??Xi?X? （B）Xi?X? （C）?Xi （D）??ni?1n?1i?1ni?1,Xn是来自X的样本，则?2的最

X2

212.X服从正态分布，EX??1，EX?5，(X1,?,Xn)是来自总体X的一个样

本，则

X?1ni?1?Xin服从的分布为___ 。

(A)N(?1,5/n) (B)N(?1,4/n) (C)N(?1/n,5/n) (D)N(?1/n,4/n)

2X,X,?,XN(?,?)的一个样本，若进行假设检验，12n13．设为来自正态总体

U?X??0当___ __时，一般采用统计量

?/n

2222?未知，检验?＝??已知，检验?＝?00(A) (B) 22?未知，检验?＝??0(C) (D)已知，检验?＝?0

14．在单因子方差分析中，设因子A有r个水平，每个水平测得一个容量为mi的样本，则下列说法正确的是____ _ (A)方差分析的目的是检验方差是否相等

16

(B)方差分析中的假设检验是双边检验

(C) 方差分析中

Se???(yij?yi.)2i?1j?1rrmi包含了随机误差外,还包含效应间的差异

(D) 方差分析中

SA??mi(yi.?y)2i?1包含了随机误差外,还包含效应间的差异

15．在一次假设检验中，下列说法正确的是___ ____ (A)第一类错误和第二类错误同时都要犯

(B)如果备择假设是正确的，但作出的决策是拒绝备择假设，则犯了第一类错误

(C)增大样本容量，则犯两类错误的概率都要变小

(D)如果原假设是错误的，但作出的决策是接受备择假设，则犯了第二类错误

???16．设?是未知参数?的一个估计量，若E???，则?是?的___ _____

(A)极大似然估计 (B)矩法估计 (C)相合估计 (D)有偏估计 17．设某个假设检验问题的拒绝域为W，且当原假设H0成立时，样本值（x1,x2, ?，

xn）落入W的概率为0.15，则犯第一类错误的概率为__________。 (A) 0.1 (B) 0.15 (C) 0.2 (D) 0.25

18.在对单个正态总体均值的假设检验中，当总体方差已知时，选用

（A）t检验法 （B）u检验法 （C）F检验法 （D）?检验法 19.在一个确定的假设检验中，与判断结果相关的因素有 （A）样本值与样本容量 （B）显著性水平? （C）检验统计量 （D）A,B,C同时成立

20.对正态总体的数学期望?进行假设检验，如果在显著水平0.05下接受

2H0:???0，那么在显著水平0.01下，下列结论中正确的是 （A）必须接受H0 （B）可能接受，也可能拒绝H0 （C）必拒绝H0 （D）不接受，也不拒绝H0

21.设X1,X2,???,Xn是取自总体X的一个简单样本，则E(X2)的矩估计是 17

1n1n22S?(Xi?X)S2??(Xi?X)2?n?1i?1ni?1（A）（B）

21（C）

S12?X2 （D）

2S2?X2

22.总体X～N(?,?2)，?2已知，n? 时，才能使总体均值?的置信水平为0.95的置信区间长不大于L

（A）15?2/L2 （B）15.3664?2/L2 （C）16?2/L2 （D）16 23.设X1,X2,???,Xn为总体X的一个随机样本，E(X)??,D(X)??2，

??C?(Xi?1?Xi)2为 ?2的无偏估计，C＝

i?12n?1（A）1/n （B）1/n?1 （C） 1/2(n?1) （D） 1/n?2 24.设总体X服从正态分布N??,?2?,X1,X2,大似然估计为

221n1n1n2（A）??Xi?X? （B）Xi?X? （C）?Xi （D）??ni?1n?1i?1ni?1,Xn是来自X的样本，则?2的最

X2

25.设X～?(1,p) ,X1,X2,???,Xn,是来自X的样本，那么下列选项中不正确的是

?p(1?p)?(A)当n充分大时，近似有X～N?p,?

n??kk(B)P{X?k}?Cnp(1?p)n?k,k?0,1,2,???,n

kkkp(1?p)n?k,k?0,1,2,???,n (C）P{X?}?Cnnkk(D）P{Xi?k}?Cnp(1?p)n?k,1?i?n

26.若X～t(n)那么?2～ 2F(1,n)F(n,1)?(A） (B） (C）(n) (D）t(n)

27.设X1,X2,?Xn为来自正态总体N(?,?2)简单随机样本，X是样本均值，记

18

1n1n1n2222S?(Xi?X)，S2??(Xi?X)，S3?(Xi??)2， ??n?1i?1ni?1n?1i?1211nS??(Xi??)2，则服从自由度为n?1的t分布的随机变量是

ni?124(A) t?X??S1/n?1

(B) t?X??S2/n?1 (C) t?X??S3/n (D)

t?X??S4/n28.设X1,X2,?Xn，Xn+1, ?,Xn+m是来自正态总体N(0,?2)的容量为n+m的样本，则

m??i2n??i2i?n?1i?1n?mn统计量V?服从的分布是

(A) F(m,n) (B) F(n?1,m?1) (C) F(n,m) (D)

F(m?1,n?1)

29．设 X~N??,?2?，其中?已知,?2未知,X1,X2,X3,X4为其样本， 下列各项不是统计量的是＿＿＿＿

14 (Ａ)X??Xi (Ｂ)X1?X4?2?

4i?114(Ｃ)K?2?(Xi?X) (Ｄ)S??(Xi?X)

?i?13i?1122430. 设 ?~N??,?2?，其中?已知，?2未知，X,X,X为其样本， 下列各项

123不是

统计量的是（ ）

(A)1(X2?X2?X2) (Ｂ)X?3?

231?21(Ｃ)max(X,X,X) (D)1(X?X?X)

123123319

三、计算题

1.已知某随机变量X服从参数为?的指数分布，设X1,X2,?,Xn是子样观察值，求?的极大似然估计和矩估计。（10分）

2.某车间生产滚珠，从某天生产的产品中抽取6个，测得直径为：14.6 15.1 14.9 14.8 15.2 15.1 已知原来直径服从N(?,0.06)，求：该天生产的滚珠直径的置信区间。给定（??0.05，Z0.05?1.645，Z0.025?1.96）（8分） 3.某包装机包装物品重量服从正态分布N(?,42)。现在随机抽取16个包装袋，算得平均包装袋重为x?900，样本均方差为S2?2，试检查今天包装机所包物品

22重量的方差是否有变化？（??0.05）（?0(15)?6.262，?（15）?27.48.9750.025）（8

分）

?(??1)x?0?x?1f(x)?X4.设某随机变量的密度函数为 求?的极大似然估?其他0?计。 （6分）

5.某车间生产滚珠，从长期实践可以认为滚珠的直径服从正态分布，且直径的方差为?2?0.04，从某天生产的产品中随机抽取9个，测得直径平均值为15毫米，试对??0.05求出滚珠的平均直径的区间估计。（8分）

(Z0.05?1.645,Z0.025?1.96)

6.某种动物的体重服从正态分布N(?,9)，今抽取9个动物考察，测得平均体重为

51.3公斤，问：能否认为该动物的体重平均值为52公斤。（??0.05）（8分）

（Z0.05?1.645Z0.025?1.96）

0?x?1?(a?1)xa7.设总体X的密度函数为：f(x)?? ， 设X1,?,Xn是

其他0?X的样本，求a的矩估计量和极大似然估计。（10分）

8.某矿地矿石含少量元素服从正态分布，现在抽样进行调查，共抽取12个子样

20

2算得S?0.2，求?的置信区间（??0.1，??（8(11)?19.68，?2?(11)?4.57）

21?2分）

9．某大学从来自A，B两市的新生中分别随机抽取5名与6名新生，测其身高（单

2位：cm）后算得x＝175.9，y＝172.0；s1?11.3，s22?9.1。假设两市新生

身高分别服从正态分布X-N(μ1，σ2)，Y-N（μ2，σ2）其中σ2未知。试求μ1－μ2的置信度为0.95的置信区间。（t0.025(9)=2.2622,t0.025(11)=2.2010） 10．（10分）某出租车公司欲了解：从金沙车站到火车北站乘租车的时间。 随机地抽查了9辆出租车，记录其从金沙车站到火车北站的时间，算得x?20（分

22钟），无偏方差的标准差s?3。若假设此样本来自正态总体N(?,?)，其中?,?均未知，试求?的置信水平为0.95的置信下限。

2211．（10分）设总体服从正态分布N(?,?)，且?与?都未知，设X1,,Xn为

来自总体的一个样本，其观测值为x1,求?和?的极大似然估计量。

1n1n2X??XiSn??(Xi?X)2,xn，ni?1ni?1，设。

12．（8分）掷一骰子120次，得到数据如下表

出现点数 次数 2 1 2 3 4 5 6 x 20 20 20 20 40－x 若我们使用?检验，则x取哪些整数值时，此骰子是均匀的的假设在显著性水平??0.05下被接受？

2X~N(?,?)正态分布， 13.（14分）机器包装食盐，假设每袋盐的净重服从

22规定每袋标准重量为??1kg,方差??0.02。某天开工后，为检验其机器工作

是否正常，从装好的食盐中随机抽取抽取9袋，测得净重（单位：kg）为：0.994,1.014,1.02,0.95,1.03,0.968,0.976,1.048,0.982算得上述样本相关数

据为：均值为x?0.998，无偏标准差为s?0.032，

21

?(x?x)ii?1n2?0.008192。

问(1)在显著性水平??0.05下，这天生产的食盐的平均净重是否和规定的标准有显著差异？

(2) 在显著性水平??0.05下，这天生产的食盐的净重的方差是否符合规定的标准？

(3)你觉得该天包装机工作是否正常？ 14．（8分）设总体X有概率分布

取值 xi 1 2 3 2概率 pi ?2 2?(1??) (1??) 现在观察到一个容量为3的样本,x1?1,x2?2,x3?1。求?的极大似然估计值? 15．（12分）对某种产品进行一项腐蚀加工试验，得到腐蚀时间X（秒）和 腐蚀深度Y（毫米）的数据见下表：

X 5 5 10 20 30 40 50 60 65 90 120 Y 4 6 8 13 16 17 19 25 25 29 46

假设Y与X之间符合一元线回归模型Y??0??1X??

（1）试建立线性回归方程。

（2）在显著性水平??0.01下，检验H0:?1?0

16. (7分）设有三台机器制造同一种产品，今比较三台机器生产能力，记录其五天的日产量

机器 日 产 量 I 138 144 135 149 143 II 163 148 152 146 157 III 155 144 159 141 153 现把上述数据汇总成方差分析表如下

22

方差来源 A e T 平方和 352.933 893.733 自由度 12 14 均方和 F比 17.（10分）设总体X在(0,?)(??0)上服从均匀分布，X1,?,Xn为其一个

X?max{X1,?,Xn}样本，设(n)

XE[X(n)](1)(n)的概率密度函数pn(x) (2)求

218.（7分）机器包装食盐，假设每袋盐的净重服从X~N(?,?)正态分布，规定22每袋标准重量为??1kg,方差??0.02。某天开工后，为检验其机器工作是否

正常，从装好的食盐中随机抽取抽取9袋，测得净重（单位：kg）为：0.994,1.014,1.02,0.95,1.03,0.968,0.976,1.048,0.982算得上述样本相关数据为：均值为x?0.998，无偏标准差为s?0.032，在显著性水平??0.05下，这天生产的食盐的净重的方差是否符合规定的标准？

219.（10分）设总体X服从正态分布N(?,?)，X1,,Xn是来自该总体的一个

1kXk??Xi(1?k?n?1)ki?1样本，记，求统计量Xk?1?Xk的分布。

20．某大学从来自A，B两市的新生中分别随机抽取5名与6名新生，测其身高

2（单位：cm）后算得x＝175.9，y＝172.0；s1?11.3，s22?9.1。假设两市新生

身高分别服从正态分布X-N(μ1，σ2)，Y-N（μ2，σ2）其中σ2未知。试求μ－μ2的置信度为0.95的置信区间。（t0.025(9)=2.2622,t0.025(11)=2.2010）

<概率论>试题参考答案

一、填空题

1． （1） A?B?C （2） ABC?ABC?ABC

23

1

（3） BC?AC?AB 或 ABC?ABC?ABC?ABC

2． 0.7， 3．3/7 ， 4．4/7! = 1/1260 ， 5．0.75， 6． 1/5，

a?1，b?1/2，5/7，7． 8．0.2， 9．2/3， 10．4/5， 11．

12．F(b,c)-F(a,c)， 13．F (a,b)， 14．1/2， 15．1.16， 16．7.4， 17．1/2， 18．46， 19．85 220．N(?,?2n),N(0,1),N(?,?n),N(0,1)； 21．?2??2， 1/8 ， 23．?=7，S2

=2 ， 24．N???2???,n?，

?二、选择题

1．A 2．D 3．B 4．D 5．D 6．C 7．B 8．B 10 ．C

11．C 12．A 13．C 14．C 1 5．B 16．B 17．C 18．B 20 ．C

21．C 22．B 23．A 24．B 25．C 三、解答题 1. 8/15 ；

2. （1）1/15， （2）1/210， （3）2/21; 3. （1） 0.28, （2）0.83, （3） 0.72; 4. 0.92;

5. 取出产品是B厂生产的可能性大。 6. m/(m+k);

7.（1）

P{X?K}?(3/13)k?1(10/13) （2） X 1 2 3 4

P 10/13 (3/13)(10/12) (3/13)(2/12)(10/11) (3/13)(2/12)(1/11) 24

22，

9．C 19．A

?1xe,x?0?1?28. （1）A＝1/2 ， （2）(1?e?1) ， （3）F(x)??

2?1?1ex,x?0??20??9. f(x)??161/31?2/3?b?a(?)3x?10. n?4

其他?? ， ??x??()a3,()b3?6??611. 提示：P{x?h}?0.01或P{x?h}?0.99，利用后式求得h?184.31（查表

?(2.33)?0.9901） 1A=1/2，B=12. ○13.

Y 1 3 X1? 2 1/2； ○3 f (x)=1/[?(1+x2)] ； ○

1 3/8 2 3/8 3 0 0 1/8 1/8 Pj 3/4 1/4 1 0 1/8 1/8 0 3/8 0 3/8 Pi 14. （1）A?立 ；

1?2,B??2,C??2 ；（2） f(x,y)?6；（3） 独

?2(4?x2)(9?y2)15. (1) 12; (2) (1-e-3)(1-e-8) 16. （1）A?24

0??3y4?8y3?12(x?x2/2)y2??（2）F(x,y)??3y4?8y3?6y2?4x3?3x4?1??

x?0或y?00?x?10?y?xx?10?x?1x?10?y?1 x?yy?12?12x2(1?x),0?x?1?12y(?1y 17. （1）fx(x)?? ； fy(y)??0,其他0,??（2）不独立

),?0y?其他

125

?2y?,0?y?x,0?x?118. fYX(yx)??x2 ；

?其他?0,?x)?2(1,y?x?1,?0y?1?2 fXY(xy)??(1?y)

?0,其他?19. E(X)?20. 丙组 21. 10分25秒 22. 平均需赛6场

k(n?1)k(n2?1),D(X)?23. E(X)? ; 21212,7D(X)?24 4924. k = 2, E(XY)=1/4, D(XY)=7/144 25. 0.9475 26. 0.9842 27. 537 28. t(n?1) 29. 16

30. 提示：利用条件概率可证得。

?2e?2xf(x)???031. 提示：参数为2的指数函数的密度函数为

利用Y?1?e?2xx?0x?0 ，

?1?的反函数x???2ln(1?y)?0?即可证得。

<数理统计>试题参考答案

一、填空题

1n2n?)?D(??) 1．N(0,1)， 2．?Xi=1.71， 3．?xi?1， 4．0.5， 5．D(?ni?1ni?126

n?2??2

6．2 ， 7．， 8．(n-1)s或?(xi-x)2， 9．0.15 ， 10．?|u|?u??，

ni?12??其中u?xn

11．

X?u1??21n, 385； 12．

t?XQn(n?1) F(xi),xn)为?i?1，

n222X?X?X??， X(1?)2? ； 14．F(x1,12313．

15．

?X,?(Xii?1i?1nni?X),Xn?6,max{Xi}21?i?n ； 16．

X?u1??21n，

2n?2F(m,n)17．， 18．(4.808，5.196)， 19．， 20．(n-1)s或?(xi-x)2 ，

ni?1m21． T?Xn(n?1)， 22．F，F?Q(n?1)?(Xi?X)2(m?1)?(Yi?Y)2i?1i?1n ，

23

?X?80??S*n???__?n??n?22(x?x)(x?x)???i?????i?1???i?1i?22n?t?(n?1)?,???(n?1)???(n?1)???， ??221??0?0222??????????????．

X?S224．n?,p?1? ， 25．??max{X1,X2,???,Xn} ，

pX??2?[4.412,5.588]，?=7，26． 27．2 ， 28．1/8 ， 29． S=2， 30．N??,?

n??2

二、选择题

1．D 2．B 3．B 4．D 5．D 6．C 7．D 8．A 9．D 10．C

11．A 12．B 13．D 14．D 15．C 16．D 17．B 18．B

27

19．D 20．A

21．D 22．B 23．C 24．A 25．B 26．A 27．B 28．C 29．C 30．A 三、计算题 1．（10分）

解：设X1,X2,?,Xn是子样观察值 极大似然估计： L(?)???ei?1n??xi???enn???xii?1n

lnL(?)?n?ln????xi

i?1?lnL(?)nn ???xi?0

???i?1 ??1 x 矩估计：

??E(X)??x???e??xdx?01 ?1n样本的一阶原点矩为：X??Xi

ni?1所以有：EX?X?2．（8分）

1??1 ?X???X解：这是方差已知，均值的区间估计，所以有： 置信区间为：[X???Z?,X?Z?] n2n21由题得：X?(14.6?15.1?14.9?14.8?15.2?15.1)?14.95

6 ??0.05Z0.025?1.96n?6

28

代入即得：[14.95?0.060.06?1.96,14.95??1.96] 66所以为：[14.754,15.146] 3．（8分） 解：统计量为：

(n?1)S2~X2(n?1)

?222 H0：?2??0?42，H1：?2??0n?16，S2?2，?2?42代入统计量得

21.875??0)?6.262 .975(1515?2?1.875 16所以H0不成立，即其方差有变化。 4．（6分）

解：极大似然估计：

L(X1,?,Xn；?)??(??1)Xi?(??1)(?Xi)?

?ni?1i?1nnlnL?nln(??1)??ln?Xi

i?1ndlnLn???lnXi?0 d???1i?1nn??? 得 ?n??lnXii?1?lnXi?1n

i5．（8分）

解： 这是方差已知均值的区间估计，所以区间为：

[x???Z?,x?Z?] n2n2由题意得：

x?15?2?0.04??0.05n?9代入计算可得

29

16．解： (1)

方差来源 A e T 平方和 352.933 540.8 893.733 自由度 2 12 14 均方和 176.467 45.067 （每空1分，共5分） (2)又因为F?3.916?F0.95(2,12)?3.89，所以样本落入拒绝域，即认为三台机器的生产能力有显著差异。 （2分） 17． 解：(1)由公式可得

?xn?110＜x＜1　?n()?，　pn(x)?????X(n)?0 , 其它的概率密度函数 （5分）

F比 3.916 ?nn?10＜x＜1　?nx，　pn(x)?????0 , 其它即 （2分）

E[X(n)]??x?pn(x)dx??x?0011n(2)

?nxn?1dx?n?n?1 （3分）

2222H:??0.02H:??0.020018． 解：， （2分）

1n22??(X?X)~?(n?1)?i20.02i?1选统计量 （2分）

2222W?{???(n?1)}?{??15.5} （1分） 1??确定否定域

1n8?0.03222??(xi?x)??20.482?20.02i?10.02统计量的观测值为 （1分）

22222??20.48?15.5??(n?1)H:??0.021??因为，所以拒绝0 （1分）

19．解：因为正态分布的线性组合还是正态分布

所以Xk?1?Xk服从正态分布 （2分）

所以下面只需要确定这个正态分布的期望与方差就可以了。

1k?11kXk?1?Xk?Xi??Xi?k?1ki?1 i?1由于

35

1k?1k?1k?(?Xi?Xi)?ki?1 k?1i?1

k1k?11k?(?Xi??Xi??Xi)k?1ki?1i?1i?1

?1(Xk?1?Xk)k?1 （3分）

由于Xk?1与Xk是相互独立的，且求得

E[11(Xk?1?Xk)]?(EXk?1?EXk)?????0k?1k?1 （2分）

Var[11(Xk?1?Xk)]?[Var(Xk?1)?Var(Xk)]k?1(k?1)2

?2112?[??]??22kk(k?1) （2分） (k?1)可知统计量Xk?1?Xk服从正态分布

N(0,1?2)k(k?1) （1分）

20．解：这是两正态总体均值差的区间估计问题。由题设知，

2n1?5,n2?6,x?175.9，y?172，s1?11.3，s2，??0.05.2?9.1

2(n1-1)s1?(n2-1)22ssw?n1?n2-2 (2分)

（4分）

=3.1746,

选取t0.025(9)=2.2622,

则?1－?2置信度为0.95的置信区间为： ?x-y-t?(n1?n2-2)sw?2?1111??,x-y?t?(n1?n2-2)ws?? (8分) n1n2n1n2?2 (10分)

＝[-0.4484,8.2484].

注：置信区间写为开区间者不扣分。

36

37

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/uxet.html