海南大学应用多元统计分析 复习真题

定义2.1 将p个随机变量X1,X2,,Xp的整体称为p维随机向量，记为X?(X1,X2,,Xp)?。

定义2.2 设X?(X1,X2,,Xp)?是p维随机向量，它的多元分布函数定义为

F(x)?F(X1,X2,,Xp)?P(X1?x1,X2?x2,,Xp?xp) （2.2）

记为X~F(x)，其中x?(x1,x2,,xp)??Rp，Rp表示p维欧氏空间。 多维随机向量的统计特性可用它的分布函数来完整地描述。 定义2.3 设X?(X1,X2,,Xp)?是p维随机向量，若存在有限个或可列个p维数向量x1,x2,?,，记P(X?xk)?pk，(k?1,2,)且满足p1?p2???1，则称X为离散型随机向量，称P(X?xk)?pk，(k?1,2,)为X的概率分布。

设X~F(x)?F(x1,x2,,xp)，若存在一个非负函数f(x1,x2,?,xp)，使得对一切有x?(x1,x2,,xp)??Rpx1xpF(x)?F(x1,x2,,xp)?????f(t1,t2,,tp)dt1dtp（2.3）

??则称X为连续型随机变量，称f(x1,x2,?,xp)为分布密度函数，简称为密度函数或分布密度。

一个p元函数f(x1,x2,?,xp)能作为Rp中某个随机向量的密度函数的主要条件是：

（1）f(x1,x2,?,xp)?0，?(x1,x2,?,xp)??Rp； （2）???f(x1,x2,?,xp)dx1?dxp?1

????????离散型随机向量的统计性质可由它的概率分布完全确定，连续型随机向量的统计性质可由它的分布密度完全确定。 定义2.4 设X?(X1,X2,,Xp)?是p维随机向量，称由它的q(?p)个

12q分量组成的子向量X(i)?(Xi,Xi,,Xi)?的分布为X的边缘（或边际）分布，相对地把X的分布称为联合分布。

当X的分布函数是F(x1,x2,数为：

F(x1,x2,,xq)?P(X1?x1,,xq)时，X(1)的分布函数即边缘分布函

,Xq?xq)

?P(X1?x1,,Xq?xq,Xq?1??,,Xp??) ?F(x1,x2,,xq,?,,?) 当X有分布密度f(x1,x2,?,xp)时（亦称联合分布密度函数），则X(1)也有分布密度，即边缘密度函数为：

????f1(x1,x2,?,xq)????f(x1,?,xp)dxq?1,?,dxp

????定义2.5 若p个随机变量X1,X2,缘分布的乘积，则称X1,X2,,Xp的联合分布等于各自的边

,Xp是相互独立的。

定义2.6 设X?(X1,X2,,Xp)?，若E(Xi)(i?1,,p)存在且有限，则称E(X)?(E(X1),E(X2),,E(Xp))?为X的均值（向量）或数学期望，有时也把E(X)和E(Xi)分别记为μ和?i，即μ?(?1,?2,,?p)?，容易推得均值（向量）具有以下性质： （1）E(AX)?AE(X) （2）E(AXB)?AE(X)B

（3）E(AX?BY)?AE(X)?BE(Y)

其中，X、Y为随机向量，A、B为大小适合运算的常数矩阵。 定义2.7 设X?(X1,X2,,Xp)?，Y?(Y1,Y2,,Yp)?，称D(X)?E(X?E(X))(X?E(X))?

Cov(X1,Xp)?Cov(X2,Xp)??（2.4）

??Cov(Xp,Xp)??为X的方差或协差阵，有时把D(X)简记为Σ，Cov(Xi,Xj)简记为?Cov(X1,X1)Cov(X1,X2)?Cov(X,X)Cov(X,X)2122??????Cov(Xp,X1)Cov(Xp,X2)?ij，从而有Σ?(?ij)p?p；称随机向量X和Y的协差阵为 Cov(X,Y)?E(X?E(X))(Y?E(Y))? ?Cov(X1,Y1)Cov(X1,Y2)?Cov(X,Y)Cov(X,Y)2122 ??????Cov(Xp,Y1)Cov(Xp,Y2)当X=Y时，即为D(X)。

Cov(X1,Yp)?Cov(X2,Yp)??（2.5）

??Cov(Xp,Yp)??若Cov(X,Y)?0，则称X和Y不相关，由X和Y相

互独立易推得Cov(X,Y)?0，即X和Y不相关；但反过 来，当X和Y不相关时，一般不能推知它们独立。

当A、B为常数矩阵时，由定义可以推出协方差阵有如下性质： （1）对于常数向量a，有D(X?a)?D(X) （2）D(AX)?AD(X)A??AΣA? （3）Cov(AX,BY)?ACov(X,Y)B?

（4）设X为n维随机向量，期望和协方差存在，记μ?E(X)，Σ?D(X)，A为n?n常数阵，则 E(X?AX)?tr(AΣ)?μ?Aμ

这里我们应该注意到，对于任何的随机向量X?(X1,X2,,Xp)?来

说，其协差阵Σ都是对称阵，同时总是非负定（半正定）的。大多数情况是正定的。

若X?(X1,X2,,Xp)?的协差阵存在，且每个分量的方差大于零，则称随机向量X的相关阵为R?Corr(X)?(?ij)p?p，其中

?ij?Cov(Xi,Xj)D(Xi)D(Xj)??ij?ii?jj i,j?1,?,p （2.6）

为Xi与Xj的相关系数。 在数据处理时，为了克服由于指标的量纲不同对统计分析结果带来的影响，往往在使用各种统计分析之前，常需要将每个指标“标准化”，即进行如下变换X*j?Xj?E(Xj)D(Xj)，

j?1,,p （2.7）

*?那么由（2.7）构成的随机向量X*?(X1*,X2,,X*p)。令，

C?diag(?11,?22,,?pp)，有： X*?C?1(X?E(X))

那么，标准化后的随机向量X*均值和协差阵分别为

E(X*)?E[C?1(X?E(X))]?C?1E[(X?E(X))]?0

D(X*)?D[C?1(X?E(X))]?C?1D[(X?E(X))]C?1?CD(X)C?CΣC?R?1?1?1?1即标准化数据的协差阵正好是原指标的相关阵。 定理2.1 设X~NP(μ,Σ)，则有E(X)?μ，D(X)?Σ

多元正态分布的性质

1．若X?(X1,X2,,Xp)?~Np(μ,Σ)，Σ是对角阵，则X1,,Xp相互独立。

2．若X~Np(μ,Σ)，A为s?p阶常数阵，d为s维常数向量，则 AX?d~Ns(Aμ?d,AΣA?)

即正态随机向量的线性函数还是正态的。 3．若X~Np(μ,Σ)，将X，μ，Σ作如下剖分

?X(1)?X??(2)? ?X?p?qq

qp?q?μ(1)?μ??(2)? ?μ?p?qq

?ΣΣ??11?Σ21Σ12?Σ22??p?qq

则X(1)~Nq(μ(1),Σ11)，X(2)~Np-q(μ(2),Σ22)。

这里需要指出的是：第一，多元正态分布的任何边缘分布为正态分布，但反之不真。第二，由于Σ12?Cov(X(1),X(2))，故Σ12?0表示X(1)和X(2)不相关，因此可知，对于多元正态变量而言，X(1)和X(2)的不相关与独立是等价的。

一、填空题：

1.多元统计分析是运用 方法来研究解决 问题的理论和方法。

2. 回归参数显著性检验是检验 对 的影响是否显著。

3．聚类分析就是分析如何对样品（或变量）进行量化分类的问

题。通常聚类分析分为 聚类和 聚类。

4．相应分析的主要目的是寻求列联表 和

的基本分析特征和它们的最优联立表示。

5．因子分析把每个原始变量分解为两部分因素：一部分为 ，另一部分为 。

6.若x(?)NP(?,?),?=1,2,3….n

且相互独立，则样本均值向量x服

从的分布为_____________。

二、名词解释

1. 随机向量 2.相似数据 3.马氏距离（总体内两点间） 三、简答

1. 简述典型变量与典型相关系数的概念，并说明典型相关分析的基本思想。

2. 简述相应分析的基本思想。

3. 简述求度量MDS古典解的一般步骤。 4. 简述费希尔判别法的基本思想。 5. 简述多元统计分析中协差阵检验的步骤

6. 在进行系统聚类分析时，不同的类间距离计算方法有何区

别？请举例说明。

7. 比较主成分分析与因子分析的异同点。 8. 简述相应分析的基本思想。

9. 进行相应分析时在对因素A和因素B进行相应分析之前没有必要进行独立性检验？为什么？ 四、计算:

1.给出标准化变量X1，X2, X3的协差阵（即相关阵）R，同时给出R的特征值和相应的正交化特征向量。要求：1）计算因子载

荷矩阵A，并建立因子模型；

2）计算公因子的方差贡献，并说明

其统计意义。

2.下表是进行因子分析的结果,试根据下列信息计算变量共同度hi2及公共因子Fj 的方差贡献,并说明其统计意义. Component Matrix

Component

1

2 3

X1

.969 -1.084E-02 .205

X2

.911

.321 -.102

X3

.847

-.120 .323

X4

.941

.281 -2.693E-02

X5

.899

.215 -1.963E-02

.839 .305

X6 -.313

X7

-.666 6.280E-02 .679

X8

.575

-.580 .367

Extraction Method: Principal Component Analysis. a 3 components

extracted.

3.会用最短距离法和最长距离法进行聚类分析，并画谱系图。 4.根据给定信息，会进行判别分析。

5.给出资料阵，会求均向量，协差阵、相关阵。 6. 会求矩阵的逆阵，特征根与特征向量。 7. 给出总体资料的协差阵，会求主成分。 8. 给出两组资料的相关阵，会计算典型相关系数。

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