2005年高考数学试题（重庆理）及答案

2005年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）数学试题卷（理工农医类）

参考公式：

如果事件A、B互斥，那么P(A+B)=P(A)+P(B) 如果事件A、B相互独立，那么P(A·B)=P(A)·P(B)

如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么n次独立重复试验中恰好发生k次的概率

kkPn(k)?CnP(1?P)n?k

第一部分（选择题 共50分）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．圆(x?2)2?y2?5关于原点（0，0）对称的圆的方程为

2．(1?i)2005?

1?i

（ ） （ ）

2005A．(x?2)2?y2?5 B．x2?(y?2)2?5 C．(x?2)2?(y?2)2?5 D．x2?(y?2)2?5

2005 A．i B．－i C．2 D．－2

3．若函数f(x)是定义在R上的偶函数，在(??,0]上是减函数，且f(2)?0，则使得f(x)?0的x的取值范围

是 （ ） A．(??,2) B．(2,??) C．(??,?2)?(2,??) D．（－2，2） 4．已知A（3，1），B（6，1），C（4，3），D为线段BC的中点，则向量AC与DA的夹角为

（ ）

444 B．arccos C．arccos(?)

2555121)?(y?)2的最小值是 5．若x，y是正数，则(x?2y2x7 A．3 B． C．4

2

A．

??arccosD．－arccos(?) D．

（ ）

459 2（ ）

6．已知?、?均为锐角，若p:sin??sin(???),q:?????2,则p是q的

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．对于不重合的两个平面?与?，给定下列条件：①存在平面?，使得?、?都垂直于?；②存在平面?，使

得?、?都平行于?；③?内有不共线的三点到?的距离相等；④存在异面直线l、m，使得l//?，l//?，m//?，m//?，其中，可以判定?与?平行的条件有 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．若(2x?

A．4

1n11)展开式中含2项的系数与含4项的系数之比为－5，则n等于 （ ） xxxB．6

C．8

D．10

x2y2?2?1(b?0)上变化，则x2?2y的最大值为 （ ） 9．若动点（x,y）在曲线

4b?b2?b2b2(0?b?4),(0?b?2),??4??4?4 D．2b A．?4 B．?4 C．4?2b?2b(b?4)(b?2)??10．如图，在体积为1的三棱锥A—BCD侧棱AB、AC、AD上分别取点E、F、G，

使AE : EB=AF : FC=AG : GD=2 : 1，记O为三平面BCG、CDE、DBF的交点， 则三棱锥O—BCD的体积等于 （ ）

A．

111 B． C． 987D．

1 4

第二部分（非选择题 共100分）

1

二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分. 把答案填写在答题卡相应位置上. 11．集合A?{x?R|x2?x?6?0},B?{x?R| |x?2|?2}，则A?B= . 12．曲线y?x3在点(a,a3)(a?0)处的切线与x轴、直线

x?a所围成的三角形的面积为

1,则a= . 6???)?sin(???),则tan?= . 13．已知?、?均为锐角，且cos(23n?32n?114．lim3n= . 2nn??2?315．某轻轨列车有4节车厢，现有6位乘客准备乘坐，设每一位乘客进入每节车厢是等可能的，则这6位乘客进

入各节车厢的人数恰好为0，1，2，3的概率为 .

16．连接抛物线上任意四点组成的四边形可能是 （填写所有正确选项的序号）.①菱形；②有3条边相

等的四边形；③梯形；④平行四边形；⑤有一组对角相等的四边形。

三、解答题：本大题共6小题，共76分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分13分）

若函数f(x)?1?cos2x4sin(?x)2?xx?asincos(??)的最大值为2，试确定常数a的值.

2218．（本小题满分13分）

在一次购物抽奖活动中，假设某10张券中有一等奖券1张，可获价值50元的奖品；有二等奖券3张，每张可获价值10元的奖品；其余6张没有奖，某顾客从此10张券中任抽2张，求： （Ⅰ）该顾客中奖的概率；

（Ⅱ）该顾客获得的奖品总价值?（元）的概率分布列和期望E?. 19．（本小题满分13分） 已知a?R，讨论函数f(x)?ex(x2?ax?a?1)的极值点的个数. 20．（本小题满分13分）

如图，在三棱柱ABC—A1B1C1中，AB⊥侧面BB1C1C，E为棱CC1上异于C、C1的一点，EA⊥EB1，已知AB=2，

BB1=2，BC=1，∠BCC1=

?，求： 3 （Ⅰ）异面直线AB与EB1的距离；

（Ⅱ）二面角A—EB1—A1的平面角的正切值. 21．（本小题满分12分）

x2?y2?1，双曲线C2的左、右焦点分别为C1的左、右顶点，而C2的左、右顶点分已知椭圆C1的方程为4别是C1的左、右焦点.

（Ⅰ）求双曲线C2的方程；

（Ⅱ）若直线l:y?kx?2与椭圆C1及双曲线C2都恒有两个不同的交点，且l与C2的两个交点A和B满足

，求k的取值范围. OA?OB?6（其中O为原点）

22．（本小题满分12分）

11)a?(n?1). nn2?n2n（Ⅰ）用数学归纳法证明：an?2(n?2)；

数列{an}满足a1?1且an?1?(1?（Ⅱ）已知不等式ln(1?x)?x对x?0成立,证明:an?e2(n?1)，其中无理数

e=2.71828….

2

2005年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）数学试题卷（理）参考答案

一、选择题：每小题5分，满分50分.

1．A 2．A 3．D 4．C 5．C 6．B 7．B 8．B 9．A 10．C 二、填空题：每小题4分，满分24分.

11．{x|0?x?3} 12．?1 13．1 14．－3 15．三、解答题：满分76分. 17．（本小题13分）

45 16．②③⑤ 1282cos2xxx1a1a21解:f(x)??asincos?cosx?sinx??sin(x??),其中角?满足sin??4cosx2222441?a21a2由已知有??4.解之得,a??15.4418．（本小题13分） 解法一：

2C62152 （Ⅰ）P?I?2?1??，即该顾客中奖的概率为.

3453C10（Ⅱ）?的所有可能值为：0，10，20，50，60（元）.

11C621C3C62且P(??0)?2?,P(??10)??,25C103C1011C32C1C612 P(??20)?2?,P(??50)??, 215C1015C10? 0 10 20 50 60 11C1C31P 1P(??60)??. 215C103故?有分布列：

12121?50??60??16. 从而期望E??0??10??20?351515152 5121 151515解法二：

112(C4C6?C4)302 （Ⅰ）P???, 2453C10（Ⅱ）?的分布列求法同解法一

由于10张券总价值为80元，即每张的平均奖品价值为8元，从而抽2张的平均奖品价值E?=2×8=16（元）. 19．（本小题13分）

解:f?(x)?ex(x2?ax?a?1)?ex(2x?a)?ex[x2?(a?2)x?(2a?1)],令f?(x)?0得x2?(a?2)x?(2a?1)?0.22（1）当??(a?2)?4(2a?1)?a?4a?a(a?4)?0.

即a?0或a?4时,方程x2?(a?2)x?(2a?1)?0有两个不同的实根x1,x2,不妨设x1?x2,于是f?(x)?ex(x?x1)(x?x2),从而有下表:x

(??,x1) x1 (x1,x2) － x2 0 (x2,??) + f?(x) + 0 f(x) f(x1)为极大值 即此时f(x)有两个极值点.

f(x2)为极小值 3

（2）当??0即a?0或a?4时,方程x2?(a?2)x?(2a?1)?0有两个相同的实根x1?x2 于是f?(x)?ex(x?x1)2

故当x?x1时,f?(x)?0;当x?x2时,f?(x)?0,因此f(x)无极值. （3）当??0,即0?a?4时,x2?(a?2)x?(2a?1)?0,

f?(x)?ex[x2?(a?2)x?(2a?1)]?0,故f(x)为增函数，此时f(x)无极值. 因此当a?4或a?0时,f(x)有2个极值点,当0?a?4时,f(x)无极值点.

20．（本小题13分） 解法一：

（Ⅰ）因AB⊥面BB1C1C，故AB⊥BE.

又EB1⊥EA，且EA在面BCC1B1内的射影为EB.

由三垂线定理的逆定理知EB1⊥BE，因此BE是异面直线 AB与EB1的公垂线，

在平行四边形BCC1B1中，设EB=x，则EB1=4?x， 作BD⊥CC1，交CC1于D，则BD=BC·sin在△BEB1中，由面积关系得

2?3?3. 2113x4?x2??2?,即(x2?1)(x2?3)?0. 222解之得x??1,x??3（负根舍去）

?当x?3时,在?BCE中,CE2?12?2CE?cos?3,

3解之得CE=2，故此时E与C1重合，由题意舍去x?3.

因此x=1，即异面直线AB与EB1的距离为1.

（Ⅱ）过E作EG//B1A1，则GE⊥面BCC1B，故GE⊥EB1且GE在圆A1B1E内，又已知 AE⊥EB1

故∠AEG是二面角A—EB1—A1的平面角. 因EG//B1A1//BA，∠AEG=∠BAE，故tanAEG?解法二：

（Ⅰ）由AE?EB1,得AE?EB1?0,又由AB?平面

BE12??. AB22????????????????????????????????????故EB?EB1?(EA?AB)?EB1?EA?EB1?AB?EB1?0 ????????即EB?EB1,故线段BE是异面直线AB与EB1的公垂线.1 设O是BB1的中点，连接EO及OC1，则在Rt△BEB1中，EO=BB1=OB1=1，因

2?为在△OB1C1中，B1C1=1，∠OB1C1=，故△OB1C1是正三角形，所以OC1=OB1=1，

32?? 又因∠OC1E=∠B1C1C－∠B1C1O=???,故△OC1E是正三角形，

333

所以C1E=1，故CE=1，易见△BCE是正三角形，从面BE=1， 即异面直线AB与EB1的距离是1.

（Ⅱ）由（I）可得∠AEB是二面角A—EB1—B的平面角，在Rt△ABE中，由AB=2， BE=1，得tanAEB=2.

又由已知得平面A1B1E⊥平面BB1C1C，

4

而BB1C1C得AB⊥EB1从而AB?EB1=0.

故二面角A—EB1—A1的平面角???2??AEB，故

?2tan??tan(??AEB)?cotAEB?.

22解法三：

（I）以B为原点，BB1、BA分别为y、z轴建立空间直角坐标系.

由于BC=1，BB1=2，AB=2，∠BCC1=在三棱柱ABC—A1B1C1中有

B（0，0，0），A（0，0，2），B1（0，2，0），

?， 33133,?,0),C1(,,0) 22223设E(,a,0),由EA?EB1,得EA?EB1?0,即

2330?(?,?a,2)?(?,2?a,0)

2233??a(a?2)?a2?2a?, 44C(131331得(a?)(a?)?0,即a?或a?(舍去),故E(,,0)222222

313333BE?EB1?(,,0)?(???0)????0,即BE?EB1.222244又AB⊥面BCC1B1，故AB⊥BE. 因此BE是异面直线AB、EB1的公垂线， 则|BE|?31??1，故异面直线AB、EB1的距离为1. 44（II）由已知有EA?EB1,B1A1?EB1,故二面角A—EB1—A1的平面角?的大小为向量

B1A1与EA的夹角.

??????????????????????EA?B1A13122???????因B1A1?BA?(0,0,2),EA?(?,?,2),故cos?????,即tan??.

222|EA||B1A1|321．（本小题12分）

22解：（Ⅰ）设双曲线C2的方程为x?y?1，则a2?4?1?3,再由a2?b2?c2得b2?1.

a2b2x2?y2?1. 故C2的方程为3x2?y2?1得(1?4k2)x2?82kx?4?0. （II）将y?kx?2代入4由直线l与椭圆C1恒有两个不同的交点得

?1?(82)2k2?16(1?4k2)?16(4k2?1)?0,

12即 k?. ①

4x2将y?kx?2代入?y2?1得(1?3k2)x2?62kx?9?0.

3由直线l与双曲线C2恒有两个不同的交点A，B得

5

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