山东省14市2016届高三上学期期末数学理试题分类汇编：圆锥曲线 -

山东省14市2016届高三上学期期末考试数学理试题分类汇编

圆锥曲线

一、选择题

x2y21、（滨州市2016届高三上学期期末）已知抛物线C1：y?8x的准线与双曲线C2：2?2?1(a?0,b?0)相交

ab2于A，B两点，双曲线C2的一条渐近线的方程是y?则双曲线C2的标准方程是

43x，点F是抛物线C1的焦点，且△FAB是等边三角形，3x2y2x2y2x2y2x2y2??1 （B）??1 （C）??1 （D）??1 （A）

326163632316x2y22、（德州市2016届高三上学期期末）已知双曲线2?2?1 (a>0，b>0)的一个顶点与抛物线y2?4x的焦点重合，

ab且双曲线的离心率等于5，则该双曲线的方程为

x2y2y2x25y2222?y?1 B．x??1?1 ??1 D．5x?A．C．44454

3、（菏泽市2016届高三上学期期末）已知在圆x2?y2?4x?2y?0内，过点E?1，0?的最长弦和最短弦分别是AC和BD，则四边形ABCD的面积为（ ） A. 35 B. 65 C. 415 D. 215 x2y24、（济南市2016届高三上学期期末）过双曲线2?2?1?a?0,b?0?的右焦点F作圆x2?y2?a2的切线FM

ab（切点为M），交y轴于点P.若M为线段FP的中点，则双曲线的离心率为 A.

2

B.

3

C.2 D.

5 12x的对称轴与准线的交点，点B为该抛物线的焦点，45、（济宁市2016届高三上学期期末）已知点A是抛物线y?点P在该抛物线上且满足PB?mPA，当m取最小值时，点P恰好在以A,B为焦点的双曲线上，则该双曲线的离心率为 A.

5?1 2B.

2?1 2C.

2?1

D.

5?1

x2y26、（胶州市2016届高三上学期期末）如图，F1，F2是双曲线2?2?1?a?0,b?0?的左、右焦点，过F1的直

ab线l与双曲线的左、右两支分别交于点A,B.若?ABF2为等边三角形，则双曲线的离心率为

1

A. 4 B.

7 C.

23 D. 33

x2y27、（莱芜市2016届高三上学期期末）已知双曲线2?2?1?a?0,b?0?的左焦点是F??c,0?，离心率为e，过

ab点F且与双曲线的一条渐近线平行的直线与圆x2?y2?c2在y轴右侧交于点P，若P在抛物线y2?2cx上，则e?

2A.

5

B.

5?1 2C.

5?1

D.

2 8、（临沂市2016届高三上学期期末）抛物线y2?2px?p?0?的焦点为F，准线为l，A,B是抛物线上的两个动点，且满足?AFB?MN2?.设线段AB的中点M在l上的投影为N，则的最大值是 3AB3 2C.

A.

3

B.

3 3D.

3 49、（青岛市2016届高三上学期期末）已知椭圆x2?y2?2x?4y?a?0上有且仅有一个点到直线3x?4y?15?0的距离为1，则实数a的取值情况为 A. ???,5?

B. ?4 C. ?4或?20

D. ?11

x2y210、（泰安市2016届高三上学期期末）已知点F1、F2分别是椭圆2?2?1的左、右焦点，过F1且垂直于x轴的

ab直线与椭圆交于M、N两点，若?MNF2为等腰直角三角形，则该椭圆的离心率e为

A.

2 2B.

1 2

C. ?1?2

D.

3 312y2x211、（威海市2016届高三上学期期末）已知双曲线M:2?2?1?a?0,b?0?与抛物线y?x有公共焦点F，

8abF到M的一条渐近线的距离为3，则双曲线方程为

x2y2y2x3x2x222?y?1 D. y??1 ??1 B. ??1 C. A.

33733712、（潍坊市2016届高三上学期期末）已知k?R，直线l1:x?ky?0过定点P，直线l2:kx?y?2k?2?0过定点Q，两直线交于点M，则MP?MQ的最大值是 A. 22 B.4

C. 42 D.8

13、（烟台市2016届高三上学期期末）若中心在原点，对称轴为坐标轴的双曲线的渐近线方程为y??2x，则该双曲线的离心率为

2

A.3或6 2B.

6或3 2C.

3

D.3

14、（枣庄市2016届高三上学期期末）已知圆C：x2?y2?1，点P在直线l:y?x?2上，若圆C上存在两点A，

????????B使得PA?3PB，则点P的横坐标的取值范围为（ ）

A．??1，? B．??2，? C．??100? ，? D．??2，??1?2???1?2?x2y215、（青岛市2016届高三上学期期末）已知双曲线2?2?1的一个实轴端点恰与抛物线y2??4x的焦点重合，

ab且双曲线的离心率等于2，则该双曲线的方程为

x2y2??1 A.

412x2y2??1 B.

124x2y2??1 C.

31y2?1 D. x?32

参考答案

1、D 2、B 3、D 4、A 5、C 6、B 7、D 8、C 9、B 10、C 11、D 12、B 13、A 14、D 15、D

二、填空题

x2?y2?1与双曲线C21、（菏泽市2016届高三上学期期末）如图，F1，F2是椭圆C:4的公共焦点，A,B分别是C1，C2在第二，第四象限的公共点，若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是 .

2、（济南市2016届高三上学期期末）已知M,N是圆A:x?y?2x?0与圆B:x?y?2x?4y?0的公共点，则?BMN的面积为___________.

3、（济宁市2016届高三上学期期末）已知两直线l1:3x?y?2?0,l2:3x?y?10?0截圆C所得的弦长均为2，则圆C的面积是 ▲ .

4、（莱芜市2016届高三上学期期末）若双曲线kx?y?1的一个焦点的坐标是?2,0?，则k=__________.

2222225、（青岛市2016届高三上学期期末）双曲线kx?y?1的一条渐近线与直线2x?y?3?0垂直，则双曲线的离心率是___________.

6、（泰安市2016届高三上学期期末）直线ax?y?1?0被圆x?y?2ax?a?0截得弦长为2，则实数a的值是 ▲ .

2222x2y27、（潍坊市2016届高三上学期期末）已知双曲线2?2?1?a?0,b???的一条渐近线方程为3x?y?0，则

ab其离心率e?_________.

3

8、（烟台市2016届高三上学期期末）已知抛物线y2?8x的焦点为F，P是抛物线的准线上的一点，Q是直线PF

uuuruuur与抛物线的一个交点，若PQ?2QF，则直线PF的方程为

9、（枣庄市2016届高三上学期期末）已知直线y?k?x?m?与抛物线y2?2px?p?0?交于A、B两点，O为坐标原点，OA⊥OB，OD⊥AB于D，点D在曲线x2?y2?4x?0上，则p? .

参考答案 1、

165 2、22 3、10? 4、 5、 3226、-2 7、2 8、x－y－2＝0或x＋y－2＝0 9、2

三、解答题

x2y21、（滨州市2016届高三上学期期末）在平面直角坐标系xoy中，椭圆C：2?2?1(a?b?0)的左、右焦点分

ab别为F1，F2，离心率为

3，以原点为圆心，以椭圆C的短半轴长为半径的圆与直线x?y?2?0相切，过点F22的直线l与椭圆C相交于M，N两点。

（I）求椭圆C的方程；

??????????（II）若MF2?3F2N，求直线l的方程；

（III）求△F1MN面积的最大值。

2、（德州市2016届高三上学期期末）已知椭圆的长轴长与焦距比为2：1，左焦点F(-2，0)，一定点为P(-8，0)． (I)求椭圆E的标准方程；

(Ⅱ)过P的直线与椭圆交于P1，P2两点，求△P1P2F面积的最大值及此时直线的斜率．

x2y23、（菏泽市2016届高三上学期期末）已知椭圆C:2?2?1?a?b?0?的左右焦点分别为F1，F2，点M?0，2?是

ab椭圆的一个顶点，?F1MF2是等腰三角形.

（1）求椭圆C的方程；

（2）设点P是椭圆C上一动点，求线段PM的中点Q的轨迹方程；

（3）过点M分别作直线MA,MB交椭圆于A,B两点，设两直线的斜率分别为k1，k2，且k1+k2=8，探究：直

线AB是否过定点，并说明理由.

4

1x2y2?3?4、（济南市2016届高三上学期期末）已知椭圆C:2?2?1?a?b?0?的离心率为，且过点?1,?.若点

2ab?2??xy?M?x0,y0?在椭圆C上，则点N?0,0?称为点M的一个“椭点”.

?ab?（I）求椭圆C的标准方程；

（II）若直线l:y?kx?m与椭圆C相交于A,B两点，且A,B两点的“椭点”分别为P，Q，以PQ为直径的圆经过坐标原点，试判断?AOB的面积是否为定值？若为定值，求出定值；若不为定值，说明理由.

x2y2?4b?5、（济宁市2016届高三上学期期末）椭圆C:2?2?1?a?b?0?的上顶点为P，Q?,?是C上的一点，以

ab?33?PQ为直径的圆经过椭圆C的右焦点F.

（1）求椭圆C的方程； （2）过椭圆C的右焦点F且与坐标不垂直的直线l交椭圆于A,B两点，在直线x=2上是否存在一点D，使得?ABD为等边三角形？若存在，求出直线l的斜率；若不存在，请说明理由.

6、（胶州市2016届高三上学期期末） 已知O为坐标原点，焦点为F的抛物线E:x?2py?p?0?上两不同点A,B

2????????1均在第一象限内，B点关于y轴的对称点为C，?OFA的外接圆的圆心为Q，且OQ?OF?.

32（Ⅰ）求抛物线E的标准方程；

（Ⅱ）设直线OA,OB的倾斜角分别为?,?，且?????2.

①证明：直线AC过定点；

②若A,B,C三点的横坐标依次成等差数列，求?ABC的外接圆方程.

x2y27、（莱芜市2016届高三上学期期末）已知椭圆C:2?2?1?a?b?0?过点2，2，其焦点在eO：x2?y2?4ab??上，A,B是椭圆的左右顶点.

（I）求椭圆C的方程；

（II）M,N分别是椭圆C和eO上的动点（M,N不在y轴同侧），且直线MN与y轴垂直，直线AM,BM分别与y轴交于点P,Q，求证：PN?QN.

5

8、（临沂市2016届高三上学期期末）已知椭圆的焦点在x轴上，它的一个顶点恰好是抛物线x2?4y的焦点，离心率e?2，过椭圆的右焦点F作与坐标轴不垂直的直线l，交椭圆于A、B两点。 5（1）求椭圆的标准方程；

uuuruuuruuur（2）设点M?m,0?是线段OF上的一个动点，且MA?MB?AB，求m的取值范围；

??（3）设点C是点A关于x轴的对称点，在x轴上是否存在一个定点N，使得C、B、N三点共线？若存在，求出定点N的坐标，若不存在，请说明理由。

9、（青岛市2016届高三上学期期末）已知A?x0,1?,B?0,y0?两点分别在x轴和y轴上运动，且AB?1，若动点

????????????P?x,y?满足OP?2OA?3OB.

（I）求出动点P的轨迹对应曲线C的标准方程；

（II）一条纵截距为2的直线l1与曲线C交于P，Q两点，若以PQ直径的圆恰过原点，求出直线方程；

（III）直线l2:x?ty?1与曲线C交于A、B两点，E??1，0?，试问：当t变化时，是否存在一直线l2，使?ABE的面积为23？若存在，求出直线l2的方程；若不存在，说明理由

x2y2310、（泰安市2016届高三上学期期末）已知椭圆C:2?2?1?a?b???的右顶点A(2,0)，且过点(?1,)

ab2（I）求椭圆C的方程；

（II）过点B(1,0)且斜率为k1?k1?0?的直线l于椭圆C相交于E，F两点，直线AE，AF分别交直线x?3于M，N两点，线段MN的中点为P，记直线PB的斜率为k2，求证：k1?k2为定值.

x2y2211、（威海市2016届高三上学期期末）已知椭圆E:2?2?1?a?b?0?离心率为，点P?0,1?在短轴CD

ab2uuuruuur上，且PC?PD??1.

（I）求椭圆E的方程；（II）过点P的直线l与椭圆E交于A,B两点.

uur1uuur（i）若PB?AP，求直线l的方程；

2（ii）在y轴上是否存在与点P不同的定点Q，使得说明理由.

QAQB?PAPB恒成立，若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请

6

y2x212、（潍坊市2016届高三上学期期末）已知椭圆E:2?2?1?a?b?0?的上、下焦点分别为F1,F2，点D在椭

ab圆上，DF2?F1F2D的面积为22，离心率e?2.抛物线C:x2?2py?p?0?的准线l经过D点. 2（I）求椭圆E与抛物线C的方程；

（II）过直线l上的动点P作抛物线的两条切线，切点为A、B，直线AB交椭圆于M,N两点，当坐标原点O落在以MN为直径的圆外时，求点P的横坐标t的取值范围.

x2y2313、（烟台市2016届高三上学期期末）如图，椭圆C:2?2?1?a?b?0?的离心率是，过点P?1,0?的动

ab2直线l与椭圆相交于A,B两点，当直线l平行于y轴时，直线l被椭圆C截得的线段长为22. （1）求椭圆C的方程；

（2）已知D为椭圆的左端点，问：是否存在直线l使得?ABD的面积为若不存在说明理由，若存在，求出直线l的方程.

102?3x2y214、（枣庄市2016届高三上学期期末）已知椭圆2?2?1?a?b?0?上一点与它的左、右两个焦点F1,F2的距

ab离之和为22，且它的离心率与双曲线x2?y2?2的离心率互为倒数. （1）求椭圆的方程；

（2）如图，点A为椭圆上一动点（非长轴端点），AF1的延长线与椭圆交于B点，AO的延长线与椭圆交于C点. (i)当直线AB的斜率存在时，求证：直线AB与BC的斜率之积为定值； (ii)求△ABC面积的最大值，并求此时直线AB的方程.

7

参考答案 1、

8

2、

3、详细分析：（1）由已知可得b?2,a2??2b?2?8 ，所求椭圆方程为．x2y28?4?1 ????????3分

22（2）设点P?x1,y1?，PM的中点坐标为Q?x,y?, 则x1y8?14?1

由x?0?x12,y?2?y12得xx221?2x,y1?2y?2代入上式 得2??y?1??1 ????6分

（3）若直线AB的斜率存在，设AB方程为y?kx?m，依题意m??2．

?设A(x?x2?y2?1,1,y1)，B(x2,y2)，由 ??8 ?kx4?y?m, 得 ?1?2k2?x2?4kmx?2m2?8?0．

则x4km2m2?81?x2??1?2k2,x1x2?1?2k2．?????????9分

9

由已知

y1?2y2?2??8， x1x2kx1?m?2kx2?m?2x1?x22k?m?2?8． ??8??所以，即

x1x2x1x2 所以k?mk111?4，整理得 m?k?2．故直线AB的方程为y?kx?k?2，即y?k（x?）?2．所以直

2m?2221,?2）． ???????????12分 2y0?2?y0?2??8，得x0x0线AB过定点（?若直线AB的斜率不存在，设AB方程为x?x0，设A(x0,y0)，B(x0,?y0)，由已知

111x0??．此时AB方程为x??，显然过点（?,?2）．

222综上，直线AB过定点（?1,?2）．???????????????14分 2c2a2?b21c12?， 4、(I) 解：由题意知e??，∴e?2?4a2aa2即a?224219b 又2?2?1........2分 3a4b2y2x2 ∴a?4,b?3， ?椭圆的方程为??1 ........ 4分

43 (II) 设A(x1,y1),B(x2,y2)，则P???x1y1??x2y2?,???,Q??2,? 23??3??由于以PQ为直径的圆经过坐标原点，所以OP?OQ?0 即

x1x2y1y2??0....... 5分 43?y?kx?m?222由?x2y2得 (3?4k)x?8mkx?4(m?3)?0，

?1??3?4??64m2k2?16(3?4k2)(m2?3)?0，3?4k2?m2?0.

8mk4(m2?3)x1?x2??,x1?x2?......... 7分 223?4k3?4k3(m2?4k2)y1?y2?(kx1?m)?(kx2?m)?kx1x2?mk(x1?x2)?m?.

3?4k222

10

16

12、

13、

14、解：（1）设椭圆的半焦距为c.

17

因为双曲线x2?y2?10的离心率为2， 所以椭圆的离心率为22，即ca?22.??????????????????1分 由题意，得2a?22.解得a?2.????????????????????2分 于是c?1， b2?a2?c2?2?1?1.故椭圆的方程为x22?y2?1.????????3分

（2）（i）设A(x,y2222y21,y1),B(x22)，则x1?2?2y1,x2?2?2. 由于点A与点C关于原点对称，所以C(?x1,?y1).

[?y?y?y222222kAB?kBC21y21y2?y1y2?y1y2?y11x?x?2?x12?x1x22?22?22??. 2?x1(2?2y2)?(2?2y1)2(y1?y2)2故直线AB与BC的斜率之积为定值?12.????????????????6分

（ii）设直线AB的方程为x?ty?1，A(x1,y1)，B(x2,y2).

由???x?ty?1,?x?2y?2x(t2?2)y22消去并整理，得?2ty?1?0.?????????7分 ?2因为直线AB与椭圆交于A,B两点，所以y2t1?y2?t2?2,y1y?12?t2?2.????8分 法一：|AB|?(x22?x1)?(y2?y1)2 ?[(ty2?1)?(ty1?1)]2?(y2?y1)2

?(t2?1)(y2?y1)2 ?(t2?1)[(y2?y1)2?4y1y2] ?(t2?1)[(2t2?122(t2?1)t2?2)?4?t2?2]?t2?2.????????????9分

点O到直线AB的距离d?1t2?1.??????????????????10分

因为O是线段AC的中点，所以点C到直线AB的距离为2d.

S?122(△ABC2|AB|?2d?t2?1)122t2?1t2?2?.???????????11分 t2?1?t2?2令t2?1?u，则u≥1.

S22u△ABC?u2?1?22≤22=2，??????????????????12u?11分 u2u?u当且仅当u?1u，即u?1，亦即t?0时，△ABC面积的最大值为2. [此时直线AB的方程为x??1.??????????????????????13分

18

1法二：由题意，S△ABC?2S△ABO?2?(?|OF1|?|y1?y2|)?|y1?y2|?????9分

22t2?122t2?1)?4?2????????11分 ?(y2?y1)?4y1y2?(22t?2t?2t?22

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