2013高考数学总复习

2013高考数学总复习资料

高三数学第三轮总复习分类讨论押题针对训练

复习目标:

1．掌握分类讨论必须遵循的原则 2．能够合理，正确地求解有关问题 命题分析:

分类讨论是一种重要的逻辑方法，也是一种常用的数学方法，这可以培养学生思维的条理性和概括性，以及认识问题的全面性和深刻性，提高学生分析问题，解决问题的能力.因此分类讨论是历年数学高考的重点与热点.而且也是高考的一个难点.这次的一模考试中，尤其是西城与海淀都设置了解答题来考察学生对分类讨论问题的掌握情况.

重点题型分析:

例1．解关于x的不等式:x2?a3?(a?a2)x(a?R)

2

解:原不等式可分解因式为:(x-a)(x-a)<0 （下面按两个根的大小关系分类）

（1）当a>a2?a2-a<0即 00即a<0或a>1时，不等式的解为:x?(a, a2) （3）当a=a2?a2-a=0 即 a=0或 a=1时，不等式为x2<0或(x-1)2<0 不等式的解为 x??.

综上，当 01时，x?(a,a2) 当a=0或a=1时，x??.

评述:抓住分类的转折点，此题分解因式后，之所以不能马上写出解集，主要是不知两根谁大谁小，那么就按两个根之间的大小关系来分类.

例2．解关于x的不等式 ax2+2ax+1>0(a?R) 解:此题应按a是否为0来分类.

（1）当a=0时，不等式为1>0, 解集为R. （2）a?0时分为a>0 与a<0两类

??a?0?a?0?a?0??2???a?1时，方程ax2+2ax+1=0 ①?????0?4a?4a?0?a(a?1)?0有两根

a(a?1)?2a?4a2?4a?a?a2?a???1? x1,2?.

2aaaa(a?1)a(a?1))?(?1?,??). 则原不等式的解为(??,?1?aa??a?0?a?0?a?0??2???0?a?1时， ②?????0?0?a?1?4a?4a?0 方程ax2+2ax+1=0没有实根，此时为开口向上的抛物线，则不等式的解为（-?，+?）.

??a?0?a?0?a?0??2???a?1时， ③ ?????0?a?0或a?1?4a?4a?0 方程ax2+2ax+1=0只有一根为x=-1，则原不等式的解为(-?,-1)∪(-1,+?).

??a?0?a?0?a?0??2???a?0时， ④???0???4a?4a?0?a?0或a?1?2a?a(a?1)a(a?1)??1?

2aa 此时，抛物线的开口向下的抛物线，故原不等式的解为:

方程ax2+2ax+1=0有两根，x1,2?a(a?1)a(a?1),?1?). aa??a?0?a?0?a?0??2???a?? ⑤?????0?0?a?1?4a?4a?0综上:

当0≤a<1时，解集为（-?，+?）.

(?1?a(a?1)a(a?1))?(?1?,??). 当a>1时，解集为(??,?1?aa 当a=1时，解集为(-?,-1)∪(-1,+?).

a(a?1)a(a?1),?1?). 当a<0时，解集为(?1?aa例3．解关于x的不等式ax2-2≥2x-ax(a∈R)(西城2003’一模 理科） 解:原不等式可化为? ax2+(a-2)x-2≥0, (1)a=0时，x≤-1，即x∈(-∞,-1]. (2)a?0时，不等式即为(ax-2)(x+1)≥0.

2① a>0时， 不等式化为(x?)(x?1)?0，

a?a?02? 当?2，即a>0时，不等式解为(??,?1]?[,??).

a???1?a?a?0? 当?2，此时a不存在.

??1??a2② a<0时，不等式化为(x?)(x?1)?0，

a?a?02? 当?2，即-2

a???1?a?a?02? 当?2，即a<-2时，不等式解为[?1,].

a???1?a?a?0? 当?2，即a=-2时，不等式解为x=-1.

???1?a综上:

a=0时，x∈(-∞,-1).

2 a>0时，x∈(??,?1]?[,??).

a2 -2

a2 a<-2时，x∈[?1,].

a a=-2时，x∈{x|x=-1}.

评述:通过上面三个例题的分析与解答，可以概括出分类讨论问题的基本原则为:

10:能不分则不分；

20:若不分则无法确定任何一个结果； 30:若分的话，则按谁碍事就分谁.

例4．已知函数f(x)=cos2x+asinx-a2+2a+5.有最大值2，求实数a的取值.

a3解:f(x)=1-sin2x+asinx-a2+2a+5??(sinx?)2?a2?2a?6.

24 令sinx=t, t∈[-1,1].

a3 则f(t)??(t?)2?a2?2a?6(t∈[-1,1]).

24a(1)当?1即a>2时，t=1，ymax??a3?3a?5?2

23?213?21或a? 解方程得:a?（舍）. 22aa3(2)当?1??1时，即-2≤a≤2时，t?,ymax??a2?2a?6?2,

2244 解方程为:a??或a=4（舍）.

3a(3)当??1 即a<-2时， t=-1时，ymax=-a2+a+5=2

21?13?1?13 即 a2-a-3=0 ∴ a?, ∵ a<-2, ∴ a?全都舍去.

223?214或a??时，能使函数f(x)的最大值为2. 综上，当a?23例5．设{an}是由正数组成的等比数列，Sn是其前n项和，证log0.5Sn?log0.5Sn?2明:?log0.5Sn?1.

2证明:（1）当q=1时，Sn=na1从而

2222Sn?Sn?2?Sn?na?(n?2)a?(n?1)a??a?11111?0

a1(1?qn)（2）当q≠1时，Sn?， 从而

1?q2 Sn?Sn?2?Sn?1?22a1(1?qn)(1?qn?2)?a1(1?qn?1)2 由（1）（2）得:Sn?Sn?2(1?q)22?Sn?1.

2n??a1q?0.

log0.5Sn?log0.5Sn?2?log0.5Sn?1.

2例6．设一双曲线的两条渐近线方程为2x-y+1=0, 2x+y-5=0，求此双曲线的离心率.

分析:由双曲线的渐近线方程，不能确定其焦点位置，所以应分两种情况求解.

解:（1）当双曲线的焦点在直线y=3时，双曲线的方程可改为(x?1)2(y?3)2b??1，一条渐近线的斜率为?2， ∴ b=2.∴ 2aabx ∵ 函数y?log0.5为单调递减函数.∴

cb2?a25a2e????5.

aa5 （2）当双曲线的焦点在直线x=1时，仿（1）知双曲线的一条渐近线的

斜率为

5a. ?2，此时e?2b5. 2评述:例5，例6，的分类讨论是由公式的限制条件与图形的不确定性所引起的，而例1-4是对于含有参数的问题而对参数的允许值进行的全面讨论.

综上（1）（2）可知，双曲线的离心率等于5或例7．解关于x的不等式 5a(1?x)?1x?2a(1?x)?1x?2?1.

解:原不等式 ?5?50 a(1?x)(1?a)x?a?2??1?0??0?(x?2)[(1?a)x?(2?a)]?0

x?2x?2

?1?a?0?1?a?0?1?a?0???(1)?或(2)?或(3)? 2?a2?a)?0)?0?(x?2)(1?2)?0?(x?2)(x??(x?2)(x?1?a1?a?? 由(1) a=1时，x-2>0, 即 x∈(2,+∞).

2?a 由(2)a<1时，?0，下面分为三种情况.

1?a?a?1?a?12?a??? ①?2?a 即a<1时，解为(2,).

a?01?a?2???1?a?a?1?a?1????a?0时，解为?. ②?2?a?2?a?0??1?a?a?1?a?12?a? ③ ?2?a ? ? 即0

1?a?2?a?0?1?a?2?a 由（3）a>1时，的符号不确定，也分为3种情况.

1?a?a?1?a?1??? ①?2?a ? a不存在. ?2?a?0??1?a?a?1?a?1????当a>1时，原不等式的解 ② ?2?a?2?a?0??1?a2?a为:(??,)?(2,??).

1?a综上:

a=1时，x∈(2,+∞).

2?a a<1时，x∈(2,)

1?a a=0时，x??.

2?a 0

1?a2?a a>1时，x∈(??,)?(2,??).

1?a评述:对于分类讨论的解题程序可大致分为以下几个步骤: 10:明确讨论的对象，确定对象的全体； 20:确定分类标准，正确分类，不重不漏； 30:逐步进行讨论，获得结段性结记； 40:归纳总结，综合结记. 课后练习:

1．解不等式logx(5x2?8x?3)?2

2．解不等式|log1x|?|log1(3?x)|?1

23ax?5?0的解集为M. 2x?a（1）当a=4时，求集合M:

（2）若3?M，求实数a的取值范围.

4．在x0y平面上给定曲线y2=2x, 设点A坐标为(a,0), a?R，求曲线上点到点A距离的最小值d，并写成d=f(a)的函数表达式.

3．已知关于x的不等式

参考答案:

1331. （，）?（，??）252392.[，]

4453. (1) M为 （??，2）?（，2）45 (2)a?(??,)?(9,??)

3??2a?1当a?1时4. d?f(a)??.

?当a?1时?|a|

2006年高三数学第三轮总复习函数押题针对训练

复习重点：函数问题专题，主要帮助学生整理函数基本知识，解决函数问题的基本方法体系，函数问题中的易错点，并提高学生灵活解决综合函数问题的能力。

复习难点：树立数形结合的思想，函数方程的思想解决有关问题。 主要内容：

（一）基本问题

1.定义域 2.对应法则 3.值域

4.图象问题 5.单调性 6.奇偶性（对称性） 7.周期性 8.反函数 9.函数值比大小 10.分段函数 11. 函数方程及不等式 （二）基本问题中的易错点及基本方法 1．集合与映射

<1>认清集合中的代表元素

<2>有关集合运算中，辨清：子集，真子集，非空真子集的区别。还应注意空集的情形，验算端点。

2．关于定义域

<1>复合函数的定义域，限制条件要找全。 <2>应用问题实际意义。

<3>求值域，研究函数性质（周期性，单调性，奇偶性）时要首先考察定义域。

<4>方程，不等式问题先确定定义域。 3．关于对应法则

注：<1>分段函数，不同区间上对应法则不同 <2>联系函数性质求解析式 4．值域问题

基本方法：<1>化为基本函数——换元（新元范围）。化为二次函数，三角函

数，??并结合函数单调性，结合函数图象，求值域。

xb<2>均值不等式：——形如和，积，及f(x)??形式。注意识别及应用条

ax件。

<3>几何背景：——解析几何如斜率，曲线间位置关系等等。 易错点：<1>考察定义域

<2>均值不等式使用条件 5．函数的奇偶性，单调性，周期性。 关注问题：<1>判定时，先考察定义域。

<2>用定义证明单调性时，最好是证哪个区间上的单调性，在哪个区间上任取x1及x2。

<3>求复合函数单调区间问题，内、外层函数单调区间及定义域，有时需分类讨论。

<4>由周期性及奇偶性（对称性）求函数解析式。

<5>“奇偶性”+“关于直线x=k”对称，求出函数周期。 6．比大小问题

基本方法：<1>粗分。如以“0”，“1”，“-1”等为分界点。 <2>搭桥 <3>结合单调性，数形结合 <4>比差、比商 <5>利用函数图象的凸凹性。 7．函数的图象 <1>基本函数图象

<2>图象变换 ①平移 ②对称（取绝对值） ③放缩 易错点：复合变换时，有两种变换顺序不能交换。如下： 取绝对值（对称）与平移

例：由y?x图象，经过如何变换可得下列函数图象？

<1> y?|x|?1 <2>y?|x?1|

x?x?1x?|x|??y?|x|?1. 分析：<1> y?x?????y?x?1???平移对称x?|x|x?x?1 <2> y?x?????y?|x|?????y?|x?1|.

对称评述：要由y?x得到y?|x|?1只能按上述顺序变换，两顺序不能交换。 平移与关于y=x对称变换

-1

例：y=f(x+3)的反函数与y=f(x+3)是否相同？

?x?3x,y)?(y,x)分析：①y?f(x)?x???y?f(x?3)?(?????f(x?3)的反函数。

平移对称(x,y)?(y,x)x?x?3??y?f?1(x)??????f?1(x?3). ②y?f(x)??????对称平移 ∴两个函数不是同一个函数（也可以用具体函数去验证。） （三）本周例题：

x例1．判断函数f(x)?(1?tgx?tg)?sinx的奇偶性及周期性。

2??x?k???x?2k?????2?2分析：<1>定义域：????(k?Z)

?x?k???x?k???2??2? ∴ f(x)定义域关于原点对称，如图：

1?cosx 又f(x)?(1?tgx?)sinx?tgx

sinx ∴ f(-x)=-f(x),

∴ f(x)周期?的奇函数。

评述：研究性质时关注定义域。

1例2．<1>设f(x)定义在R上的偶函数，且f(x?3)??，又当x∈[-3,-2]

f(x)时，f(x)=2x，求f(113.5)的值。

<2>已知f(x)是以2为周期的偶函数，且当x∈(0,1)时，f(x)=x+1.求f(x)在(1,2)上的解析式。

1解：<1>∵ f(x?3)??

f(x)1 ∴ f(x?6)???f(x)， ∴ f(x)周期T=6，

f(x?3) ∴ f(113.5)=f(6?19-0.5)=f(-0.5). 当x∈(-1,0)时，x+3∈(2,3).

∵ x∈(2,3)时，f(x)=f(-x)=2x. ∴ f(x+3)=-2(x+3).

11 ∴ f(x)??, ?f(x?3)2(x?3)111 ∴ f(?)??.

1252?(??3)2 <2>（法1）（从解析式入手） ∵ x∈(1,2), 则-x∈(-2,-1), ∴ 2-x∈(0,1), ∵ T=2.

∵ f(x)=f(-x)=f(2-x)=2-x+1=3-x. ∴ f(x)=3-x, x∈(1,2).

小结：由奇偶性结合周期性，将要求区间上问题转化为已知解析式的区间上。

（法2）（图象） f(x)=f(x+2)

如图：x∈(0,1), f(x)=x+1. x∈(-1,0)→f(x)=-x+1.

x∈(1,2)→f(x)=-(x-2)+1=3-x. 注：从图象入手也可解决，且较直观。

例3．<1>若x∈(1,2)时，不等式(x-1)2

<2>已知二次函数f(x)=x2+ax+5对任意t都有f(t)=f(-4-t)，且在闭区间Z[m,0]上有最大值5，最小值1，求m的取值范围。

分析：<1>设 y1=(x-1)2, y2=logax

x∈(1,2)，即x∈(1,2）时，曲线y1在y2的下方，如图：

∴ a=2时，x∈(1,2)也成立，∴a∈(1,2]. 小结：①数形结合 ②变化的观点

③注意边界点，a=2，x取不到2， ∴仍成立。 <2>∵f(t)=f(-4-t), ∴ f(-2+t)=f(-2-t)

∴ f(x)图象关于x=-2对称， ∴ a=4, ∴ f(x)=x2+4x+5. ∴ f(x)=(x+2)2+1, 动区间：[m,0], ∵ x∈[m,0], [f(x)]max=5, [f(x)]min=1, ∴ m∈[-4,0].

小结：函数问题，充分利用数形结合的思想，并应用运动变化的观点研究问题。如二次函数问题中常见问题，定函数动区间及动函数和定区间，但两类问题若涉及函数最值，必然要考虑函数的单调区间，而二次函数的单调性研究关键在于其图象对称轴的位置。以发展的眼光看，还可解决一类动直线定曲线相关问题。

x?5例4．已知函数f(x)?loga,(a?0且a?1).

x?5 (I)判定f(x)在x∈(-∞,-5)上的单调性，并证明。

(II)设g(x)=1+loga(x-3)，若方程f(x)=g(x)有实根，求a的取值范围。 分析：(I)任取x1

x?5x?5(x?5)(x2?5)?loga2?loga1 则：f(x1)?f(x2)?loga1, x1?5x2?5(x1?5)(x2?5) ∵ (x1-5)(x2+5)-(x1+5)(x2-5)=10(x1-x2)<0 又 (x1-5)(x2+5)>0 且(x1+5)(x2-5)>0

(x?5)(x2?5)?1, 0?1(x1?5)(x2?5) ∴ 当a>1时，f(x1)-f(x2)<0, ∴ f(x)单调递增， 当00,∴f(x)单调递减。

x?5 (II)若f(x)=g(x)有实根，即：loga?1?loga(x?3)。

x?5?x?5?0??x?5. ∴ ?x?5??x?3?0x?5 ∴ 即方程：?a(x?3)有大于5的实根。

x?5x?5(x?5) （法1）a? （∵ x>5） ?(x?3)(x?5)(x?5?2)(x?5?10)

?x?5?(x?5)2?12(x?5)?201(x?5)?20?12(x?5)?112?220?3?5 16 ∴ a?(0,3?5]. 16x?5?a(x?3)(1)有大于5的实根， x?5 方程(1)化为：ax2+(2a-1)x-15a+5=0. ∵ a>0, ∴Δ=64a2-24a+1≥0.

???5??. ①有一根大于5 ?f(5)?0? （法2）（实根分布）

????0?3?5?a?(0,]. ②两根均大于?f(5)?016?1?2a??52a? 小结：实根分布即利用二次函数图象及不等式组解决问题。用此数形结合方法解决问题时，具体步骤为：①二次函数图象开口方向。②图象对称轴的位置。③图象与x轴交点。④端点函数值的符号。此题(2)中，也可以用韦达定理解决。

小结：

函数部分是高考考察重点内容，应当对其予以充分的重视，并配备必要例题，理顺基本方法体系。

练习：

已知f(x)是定义在[-1，1]上的奇函数，且f(1)=1,若m,n∈[-1,1]，m+n

f(m)?f(n)≠0时,有?0。

m?n<1>用定义证明f(x)在[-1，1]上是增函数。

<2>若f(x)≤t2-2at+1对所有x∈[-1,1]，a∈[-1,1]恒成立，求实数t的取值范围。

参考答案：

(2)|t|≥2或t=0.

2006年高三数学第三轮总复习排列与组合押题针对训练 授课内容：复习排列与组合

考试内容：两个原理；排列、排列数公式；组合、组合数公式。

考试要求：1）掌握加法原理及乘法原理，并能用这两个原理分析和解决一

些简单的问题。

2）理解排列、组合的意义。掌握排列数、组合数的计算公式，并能用它们解决一些简单的问题。

试题安排：一般情况下，排列组合为一道以选择或填空题的形式出现的应用题。有时还另有一道排列、组合与其他内容的综合题（大都与集合、立体几何、不等式证明等相综合）。

重点：两个原理尤其是乘法原理的应用。 难点：不重不漏。

知识要点及典型例题分析： 1．加法原理和乘法原理

两个原理是理解排列与组合的概念，推导排列数及组合数公式；分析和解决排列与组合的应用问题的基本原则和依据；完成一件事共有多少种不同方法，这是两个原理所要回答的共同问题。而两者的区别在于完成一件事可分几类办法和需要分几个步骤。

例1．书架上放有3本不同的数学书，5本不同的语文书，6本不同的英语书。 （1）若从这些书中任取一本，有多少种不同的取法？

（2）若从这些书中取数学书、语文书、英语书各一本，有多少种不同的取法？

（3）若从这些书中取不同的科目的书两本，有多少种不同的取法。 解：（1）由于从书架上任取一本书，就可以完成这件事，故应分类，由于有3种书，则分为3类然后依据加法原理，得到的取法种数是：3+5+6=14种。

（2）由于从书架上任取数学书、语文书、英语书各1本，需要分成3个步骤完成，据乘法原理，得到不同的取法种数是：3×5×6=90（种）。

（3）由于从书架上任取不同科目的书两本，可以有3类情况（数语各1本，数英各1本，语英各1本）而在每一类情况中又需分2个步骤才能完成。故应依据加法与乘法两个原理计算出共得到的不同的取法种数是：3×5+3×6+5×6=63（种）。

例2．已知两个集合A={1，2，3}，B={a,b,c,d}，从A到B建立映射，问可建立多少个不同的映射？

分析：首先应明确本题中的“这件事是指映射，何谓映射？即对A中的每一个元素，在B中都有唯一的元素与之对应。”

因A中有3个元素，则必须将这3个元素都在B中找到家，这件事才完成。因此，应分3个步骤，当这三个步骤全进行完，一个映射就被建立了，据乘法原理，共可建立不同的映射数目为：5×5×5=53（种）。

2．排列数与组合数的两个公式

排列数与组合数公式各有两种形式，一是连乘积的形式，这种形式主要用于计算；二是阶乘的形式，这种形式主要用于化简与证明。

连乘积的形式 阶乘形式

n! Pnm=n(n-1)(n-2)??(n-m+1) =

(n?m)!n(n?1)(n?2)??(n?m?1)n!? Cnm=

m(m?1)??3?2?1m!(n?m)!例3．求证：Pnm+mPnm-1=Pn+1m

n!n! ?m(n?m)!(n?m?1)!(n?m?1)n!?m?n!?(n?m?1)!(n?1)! ?

[(n?1)?m]!证明：左边=

?Pnm?1?右边 ∴ 等式成立。

评述：这是一个排列数等式的证明问题，选用阶乘之商的形式，并利用阶乘的性质。

n!(n+1)=(n+1)!.可使变形过程得以简化。 例4．解方程P24z?1?140Px3.

解：原方程可化为：

?2x?1?4?x?3? ? ?

x?N???(2x?1)2x(2x?1)(2x?2)?140x(x?1)(x?2)?x?3? ? ?x?N

?(2x?1)(2x?1)?35(x?2)??x?3? ? ?x?N 解得x=3.

?2?4x?35x?69?0评述：解由排列数与组合数形式给出的方程时，在脱掉排列数与组合数的符号时，要注意把排列数与组合数定义中的取出元素与被取元素之间的关系以及它们都属自然数的这重要限定写在脱掉符号之前。

3．排列与组合的应用题

历届高考数学试题中，排列与组合部分的试题主要是应用问题。一般都附有某些限制条件；或是限定元素的选择，或是限定元素的位置，这些应用问题的内容和情景是多种多样的而解决它们的方法还是有规律可循的。常用的方法有：一般方法和特殊方法两种。

一般方法有：直接法和间接法

（1）在直接法中又分为两类，若问题可分为互斥各类，据加法原理，可用分类法；若问题考虑先后次序，据乘法原理，可用占位法。

（2）间接法一般用于当问题的反面简单明了，据A∪A=I且A∩A=?的原理，采用排除的方法来获得问题的解决。

特殊方法：

（1）特元特位：优先考虑有特殊要求的元素或位置后，再去考虑其它元素或位置。

（2）捆绑法：某些元素必须在一起的排列，用“捆绑法”，紧密结合粘成小组，组内外分别排列。

（3）插空法：某些元素必须不在一起的分离排列用“插空法”，不需分离的站好实位，在空位上进行排列。

（4）其它方法。

例5．7人排成一行，分别求出符合下列要求的不同排法的种数。 （1）甲排中间；（2）甲不排两端；（3）甲，乙相邻； （4）甲在乙的左边（不要求相邻）；（5）甲，乙，丙连排； （6）甲，乙，丙两两不相邻。 解：（1）甲排中间属“特元特位”，优先安置，只有一种站法，其余6人任意排列，故共有：1×P66=720种不同排法。

（2）甲不排两端，亦属于“特元特位”问题，优先安置甲在中间五个位置上任何一个位置则有P51种，其余6人可任意排列有P66种，故共有

P51·P66=3600种不同排法。

（3）甲、乙相邻，属于“捆绑法”，将甲、乙合为一个“元素”，连同其余5人共6个元素任意排列，再由甲、乙组内排列，故共有P66·P22=1400种不同的排法。

（4）甲在乙的左边。考虑在7人排成一行形成的所有排列P77中：“甲在乙左边”与“甲在乙右边”的排法是一一对应的，在不要求相邻时，各占所有排

1列的一半，故甲在乙的左边的不同排法共有P77=2520种。

2 （5）甲、乙、丙连排，亦属于某些元素必须在一起的排列，利用“捆绑法”，先将甲、乙、丙合为一个“元素”，连同其余4人共5个“元素”任意排列，现由甲、乙、丙交换位置，故共有P55·P33=720种不同排法。

（6）甲、乙、丙两两不相邻，属于某些元素必须不在一起的分离排列，用“插空法”，先将甲、乙、丙外的4人排成一行，形成左、右及每两人之间的五个“空”。再将甲、乙、丙插入其中的三个“空”，故共有P44·P53=1440种不同的排法。

例6．用0，1，2，3，4，5这六个数字组成无重复数字的五位数，分别求出下列各类数的个数：

（1）奇数；（2）5的倍数；（3）比20300大的数； （4）不含数字0，且1，2不相邻的数。 解：（1）奇数：要得到一个5位数的奇数，分成3步，第一步考虑个位必须是奇数，从1，3，5中选出一个数排列个位的位置上有P31种；第二步考虑首位不能是0，从余下的不是0的4个数字中任选一个排在首位上有P41种；第三步：从余下的4个数字中任选3个排在中间的3个

数的位置上，由乘法原理共有P31P41P43=388（个）。 （2）5的倍数：按0作不作个位来分类 第一类：0作个位，则有P54=120。

第二类：0不作个位即5作个位，则P41P43=96。 则共有这样的数为：P54+P41P43=216（个）。 （3）比20300大的数的五位数可分为三类： 第一类：3xxxx, 4xxxx, 5xxxx有3P54个；

第二类：21xxx, 23xxx, 24xxx, 25xxx, 的4P43个；

第三类：203xx, 204xx, 205xx, 有3P32个，因此，比20300大的五位数共有：

3P54+4P43+3P32=474（个）。

（4）不含数字0且1，2不相邻的数：分两步完成，第一步将3，4，5三个数字排成一行；第二步将1和2插入四个“空”中的两个位置，故共有P33?P44=72个不含数字0，且1和2不相邻的五位数。

例7．直线与圆相离，直线上六点A1，A2，A3，A4，A5，A6，圆上四点B1，B2，B3，B4，任两点连成直线，问所得直线最多几条？最少几条？

解：所得直线最多时，即为任意三点都不共线可分为三类：第一类为已知直

11C4=24；线上与圆上各取一点连线的直线条数为C6第二类为圆上任取两点所得的

2直线条数为C4=6；第三类为已知直线为1条，则直线最多的条数为

112C4+C4N1=C6+1=31（条）。

所得直线最少时，即重合的直线最多，用排除法减去重合的字数较为方便，而重合的直线即是由圆上取两点连成的直线，排除重复，便是直线最少条数：

2 N2=N1-2C4=31-12=19（条）。

2006年高三数学第三轮总复习三角函数的定义与三角变换押题针对训

练

内容：三角函数的定义与三角变换 重点：任意角的三角函数定义 难点：三角变换公式的应用 内容安排说明及分析：

本部分内容分为两大块，一块是三角的基础与预备知识，另一块是三角变换公式及其应用。把三角变换公式提到三角函数图象与性质之前来复习，其目的是突出“工具提前”的原则。即众多的三角变换公式是解决三角学中一系列典型问题的工具，也是进一步研究三角函数的图象和性质的重要工具。

由于本部分内容的基础性与工具性，这是高中数学的重要内容之一，因此，最近几年的高考试题中占有一定的比例，约占13%左右。有试题多为选择题，有时也有解答题，难度多为容易题与中等题。

知识要点及典型例题分析： 一、三角函数的定义 1．角的概念

（1）角的定义及正角，负角与零角 （2）象限角与轴上角的表达 （3）终边相同的角 （4）角度制 （5）弧度制

2．任意角的三角函数定义

任意角的6个三角函数定义的本质是给角这个几何量以代数表达。借助直角坐标系这个工具，把角放进直角坐标系中完成的。由任意角的三角函数定义直接可以得到：

（1）三角函数的定义域

（2）三角函数值在四个象限中的符号

（3）同角三角函数的关系

（4）单位圆中的三角函数线：要充分利用三角函数线在记忆三角函数性质与公式以及解决三角函数问题中的作用。

3．诱导公式

总共9组共36个公式，记忆口决为“奇变偶不变，符号看象限”，并弄清口决中的字词含义，并根据结构总结使用功能。

??3?“奇变”是指所涉及的轴上角为的奇数倍时（包括4组：??，??）

222函数名称变为原来函数的余函数；其主要功能在于：当需要改变函数名称时，比如：由于“和差化积”公式都是同名函数的和差。使用时，对于不同名的函数先化为同名函数，又如：复数化三角形式，有时也需要改变函数名称，如：

3?3?sin?-icos?=cos(+?)+isin(+?)。

22?的偶数倍时（包括5组：2k?+?, ???, 22?-?, -?）, 函数名称不变，其主要功能在于：求任意角的三角函数值，化简及某些证明问题。

二、典型例题分析：

??例1．（1）已知-

22（2）已知?的终边在第二象限，确定?-?所在象限。

??解：（1）∵-

22（2）有两种思路：其一是先把?的终边关于x轴对称放到-?的终边（在第三象限），再将-?的终边按逆时方向旋转?放到?-?的终边即-?的终边的反向延长线，此时?-?的终边也在第二象限。

思路2：是先把?的终边（第二象限）按顺时针方向旋转?，得到?+(-?)（第四象限），再将它关于x轴对称得到-(?-?)=?-?的终边，此时也在第一象限。

k?k??例2．若A={x|x=, k?Z}, B={x|x=+, k?Z}, 则A _____B。

424k??(2k?1)??解：由B中的x=+=可视为的奇数倍所构成的集合。

2444k?? 而A中的x=是的所有奇数倍，因此A?B。

44例3．设0

k?解：由已知 5?=2k?+?, k?Z, 有?=，

233?∵ 0

221?cos?例4．若=ctg?-csc?，求?取值范围。

1?cos?cos?1cos??1解：先看一看右边=ctg?-csc?=-=，这样就决定了左边的

sin?sin?sin?变形方向。

“偶不变”是指所涉及的轴上角为

(1?cos?)2(1?cos?)21?cos?==， 221?cos?sin?1?cos?∵

(1?cos?)2sin2?=

?cos??1?0?cos??1cos??1， ∴ ?????无解，

sin??0sin??0sin???∴ 不存在这样的?使所给等式成立。 例5．已知sin(?-?)-cos(?+?)=

?2,

397∴ 2sin?cos?=-,

9?∵

24∴ sin?-cos?=(sin??cos?)2=1?2sin?cos?=.

3??（2）sin3(+?)+cos3(+?)=cos3?-sin3?

222

=(cos?-sin?)(cos?+sin?cos?+sin2?) 47=-(1-) 31822=-. 27例6．已知sin(?-?)=2cos(?-2?),求下列三角函数的值：

sin(???)?5cos(2???)5（1） （2）1+cos2?-sin2?.

3??23sin(??)?cos(??)22解：由已知：-sin?=2cos?，有 tg?=-2, 则

?sin??5cos??tg??57（1）原式===-。

?3cos??sin??3?tg?55（2）1+cos2?-sin2?

255sin2??2cos2??sin2?tg2??2??2tg?22== 222tg??1sin??cos? 求：（1）sin?-cos?的值 （2）sin3(

(?2)2?2?5(?2)16==.

5(?2)2?1asin??bcos?评述：对于形如为关于sin?与cos?的一次分式齐次式，处理

csin??dcos?的方法，就是将分子与分母同除以cos?，即可化为只含tg?的式子。而对于1+cos2?-5sin2?属于关于2sin?与cos?的二次齐次式。即

sin2?+2cos2?-5sin?cos?. 此时若能将分母的“1”用sin2?+cos2?表示的话，这样就构成了关于sin?与cos?的二次分式齐次式，分子分母同除以cos2?即可化

为只含有tg?的分式形式。

例7．求函数y=25?x2+logsinx(2sinx-1)的定义域。

?25?x2?0??sinx?0解：使函数有意义的不等式为：?

?

?sinx?1??2sinx?1?0????5?x?5??2k????x?2k??5?(k?Z) ?66???x?2k???2(k?Z)将上面的每个不等式的范围在数轴上表示出来，然后，取公共部分，由于x?[-5,5]，故下面的不等式的范围只取落入[-5，5]之内的值，即

∴因此函数的定义域为：

[-5,-3?2)∪(-3?7????5?2,-6)∪(6,2)∪(2,6)。

例8．求证：sec??tg??11?sin?sec??tg??1=cos?.

证法一（左边化弦后再证等价命题） 1?sin??1左边=cos?cos?1?sin??cos?1sin?=1?sin??

cos??cos??1cos?要证 1?sin??cos?1?sin??cos?=1?sin?cos?

只需证：(1+sin?+cos?)cos?=(1-sin?+cos?)(1+sin?) 左边=cos?+sin?cos?+cos2?

右边=1-sin2?+cos?+cos?sin?=cos2?+cos?+sin?cos? ∵左边=右边，∴原等式成立。

或证等价命题：1?sin??cos?11?sin??cos?-?sin?cos?=0

证法二（利用化“1”的技巧）

左边=sec??tg??(sec2??tg2?)sec??tg??1

=

?sec??tg??(1?sec??tg?)?1=sec?+tg?=1?sin?sec??tg?cos?=右边。 证法三（利用同角关系及比例的性质） 由公式 sec2?-tg2?=1

?(sec?-tg?)(sec?+tg?)=1

sec??tg?1=. sec??tg?1sec??tg??11?sin?由等比定理有：=sec?+tg?=.

1?sec??tg?cos??

证法四（利用三角函数定义） 证sec?=, tg?=

rxyyx, sin?=, cos?=.

rxr然后代入所证等式的两边，再证是等价命题。

其证明过程同学自己尝试一下。

评述：证明三角恒等式的实质，就是逐步消除等号两边结构差异的过程，而“消除差异”的理论依据除了必要三角公式以外，还需要有下列等式的性质：

(1)若A=B，B=C则A=C（传递性） (2)A=B?A-B=0

(3)A=B?(4)

A=1 (B?0) BAC=? AD=BC (BD?0) BD(5)比例：一些性质，如等比定理： 若

aa?a2???ana1a2aa1a2==??=n，则1===??=n。

b1?b2???bnb1b2b1b2bnbn?所在的象限是（ ） 2A、第一象限 B、第一或第三象限 C、第二象限 D、第二或第四象限

2．在下列表示中正确的是（ ）

?A、终边在y轴上的角的集合是{?|?=2k?+, k?Z}

2?B、终边在y=x的直线上的角的集合是{?|?=k?+, k?Z}

4??C、与(-)的终边相同的角的集合是{?|?=k?-, k?Z}

33?D、终边在y=-x的直线上的角的集合是{?|?=2k?-, k?Z}

43logsin?3．若?

2A、sin(?-?) B、-sin? C、cos(?-?) D、-csc?

x?4．函数y=2sin(?)在[?，2?]上的最小值是（ ）

26A、2 B、1 C、-1 D、-2 5．已知函数y=cos(sinx)，下列结论中正确的是（ ） A、它的定义域是[-1，1] B、它是奇函数； C、它的值域是[0, 1] D、它是周期为?的函数

?6．设0

4A、sin(sinx)

1．如果?是第二象限角，则

?3?4=，cos=-，则??[0, 2?]，终边在（ ）

5252A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限 8．如果一弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长是（ ）

11?1A、sin B、 C、 D、2sin

1226sin22k?169．化简三角函数式tg(?+?) (k?Z), 结果是（ ）

72??6??A、tg B、ctg C、ctg D、-tg

7777??sin?tg?10．设??(0, )，A??cos??，B??sec??的大小是（ ）

2A、A>B B、A≥B C、A

答案: B B D C D A D C B C

正、余弦函数的有界性在解题中的作用

7．若sin

正、余弦函存在着有界性，即sinx?1，cosx?1，在一些数学问题中灵活地加以运用，沟通三角函数与数值间的关系，能大大简化解题过程。

例1．若实数x满足log2x?2sin??3，求x?2?x?32的值。 解：原方程可化为sin??3?log2x， 23?log2x?1， 2因为?1?sin??1，所以?1?所以1?log2x?5，所以2?x?32 所以x?2?x?32?x?2?32?x?30。

例2．在?ABC中，cos?A?B??sin?A?B??2，试判定三角形的形状。 解：因为cos?A?B??1，sin?A?B??1，又cos?A?B??sin?A?B??2， 所以cos?A?B??1，sin?A?B??1 而???A?B??，0?A?B??，

于是A?B?0，A?B?所以，A?B??2

?4。故?ABC为等腰直角三角形。

A?CAC3?sin2?sin2? 3324例3．已知四边形ABCD中的角A、C满足cos2求证：B?D?? 证明：由已知条件有cos2A?C1?2A?1?2C?3??1?cos?1?cos???? 32?3?2?3?4A?CA?C1?A?C?所以cos2?cos??0 ??cos3334??由于cosA?CA?CA?C1?1。从而cos2?cos??0 333422A?C1?A?C1??????0，但?cos???0， 所以?cos3232????A?C1A?C1??0，cos?。 3232所以A?C??，故B?D??。

所以cos例4．已知函数f?x??ax?b，2a2?6b2?3，求证：对于任意x???1,1?，有

f?x??2。

?2??证明：因为2a2?6b2?3，所以??3a????令

2a?sin?，2b?cos?，则a?331sin?x?cos??222?2b?2?1。

21sin?，b?cos? 32所以f?x???3x2?11?sin????????arctg? ??23x??从而f?x??3x2?1sin??????23x?1223x2?1 24?2 234又x?1，故f?x??例5．证明：1?证明：设sin???sin??cos??2。

34cos??k，则只须证明1?k?2。

因为k2?sin??cos??2sin?cos?? ?1?sin2??2sin2?

?sin??cos??2?2sin2?

因为0?sin2??1，所以1?k2?2?2?22， 从而1?k?2。故1?34sin??cos??2。

34例6．复数z1，z2，z3的幅角分别为?、?、?，z1?1，z2?k，z3?2?k，且z1?z2?z3?0，问k为何值时，cos?????分别取得最大值和最小值，并求出最大值和最小值。

解；因为z1?cos??isin?，z2?k?cos??isin??，z3??2?k??cos??isin??， 因为z1?z2?z3?0，

所以?cos??kcos???2?k?cos???i?sin??ksin???2?k?sin???0。 因而cos???kcos???2?k?cos?，sin???ksin???2?k?sin?。 两式平方相加得1?k2??k?2??2k?k?2?cos?????

2由题设知k?0，k?2，

2?k?2??k2?13?1?所以cos????????（＊） 22k?k?2?2?k?1??2因为cos??????1，所以?2?解之得

13?k?。 2232?k?1??22?0，

1由（＊）知，当k?1时，?cos??????min??。

21313又由（＊）及?k?知，当k?、时，?cos??????min??1。

2222例7．设a为无理数，求证：函数f?x??cosx?cosax不可能是周期函数。 证明：假设f?x?是周期函数，则存在常数T?0，使对于任意的x，

cos?x?T??cosa?x?T???cosx?cosax都成立。

令x?0得，cosT?cosaT??cos0?cos0?2 因为cosT?1，cosaT?1，所以cosT?cosaT?1

从而T?2K?，aT?2L??K,L为整数? 所以a?aTL?。 TKL为有理数，但a为无理数，这是不可能的，故命题K此时K，L为整数，则

成立。

1．（2002年全国）在(0,2?)内，使sinx>cosx成立的x取值范围为（ ）。

??5?? A、(,)?(?,) B、(,?)

4244?5??5?3? C、(,) D、(,?)?(,)

44442???5?解：在(,)内，sinx>cosx，在[,?]内sinx>cosx；在(?,)内，sinx>cosx；

4224综上，∴ 应选C。

2．（2001年全国） tg3000?ctg4050的值为（ ）。

A、1?3 B、1?3 C、?1?3 D、?1?3 解：tg3000?ctg4050

?tg(3600?600)?ctg(3600?450) ??tg600?ctg450

??3?1∴ 应选B。 3．（1998年全国）已知点P(sin?-cos?,tg?)在第一象限，则在[0，2?]内?的取值范围是（ ）

?3?5???5? A、(,)?(?,) B、(,)?(?,)

244424?3?5?3???4? C、(,)?(,) D、(,)?(,?)

2442423?sin??cos??0?sin??cos???解：由题设，有?tg??0 ???3?

??(0,)?(?,)?0???2??22?? 在[0，2?）的范围内，在同一坐标系中作出y=sinx和y=cosx的图像，

?5?可在??(,)时，sin?>cos?。

44??5? ∴??(,)?(?,)

424 应选B。 4．（1998年全国）sin600?的值是（ ）。

3311 A、 B、? C、 D、?

2222解：sin600?=sin(360?+240?)=sin240? =sin(180?+60?)=-sin60?

3 =?

2 ∴应选D。

2006年考前必练数学创新试题 数列经典题选析

数列是高中代数的重要内容，又是学习高等数学的基础. 在高考和各种数学竞赛中都占有重要的地位.

一、等差数列与等比数列

例1．A＝{递增等比数列的公比}，B＝{递减等比数列的公比}，求A∩B． 解：设q∈A，则可知q>0（否则数列为摆动数列）．

nn－1n－1

由an＋1－an＝a1·q－a1·q＝a1·q(q－1)>0，得 当a1＞0时，那么q＞1；当a1＜0时，则0＜q＜1． 从而可知 A＝{q | 01}．

若q∈A，同样可知q>0．由an＋1－an＝a1·qn－a1·qn－1＝a1·qn－1(q－1)＜0，得

当a1＞0时，那么0＜q＜1；当a1＜0时，则q＞1． 亦可知 B＝{q | 01}． 故知A∩B＝{q | 01}．

说明：貌似无法求解的问题，通过数列的基本量，很快就找到了问题的突破口！

例2．求数列1，(1＋2)，(1＋2＋22)，??，(1＋2＋22＋??＋2n－1)，??前n项的和．

分析：要求得数列的和，当务之急是要求得数列的通项，并从中发现一定规律．而通项又是一等比数列的和．设数列的通项为an，则an＝1＋2＋22＋??＋1·(1－2n)2＝ ＝2n－1．从而该数列前n项的和

1－2

n－1

Sn＝(2－1)＋(22－1)＋(23－1)＋?＋(2n－1)

2·(1－2)

＝(2＋22＋23＋?＋2n)－n＝ －n＝2n＋1－n－2．

1－2说明：利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法.

n(a1?an)n(n?1)1、等差数列求和公式：Sn??na1?d

22(q?1)?na1?2、等比数列求和公式：Sn??a1(1?qn)a1?anq

?(q?1)?1?q?1?qn

13、Sn??k?n(n?1)

2k?114、Sn??k2?n(n?1)(2n?1)

6k?1nn15、Sn??k3?[n(n?1)]2

2k?1n常用的数列求和方法有：利用常用求和公式求和；错位相减法求和；反序相

加法求和；分组法求和；裂项法求和；合并法求和；利用数列的通项求和等等。

1

例3．已知等差数列{an}的公差d＝ ，S100＝145．设S奇＝a1＋a3＋a5＋??

2＋a99，S＇＝a3＋a6＋a9＋??＋a99，求S奇、S＇．

解：依题意，可得 S奇＋S偶＝145，

即S奇＋(S奇＋50d)＝145， 即2 S奇＋25＝145， 解得，S奇＝120．

又由S100＝145，得

(a1＋a100)100

＝145，故得a1＋a100＝2.9

2

S＇＝a3＋a6＋a9＋??＋a99 ＝

(a3＋a99)33(a2＋a100)33(0.5＋a1＋a100)33(0.5＋2.9)33

＝ ＝ ＝ ＝2222

1.7·33＝56.1．

说明：整体思想是求解数列问题的有效手段！

例4．在数列{an}中，a1＝b(b≠0)，前n项和Sn构成公比为q的等比数列。 （1）求证：数列{an}不是等比数列；

（2）设bn＝a1S1＋a2S2＋?＋anSn，|q|<1，求limbn。

n??解：（1）证明：由已知S1＝a1＝b ∵{Sn}成等比数列，且公比为q。 ∴Sn＝bqn－1，∴Sn－1＝b·qn－2(n≥2)。

当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝bqn－1－bqn－2＝b·(q－1)·qn－2 an＋1b(q－1)·qn－1

故当q≠1时， ＝ ＝q，

anb(q－1)·qn－2

a2b(q－1)

而 ＝ ＝q－1≠q，∴{an}不是等比数列。 a1b

当q＝1，n≥2时，an＝0，所以{an}也不是等比数列。 综上所述，{an}不是等比数列。

（2）∵|q|<1，由（1）知n≥2，a2，a3，a4，?，an构成公比为q的等比数列，∴a2S2，a3S3，?，anSn是公比为q2的等比数列。

∴bn＝b2＋a2S2·(1＋q2＋q4＋?＋q2n－4) ∵S2＝bq，a2＝S2－S1＝bq－b ∴a2S2＝b2q(q－1)

1－q2n－2

∴bn＝b＋bq(q－1)· 1－q2

2

2

∵|q|<1 ∴limq2n－2＝0

n??1b2

∴limbn＝b＋bq(q－1)· ＝ n??1－q21＋q

2

2

说明： 1＋q＋q＋?＋q的最后一项及这个式子的项数很容易求错，故解此类题时要细心检验。数列的极限与数列前n项和以及其他任何有限多个项无关，它取决于n→∞时，数列变化的趋势。

二、数列应用题

例5． (2001年全国理)从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业. 根据规划，本年度投入800万元，以后每年投1

入将比上年减少 .本年度当地旅游业收入估计为400万元，由于该项建设对旅

51

游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加 。(Ⅰ)设n年内(本

4年度为第一年)总投入为an万元，旅游业总收入为bn万元. 写出an，bn的表达式(Ⅱ)至少经过几年旅游业的总收入才能超过总投入?

15

解：第1年投入800万元，第2年投入800×(1－ )万元??， 541n－1

第n年投入800×(1－ )万元

5

114

所以总投入an＝800＋800(1－ )＋??＋800×(1－ )n－1＝4000［1－( )n］

5551

同理：第1年收入400万元，第2年收入400×(1＋ )万元，??，

41

第n年收入400×(1＋ )n－1万元

4

242n－4

bn＝400＋400×(1＋ )＋??＋400×(1＋ )n－1＝1600×［( )n－1］

141454

54

(2)∴bn－an＞0，1600［( )n－1］－4000×［1－( )n］＞0

454n5n化简得，5×( )＋2×( )－7＞0

54

4242

设x＝( )n，5x2－7x＋2＞0 ∴x＜ ，x＞1(舍) 即( )n＜ ，n≥5.

5555说明：本题主要考查建立函数关系式，数列求和，不等式等基础知识，考查综合

运用数学知识解决实际问题的能力。解数学问题应用题重点在过好三关：(1)事理关：阅读理解，知道命题所表达的内容；(2)文理关：将“问题情景”中的文字语言转化为符号语言，用数学关系式表述事件；(3)数理关：由题意建立相关的数学模型，将实际问题数学化，并解答这一数学模型，得出符合实际意义的解答。

例6．某县位于沙漠地带，人与自然长期进行着顽强的斗争，到2001年底全县的绿化率已达30%。从2002年开始，每年将出现这样的局面，即原有沙漠面积的16%将被绿化，与此同时，由于各种原因，原有绿化面积的4%又被沙化。 (1)设全县面积为1，2001年底绿化面积为a1＝

44

＋ an 255

3

，经过n年绿化总面积为an＋1 10

求证an＋1＝

(2)至少需要多少年(年取整数，lg2＝0.3010)的努力，才能使全县的绿化率达到60%？

(1)证明：由已知可得an确定后，an＋1表示如下：an＋1= an(1－4%)＋(1－an)16%

44

即an＋1=80% an +16%= an + 525

44

(2)解：由an＋1= an+可得：

525

4444444an＋1－ = (an－ )=( )2(an－1－ )=?=( )n(a1－ )

5555555

14n4314n4314n

故有an＋1＝－ ( )＋ ，若an＋1≥ ，则有－ ( )＋ ≥ 即 ≥( )2555255525

－1

两边同时取对数可得－lg2≥(n－1)(2lg2－lg5)＝(n－1)(3lg2－1)

lg2

故n≥ ＋1＞4，故使得上式成立的最小n∈N＋为5，

1－3lg2

故最少需要经过5年的努力，才能使全县的绿化率达到60%.

三、归纳、猜想与证明

1

例7．已知数列{ an}满足Sn＋an＝ (n2＋3n－2)，数列{ bn}满足b1＝a1，

2且bn＝an－an－1－1(n≥2).

(1)试猜想数列{ an}的通项公式，并证明你的结论;

11

解：（1）∵Sn＋an＝ (n2＋3n－2)，S1＝a1，∴2a1＝ (1＋3×1－2)＝1，

22111172

∴a1＝ ＝1－ .当n＝2时，有 ＋2a2＝ (2＋3×2－2)＝4， ∴a2＝ ＝2

222241

－2 2

1

猜想，得数列{ an}的通项公式为an＝n－n

2(2)若cn＝b1＋b2＋?＋bn，求limcn的值.

n??17231

当n＝3时，有 ＋ ＋3a3＝8， ∴a3＝＝3－.3 2482用数学归纳法证明如下：

11

①当n＝1时，a1＝1－ ＝ ，等式成立.

221

②假设n＝k时，等式ak＝k－k 成立，那么

2

(k＋1)2＋3(k＋1)－2k2＋3k－2

n＝k＋1时，ak＋1＝Sk＋1－Sk＝[ －ak＋1]－[ －ak],

221

.∴2 ak＋1＝k＋2＋ak， 2 ak＋1＝k＋2＋(k－k )，

2∴ak＋1＝(k＋1)－

12k＋1

，即当n＝k＋1时，等式也成立.

1

综上①、②知，对一切自然数n都有an＝n－n 成立.

2

1111

(2)∵b1＝a1＝ ，bn＝an－an－1－1＝[n－n ]－[(n－1)－n－1 ]－1＝n .

22221n1n

∴cn＝b1＋b2＋?＋bn＝1－( )， ∴limcn＝lim[1－( )]＝1.

n??n??22

例8．已知数列{an}满足a1＝2，对于任意的n∈N，都有an＞0，且(n＋1) an2

＋an an＋1－n an＋12＝0.又知数列{bn}满足：bn＝2n－1＋1..

(Ⅰ)求数列{an}的通项an以及它的前n项和Sn； (Ⅱ)求数列{bn}的前n项和Tn； (Ⅲ)猜想Sn和Tn的大小关系，并说明理由.

解：(n＋1) an2＋an an＋1－n an＋12＝0.是关于an和an＋1的二次齐次式，故可利用求根公式得到an与an＋1的更为明显的关系式，从而求出an ．

(Ⅰ)∵an＞0（n∈N），且(n＋1) an2＋an an＋1－n an＋12＝0， ∴ (n＋1)(

an2an

)＋()－n＝0． an＋1an＋1

anann

∴＝－1或＝ ． an＋1an＋1n＋1∵an＞0（n∈N），∴

ann

＝ ． an＋1n＋1

ananan－1an－2a3a2nn－1n－232∴＝···??··＝ · · ·?· · ＝a1an－1an－2an－3a2a1n－1n－2n－321n．

又a1＝2,所以，an＝2n．

∴Sn＝a1＋a2＋a3＋??＋an＝2(1＋2＋3??＋n)＝n＋n． (Ⅱ)∵bn＝2n－1＋1，

∴Tn＝b1＋b2＋b3 ＋??＋bn＝20＋21＋22＋??＋2n－1＋n＝2n＋n－1 (Ⅲ) Tn－Sn＝2n－n2－1． 当n＝1时，T1－S1 ＝0，∴T1＝S1； 当n＝2时，T2－S2＝－1，∴T2＜S2；

2

当n＝3时，T3－S3＝－2，∴T3＜S3； 当n＝4时，T4－S4＝－1，∴T4＜S4； 当n＝5时，T5－S5＝6，∴T5＞S5； 当n＝6时，T6－S6＝27，，∴T6＞S6；

猜想：当n≥5时，Tn＞Sn.即2n＞n2＋1.下用数学归纳法证明： 1° 当n＝5时，前面已验证成立；

2° 假设n＝k（k≥5）时命题成立，即2k＞k2＋1.成立， 那么当n＝k＋1时，

2k＋1＝2·2k＞2(k2＋1)＝k2＋k2＋2≥k2＋5k＋2＞k2＋2k＋2＝(k＋1)2＋1． 即n＝k＋1(k≥5)时命题也成立．

由以上1°、2°可知，当n≥5时，有Tn＞Sn.；

综上可知：当n＝1时，T1＝S1；当2≤n＜5时，Tn＜Sn.，当n≥5时，有Tn

＞Sn.．

说明：注意到2n的增长速度大于n2＋1的增长速度，所以，在观察与归纳的过程中，不能因为从n＝1到n＝4都有Tn≤Sn.就得出Tn≤Sn.的结论，而应该坚信：必存在n，使得2n＞n2＋1，从而使得观察的过程继续下去．

例9． 已知函数f(x)＝x2－3，(x≤－3) (1)求f(x)的反函数f－1(x);

(2)记a1＝1,an＝ －f－1(an－1)(n≥2),请写出a2,a3,a4的值并猜测想an的表达式.再用数学归纳法证明.

解：(1)设y＝f(x)＝ x2－3，(x≤－3 )，由y2＝x2－3(x≤－3)，x＝ －y2＋3

即f－1(x)＝ －x2＋3 (x≥0).

(2)由a1＝1且an＝ －f－1(an－1)(n≥2的整数)，a2＝ －f－1(a1)＝ －( －a12＋3 ＝4 ，

a3＝3＋4＝7 ，a4＝3＋7＝10 .

依不完全归纳可以猜想到：an＝3n－2 (n自然数) 下面用数学归纳法予以证明：

当n＝1时,a1＝3×1－2 ＝1命题成立

假设n＝k(1≤k≤n)时,命题成立：即ak＝3k－2 那么当n＝k＋1时,ak＋1＝－f－1(ak)

＝ak2＋3 ＝(3k－2)＋3 ＝3(k＋1)－2

综上所述,可知对一切自然数n均有an＝3n－2 成立.

例10． 已知数列{an}中，a7＝4，an＋1＝

3an＋4

，． 7－an

（Ⅰ）是否存在自然数m，使得当n≥m时，an＜2；当n＜m时，an＞2？ （Ⅱ）是否存在自然数p，使得当n≥p时，总有

an－1＋an＋1

＜an？ 2

解：（Ⅰ）首先考虑能否化简已知条件an＋1＝

3an＋4

，但事实上这一条路走7－an

不通，于是，我们转而考虑通过计算一些ak的值来寻找规律．不难得到：

a8＝

1644 ，a9＝12，a10＝－8，a11＝－ ，a12＝0，a13＝ ， 337

可以看出：a8，a9均大于2，从a10到a13均小于2，但能否由此断定当n＞13时，也有an＜2？这就引导我们去思考这样一个问题：若an＜2，能否得出an＋1＜2？

为此，我们考查an＋1－2与an－2的关系，易得

an＋1－2＝

3an＋45(an－2)

－2 ＝ ． 7－an7－an

可以看出：当an＜2时，必有an＋1＜2．于是，我们可以确定：当n≥10时，必有an＜2．

为了解决问题（Ⅰ），我们还需验证当n＝1，2，??，9时，是否均有an

＞2．

方法之一是一一验证．即通过已知条件解出：an＝

7an＋1－4

．由此，我们可an＋1+3

以从a7出发，计算出这个数列的第6项到第1项，从而得出结论．

另外，得益于上述解法，我们也可以考虑这样的问题：“若an＋1＞2，能否得出an＞2”？

由an－2＝

7an＋1－45(an＋1－2)

－2＝ 不难得知：上述结论是正确的． an＋1+3an＋1+3

所以，存在m＝10，使得当n≥m时，an＜2；当n＜m时，an＞2．

（Ⅱ）问题等价于：是否存在自然数p，使得当n≥p时，总有an－1－an＋1－2 an＜0．

2(an＋1－2)3

由（Ⅰ）可得：an－1－an＋1－2 an＝．

(7－an＋1)(3＋an)

我们已经知道：当n≥10时，an＜2，于是(an＜2)3＜0，（7－an）＜0，所以，我们只需考虑：是否存在不小于10的自然数p，使得当n≥p时，总有an＞－3？

观察前面计算的结果，可以看出：a10＜－3 ，a11，a12，a13均大于－3，可以猜想：p＝11 即可满足条件．

这样的猜想是否正确？我们只需考查an＋1＋3与an＋3的关系： 由an＋1＋3＝

3an＋425

＋3＝ 可知：上述结论正确． 7－an7－an

另外，如果我们注意到从a11到a13，数列的项呈递增的趋势，则也可以考虑an＋1－an．

3an＋4(an－2)2

由an＋1－an －an ＝ ＞0，从而得出结论．

7－an7－an

说明：（1）归纳、猜想是建立在细致的观察和缜密的分析基础上的，并非无源之水、无本之木．（2）上述分析的过程如果用数学归纳法写出，则相当简洁，但同时也掩盖了思维的过程．

四、由递推公式探求数列问题

3

例11．设An为数列{an}的前n项的和，An＝(an－1)，数列{bn}的通项公式

2

为bn＝4n＋3。

（1）求数列{an}的通项公式； （2）把数列{an}与{bn}的公共项按从小到大先后顺序排成一个新的数列{dn}，证明数列{dn}的通项公式为dn＝32n＋1;

（3）设数列{dn}的第n项是数列{bn}中的第r项，Br为数列{bn}的前r项的和，Dn为数列{dn}的前n项和，Tn＝Br－Dn，求limTn

4。

n??an

33

解：（1）由An＝ (an－1)，可知An＋1＝ (an＋1－1)

223an＋1

∴An＋1－An＝ (an＋1－an)＝an＋1，即 ＝3

2an3

而a1＝A1＝ (a1－1)，得a1＝3

2

所以数列{an}是以3为首项，公比为3的等比数列，数列{an}的通项公式为an＝3n。

（2）∵32n＋1＝3·32n＝3·(4－1)2n

＝3×（42n＋C12n·42n－1(－1)＋?＋C2n2n－1·4·(－1)＋(－1)2n） ＝4m＋3 ∴32n＋1∈{bn}

而数32n＝（4－1）2n

＝42n＋C2n1·42n－1·（－1）＋?＋C2n2n－1·4·(－1)＋(－1)2n ＝(4k＋1) ∴32n?{bn}

而数列{an}＝{32n＋1}∪{32n} ∴ dn＝32n＋1

(3)由3

2n＋1

32n＋1－3

＝4·r＋3，可知r＝

4

r(7＋4r＋3)32n＋1－332n＋1＋7∵Br＝ ＝r(2r＋5)＝ · 242Dn＝

2727

·(1－9n)＝ (9n－1) 1－98

92n＋1＋4·32n＋1－2127∴Tn＝Br－Dn＝ － (9n－1)

889153

＝ ·34n－ ·32n＋

884

又∵（an）4＝34n ∴lim

例12． 已知函数f(x)＝x＋x2－a2 (a>0) （1）求f(x)的反函数f－1(x)及其定义域；

??a1＝3a

（2）数列{an}满足? －1

?an＋1＝f(an)?

an－a7

设bn＝ ，数列{bn}的前n项和为Sn，试比较Sn与 的大小，并证明你

an＋a8的结论。

22

y＋a

解：（1）给y－x＝x2－a2 两边平方，整理得 x＝

2y

Tn94＝ n??an8

y2＋a2y2－a2(y＋a)(y－a)

∵y－x＝y－ ＝ ＝ ≥0

2y2y2y∴y≥a或－a≤y<0

22x＋a

故f－1(x)＝ ，其定域为[－a,0)∪[a,＋∞)

2x

an2＋a2

（2）∵an＋1＝f(an)＝ 2an

－1

∴bn＋1＝

an＋1－aan－a

＝?＝（ ）2＝bn2 (可两边取对数求解)

an＋1＋aan＋a

a1－a3a－a1

又a1＝3a，b1＝ ＝ ＝

a1＋a3a＋a2∴bn＝(bn－1)＝(bn－2)＝(bn－3) 1n?1n?1＝?＝(b1) 2＝( )2

2∴Sn＝b1＋b2＋?＋bn

11[1－()n]22111111234n?1＝ ＋( )2＋( )2＋[( )2＋( )2＋?＋( )2]＝ ＝12222221

1－2

2

22231

－( )n 2

777

由此可知，当n＜3时，Sn＜ ，当n＝3时，Sn＝ ，当n＞3时，Sn＞ ．

88823n－1又∵2n－1＝(1＋1)n－1＝1＋C1n－1＋Cn－1＋Cn－1＋??＋Cn－1 2则当n≥4时，2n－1＞1＋C1n－1＋Cn－1 (n－1)(n－2)

＝1＋(n－1)＋ >n＋1

21n?11

∴( )2<( )n＋1

22

11

[1－()n]2211121311n?14∴Sn＝ ＋( )2＋( )2＋[( )2＋( )2＋?＋( )2]＝

2222221

1－21

＝1－( )n

2

7

由此可知，当n≥4时，Sn＞ ．

8

1112111137

当n＝3时，Sn＝ ＋( )2＋( )2＝ ＋ ＋ ＝ ＜ ．

22224161687

故知当n≤3 时，Sn＜ ．

8

说明：本题是一道数列与函数的综合题。首先应准确地求出f－1(x)及其定义域。搞清定义域是解题成功的一半。根据函数f(x)解析式的特点，也可以利用π3π

三角代换x＝asecθ，θ∈[0,)∪[π,) ，求函数f(x)的值域，即f－1(x)

22的定义域。

例13．已知数列{an}中，a1＝4，an＋1＝

4an－2

，是否存在这样的数列{bn}，an＋1

Ban＋Cbn＝ ，其中A、B、C为实常数，使得{bn}是等比数列而不是等差数列？证

an＋A

明你的结论，并求{an}的取值范围。

解：假设这样的{bn}存在，则应有

4an－24B＋CC－2B

＋Can＋an＋14＋A4＋ABan＋1＋C

bn＋1＝ ＝ ＝

an＋1＋A4an－2A－2

＋Aan＋an＋14＋A

B·

又 bn＝

Ban＋C an＋A

存在q≠0，q≠1，q为常数，使bn＋1＝qbn，对n∈N都成立，于是比较两边的分子和分母，有

?????

A－2

＝A (1)4＋A4B＋C

＝Bq (2) 4＋AC－2B

＝Cq (3)4＋A

由（1）可解得A＝－1或－2，由（2）、（3）可解得B＝－C或C＝－2B。

??A＝－11°若? 代入（2）知q＝1（B、C不能为0，否则bn＝0，不合题意要

?B＝－C?

求）舍去。

?A＝－1?

2°若?

??C＝－2B??A＝－23°当?

?B＝－C?

2

代入（2）得q＝

3

3

时，q＝ 2

时，q＝1（舍去）

??A＝－2

4°当?

?C＝－2B?

23

故现只取A＝－1，B＝1，C＝－2，q＝ （不必考虑q＝ 时的情况，因为

32只证存在性）。

得bn＝

an－2

an－1

所以满足题设条件的数列存在。

对于{an}的取值范围，我们可以这样解. ∵an＋1－an＝

4an－2

－an an＋1

＝－

(an－2)(an－1)

，a1＝4>2，故a2

(an＋1)

如果能证明所有的an都大于2，便可用数学归纳法证明{an}是单调递减的。事实上

∵an＋1－2＝

4an－22(an－2)

－2＝ an＋1an＋1

由上式，我们也可用数学归纳法由a1>2，得an>2，所以{an}单调递减。且因

为an>2，所以

2(an－2)2

an－2＝ < (an－1－2)

an＋1322

<( )2(an－2－2)

n??说明：存在性问题的解法常是假设存在经过推理、运算或是求出结论得出存在或是得出矛盾证明不存在。本题的{an}的范围还可用前半部分的结论来求。解法如下：

b1＝

a1－222an－22

＝ ，故bn＝( )n ∴ ＝( )n a1－133an＋13

121－()n

3

＋1

∴an＝

由此易得an∈(2，4]。

例14． （1）设数列{cn}，其中cn＝2n＋3n，且数列{cn＋1－pcn}为等比数列，求常数p。（2）设数列{an}、{bn}是公比不相等的两个等比数列，cn＝an＋bn，证明：{cn}不是等比数列。

证明：（1）∵{cn＋1－pcn}是等比数列，故有 (cn＋1－pcn)2＝(cn＋2－pcn＋1)·(cn－pcn－1) 将cn＝2n＋3n代入上式，得：

[2n＋1＋3n＋1－p(2n＋3n)]2＝[2n＋2＋3n＋2－p(2n＋1＋3n＋1)]·[2n＋3n－p(2n－1＋3n－

1

)]

1

整理得： (2－p)(3－p)·2n·3n＝0

6

解之得：p＝2或p＝3。

（2）设{an}，{bn}的公比分别为p，q，p≠q，cn＝an＋bn。

为证{Cn}不是等比数列，只要证明c22≠c1·c3 事实上： c22＝(a1p＋b1q)2

＝a12p2＋b12q2＋2a1b1pq c1c3＝(a1＋b1)(a1p2＋b1q2)

＝a12p2＋＋b12q2＋a1b1(p2＋q2)

∵p≠q，∴p2＋q2>2pq，又a1，b1不为零，∴c22≠c1·c3，故{cn}不是等比数列。

说明： 本题是2000年全国高考数学试题。其证法很多，建议读者从不同的角度审视此题。我们可以得出更一般的结论；

推论1：设数列{cn}，cn＝an＋bn且a≠b，则数列{cn＋1－pcn}为等比数列的充要条件是p＝a或p＝b。

推论2：设{an}、{bn}是两个等比数列，则数列{an＋bn}为等比数列的充要条件是，数列{an}，{bn}的公比相等。

推论3：公比为a、b的等比数列{an}，{bn}，且a≠b，s、t为不全为零的实数，cn＝san＋tbn为等比数列的充要条件是st＝0。

例15．数列{an}中，a1＝8，a4＝2且满足an＋2＝2an＋1－an n∈N （1）求数列{an}的通项公式；

（2）设Sn＝|a1|＋|a2|＋?＋|an|，求sn;

（3）设bn＝

1

( n∈N)，Tn＝b1＋b2＋?＋bn( n∈N)，是否存在最

n(12－an)

m

成立？若存在，求出m的值；若不32

大的整数m，使得对任意n∈N，均有Tn＞存在，请说明理由。

解：（1）由an＋2＝2an＋1－an?

an＋2－an＋1＝an＋1－an，可知{an}成等差数列，d＝－∴an＝10－2n

（2）由an＝10－2n≥0得n≤5 ∴当n≤5时，Sn＝－n2＋9n 当n>5时，Sn＝n2－9n＋40

2

??－n＋9n 1≤n≤5

故Sn＝?2 （n∈N）

n－9n＋40 n＞5??（3）bn＝

a4－a1

＝－2 4－1

11111

＝ ＝ (－ )

n(12－an)n(2n＋2)2nn＋1

∴Tn＝ b1＋b2＋?＋bn

1111111111

＝ [(1－ )＋( － )＋( － )＋??＋( － )]＝ (1－ )222334n－1n2n＋1n＝ 2(n＋1)

n－1＞ ＞Tn－1＞Tn－2＞??＞T1. 2n

mm1

∴要使Tn> 总成立，需

32324的最大值为7．

2006年高三数学数列专题训练题

一.选择题:

1．lgx，lgy，lgz成等差数列是x，y，z成等比数列的（ ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 2．(文)在等比数列?an?中,则a7·a11=6，a4?a14?5,则

A.

a20=( ) a10232323 B. C.或 D.?或? 323232(理)若?an?是等比数列,其中a3,a7是方程2x2?3kx?5?0的两根,且

(a3?a7)2?4a2a8?1,则k的值为( )

A.?228211 D. 11 B.11 C.?33333．数列?an?满足an

A.?>0 B.?<0 C.?=0 D.?>-3 4．设数列1,(1+2),(1+2+22)?(1+2+22+?+2n?1)的前n项和为Sn,则Sn等于( )

A.2n B.2n-n C.2n?1-n D.2n?1-n-2 5．某工厂月生产总值平均增长率为p,则年平均增长率为( )

A.12P B.p12

C.(1?p)12?1 D.(1?p)12

6．在数列?an?中,已知a1?1,a2?5,an?2?an?1?an(n?N?),则a2006等于( )

A.5 B.4 C.-1 D.-4 7．(理)给出一系列碳氢化合物的分子式:C6H6,C10H8,C14H10?,则该系列化合物的分子中含碳元素的质量分数最大可无限接近于( )

A.95% B.96% C.97% D.98% (文)若数列?xn?的前n项和为Sn,且loga(sn?1)?n,则数列?xn?( )

A.只能是递增的等比数列 B.只能是递减的等差数列 C.只能是递减的等比数列 D.可能是常数列

11a?b8．已知1是a2与b2的等比中项,又是与的等差中项,则2的值为( ) 2aba?b1111A.1或-? B.1或- C.1或 D.1或

23329．若方程x2?5x?m?0与x2?10x?n?0的四个实根适当排列后,恰好组成一个首项为1的等比数列,则m：n的值为( )

A.4 B.2 C.

11 D. 2410．等比数列?an?的首项为2?5,其前11项的几何平均数为25,若在这前11项中抽取一项后的几何平均数为25,则抽出的是( ) A.第6项 B. 第7项 C. 第9项 D. 第11项

11．如图所示,在杨辉三角中,斜线AB上方箭头所示的数组成的一个锯齿形的数列:1,2,3,3,6,4,10,?,记这个数列的前n项的和为S(n),则S(16)等于( )

A.128 B.144 C.155 D.164 12．（理）在等比数列?an?中,a1?sec?(?为锐角),且前n项和Sn满足limSn?n??1,那么?的取值范围是( ) a1A.(0,

????) B.(0,) C.(0,) D.(0,) 6432（文）根据调查，预测某家电商品从年初开始的n个月内累积的需求量Sn（万件）近似的满足Sn?n21n?n2?5??n?1,2,3,?,12?，按此预测，在本年度需求量超过?901.5万件的月份是（ ）

A．5月和6月 B．6月和7月 C．7月和8月 D．8月和9月 二．填空题:

13．已知lgx?lgx2?...?lgx10?110,则lgx?lg2x????lg10x=_____________ 14. 设数列?an?的前n项和为Sn（n?N*）. 关于数列?an?有下列三个命题： （1）若?an?既是等差数列又是等比数列，则an?an?1b?R?，则?an?是等差数列； （2）若Sn?an2?bn?a、(n?N*)；

（3）若Sn?1???1?n，则?an?是等比数列.

这些命题中，真命题的序号是 .

15．已知等差数列有一性质:若?an?是等差数列.则通项为bn?a1?a2?...an的数列

n?bn?也是等差数列,类似上述命题,相应的等比数列有性质:若?an?是等比数列

(an?0),则通项为bn=______

_______的数列?bn?也是等比数列

16．依次写出数a1?1，a2，a3，?法则如下：如果an?2为自然数且未写出过，则写an?1?an?2，否则就写an?1?an?3，那么a6? 三．解答题:

17．设数列{a n}的前n项和为S n，已知an＝5S n－3 （n∈N＋），{bn}是{a n}的奇数项构成的数列，求数列{bn} 的通项公式．

?1?18．数列?an?满足条件a1?1,an?an?1????3?n?1(n?2,3,?)

(1)求an;

(2)求a1?a2?a3???an.

19．已知数列?an?是等差数列，其前项和为sn,a3?7,s4?24。 （1）求数列?an?的通项公式

1（2）设p,q是正整数，且p?q，证明Sp?q?(S2p?S2q)

2

20．用分期付款方式购买家用电器一件，价格为1150元，购买当天先付150元，以后每月这一天都交付50元，并加付欠款的利息，月利率为1%，若交付150元后的第一个月开始算分期付款的第一个月，问分期付款的第十个月该交付多少钱？全部货款付清后，买这件家电实际花了多少钱？

21．已知数列?an?的首项a1?0，公比q??1且q?0的等比数列，设数列?bn?的通项bn?an?1?kan?2(n?N?)，数列{an}，{bn}的前n项之和分别为Sn,Tn，如果存在常数k，使得对所有的适合条件的两个数列，均有Tn?kSn对一切n?N?都成立，试求实数k的取值范围。

122.已知f(x)在??1,1?上有定义，f()?1，且满足x,y?(?1,1)时有

2?x?y?2xn1f(x)?f(y)?f?{a}x?,x?，对数列满足 n?1n?1221?xn?1?xy?（1）证明：f(x)在（-1，1）上为奇函数； （2）求f(xn)的表达式； （3）是否存在自然数

m，使得对于任意n?N?，有

111m?8?????? 成立？若存在，求出m的最小值. f(x1)f(x2)f(xn)4

参考答案

一. 选择题:

1.A 2.C(C) 3.D 4.D 5.C 6.A. 7.B(A) 8.B 9.D 10.A 11.D 12.B（C）

二,填空题:

13. 2046 14.（1）、（2）、（3） 15. na1a2...an 16. 6 三.解答题:

3，且an＋1＝5S n＋1－3 (n∈N＋) ?(2)； 41(2)－(1)得：an＋1－an＝5an＋1，移项得－an＝4an＋1， an＋1＝ －an，

417.由an＝5S n－3(n∈N＋)?(1)；知a1＝

因为a1?0，所以an?0，得

an?1131??，所以{an}为等比数列， an＝?(?)n?1； an444a 1，a 3，?，a 2 n－1，?构成以为首项，∴{bn} 的通项公式为bn ＝

n341为公比的等比数列； 1631·（）n－1． 416n118.（1）an?a1??(ak?ak?1)?1??()k?1

k?2k?2311[1?()n?1]3113?1?3??()n?1

12231?311?()n313?3n?3?3?(1)n （2）a1?a2???an?n?，

12443221?319.(1)设等差数列?an?的公差为d, 依题意得

?a1?2d?7?a1?3? ? 解得 ?4?34a1?d?24?d?2??2∴?an?的通项公式为?an?=2n?1 (2)证明∵an?2n?1∴Sn?n(a1?an)?n2?2n 2222?(p?q)?2(p?q)?(4p?4p)?(4q?4q) ∵2Sp?q?(S2p?S2q)?2??? =?2(p?q)2

∵p?q ∴2Sp?q?(S2p?S2q)?0

1 ∴Sp?q?(S2p?S2q)

220.解：购买时付了150元，欠款1000元，每月付50元，分20次付完.

设每月付款顺次组成数列{an}，则 a1=50+1000×0.01=60(元).

a2=50+(1000－50)×0.01=(60－0.5)(元).

a3=50+(1000－50×2)×0.01=(60－0.5×2)(元). 依此类推得

a10=60－0.5×9=55.5(元), an=60－0.5(n－1)(1≤n≤20).

∴付款数{an}组成等差数列，公差d=－0.5,全部货款付清后付款总数为

20S20+150=(a1+a20)+150

2=(2a1+19d)×10+150

=(2×60－19×0.5)×10+150 =1255(元).

答：第十个月该交付55.5元，全部货款付清后，买这件家电实际花了1255元

21. ∵bn?an?1?kan?2?anq?kq2an ∴Tn?qSn?kq2Sn 当q=1时Sn?na1?0

a1(1?qn)当q?1时, Sn? ∵q??1且q?0

1?qa1(1?qn)?0 ∴Sn?1?q ∴Tn?kSn 即qSn?kq2Sn?kSn 对于n?N?恒成立 ∴k(1?q2)?q 即k?q1 ?211?qq?q 当?1?q?0时,q?11??2;当q?0时q??2

qq111 ∴?1?q?0时???

2q?12q1 ∴k??

2x?y 22.(1)∵x.y?(?1.1)有f(x)?f(y)?f()

1?xy当x?y时,可得f(o)?0

o?y当x?0时f(o)?f(y)?f()?f(?y)

1?oxy ∴f(?y)??f(y)∴f(x)在(?1,1)上为奇函数

?2xn??xn?(?xn)??f?(1) ∵f(xn?1)?f?? 2?1?x1?x?(?x)n?nn??? =f?xn??f(?xn)?2f(xn) ∴

f(xn?1)1?2 又f(x1)?f()?1 f(xn)2∴?f(xn)?为等比数列,其通项公式为 f(xn)?f(x1)?2n?1?2n?1 (2) 假设存在自然数m,则

111111??...??1???...? f(x1)f(x2)f(xn)2222n?1 =2?16? 对于恒成立 n?Nn2∴m?16且m?N,即可

1m?8?对于恒成立 n?N?n?124∴m?16?2006年数学高考基础知识、常见结论详解

一、集合与简易逻辑：

一、理解集合中的有关概念

（1）集合中元素的特征： 确定性 ， 互异性 ， 无序性 。

集合元素的互异性：如：A?{x,xy,lg(xy)}，B{0,|x|,y}，求A； （2）集合与元素的关系用符号?，?表示。

（3）常用数集的符号表示：自然数集 ；正整数集 、 ；整数

集 ；有理数集 、实数集 。

（4）集合的表示法： 列举法 ， 描述法 ， 韦恩图 。

注意：区分集合中元素的形式：如：A?{x|y?x2?2x?1}；B?{y|y?x2?2x?1}；

C?{(x,y)|y?x2?2x?1}；

D?{x|x?x2?2x?1}；

E?{(x,y)|y?x2?2x?1,x?Z,y?Z}；

yF?{(x,y')|y?x2?2x?1}；G?{z|y?x2?2x?1,z?}

x（5）空集是指不含任何元素的集合。（{0}、?和{?}的区别；0与三者间的关系） 空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。

注意：条件为A?B，在讨论的时候不要遗忘了A??的情况。 如：A?{x|ax2?2x?1?0}，如果A?R???，求a的取值。 二、集合间的关系及其运算

（1）符号“?,?”是表示元素与集合之间关系的，立体几何中的体现 点与直线（面）的关系 ；

符号“?,?”是表示集合与集合之间关系的，立体几何中的体现 面与直线(面)的关系 。

（2）A?B?{_________ ___________}；A?B?{_______________________}；

___________} CUA?{_________（3）对于任意集合A,B，则：

①A?B___B?A；A?B___B?A；A?B___A?B； ②A?B?A? ；A?B?A? ；

CUA?B?U? ；CUA?B??? ；

③CUA?CUB? ； ?CU(A?B)；

（4）①若n为偶数，则n? ；若n为奇数，则n? ；

②若n被3除余0，则n? ；若n被3除余1，则n? ；若n被3除余2，则n? ；

三、集合中元素的个数的计算：

（1）若集合A中有n个元素，则集合A的所有不同的子集个数为_________，所

有真子集的个数是__________，所有非空真子集的个数是 。 （2）A?B中元素的个数的计算公式为：Card(A?B)? ； （3）韦恩图的运用：

四、A?{x|x满足条件p}，B?{x|x满足条件q}，

若 ；则p是q的充分非必要条件?A_____B； 若 ；则p是q的必要非充分条件?A_____B； 若 ；则p是q的充要条件?A_____B；

若 ；则p是q的既非充分又非必要条件?__________ _；五、原命题与逆否命题，否命题与逆命题具有相同的 ；

注意：“若?p??q，则p?q”在解题中的运用， 如：“sin??sin?”是“???”的 条件。

六、反证法：当证明“若p，则q”感到困难时，改证它的等价命题“若?q则?p”成立，

步骤：1、假设结论反面成立；2、从这个假设出发，推理论证，得出矛盾；

3、由矛盾判断假设不成立，从而肯定结论正确。

矛盾的来源：1、与原命题的条件矛盾；2、导出与假设相矛盾的命题；3、

导出一个恒假命题。

适用与待证命题的结论涉及“不可能”、“不是”、“至少”、“至多”、“唯一”

等字眼时。 至多有一正面词语 等于 大于 小于 是 都是 个 否定 至少有一至多有n正面词语 任意的 所有的 任意两个 个 个 否定

二、函数

一、映射与函数：

（1）映射的概念： （2）一一映射：（3）函数的概念：

如：若A?{1,2,3,4}，B?{a,b,c}；问：A到B的映射有 个，B到A的映射有 个；A到B的函数有 个，若A?{1,2,3}，则A到B的一一映射有 个。

函数y??(x)的图象与直线x?a交点的个数为 个。 二、函数的三要素： ， ， 。

相同函数的判断方法：① ；② (两点必须同时具备)

（1）函数解析式的求法：

①定义法（拼凑）：②换元法：③待定系数法：④赋值法：

（2）函数定义域的求法： ①y?f(x)，则 ； ②y?2nf(x)(n?N*)则 ； g(x)③y?[f(x)]0，则 ； ④如：y?logf(x)g(x)，则 ； ⑤含参问题的定义域要分类讨论；

如：已知函数y?f(x)的定义域是[0,1]，求?(x)?f(x?a)?f(x?a)的定义域。 ⑥对于实际问题，在求出函数解析式后；必须求出其定义域，此时的定义域要根据实际意义来确定。如：已知扇形的周长为20，半径为r，扇形面积为S，则

S?f(r)? ；定义域为 。

（3）函数值域的求法：

①配方法：转化为二次函数，利用二次函数的特征来求值；常转化为型如：

f(x)?ax2?bx?c,x?(m,n)的形式；

②逆求法（反求法）：通过反解，用y来表示x，再由x的取值范围，通过解不等

ax?b,x?(m,n)； cx?d④换元法：通过变量代换转化为能求值域的函数，化归思想；

⑤三角有界法：转化为只含正弦、余弦的函数，运用三角函数有界性来求值域；

k⑥基本不等式法：转化成型如：y?x?(k?0)，利用平均值不等式公式来求值

x域；

⑦单调性法：函数为单调函数，可根据函数的单调性求值域。

⑧数形结合：根据函数的几何图形，利用数型结合的方法来求值域。

式，得出y的取值范围；常用来解，型如：y?求下列函数的值域：①y?a?bx； (a?0,b?0,a?b,x?[?1,1])（2种方法）

a?bxx2?x?3x2?x?3②y?；③y?； ,x?(??,0)（2种方法）,x?(??,0)（2种方法）

xx?1三、函数的性质：

函数的单调性、奇偶性、周期性

单调性：定义：注意定义是相对与某个具体的区间而言。

判定方法有：定义法（作差比较和作商比较）

导数法（适用于多项式函数） 复合函数法和图像法。

应用：比较大小，证明不等式，解不等式。

奇偶性：定义：注意区间是否关于原点对称，比较f(x) 与f(-x)的关系。f(x) －

f(-x)=0? f(x) =f(-x) ?f(x)为偶函数；

f(x)+f(-x)=0? f(x) =－f(-x) ?f(x)为奇函数。 判别方法：定义法， 图像法 ，复合函数法 应用：把函数值进行转化求解。

周期性：定义：若函数f(x)对定义域内的任意x满足：f(x+T)=f(x),则T为函

数f(x)的周期。

其他：若函数f(x)对定义域内的任意x满足：f(x+a)=f(x－a),则2a为函数f(x)的周期.

应用：求函数值和某个区间上的函数解析式。

四、图形变换：函数图像变换：（重点）要求掌握常见基本函数的图像，掌握函数图像变换的一般规律。 常见图像变化规律：（注意平移变化能够用向量的语言解释，和按向量平移联系起来思考）

平移变换 y=f(x)→y=f(x+a),y=f(x)+b 注意：（ⅰ）有系数，要先提取系数。如：把函数ｙ＝ｆ(２ｘ)经过 平移得到函数ｙ＝ｆ(２ｘ＋４)的图象。

（ⅱ）会结合向量的平移，理解按照向量a（ｍ，ｎ）平移的意义。 对称变换 y=f(x)→y=f(－x),关于ｙ轴对称 y=f(x)→y=－f(x) ,关于ｘ轴对称

y=f(x)→y=f|x|,把ｘ轴上方的图象保留，ｘ轴下方的图象关于ｘ轴对称

y=f(x)→y=|f(x)|把ｙ轴右边的图象保留，然后将ｙ轴右边部分关于ｙ轴对称。（注意：它是一个偶函数） 伸缩变换：y=f(x)→y=f(ωx),

y=f(x)→y=Af(ωx+φ)具体参照三角函数的图象变换。

一个重要结论：若f(a－x)＝f(a+x)，则函数y=f(x)的图像关于直线x=a对称； 如：y?f(x)的图象如图，作出下列函数图象： （1）y?f(?x)；（2）y??f(x)；

y y=f(x) O (2,0) (0,-1) x （3）y?f(|x|)；（4）y?|f(x)|； （5）y?f(2x)；（6）y?f(x?1)； （7）y?f(x)?1；（8）y??f(?x)； （9）y?f?1(x)。

五、反函数： （1）定义：

（2）函数存在反函数的条件： ； （3）互为反函数的定义域与值域的关

系： ； （4）求反函数的步骤：①将y?f(x)看成关于x的方程，解出x?f两解，要注意解的选择；②将x,y互换，得y?f（即y?f(x)的值域）。

（5）互为反函数的图象间的关

系： ；

（6）原函数与反函数具有相同的单调性；

（7）原函数为奇函数，则其反函数仍为奇函数；原函数为偶函数，它一定不存

在反函数。

2x如：求下列函数的反函数：f(x)?x?2x?3(x?0)；f(x)?x；

2?12?1(y)，若有

?1(x)；③写出反函数的定义域

f(x)?log2x?2(x?0) x?1七、常用的初等函数：

（1）一元一次函数：y?ax?b(a?0)，当a?0时，是增函数；当a?0时，是减函数；

（2）一元二次函数：

一般式：y?ax2?bx?c(a?0)；对称轴方程是 ；顶点为 ； 两点式：y?a(x?x1)(x?x2)；对称轴方程是 ；与x轴的交点为 ； 顶点式：y?a(x?k)2?h；对称轴方程是 ；顶点为 ； ①一元二次函数的单调性：

当a?0时： 为增函数； 为减函数；当a?0时： 为增函数； 为减函数；

②二次函数求最值问题：首先要采用配方法，化为y?a(x?k)2?h的形式，

Ⅰ、若顶点的横坐标在给定的区间上，则

a?0时：在顶点处取得最小值，最大值在距离对称轴较远的端点处取得；

a?0时：在顶点处取得最大值，最小值在距离对称轴较远的端点处取得；

Ⅱ、若顶点的横坐标不在给定的区间上，则

a?0时：最小值在距离对称轴较近的端点处取得，最大值在距离对称

轴较远的端点处取得；

a?0时：最大值在距离对称轴较近的端点处取得，最小值在距离对称

轴较远的端点处取得；

有三个类型题型：

(1)顶点固定，区间也固定。如：y?x2?x?1,x?[?1,1]

(2)顶点含参数(即顶点变动)，区间固定，这时要讨论顶点横坐标何时在区间之内，何时在区间之外。

(3)顶点固定，区间变动，这时要讨论区间中的参数．y?x2?x?1,x?[a,a?1]

③二次方程实数根的分布问题： 设实系数一元二次方程

f(x)?ax2?bx?c?0的两根为x1,x2；则：

根的情况 x1?x2?k x1?x2?k x1?k?x2 等价命题 在区间(k,??)上有两根 在区间(??,k)上有两根 在区间(k,??)或(??,k)上有一根 充要条件 注意：若在闭区间[m,n]讨论方程f(x)?0有实数解的情况，可先利用在开区

间(m,n)上实根分布的情况，得出结果，在令x?n和x?m检查端点的情况。

（3）反比例函数：y?ac (x?0)?y?a?xx?b（4）指数函数：y?ax(a?0,a?1)

指数运算法则： ； ； 。

指数函数：y=ax (a>o,a≠1)，图象恒过点（0，1），单调性与a的值有关，