高中平面几何讲义

高中平面几何

(上海教育出版社 叶中豪)

知识要点

三角形的特殊点

重心，外心，垂心，内心，旁心，类似重心，九点圆心，Spieker点，Gergonne点，Nagel点，等力点，Fermat点， Napoleon点， Brocard点，垂聚点，切聚点，X点，Tarry点，Steiner点，Soddy点，Kiepert双曲线

特殊直线、圆

Euler线，Lemoine线，极轴，Brocard轴，九点圆，Spieker圆，Brocard圆，Neuberg圆，McCay圆， Apollonius圆，Schoute圆系，第一Lemoine圆，第二Lemoine圆，Taylor圆，Fuhrmann圆

特殊三角形

中点三角形，垂三角形，切点三角形，切线三角形，旁心三角形，弧中点三角形，反弧中点三角形， 第一Brocard三角形，第二Brocard三角形，D-三角形，协共轭中线三角形

相关直线及相关三角形

Simson线，垂足三角形，Ceva三角形，反垂足三角形，反Ceva三角形

重心坐标和三线坐标 四边形和四点形

质点重心，边框重心，面积重心，Newton线，四点形的核心，四点形的九点曲线

完全四边形

Miquel点，Newton线，垂心线，外心圆，Gauss-Bodenmiller定理

重要轨迹

平方差，平方和，Apollonius圆

三角形和四边形中的共轭关系

等角共轭点，等角共轭线，等截共轭点，等截共轭线

几何变换及相似理论

平移，旋转（中心对称），对称，相似和位似，相似不动点，逆相似轴，两圆外位似中心及内位似中心

Miquel定理

内接三角形，外接三角形，Miquel点

根轴

圆幂，根轴，共轴圆系，极限点

反演

反演，分式线性变换（正定向和反定向）

配极

极点与极线，共轭点对，三线极线及三线极点，垂极点

射影几何

点列的交比，线束的交比，射影几何基本定理，调和点列与调和线束，完全四边形及完全四点形的调和性， Pappus定理，Desargues定理，Pascal定理，Brianchon定理

著名定理

三大作图问题，勾股定理，黄金分割，鞋匠的刀，P’tolemy定理，Menelaus定理，Ceva定理，Stewart定理，Euler线，Fermat- Torricelli问题，Fagnano- Schwarz问题，Newton线，Miquel定理，Simson线， Steiner定理，九点圆，Feuerbach定理，Napoleon定理，蝴蝶定理，Morley定理，Mannheim定理

例题和习题

1． 以△ABC的AB、AC两边向形外作正方形ABEP和ACFQ，AD是BC边上的

高。求证：直线AD、BF、CE三线共点。

2． 以△ABC的AB、AC两边为直角边，向两侧作等腰直角三角形ABD和ACE，

使∠ABD＝∠ACE＝90°。求证线段DE的中点的位置与顶点A的位置无关。 3． 已知梯形ABCD中，AD∥BC。分别以两腰AB、CD为边向外侧作正方形ABGE

和正方形DCHF。连接EF，设线段EF的中点为M。求证：MA＝MD。

4．△ABC中，AM是中线，H是垂心，N是AH中点，过A作外接圆切线，交对边

于D点。求证：ND⊥AM。(06061602．gsp)

ANHBMCD

5．△ABC中，D是BC边上一点，设O、O1、O2分别是△ABC、△ABD、△ACD的外心，求证：A、O、O1、O2四点共圆。（Salmon定理）

6．△ABC中，D是BC边上一点，设O、O1、O2分别是△ABC、△ABD、△ACD的外心，O′是A、O、O1、O2四点所共圆（Salmon圆）的圆心。求证：

（1）O′D⊥BC的充要条件是：AD恰好经过△ABC的九点圆心！

AO'O2O1NiBDC

（2）记△ABC的九点圆心为Ni 。作O′E⊥BC，垂足为E。则Ni E∥AD！ (06051705．gsp) (06052901．gsp)

AO1O'O2NiBDEC

7．四边形ABCD中，P点满足∠PAB＝∠CAD，∠PCB＝∠ACD，O1、O2分别是△ABC、△ADC的外心。求证：△PO1B∽△PO2D。（06060301．gsp）

ADBO1O2PC

8．设I是圆外切四边形ABCD的内心，求证：△IAB，△IBC，△ICD，△IDA的垂

心共线。

9．已知凸四边形ABCD满足：AB+AD=BC+CD，延长BA，CD交于E点，延

长BC，AD交于F点。求证：EB+ED=FB+FD（或EA+EC=FA+FC）。（05123102．gsp）

EABCDF

x2y210．（06.8.9）设A、B、C、D是椭圆2?2?1上四点。若直线AB、CD的斜

ab率之积

kAB?kCDb2?2a，

b2则直线AC、BC或直线AD、BC的斜率之积也必等于2。

ax2y2（注：这时经过A、B、C、D四点的任意二次曲线的离心率必不小于椭圆2?2?1的离心率─

ab─

ca。）（06080901．gsp）（06081201．gsp）

1．在△ABC中，D是BC边上一点，设O1、O2分别是△ABD、△ACD的外心，O′是经过A、O1、O2三点的圆之圆心。求证：O′D⊥BC的充要条件是：AD恰好经过△ABC的九点圆心。

AO'O2O1Ni

【证明】取△ABC的外心O，则熟知A、O、O1、O2四点共圆（Salmon圆）。易知△AO1O2∽△ABC，且O1O2是AD的垂直平分线。作顶点A关于BC边的对称点A′，易看出△AO′D∽△AOA′。设BC边高的垂足为G，再取AO连线的中点L，则LG是△AOA′的中位线，进而知△AO′D∽△ALG。得∠O′DA＝∠LGA。……………①

BDCAO1O'LO2OBDGC 再作外心O关于BC的对称点O′，由AH＝2OM＝OO′知A O′经过九点圆心Ni。（注：△AHNi ≌ △O′ONi）

由LM∥A O′知∠ADC＝∠LMG；在直角梯形AOMG中，得∠LMG＝∠LGM。 故∠ADC＝∠LGM。……………②

A'

而∠LGM＋∠LGA＝90°。

将①、②代入得∠O′DA＋∠ADC＝90°。 ∴ O′D⊥BC。

AO'LONiHBMDGCO'

2．在△ABC中，D是BC边上一点，设O1、O2分别是△ABD、△ACD的外心，O′是经过A、O1、O2三点的圆之圆心。记△ABC的九点圆心为Ni。作O′E⊥BC，垂足为E。则Ni E∥AD。

（叶中豪提供）

AO1O'O2NiBDEC

【证明】作LK⊥AH。由AH＝2OM，Ni F＝（OM＋HG）/2易知AK ＝Ni F。……………① 又因O′L在BC上的射影是EF，而AL在AG上的射影是AK，且两者夹角相等（都等于

1O?LAL?B??C）?，故。……………② 2EFAK由①、②知Rt△AO′L∽Rt△Ni EF。得∠AO′L＝∠Ni EF。……………③

AO'LKONiHBEMFGC

而由下图，又易知∠AO′L＝∠ADC。……………④ 由③、④得∠Ni EC＝∠ADC， ∴ Ni E∥AD。

AO'LONiBDEC

3．△ABC中，AH是BC边上的高，D是直线BC上任一点。O、O1、O2分别是△ABC、△ABD、△ACD的外心，N、N1、N2分别是△ABC、△ABD、△ACD的九点圆心。设O′是A、O、O1、O2所共圆（Salmon圆）的圆心，作O′E⊥BC，垂足为E。则H、E、N、N1、N2五点共圆。

（闵飞提供）

AO'O1O2NON1N2B

【证明】

EDHC

引理 △ABC中，记外心O关于BC边的对称点为O′，则九点圆心Ni是A O′的中点。 （证略）

AONiBCO'

如下图，作A、O、O1、O2诸点关于BC边的对称点，这些对称点仍构成共圆四边形。再以A点为位似中心，作1/2的位似变换，即可知所得到点H、N、N1、N2一定共圆。（且顺便得知所共圆的大小恰是Salmon圆的一半！）

再在Salmon圆上取A″，使AA″∥BC。因此O′E所在直线是AA″的中垂线。作A″关于BC边的对称点A″′。易知AA″′的中点恰是E，于是E也在上述位似后的圆上。

A''O1O'AON1NO2N2BDEHCO'O'2O'1A'''A'

5．四边形ABCD中，P点满足∠PAB＝∠CAD，∠PCB＝∠ACD，O1、O2分别是△ABC、△ADC的外心。求证：△PO1B∽△PO2D。

（叶中豪提供）

ADBO1O2PC

【证法1】（田廷彦提供）

QAO1BO2DPC

如上图，延长CP交△ABC的外接圆于Q。连接QA、QB、QO1、AO2。

在等腰△O1BQ和等腰△O2AD中，由于∠BO1Q＝2∠BCQ＝2∠ACD＝∠AO2D，故△O1BQ∽△O2AD。………①

又在△PAQ中，由正弦定理

PQsin?PAQsin??PAB??BAQ?sin??DAC??BCQ?sin??DAC??DCA?????PAsin?PQAsin?CBAsin?CBAsin?CBA?sin?180???CDA?sin?CBA?sin?CDAAC/R2R1??sin?CBAAC/R1R2其中R1、R2分别是△BAC和△DAC的外接圆半径。

而BQ?2R1sin?BCQ，

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