2013九年级数学竞赛试题

九 年 级 数 学 试 题

一、选择题（每小题5分，共40分） 1、一同学根据下表，作了四个推测： x 1 x?22? 3 x①2?lO 1.2 100 1000 10000 1.02 1.002 1.0002 ? x?2x?2?x?0?的值随着x的增大越来越小； ②2??x?0?的值有可能等于1； xxx?2x?2③2?④2? ?x?0?的值随着x的增大越来越接近于1；?x?0?的值最大值是3．

xx 则推测正确的有（ ）

A. 1个 B. 2个 C．3个 D. 4个

2、如图，西安路与南京路平行，并且与八一街垂直，曙光路与环城路垂直。如果小明站在南京路与八一街的交叉口，准备去书店，按图中的街道行走，最近的路程约为（ ） A 500m B 525 m C 575 m D 625 m 3、如图，在⊙O中，CD?DA?AB，给出下列三个结论：

第3题图

（1）DC=AB；（2）AO⊥BD；（3）当∠BDC=30°时，∠DAB=80°．其中正确的个数是( )

A 0 B 1 C 2 D 3

4、已知非零实数a，b 满足 a?2?b?1?a?3?a?2，则

CBOD第4题图

a?b等于（ ）

A －1 B 0 C 1 D 5、已知二次函数y?ax2?bx?c的图象如图所示，有以下结论：①

Aa?b?c?0；②a?b?c?1；③abc?0；④4a?2b?c?0；⑤c?a?1其中所有正确

结论的序号是（ ）

A．①② B． ①③④ C．①②③⑤ D．①②③④⑤

6、如图所示，一般书本的纸张是在原纸张多次对开得到的，矩形ABCD沿EF对折后，再把矩形EFCD沿MN对开，依此类推，若各种开本的矩形都相似，那么

AD?（ ） ABA

2 B 2 C 3 D 2 2y 1 1 x A

第6题

第7题

1

D1 A1

D B

(第10题)

B1

C1

?1 O C

2?x?1?1?x≤3????7、已知函数y??，则使y=k成立的x值恰好有三个，则k的值为( )

2???x?5??1?x＞3?A．0 B．1 C．2 D．3

8、如图，设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，黑、白两个甲壳虫同时从A点出发，以相

同的速度分别沿棱向前爬行，黑甲壳虫爬行的路线是AA1→A1D1→??，白甲壳虫爬行的路线是AB→BB1→??，并且都遵循如下规则：所爬行的第n?2与第n条棱所在的直线必须是既不平行也不相交（其中n是正整数）．那么当黑、白两个甲壳虫各爬行完第2013条棱分别停止在所到的正方体顶点处时，它们之间的距离是（ ）

A 0 B 1 C

2 D 3

二、填空题（每小题5分，共40分） 9、若关于x，y的二元一次方程组?______．

10、设a?5?1，则代数式a?3a?2a?14的值为

11、读一读：式子“1+2+3+4+??+100”表示从1开始的100个连续自然数的和，由于式子比较长，书写不方便，为了简便起见，我们将其表示为

32?3x?y?1?a的解满足x?y＜2，则a的取值范围为

x?3y?3??n，这里“?n?1100”是求和符号，

2012通过以上材料的阅读，计算

?n?11= .

n(n?1)

12、在直角坐标系中，点A是抛物线y=x2在第二象限上的点，连接OA，过点O作OB⊥OA，交抛物线于点B，以OA、OB为边构造矩形AOBC。如图，当点A的横坐标为?则点B的坐标为 ；

13、如图，矩形ABCD中，AD=2，AB=3，AM=1，DE是以点A为圆心2为半径的

1时，21圆弧，4NB是以点M为圆心2为半径的

为 ．

1圆弧，则图中两段弧之间的阴影部分的面积414、如图，MN是O的直径，MN?2，点A在O上，∠AMN?30，B为AN的中点，P是直径MN上一动点，则PA?PB的最小值为 。

A B M O P 第14题

N

第12题 第13题

2

15、如图，已知动点A在函数y?4(x?0)的图象上，AB?x轴于点B，AC?y轴于点xC，延长CA至点D，使AD=AB，延长BA至点E，使AE=AC。直线DE分别交x轴于点P，Q。当QE:DP?4:9时，图中阴影部分的面积等于_______

16、在△ABC中，BC=6，S?ABC?12，B1C1所在四边形是△ABC的内接正方形，B2C2所在四边形是△AB1C1的内接正方形，B3C3所在四边形是△AB2C2的内接正方形，依此类推，则

BnCn的长为 。

三、解答题：（共70分）

17、（10分）如图，有长为24m的篱

B1AB2B3C3C2C1BC

笆，一面利用墙(墙的最大可用长度a为10m)，围成中间隔有一道篱笆(平行于AB)的矩形花圃．设花圃的一边AB为xm，面积为Sm． （1）求S与x的函数关系式及自变量x的取值范围； （2）要围成面积为45 m的花圃，AB的长是多少米？

22 （3）能围成面积比45 m2更大的花圃吗？如果

能，请求出最大面积，并说明围法；如不能，请说明理由。

18、（12分）某人在电车路轨旁与路轨平行的路上骑车行走，他留意到每隔6分钟有一部电车从他后面驶向前面，每隔2分钟有一部电车从对面驶向后面。假设电车和此人行驶的速度都不变（分别为v1，v2表示），请你根据下面的示意图，求电车每隔几分钟（用t表示）从车站开出一部？

19、（本题12分）阅读理解：对于任意正实数a、b，

∵(a?b)2≥0，∴a?2ab?b≥0，∴a?b≥2ab，只有当a＝b时，a?b=2ab． 根据上述内容，回答下列问题：

3

(1)若m＞0，只有当m＝ 时，m?1有最小值 ． m（2）探索应用：已知，点Q（-3，-4）是反比例函数图象y?k的一点，过点Q作QA⊥xxk轴于点A，作QB⊥y轴于点B, 点P为反比例函数图象y?(x＞0)上的任意一点，连

x接PA、PB，求四边形AQBP面积的最小值，

（3）已知(x＞0)，则自变量x为何值时，函数y?少？

x取到最大值，最大值为多

x2?2x?2520、（12分）如图，AB是半⊙O的直径，点C是半圆弧的中点，点D是弧AC的中点，连结BD交AC、OC于点E、F。

（1）在图中与△BOF相似的三角形有 个； （2）求证：BE=2AD； （3）求

21、（12分）如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的顶点为C（1，4），交x轴于A、B两点，

交y轴于点D，其中点B的坐标为（3，0）。 （1）求抛物线的解析式；

（2）过点A的直线与抛物线交于点E，交y轴于点F，其中点E的横坐标为2，若直线PQ为抛物线的对称轴，点G为直线PQ上的一动点，在x轴上找一点H，使D、G、H、F四点所围成的四边形周长最小。求出这个最小值及点G、H的坐标。

22、（12分）如图，扇形OMN的半径为1，圆心角是90°．点B是MN上一动点， BA⊥OM于点A，BC⊥ON于点C，点D、E、F、G分别是线段OA、AB、BC、CO的中点，GF与CE相交于点P，DE与AG相交于点Q． （1）求证：四边形EPGQ是平行四边形；

（2）探索当OA的长为何值时，四边形EPGQ是矩形； （3）连结PQ，求3PQ2?OA2的值．

DE的值。 BE 4

九年级试题

参考答案与评分标准

一、选择题：

1、 B 2、 C 3、D 4、 D 5、C 6、 B 7、 D 8、 A 二、填空题：

9、a＜4 10、2012 11、

nn?12012 12、 201313?317? 13、2 14、 15、 2,??3?24?12?2?2?16、6???或

5n?5?

三、解答题：

17、（10分）解：（1）∵BC=24?3x，

∴ S?x?24?3x???3x2?24x，由0＜24?3x≤10，得

14?x＜8。----（3分） 32（2）由s?45，得x?8x?15?0，∴x1?3（舍去），x2?5，

∴AB=5。------------------（3分）

14?x＜8， 3142∴x?时，s有最大值是46。----------------------（4分）

33142故能围成面积比45 m更大的花圃，围法是花圃的长为10m，宽为m。

3（3）S??3?x?4??48，∵

218、（12分）解：根据题意得：

?6(u1?u2)?u1t-------------（5分），解得u1?2u2．------------------（3） ?2(u?u)?ut?121∴t?3（分钟）------------------（3分）

答：电车每隔3分钟从车站开出一部．-----------（1分） 19、（12分）(1) 1， 2．-------------- （4分） （2）解：由题意得，SAQBO?3?4?12，反比例函数解析式为y?连接PO，过点P作PM⊥x轴于点M，作PN⊥y轴于点N,设点

12，----（1分） xy12P的坐标为(x，)

x111218?， ∴S△AOP??AO?PM??3?22xx11S△BOP??BO?PN??4?x?2x

2218SAQBP?SAQBO?S△AOP?S△BOP?2x??12

x BA QN OP xM

5

18，时SAQBP的面积最小，解得x1?3,x2??3(舍去） x18?12?24 ∴当x=3时，SAQBP?2?3?3当2x?∴四边形AQBP面积的最小值为24。 ------------ （3分）

x2?2x?2525?x?2?（3）设y?? （2分） xx当x?251?，∴当x=5时，y最小?=8 ∴当x=5时，y最大? （ 2分） 时y最小8x20、（12分）解：（1）△BAD；△EAD；△BEC。--------------（3分）

（2）延长AD与BC相交于G，∵点C是半圆弧的中点，点D是弧AC的中点，∴∠CBE=∠GAC， ∠BCE=∠ACG=90°， AC=BC，则△ACG≌△BCE

∴BE=AG，而AG=2AD，∴BE=2AD。----------（5分） （3）连结OD交AC于点H，则OD⊥AC，∴DH∥BC， ∴△DHE≌△BCE，∴

DEDH= BEBC设BC=2，则OD=OB=2，∴OH=1，DH=2?1，

∴

2?1DE=。---------（4分） BE22

21、（12分）解：（1）设y＝a(x－1)＋4，将点B（3，0）代入解得：a＝－1 ∴所求抛物线的解析式为：y＝－(x－1)＋4 ------------------------（4分） （2）如图，在y轴的负半轴上取一点I，使得点F与点I关于x轴对称， 在x轴上取一点H，连接HF、HI、HG、GD、GE，则HF＝HI -----------① 设过A、E两点的一次函数解析式为：y＝kx＋b（k≠0），

∵点E在抛物线上且点E的横坐标为2，将x＝2代入抛物线y＝－(x－1)＋4，得

2

2

y＝－(2－1)2＋4＝3 ∴点E坐标为（2，3）

又∵抛物线y＝－(x－1)＋4图像分别与x轴、y轴交于点A、B、D ∴当y＝0时，－(x－1)＋4＝0，∴ x＝－1或x＝3 当x＝0时，y＝－1＋4＝3,

∴点A（－1，0），点B（3，0），点D（0，3）---------（2分） 又∵抛物线的对称轴为：直线x＝1，

∴点D与点E关于PQ对称，GD＝GE ---------------② 分别将点A（－1，0）、点E（2，3）代入y＝kx＋b，得： ?22

y P C D E F A O I H G B Q x

??k?b?0?k?1 解得：?

?b?1?2k?b?36

图6

过A、E两点的一次函数解析式为：y＝x＋1 --------------（2分） ∴当x＝0时，y＝1 ∴点F坐标为（0，1）

∴DF?2----------------③， 又∵点F与点I关于x轴对称，

∴点I坐标为（0，－1），∴EI?DE2?DI2?22?42?25------------④ 又∵要使四边形DFHG的周长最小，由于DF是一个定值，∴只要使DG＋GH＋HI最小即可 由图形的对称性和①、②、③，可知，DG＋GH＋HF＝EG＋GH＋HI， 只有当EI为一条直线时，EG＋GH＋HI最小

设过E（2，3）、I（0，－1）两点的函数解析式为：y＝k1x＋b1（k1≠0）， 分别将点E（2，3）、点I（0，－1）代入y＝k1x＋b1，得：

y C ?2k?b?3?k?2 ?11 解得：?1 ?b1??1?b1??1过I、E两点的一次函数解析式为：y＝2x－1 ∴当x＝1时，y＝1；当y＝0时，x＝

T D N 1； 2A O 1∴点G坐标为（1，1），点H坐标为（，0）

2∴四边形DFHG的周长最小为：DF＋DG＋GH＋HF＝DF＋EI 由③和④，可知： DF＋EI＝2?25 ∴四边形DFHG的周长最小为2?25。-----------（4分）

N

22、（12分）解：（1）证明：如图①， ∵∠AOC=90°，BA⊥OM，BC⊥ON， ∴四边形OABC是矩形． ∴AB//OC,AB?OC． ∵E、G分别是AB、CO的中点， ∴AE//GC,AE?GC.

∴四边形AECG为平行四边形.

∴CE//AG. ???????????4分 连接OB，

∵点D、E、F、G分别是线段OA、AB、BC、CO的中点， ∴ GF∥OB，DE∥OB， ∴ PG∥EQ，

∴四边形EPGQ是平行四边形；--------------------------（4分） （2）如图②，当∠CED=90°时，□EPGQ是矩形． 此时 ∠AED+∠CEB =90°． 又∵∠DAE=∠EBC =90°，∴∠AED=∠BCE．

∴△AED∽△BCE．????????????8分

7

M B x

图7

C

P

G O

F B E A M

Q D 图①

N C

F P G

Q O

D A 图②

M

E B

∴

ADAE?． BEBC设OA=x，AB=y，则

22xyy∶=∶x，得y2?2x2．?10分 2222NCGB'FPA'O'QODAMEB又 OA?AB?OB，即x2?y2?12．

22∴x?2x?1，解得x?3． 3∴当OA的长为3时，四边形EPGQ是矩形．--------------------（4分） 3图③

（3）如图③，连结GE交PQ于O?，则O?P?O?Q,O?G?O?E.．过点P作OC的平行线分别交BC、GE于点B?、A?．

PGPEGE2由△PCF∽△PEG得，???,

PFPCFC12111??=AB， GA?=GE=OA， ∴ PA?=AB333316在Rt△PA?O?中，PO?2?PA?2?A?O?2，

PQ2AB2OA2即 ， 又 AB2?OA2?1， ??49361∴ 3PQ2?AB2?，

314∴ OA2?3PQ2?OA2?(AB2?)?．---------------------（4分）

33∴ A?O??GE?GA??OA．

12 8

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