数学选修2-2第二章综合能力检测

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第二章 __综合能力检测__

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．

1．所有自然数都是整数，4是自然数，所以4是整数，以上三段推理( ) A．正确

B．推理形式不正确

C．两个“自然数”概念不一致 D．两个“整数”概念不一致

解析：三段论中的大前提、小前提及推理形式都是正确的． 答案：A

2．若a>0，b>0，则有( ) bb

A.>2b－a B.<2b－a aab

C.2b－a a

22

2

b

D.≤2b－a a

2

2

2

2

b－2ab＋a(b－a)b2

解析：∵－(2b－a)0，

aaab2

∴≥2b－a. a答案：C

11111

3．设S(n)＋＋ ＋( )

nn＋1n＋2n＋3n11

A．S(n)共有n项，当n＝2时，S(2)23111

B．S(n)共有n＋1项，当n＝2时，S(2)＝＋＋2341112

C．S(n)共有n－n项，当n＝2时，S(2)＋

234111

D．S(n)共有n2－n＋1项，当n＝2时，S(2)

234

解析：从n到n共有n－n＋1个自然数，即S(n)共有n－n＋1项．故选D. 答案：D

4．F(n)是一个关于自然数n的命题，若F(k)(k∈N*)真，则F(k＋1)真，现已知F(7)不真，则有：①F(8)不真；②F(8)真；③F(6)不真；④F(6)真；⑤F(5)不真；⑥F(5)真．其中为真命题的是( )

A．③⑤ C．④⑥

B．①② D．③④

2

2

2

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解析：若F(k)真，则F(k＋1)一定真，其逆否命题为F(k＋1)不真，则F(k)不真． ∴F(7)不真，则F(6)不真；F(6)不真，则F(5)不真． 答案：A

5．若x，y∈R，且2x2＋y2＝6x，则x2＋y2＋2x的最大值为( ) A．14 C．16

2

2

B．15 D．17

2

2

2

2

解析：x＋y＋2x＝x＋(6x－2x)＋2x＝－x＋8x＝－(x－4)＋16≤16. 答案：C

1

6．设f(x)(x∈R)为奇函数，f(1)，f(x＋2)＝f(x)＋f(2)，则f(5)等于( )

2A．0 5C. 2

B．1 D．5

解析：∵f(x＋2)＝f(x)＋f(2) ∴令x＝－1则有 f(1)＝f(－1)＋f(2) ∴f(2)＝2f(1)

1

又∵f(1)＝，∴f(2)＝1

2∴f(5)＝f(2＋3)＝f(2)＋f(3) ＝f(2)＋f(2)＋f(1) ＝2f(2)＋f(1) 15＝2＋＝22答案：C

→→

7．若O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足OP＝OA＋→→ABACλ()，λ∈[0，＋∞)，则动点P的轨迹一定通过△ABC的( ) →→|AB||AC|

A．外心 C．重心

B．内心 D．垂心

→→→→ABACABAC→→→

解析：OP＝OA＋λ()，AP＝λ()＝λ(e1＋e2)，∴AP是∠A的内角平分

→→→→|AB||AC||AB||AC|线．

答案：B

8．如图所示为某旅游区各景点的分布图，图中一支箭头表示一段有方向的路，试计算

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顺着箭头方向，从A到H有几条不同的旅游路线可走(

)

A．15 C．17

B．16 D．18

解析：这是图论中的一个问题，如果一条一条的去数，由于道路错综复杂，哪些已算过，哪些没有算过就搞不清了，所以我们换一个思路，用分析法来试试．

要到H点，需从F、E、G走过来，F、E、G各点又可由哪些点走过来， ，这样一步步倒推，最后归结到A，然后再反推过去得到如下的计算法：A至B、C、D的路数记在B、C、D圆圈内，B、C、D分别到F、E、G的路数亦记在F、E、G圆圈内，最后F、E、G各个路数之和，即得至H的总路数如答图1所示．

答案：C

9．对于直角坐标平面内的任意两点A(x1，y1)、B(x2，y2)定义它们之间的一种“距离”：||AB||＝|x2－x1|＋|y2－y1|.

给出下列三个命题：

①若点C在线段AB上，则||AC||＋||CB||＝||AB||； ②在△ABC中，若∠C＝90°，则||AC||2＋||CB||2＝||AB||2； ③在△ABC中，||AC||＋||CB||>||AB||. 其中真命题的个数为( ) A．0 C．2

B．1 D．3

解析：①当点C在线段AB上时，可知||AC||＋||CB||＝||AB||，故①是正确的．

②取A(0,0)，B(1,1)，C(1,0)，则||AC||＝1，||BC||＝1，||AB||＝(1＋1)＝4，故②是不正确的．

③取A(0,0)，B(1,1)，C(1,0)，证明||AC||＋||CB||＝||AB||，故③不正确．故选B. 答案：B

2

2

2

2

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abcd

10．已知a，b，c，d是正实数，P＝，则有( )

a＋b＋ca＋b＋dc＋d＋ac＋d＋bA．0<P<1 C．2<P<3 解析：P＝>

B．1<P<2 D．3<P<4

abcd

＋a＋b＋ca＋b＋dc＋d＋ac＋d＋b

abcd

＋＋1，

a＋b＋c＋da＋b＋d＋cc＋d＋a＋bc＋d＋b＋aabcd

＋

a＋b＋ca＋b＋dc＋d＋ac＋d＋b

P＝<

abcd＋2， a＋ba＋bc＋dc＋d

∴1<P<2. 答案：B

11．一个等差数列{an}，其中a10＝0，则有a1＋a2＋ ＋an＝a1＋a2＋ ＋a19－

一个等比数列{bn}，其中n(1≤n≤19)．

b15＝1.类比等差数列{an}有下列结论，正确的是( )

A．b1b2 bn＝b1b2 b29－n(1≤n≤29，n∈N*) B．b1b2 bn＝b1b2 b29－n

C．b1＋b2＋ ＋bn＝b1＋b2＋ ＋b29－n(1≤n≤29，n∈N*) D．b1＋b2＋ ＋bn＝b1＋b2＋ ＋b29－n

解析：在等差数列{an}中，a10＝0，知以a10为等差中项的项和为0，如a9＋a11＝a8＋a12

＝ ＝a2＋a18＝a1＋a19＝0.而在等比数列{bn}中，b15＝1，类比地有b1b29＝b2b28＝ ＝b14b16＝1.从而类似地总结规律应为各项之积．

∵等差数列{an}中a10＝0，∴a1＋a19＝a2＋a18＝ ＝a8＋a12＝a9＋a11＝0. 即：a19－n＋an＋1＝0， a18－n＋an＋2＝0， a17－n＋an＋3＝0，

∴a1＋a2＋ ＋an＝a1＋a2＋ ＋an＋an＋1＋an＋2＋ ＋a19－n. ∵b15＝1，∴b1b29＝b2b28＝ ＝b14b16＝1. 即b29－nbn＋1＝b28－nbn＋2＝ ＝b14b16＝1.

∴b1b2 bn＝b1b2 b29－n(1≤n≤29，n∈N*)．故选A. 答案：A 12．观察数表

1 2 3 4 第一行 2 3 4 5 第二行

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3 4 5 6 第三行 4 5 6 7 第四行

第一列 第二列 第三列 第四列

根据数表中所反映的规律，第n行与第n列的交叉点上的数应该是( ) A．2n－1 C．n－1

2

B．2n＋1 D．n

2

解析：根据数表可知，第1行第1列上的数为1，第2行第2列上的数为3，第3行第3列上的数为5，第4行第4列上的数为7，那么，由此可以推导出第n行第n列交叉点上的数应该是2n－1.

答案：A

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

1

13．若三角形内切圆的半径为r，三边长分别为a，b，c，则三角形的面积S＝r(a＋b

2＋c)，根据类比推理的方法，若一个四面体的内切球的半径为R，四个面的面积分别为S1，S2，S3，S4，则四面体的体积V＝________.

解析：由平面图形到空间图形的类比过程中，边长→面积，面积→体积． 1

答案：(S1＋S2＋S3＋S4)

3

14．若符号“*”表示求实数a与b的算术平均数的运算，即a*b＝

a＋b

2

有运算符号“*”和“＋”，且对于任意3个实数a、b、c都能成立的一个等式可以是________．

解析：答案不唯一．因为a＋(b*c)＝a＋

b＋c2a＋b＋c

＝，又(a＋b)*(a＋c)＝22

(a＋b)＋(a＋c)2a＋b＋c

＝，因此答案成立．同时：(a*b)＋c＝(a*c)＋(b*c)；a*(b＋c)＝(a＋

22b)*c＝(b＋c)*a＝(a＋c)*b；(a*b)＋c＝(b*a)＋c也符合题意．

答案：a＋(b*c)＝(a＋b)*(a＋c)

15．把数列{2n＋1}依次按第一个括号一个数，第二个括号两个数，第三个括号三个数，第四个括号四个数，第五个括号一个数 循环下去，如：(3)，(5,7)，(9,11,13)，(15,17,19,21)， ，则第104个括号内各数字之和为________．

解析：前面103个括号中共用了256个数，第104个括号有4个数分别是515,517,519,521，其和为2072.

答案：2072

16．已知n次多项式Pn(x)＝a0xn＋a1xn－1＋ ＋an－2x2＋an－1x＋an.如果在一种算法中，

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计算xk0(k＝2,3,4， ，n)的值需要k－1次乘法，计算P3(x0)的值共需要9次运算(6次乘法，3次加法)，那么计算Pn(x0)的值共需要________次运算．

下面给出一种减少运算次数的算法：

P0(x)＝a0，Pk＋1(x)＝xPk(x)＋ak＋1(k＝0,1,2， ，n－1)．利用该算法，计算P3(x0)的值共需要6次运算，计算Pn(x0)的值共需要________次运算．

解析：Pn(x0)＝a0x0＋ ＋an－2x0＋an－1x0＋an，共需n次加法运算，每个小因式中所需n(n＋1)1乘法运算依次为n，n－1， ，1.故共需计算次数为nn(n＋3)．第二种运算中，

22P0(x0)＝a0，不需要运算，P1(x0)＝x0P0(x0)＋a1，需2次运算．P2(x0)＝x0P1(x0)＋a2，需2＋2次运算，依次往下，Pn(x0)需2n次运算．

1

答案：(n＋3) 2n

2

三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 1

17．(本小题满分10分)证明对于任意实数x，y都有x4＋y4xy(x＋y)2.

21442

证明：(分析法)要证x＋y≥(x＋y)，

2只需证明2(x＋y)≥xy(x＋y)， 即证2(x4＋y4)≥x3y＋xy3＋2x2y2.

只需x＋y≥xy＋xy与x＋y≥2xy同时成立即可． 又知x4＋y4－2x2y2＝(x2－y2)2≥0，即x4＋y4≥2x2y2成立， 只需再有x4＋y4≥x3y＋xy3成立即可． 由于x4＋y4－x3y－xy3＝(x－y)(x3－y3)， ∵x－y与x3－y3同号，

∴(x－y)(x3－y3)≥0，即x4＋y4≥x3y＋xy3成立． 1

∴对于任意实数x，y都有x4＋y4≥(x＋y)2成立．

2

18．(本小题满分12分)(2009·江苏高考)如右图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F分别是A1B，A1C的中点，点D在B1C1上，A1D⊥B1C

.

4

4

3

3

4

4

22

4

4

2

n－1

2

求证：(1)EF∥平面ABC； (2)平面A1FD⊥平面BB1C1C.

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证明：(1)因为E、F分别是A1B、A1C的中点，所以EF∥BC，EF 面ABC，BC 面ABC.所以EF∥平面ABC.

(2)因为三棱柱ABC－A1B1C1为直三棱柱， 所以BB1⊥面A1B1C1，BB1⊥A1D， 又A1D⊥B1C，

所以A1D⊥平面BB1C1C， 又A1D 平面A1FD， 所以平面A1FD⊥平面BB1C1C.

19．(本小题满分12分)求证：y＝ax＋2bx＋c，y＝bx＋2cx＋a，y＝cx＋2ax＋b(a，b，c是互不相等的实数)这三条抛物线中，至少有一条与x轴有两个交点．

证明：假设三条抛物线均与x轴无两交点，则Δ1＝4b2－4ac≤0，Δ2＝4c2－4ab≤0，Δ3

1

＝4a2－4bc≤0，∴a2＋b2＋c2－ab－ac－bc≤0，即[(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2]≤0，∴a＝b

2＝c，与a，b，c是互不相等的实数矛盾．故三条抛物线中，至少有一条与x轴有两个交点．

20．(本小题满分12分)已知函数f(n)(n∈N*)，满足条件：①f(2)＝2，②f(xy)＝f(x)·f(y)，③f(n)∈N，④当x>y时，有f(x)>f(y)．

(1)求f(1)，f(3)的值；

(2)由f(1)，f(2)，f(3)的值，猜想f(n)的解析式； (3)证明你猜想的f(n)的解析式的正确性．

解：(1)∵f(2)＝f(2×1)＝f(2)·f(1)，又f(2)＝2，∴f(1)＝1.又∵f(4)＝f(2·2)＝f(2)·f(2)＝4,2＝f(2)<f(3)<f(4)＝4，且f(3)∈N*.∴f(3)＝3.

(2)由f(1)＝1，f(2)＝2，f(3)＝3，猜想f(n)＝n(n∈N*)． (3)用数学归纳法证明：

(ⅰ)当n＝1时，f(1)＝1，函数解析式成立． (ⅱ)假设n＝k时，f(k)＝k，函数解析式成立．

①若k＋1＝2m(m∈N*)，f(k＋1)＝f(2m)＝f(2)·f(m)＝2m＝k＋1.

②若k＋1＝2m＋1(m∈N)，f(2m＋2)＝f[2(m＋1)]＝f(2)·f(m＋1)＝2(m＋1)＝2m＋2， 2m＝f(2m)<f(2m＋1)<f(2m＋2)＝2m＋2. ∴f(2m＋1)＝2m＋1＝k＋1.

即当n＝k＋1时，函数解析式成立． 综合(ⅰ)(ⅱ)可知，f(n)＝n(n∈N)成立．

21．(本小题满分12分)已知数列a1，a2， ，a30，其中a1，a2， ，a10是首项为1，公差为1的等差数列；a10，a11， ，a20是公差为d的等差数列；a20，a21， a30是公差为d的等差数列(d≠0)．

2

*

*

*

2

2

2

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(1)若a20＝40，求d；

(2)试写出a30关于d的关系式，并求a30的取值范围；

(3)续写已知数列，使得a30，a31，a40是公差为d3的等差数列， ，依次类推，把已知数列推广为无穷数列．提出同(2)类似的问题((2)应当作为特例)，并进行研究，你能得到什么样的结论？

解：(1)a10＝10，a20＝10＋10d＝40， ∴d＝3.

(2)a30＝a20＋10d2＝10(1＋d＋d2)(d≠0)， 13

a30＝10[(d)2，

24

当d∈(－∞，0)∪(0，＋∞)时，a30∈[7.5，＋∞)；

(3)所给数列可推广为无穷数列{an}，其中a1，a2， ，a10是首项为1，公差为1的等差数列，当n≥1时，数列a10n，a10n＋1， ，a10(n＋1)是公差为dn的等差数列．

研究的问题可以是：试写出a10(n＋1)关于d的关系式，并求a10(n＋1)的取值范围 研究的结论可以是：由

a40＝a30＋10d＝10(1＋d＋d＋d)， 依次类推可得a10(n＋1)＝10(1＋d＋ ＋d) 1－d 10×d≠1，1－d＝

10(n＋1)，d＝1.

当d>0时，a10(n＋1)的取值范围为(10，＋∞)．

22．(本小题满分12分)对于函数f(x)，若存在x0∈R，使f(x0)＝x0成立，则称x0为f(x)x＋a1

的不动点．如果函数f(x)＝b，c∈N)有且只有两个不动点0,2，且f(－2)<.

bx－c2

(1)求函数f(x)的解析式；

1

(2)已知各项均不为零的数列{an}满足4Sn·f(＝1，求数列的通项an；

an

(3)如果数列{an}满足a1＝4，an＋1＝f(an)，求证当n≥2时，恒有an<3成立．

x2＋a2

解：(1)依题意有＝x，化简为(1－b)x＋cx＋a＝0，由根与系数的关系得

bx－cc， 2＋0＝－1－b

a2·0＝ 1－b，

2

n＋1

n

3

2

3

a＝0， －2x2

解得 代入表达式得f(x)，由f(－2)<－c

c1＋cb＝1＋， (1＋)x－c2

2

13

，得c<3.又因为c∈N，b∈N，若c＝0，b＝1，f(x)＝x不止有两个不动点，若c＝1，b，22

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x

则f(x)＝x只有一个不动点，所以c＝2，b＝2，故f(x)(x≠1)．

2(x－1)

1(2a

(2)由题设得4Snn＝1，得2Sn＝an－a2n，(*) 且an≠1，把n－1代入得2Sn－1＝an

1

2(－1)an

－1

2

22

－a2n－1.(**)由(*)与(**)两式相减得2an＝(an－an－1)－(an－an－1)，即(an＋an－1)(an－an－1＋1)

2

＝0，所以an＝－an－1或an－an－1＝－1，把n＝1代入(*)得2a1＝a1－a1，解得a1＝0(舍去)或a1＝－1.由a1＝－1，an＝－an－1，得a2＝1，这与an≠1矛盾，所以an－an－1＝－1，即{an}是以－1为首项，－1为公差的等差数列，所以an＝－n.

an＋1a(3)证明：(采用反证法)假设an≥3(n≥2)，则由(1)知an＋1＝f(an)＝＝

2an－2an

a11113

＝·(1＋≤(1＋)＝<1，即an＋1<an(n≥2，n∈N)，有an<an－1< <a2，而当n

2(an－1)2an－1224a1168＝2时，a2＝＝<3，所以a2<3.这与假设矛盾，故假设不成立，所以an<3.

2a1－28－23

2

2

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/uwu4.html