复变函数复习资料

第一部分、复习纲要

1、复数与复变函数：掌握复数的运算及各种表示法，理解复变函数与一对二元实函数的关系（极限，连续性），掌握用复变数的方程来表示常用曲线以及用不等式表示区域．P33（21）

2、解析函数：掌握可导与连续的关系及求导方法，掌握解析函数的判别法，掌握并能熟练运用柯西—黎曼方程，记住指数函数、三角函数、对数函数、幂函数与反三角函数的定义．

3、复变函数的积分：掌握复积分的计算公式，掌握用原函数求解析函数的积分值，用会闭路变形原理及复合闭路定理计算某些积分，熟练应用柯西积分公式与高阶导数公式计算某些积分．

4、级数：会判断级数的敛散性，会用比值法和根值法求幂级数的收敛半径，掌握常用初等函数的泰勒展开式以及间接展开法，能熟练地把比较简单的函数在不同圆环域内展开成洛朗级数．

5、留数：掌握三类孤立奇点的分类及特征，掌握计算留数的一般方法及留数的应用．

第二部分、典型题型

一．判断题

1、若函数f(z)在z0处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数. ( ) 2、若z0是f(z)的m阶零点, 则z0是

1的m阶极点. ( ) f(z)3、若函数f(z)在z0可导，则f(z)在z0解析. （ ）

4、 若z0是f(z)的可去奇点，则Res[f(z),z0]?0． ( ) 5、每个在z0连续的函数一定可以在z0的领域内展开成泰勒级数. ( )

6、若函数f(z)是单连通区域D内的每一点均可导，则它在D内不一定有任意阶导数.（ ） 7、若limf(z)存在且有限，则z0是函数的可去奇点. （ ）

z?z08、 若{zn}收敛，则{Re(zn)}与{Im(zn)}都收敛. （ ） 9、若f(z)在z0处满足柯西-黎曼条件, 则f(z)在z0解析. ( ) 10、若函数f(z)在z0解析，则f(z)在z0连续. （ ） 11、 若函数f(z)在z0解析，则f(z)在z0的某个邻域内可导. （ ） 12、若函数f(z)在单连通区域D内解析，则对D内任一简单闭曲线C都有二、填空题 1、设

?Cf(z)dz?0．（ ）

x?1?i(y?3)13i?1?i，则x? ，y? ；设z??，则Re(z)? ，Im(z)?

5?3ii1?i1

2、设f(0)?1，f'(0)?1?i，则limz?0f(z)?1? ；设f(z)?x2?iy2，则f'(1?i)? z3、已知f(z)?y3?3x2y?i(x3?axy2)在复平面内处处解析，则实常数a?

4、设函数f(z)?x2?2xy?y2?i(y2?axy?x2)在复平面内处处解析，则实常数a? 5、设函数f(z)?x2?axy?y2?i(bx2?2xy?y2)在复平面内处处解析，则实常数a? b? 6、已知函数f(z)?(bx2?y2?x)?i(axy?y)在复平面内处处解析，则实常数a?b? 7、若Re(z?2)??1，则点z的轨迹为 ；在复平面上方程|z-1|+|z+1|=4表示 8、若|z?i|?|z?i|，则点z的轨迹为

9、方程

2z?1?i?1所表示曲线的直角坐标方程为

2?(1?i)zz10、函数e的周期为 ；幂级数

nn(1?i)z的收敛半径R? ?n?0?11、幂级数

?(cosin)zn?0??n的收敛半径为R?

12、若幂级数

?cnzn在z?n?04i1?3i处收敛，那么该级数在z?处的敛散性为

5213、若幂级数

?cznn?0?n在z?1?2i处收敛，则该级数在z?2处的敛散性为

sinz?zez?1ez,0]? ；Res[2,1]? ,0]? ；7、Res[14、Res[z3zz?1sinz1,?]? ； 15、Res[5,0]? ；Res[zz(z?2)16、

ez?|z|?1sinzdz? 1sinz1dz?f(z)? ；设，则f(z)的孤立奇点有 22?z?12?izz(z?1)111?e2zz?0?17、z?0是函数f(z)?的 ；是函数的 4ze?1zz1ezz?0是函数zsin的 ；z?0是函数的 （说出奇点类型，如果是

zz(1?cosz)5极点，则要说明级数）

2

18、若z0是f(z)的极点，则limf(z)? z?z019、若z0是f(z)的m级零点且m>1，则z0是f'(z)的 级零点 20、已知z?0是f(z)?z(e?1)的m级零点，则m?

3321、设z?0为函数f(z)=z?sinz的m零点，则m? z2f'(z)22、设z?a是f(z)的m级极点，则Res[,a]? f(z)

三、计算题

11?e2zez,?] ,0] ；（1）Res[zsin,0]；（2）Res[（3）Res[2zz?1z42（4）求函数v(x,y)使得f(z)?x2?y2?iv(x,y)在复平面上解析

四、求下列函数的奇点，并确定其类型：（注；不考虑无穷远点的情况）

sinz?z1ez?11sin2zz7（1）2z ；（2）；（3） ；（4）；（5）；（6）； 332zzsinzzz(e?1)(z?1)(z?2)(z?1)ezsinz1（7）；（8） 232z(z?1)五、（1）将函数f(z)?1在点z?1及z?3处展开成洛朗级数

(z?1)(z?3)（2）将函数f(z)?1在点z?0及z?1处展开成洛朗级数

z(1?z)1在点z?1及z?2处展开成洛朗级数并求Res[f(z),?]及Res[f(z),1]

(z?1)(z?2)（3）将函数f(z)?2zz315z?2edz；ezdz；六、设C为正向圆周：|z|?2，计算积分：（1）?（2）?（3）?dz

cz(z?1)2c1?zc(z?1)2zzezezcos?z|z|?2，dz；七、设C为正向圆周：计算积分：（1）?4dz；（2）?2dz；（3）?5dz；（4）?cz?1cz?1czc(z?1)51ezez2z2?z?1dz ；（5）?（6）?2（7）?（8）?dz；dz；dz

Cz(z?1)(z?4)Cz(z?1)2c(z?1)2C(z?1)2八、计算积分

dzsinz3z2?2ezdz；（1）?（2）?；（3）?（4）?3dz；dz

|z?1|?11?z4z?1z(1?ez)|z|?4(z?1)(z2?9)|z|?(z?1)(z?3)22

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