2014年高三复习数学(理)2选修4-5 1讲 不等式选讲

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不等式选讲

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绝对值不等式

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不同寻常的一本书，不可不读哟！

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1.理解绝对值的几何意义，并能利用含绝对值不等式的几 何意义证明以下不等式： ①|a+b|≤|a|+|b|;

②|a-b|≤|a-c|+|c-b|.2. 会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式： |ax+b|≤c;|ax+b|≥c; |x-a|+|x-b|≥c.

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1个重要公式 |a±b|≤|a|+|b|,从左到右是一个放大过程，从右到左是缩 小过程，证明不等式可以直接用，也可利用它消去变量求最值. 绝对值不等式是证明与绝对值有关的不等式的重要工具，但有 时还需要通过适当的变形使其符合绝对值不等式的条件.

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2点必须注意 1. 含有多个绝对值符号的不等式，一般可用零点分段法求 解，对于形如|x-a|+|x-b|>m或|x-a|+|x-b|<m(m为正常数),

利用实数绝对值的几何意义求解较简便.2. 含绝对值不等式的证明，可考虑去掉绝对值符号，也可 利用重要不等式|a+b|≤|a|+|b|及推广形式|a1+a2+…+an|≤|a1|+ |a2|+…+|an|进行放缩.

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3种必会方法 1. 分离参数法：运用“f(x)≤a f(x)max≤a, f(x)≥a f(x)min≥a”可解决恒成立中的参数范围问题.

2. 更换主元法：不少含参不等式恒成立问题，若直接从主元入手非常困难或不可能解决问题时，可转换思维角度，将主 元与参数互换，常可得到简捷的解法. 3. 数形结合法：在研究曲线交点的恒成立问题时，若能数 形结合，揭示问题所蕴含的几何背景，发挥形象思维与抽象思

维各自的优势，可直观解决问题.选修4-5 第1讲第7页

课前自主导学

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1. 绝对值不等式的解法 (1)形如|ax+b|≥|cx+d|的不等式，可以利用两边平方的形 式转化为二次不等式求解.

(2)形如|ax+b|≤c(c>0)和|ax+b|≥c(c>0)型不等式①绝对值不等式|x|>a与|x|<a的解集 不等式 |x|<a |x|>a a>0 __________ __________ a=0 {x|x≠0} a<0 R

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②|ax+b|≤c(c>0)和|ax+b|≥c(c>0)型不等式的解法|ax+ b|≤c ________(c>0),|ax+b|≥c __________(c>0).

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解含绝对值不等式或含绝对值方程的关键是什么？

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(1)不等式|2x+1|≤3的解集是________. |x+1| (2)不等式 ≥1的解集是________. |x+2|

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2.绝对值不等式的应用 (1)定理：如果a,b是实数，那么|a+b|≤|a|+|b|,当且仅当 ________时，等号成立.

(2)如果a,b,c是实数，那么|a-c|≤|a-b|+|b-c|.当且仅当(a-b)(b-c)≥0时，等号成立. (3)由绝对值不等

式定理还可以推得以下几个不等式 ①|a1+a2+ +an|≤|a1|+|a2|+ +|an|. ②||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|.

③||a|-|b||≤|a-b|≤|a|+|b|.选修4-5 第1讲第13页

如何求两个或两个以上绝对值和的函数最小值或两绝对值 差的函数最大值？

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(1)函数y=|x-1|+|x-2|的最小值为________. (2)函数y=|x|-|x-3|的最大值为________.

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1.

{x|-a<x<a} {x|x>a或x<-a} -c≤ax+b≤c ax+

b≥c或ax+b≤-c 想一想：提示：关键是根据绝对值的意义或性质去掉绝对 值. 3 填一填：(1){x|-2≤x≤1} (2){x|x≤- ,且x≠-2} 2

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2.ab≥0

想一想：提示：关键是根据含绝对值不等式定理或性质转化，消去自变量x. 填一填：(1)1 (2)3

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核心要点研究

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例1

[2012·湖南高考]不等式|2x+1|-2|x-1|>0的解集为

________.

[审题视点]

应用零点分段法，不等式分情况讨论去掉绝

对值符号；也可移项两边平方解不等式.

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