通信原理课后习题 - 图文

模块01 数字通信概论

1-1 已知二进制信源(0,1),若1符号出现的概率为解：由题意知0出现的概率为 I(0)??log23?0.415bit 41,求出现0符号的信息量。 43，0符号出现携带的信息量为： 4

1-2 某4ASK系统的四个振幅值分别为0,1,2,3，这四个振幅是相互独立的。

1111（1） 振幅0,1,2,3出现的概率分别为,,,，求每个振幅的信息量和各

2488种振幅信息的平均信息量。

（2） 设每个振幅的持续时间（码元宽度）为2?s，求此系统的信息速率。 解：（1）每个振幅的信息量如下：

1I(0)??log2?1bit21I(1)??log2?2bit4

1I(2)??log2?3bit81I(3)??log2?3bit8 各种振幅的平均信息量为：

111111 H??log2?log2?log2?0.5?0.5?0.75?1.75bit/symbol

2244481?1.75?875kb/s （2）Rb?RB?H??62?10

1-3 某4PSK数字通信系统用正弦波的四个相位0，?2,?,3?2来传输信息，设这四个相位是相互独立的。

（1） 若每秒钟内0，?2,?,3?2出现的次数分别为500,125,125,250，求此

数字通信系统的码元速率和信息速率。

（2） 若每秒钟内这四个相位出现的次数均为250，求此数字通信系统的码

元速率和信息速率。

解：（1）RB?500?125?125?250?1000B

500500125125125125250250H??log?log2?log2?log210002100010001000100010001000100011111111131??log2?log2?log2?log2????1.75bit/symbol22888844242Rb?RB?H?1000?1.75?1.75kb/s

（2）

RB?250?4?1000B11H?4(?log2)?2bit/symbol

44Rb?RB?H?1000?2?2kb/s

1-4 某4PSK数字通信系统，码t元速率为1000B，连续工作1小时后，接收端收到的错码为10个，试求此系统的误码率。 解：连续工作1小时后，系统的误码率为：

P?10e1000?3600?2.78?10?6

1-5 某系统经长期测定，它的误码率Pe?10?5，系统码元速率为1200B，问在多

少时间内可能收到360个错误码元。

解：t?36010?5?1200?3?104秒?8.3小时

模块02 信号

2-1 试求下列概率密度函数的数字期望和方差：

? （1）f(x)??1?2a,?a?x?a

??0,其他?2 （2）f(x)??1??2ae?xax?0

?0,其他解：（1）E(X)??axf(x)dx??ax1?a?a2adx?14a[x2]a?a?0

E(X)??a2a21?axf(x)dx???ax2adx?16a[x3]aa22?a?3 D(X)?E(X)?E(X)?a2 223

（2）

E(X)???????x2x2adx???1?x2a10xf(x)dx??0x12ae??10?4de[e?a4]?0?4x2

E(X2)????0x212ae?adx?12a?2!a?a1!(2)3?8（根据积分公式：?x2ne?x2/a2dx??2n!a2n?1n!(2)）

D(X)?E(X2)?E2(X)??a12?a?18?16?16

2-2 已知X(t)和Y(t)是统计独立的平稳随机过程，且它们的自相关函数及功率谱密度函数分别为RX(?),RY(?),PX(?),PY(?),试求Z(t)?X(t)Y(t)的自相关函数和功率谱密度。

解：RZ(?)?E[Z(t)Z(t??)]?E[X(t)Y(t)X(t??)Y(t??)]?RX(?)?RY(?)

1[PX(?)?PY(?)] PZ(?)?2?

2-3 设Z(t)?Xcos?Ct?Ycos?Ct是一随机过程，若X和Y彼此统计独立，且均值都为0，方差均为?2的高斯随机变量，试求： （1）Z(t)的均值和方差。

（2）Z(t)的一维概率密度函数。 （3）Z(t)的自相关函数。 解：（1）

E[Z(t)]?E[Xcos?ct?Ycos?ct]?E[X]cos?ct?E[Y]cos?ct?0222D[Z(t)]?D[Xcos?ct?Ycos?ct]?cos?ct[D[X]?D[Y]]?2cos?ct?（2）Z(t)为两高斯随机过程的线性组合，也为一高斯过程，概率密度如下： f(z)?12?cos(?ct)??z24cos2(?ct)?2

e

（3）

R[Z(t1,t2)]?E[(Xcos?ct1?Ycos?ct1)(Xcos?ct2?Ycos?ct2)]??E[X2cos?ct1cos?ct2?2XYcos?ct1cos?ct2?Y2cos?ct1cos?ct2] ?2?2cos(?ct1)cos(?ct2)

2-4 当均值为0，双边功率谱密度为n02的白噪声通过如图所示的RC低通滤波器时，试求输出噪声的功率谱密度和自相关函数。

输入 R C 输出

解：因为理想低通滤波器的传输特性可以表示成：

?j?t??ked,f?fHH(f)??

??0,其它处

所以有:

H(f)?k2,f?fH

2

输出信号的功率谱密度为:

PY(f)?H(f)PX(f)?k22n0,f?fH 2

输出信号的自相关函数:

RY(?)??PY(f)ej??df?(k2n0/4?)????fH?fHej??df?k2n0fH(sin2?fH?/2?fH?)

模块03 信道

3-1 简述窄带高斯白噪声中的“窄带”、“高斯”和“白”的含义。 答：“窄带”是系统的频带比起中心频率小得多；“高斯”是指噪声的概率密度函数服从正态分布；“白”是指噪声的功率谱密度函数是常数。

3-2 信道中常见的起伏噪声有哪些？其统计特性如何？

答：起伏噪声是一种持续波随机噪声，例如热噪声、散弹噪声和宇宙噪声等。起伏噪声（特别是热噪声）具有很宽的带宽，且始终存在，它是影响通信系统性能的主要因素。

3-3 已知有线电话信道的带宽为4KHz。

（1）试求信道输出信噪比为20dB时的信道容量。

（2）若在该信道中传送33.6kb/s的数据，试求接收端要求的最小信噪比。

S解：（1）由题意知?20dB?100,由信道容量的公式有：

NS C?Blog2(1?)?4000log2(1?100)?2.663?104?26.63kb/s

N （2）最小信噪比应为：

33.6S ?24?1?336.794

N3-4 假设彩色电视图像由5?105个像素组成，每个像素有64种颜色，每种颜色有16个灰度级，若所有颜色和灰度级的组合机会均等，且统计独立。 （1）试求每秒传送25个画面所需的信道容量。

（2）如果接收端信噪比为30dB,试求传送彩色图像所需的信道带宽。 解：（1）每个像素的信息量为：

1?10bit IP??log264?16 每秒25个画面所含的信息量为：25?5?105?10?125Mb/s 此时信道容量至少为：C?125Mb/s

S（2）由信道容量公式：C?Blog2(1?)有：

NC125??12.54MHz B?Slog21001log2(1?)N

模块05 模拟信号的数字化传输

5-1 一个信号s(t)?2cos400?t?6cos40?t，用fs?500Hz的抽样频率对它进行理想抽样，若抽样后的信号经过一个截止频率为400Hz的理想低通滤波器，输出端会有哪些频率成分？

解：原始信号含有两个频率成分f1?20Hz,f2?200Hz，抽样信号的频谱是连续信号的周期延拓，周期为500Hz，经过理想低通滤波器后，存在的频率成分有：20Hz,200Hz,300Hz.

5-2 语音信号的带宽在300~3400Hz之间，假设采用fs?8000Hz对其抽样，若输出端所需的峰值信号功率与平均量化噪声功率的比值为30dB，试问均匀量化最小需要多少个电平？每个样值最少需要几个比特？

解：设最小需要L个量化电平，每个样值最少需要N比特，则有：

Sq?20lgLNq 即：30?20lgL

L?322N?L又由

L?32,N?5

5-3 已知模拟信号抽样值的概率密度函数f(x)如下图所示。 （1）若按8电平进行均匀量化，试确定量化间隔和量化电平。 （2）若按4电平进行均匀量化，试计算信号与量化噪声功率比。

f(x) 1 -1 0 1 x

解：（1）按8电平进行均匀量化，量化间隔为??0.25，量化电平为

{-0.875，-0.625，-0.375，-0.125,0.125,0.375,0.625,0.875}。

（2）按4电平进行均匀量化，信号功率Sq、噪声功率Nq如下： Sq??xf(x)dx??x(x?1)dx??x2(1?x)dx??1?10120211?0.1667 6

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