大学物理学习题与答案

习题九

一、选择题

9.1 关于高斯定理的理解有下面几种说法，其中正确的是：

? (A) 如果高斯面上E处处为零，则该面内必无电荷．

? (B) 如果高斯面内无电荷，则高斯面上E处处为零．

? (C) 如果高斯面上E处处不为零，则高斯面内必有电荷．

(D) 如果高斯面内有净电荷，则通过高斯面的电场强度通量必不为零．

［A(本章中不涉及导体)、 D ］ 9.2有一边长为a的正方形平面，在其中垂线上距中心O点a/2处，有一电荷为q的正点电荷，如图所示，则通过该平面的电场强度通量为

(A)

qqqq． (B) (C) ． (D) 3?04??03??06?0 ［D］

a a O a/2 题图9.1 q

9.3面积为S的空气平行板电容器，极板上分别带电量?q，若不考虑边缘效应，则两极板间的相互作用力为

q2q2q2q2(A) (B) (C) (D) 222?0S?0S2?0S?0S[B ]

9.4 如题图9.2所示，直线MN长为2l，弧OCD是以N点为中心，l为半径的半圆弧，N点有正电荷?q，M点有负电荷?q．今将一试验电荷?q0从O点出发沿路径OCDP移到无穷远处，设无穷远处电势为零，则电场力作功

(A) A＜0 , 且为有限常量． (B) A＞0 , 且为有限常量．

(C) A＝∞． (D) A＝0． ［D，VO?0］

C -q M O +q N 题图9.2 D P

9.5静电场中某点电势的数值等于 (A)试验电荷q0置于该点时具有的电势能．

(B)单位试验电荷置于该点时具有的电势能． (C)单位正电荷置于该点时具有的电势能．

(D)把单位正电荷从该点移到电势零点外力所作的功． ［C］

-q M 题图9.3 N

9.6已知某电场的电场线分布情况如题图9.3所示．现观察到一负电荷从M点移到N点．有人根据这个图作出下列几点结论，其中哪点是正确的？

(A) 电场强度EM?EN． (B) 电势UM?UN．

(C) 电势能WM?WN． (D) 电场力的功A＞0．

［C］ 二、计算题

9.7 电荷为?q和?2q的两个点电荷分别置于x?1m和x??1m处．一试验电荷置于x轴上何处，它受到的合力等于零？ x ?2q ?q q0

解：设试验电荷q0置于x处所受合力为零，根据电力叠加原理可得

q(?2q)??(?2q)?q0i??0?i??0 22224??0?x?1?4??0?x?1?4??0?x?1?4??0?x?1?即：

q?q01?x?1?2?(?2)?x?1?2?0??x?1??2?x?1??0

22?x2?2x?1??2?x2?2x?1??0

x2?6x?1?0?x?(3?22)m。

因x?3?2点处于q、－2q两点电荷之间，该处场强不可能为零．故舍去．得

x?3?22m

9.8 一个细玻璃棒被弯成半径为R的半圆形，沿其上半部分均匀分布有电荷?Q，沿其下半部分均匀分布有电荷?Q，如题图9.4所示．试求圆心O处的电场强度．

+Q ??y dq y R O －Q 题图9.4 x d????x R O ??

处取微小电荷dq??dl?2Qd?/?，它在O处

解：把所有电荷都当作正电荷处理. 在?产生场强

dE?按?dqQ?d?

4??0R22?2?0R2Q2?2?0R2sin?d?

角变化，将dE分解成二个分量：

dEx?dEsin??

dEy??dEcos???Q2?2?0R2cos?d?

对各分量分别积分，积分时考虑到一半是负电荷

???/2?Ex?2?sin?d???sin?d???0

2??0R2??0?/2??/2???Q?Q Ey?2cos?d??cos?d????2??22?2??0R?0??0R?/2?Q所以

??? E?Exi?Eyj??Q?j。

?2?0R2 9.9 如图9.5所示，一电荷线密度为?的无限长带电直导线垂直纸面通过A点；附近有一电量为Q的均匀带电球体，其球心位于O点。?AOP是边长为a的等边三角形。已知P处场强方向垂直于OP，求:?和Q间的关系。

解：如图建立坐标系。根据题意可知

?Ex?0??Q4??0a2??cos600?0 2??0aQ???0?Q???a。 a9.10 如题图9.6所示，一电荷面密度为?的“无限大”平面，在距离平面a处的一点的场强大小的一半是由平面上的一个半径为R的圆面积范围内的电荷所产生的．试求该圆半径的

大小．

O r dr

解：电荷面密度为?的无限大均匀带电平面在任意点的场强大小为 ：E??/2?0。以图中O点为圆心，取半径为r?r?dr的环形面积，其电量为dq??2?rdr。它在距离平面为a的一点处产生的场强

dER???ardr2?0?a?r223/2?

则半径为R的圆面积内的电荷在该点的场强为

?aER?2?0R?rdr3/2220?a?r?? ?2?0?a?1??a2?R2??? ??由题意，ER?E/2??/4?0，得到

??a1??2?0?a2?R2???a??1???4?a2?R20???1a1， ????2222a?R?2a?a2?R2?4a2?a2?R2?R?3a。

9.11 如题图9.7所示，一均匀带电直导线长为d，电荷线密度为??。过导线中点O作一半径为R[R?d2]的球面S，P为带电直导线的延长线与球面S的交点。求： （1）、通过该球面的电场强度通量?E。 （2）、P处电场强度的大小和方向。

解：（1）利用静电场的高斯定理即可得：?E?qint?0??d。 ?0

（2）如图建立一维坐标系，坐标原点与圆心重合。在带电导线上坐标为x处取长度为dx的带电元，其所带电荷量为dq??dx，dq在P点产生的电场强度为

dE?dq?dx??? ii224??0(R?x)4??0(R?x)P点的电场强度为

E??d2?d2?dE?i???i???d24??(R?x)24??00d2?dx?d(R?x)?i??d2(R?x)2??4??0d2?R?d2R?d2dy 2yR?d2?1??i??11?????R?d2R?d2? ?y?4????R?d2?0???1??(4R?2d)?(4R?2d)??i1??i?d? ????i??22????0?4R?2d4R?2d???0?(4R?2d)(4R?2d)???0(4R?d)?i???4??0

Ey?0, Ex?bx，9.12 题图9.8中，虚线所示为一立方形的高斯面，已知空间的场强分布为：

Ez?0。高斯面边长a＝0.1 m，常量b＝1000 N/(C·m)．试求该闭合面中包含的净电荷．(真

空介电常数?0＝8.85×10-12 C2·N-1·m-2 )

解：设闭合面内包含净电荷为Q．因场强只有x分量不为零，故只是二个垂直于x轴的平面上电场强度通量不为零．由高斯定理得：

?E1S1?E2S2?则

Q?0,(S1?S2?S)

Q??0S(E2?E1)??0Sb(x2?x1)??0a2b(2a?a)??0a3b?8.85?10?12C

9.13 体图9.9所示，有一带电球壳，内、外半径分别为a、b，电荷体密度为??Ar，在

?球心处有一点电荷Q。证明：当A?Q(2?a)时，球壳区域内电场强度E的大小与半径r2无关。

证：用高斯定理求球壳内场强： 而

?SE?dS?E?4?r2?Q???dV/?0,

V??rA222?4?rdr?4?Ardr?2?Ar?a?? ?v?0ar2?A?r2?a2?QQAAa2E?????

4??0r24??0r24??0r22?02?0r2?dV??r

?? a Q b r Q a ? 图9.9

b ?要使E的大小与r无关，则应有 ：

QQAa2A?， 即。 ??02?a24??0r22?0r2

9.14 如题图9.10所示，一厚为b的“无限大”带电平板，其电荷体密度分布为??kx (0?x?b)，式中k为一正的常量．求：

(1) 平板外两侧任一点P1和P2处的电场强度大小； (2) 平板内任一点P处的电场强度；

(3) 场强为零的点在何处？

解： (1) 由对称分析知，平板外两侧场强大小处处相等、方向垂直于平面且背离平面．设场强大小为E．作一柱形高斯面垂直于平面．其底面大小为S，如图所示．

按高斯定理

??E?ds?qint?0，即：

2SE?得到：

?0?01b?Sdx?kS?0?b0kSb2 xdx?2?0kb2， (板外两侧) E?4?0(2) 过P点垂直平板作一柱形高斯面，底面为S．设该处场强为E?，如图所示．按高斯定理有：

?E??E?S?kS?0?x0kSx2kx2 xdx??E??E?2?02?0k?2b2??得到： E?? (0?x?b) x????2?0?2?b22?0， 可得 x?b/2。 (3) E??0，必须是x?2

9.15 一球体内均匀分布着电荷体密度为?的正电荷，若保持电荷分布不变，在该球体挖去半径为r的一个小球体，球心为O?，两球心间距离OO??d，如题图9.11所示。 求：

?(1) 在球形空腔内，球心O?处的电场强度E0；

?(2) 在球体内P点处的电场强度E。设O?、O、P三点在同一直径上，且OP?d。

场E1，而另在挖去处放上电荷体密度为??的同样大小的球体，求出电场E2，并令任意点

?解：挖去电荷体密度为?

的小球，以形成球腔时的求电场问题，可在不挖时求出电

?

的场强为此二者的矢量叠加，即：E0?E1?E2。

??? ? P E1P O O? O P E1O’ E2P O? r -? E2O’=0

图(b)

图(a) ? O d O? E1P ? P EP E2P EO’=E1 O’ 图(c)

图(d)

在图(a)中，以O点为球心，d为半径作球面为高斯面S，则可求出O?与P处场强的大小。

??E1?ds?E1?4?d2?14?3?d? ?03得： E1O??E1P?E1??d 3?0方向分别如图所示。

在图(b)中，以O?点为小球体的球心，可知在O?点E2?0. 又以O?为心，2d为半径作球面为高斯面S?可求得P点场强E2P。

??s?E2?ds??E2?4?(2d)?4?r(??)/?3?0?，E2P23(1) 求O?点的场强EO'。由图(a)、(b)可得

??r3? ?12?0d2EO'?E1O'???d， 方向如图(c)所示. 3?0?r3???d?4d2?? 方向如(d)图所示. ??(2)求P点的场强EP.由图(a)、(b)可得

EP?E1P?E2P??3?0

9.16 如题图9.12所示，两个点电荷＋q和－3q，相距为d. 试求：

(1) 在它们的连线上电场强度E?0的点与电荷为＋q的点电荷相距多远？

(2) 若选无穷远处电势为零，两点电荷之间电势U?0的点与电荷为＋q的点电荷相距多远？

?

解：设点电荷q所在处为坐标原点O，x轴沿两点电荷的连线．

? (1) 设E?0的点的坐标为x?，则

???q3qE?i?i?0 24??0x?24??0?x??d?2x?2?2dx??d2?0

解出：

x???121?3d

???另有一解x212???3?1d不符合题意，舍去．

q3qq??4??0x4??0?d?x?4??0? (2) 设坐标x处U?0，则

U?得：

?d?4x??x?d?x???0 ??x?

d 4???（400i?600j)V?m?1，空间有两点a(3,2)和b(1,0)，9.17 一均匀静电场，电场强度E?（x,y以米计）。求a,b两点之间的电势差Uab。

??yj?，则 解：空间某点的位矢表示为r?xi??600????Uab?Va?Vb??E?dr??(400ij)?(idxjdy)

aabb??(400dx?600dy)??400dx??600dy??2000(V)

a32b10

9.18 题图9.13所示，为一沿x轴放置的长度为l的不均匀带电细棒，其电荷线密度为???（，?0为一常量．取无穷远处为电势零点，求坐标原点O处的电势． 0x?a）解：在任意位置x处取长度元dx，其上带有电荷dq??0?x?a?dx。它在O点产生的电势

dU?O点总电势：

?0?x?a?dx

4??0xU??dU?a?ldx??0?0?a?ldx?a???ax?4??0??a?4??0a?l??l?aln ??a??

9.19 题图9.14所示，电荷q均匀分布在长为2l的细杆上。求 （1）、在杆外延长线上与杆端距离为a的P点的电势(设无穷远处为电势零点)。 （2）、杆的中垂线上与杆中心距离为a的P点的电势。(设无穷远处为电势零点)．

解：（1）设坐标原点位于杆中心O点，x轴沿杆的方向，如图所示．

xdxxOa2l

?q/2l，在x处取电荷元dq??dx?qdx/2l，它在P点产生的

P细杆的电荷线密度?电势为

dUP?dqqdx?

4??0?l?a?x?8??0l?l?a?x?整个杆上电荷在P点产生的电势：

UP?lqdxq?ql?2l??ln???lnl?a?x?1?? ?l8??0l??l?l?a?x?8??0l8??0l?a?（2）设坐标原点位于杆中心O点，x轴沿杆的方向，如图所示.

Pa xdxO2ldUP?整个杆上电荷产生的电势：

x

杆的电荷线密度??q/2l．在x处取电荷元dq??dx?qdx/2l，它在P点产生的电势

dq4??0a?xdx22?qdx8??0la?x22

qUP?8??0l?l?l?q?n?8??0l???

??q??nx?a2?x2?a2?x28??0l??a2?l2a2?l2?l???qn???a2?l2?l?8??0l?a2?l2??????????l???????l???????? ??l?la2?l2?l???a2?l2?l?????l?a2?l2?l?a2?l2?qqn??n???4??la8??0l?a?0????2?? ??

9.20 两个带等量异号电荷的均匀带电同心球面，半径分别为R1＝0.03 m和R2＝0.10 m．已知两者的电势差为450 V，求内球面上所带的电荷．

解：设内球上所带电荷为Q，则两球间的电场强度的大小为

E?两球的电势差：

Q (R1＜r＜R2） 24??0r

U12??R2R1QEdr?4??0?R2R1drQ?r24??0?11????RR??

2??1∴ Q?4??0R1R2U12＝2.14×10-9 C

R2?R19.21 电荷以相同的面密度?分布在半径为r1＝10 cm和r2＝20 cm的两个同心球面上．设无限远处电势为零，球心处的电势为U0＝300 V． ［?0＝8.85×10-12 C2 /(N·m2)］ (1) 求电荷面密度?．

(2) 若要使球心处的电势也为零，外球面上应放掉多少电荷？

解：(1) 球心处的电势为两个同心带电球面各自在球心处产生的电势的叠加，即

?q1q2?1?4?r12?4?r22?????r?r???4???r?r????r1?r2?

02??10?12?U???00＝8.85×10-9 C / m2

r1?r2(2) 设外球面上放电后电荷面密度为??，则应有：

1????r1???r2??0 U01U0?4??0?0即 ：

????外球面上应变成带负电，共应放掉电荷：

r1? r2?r1??q??4?r22???????4?r22??1? ??r2???4???r1?r2?r2?4??0U0r2＝6.67×10-9 C

9.22如题图9.15所示，半径为R的均匀带电球面，带有电荷q．沿某一半径方向上有一均匀带电细线，电荷线密度为?，长度为l，细线左端离球心距离为r0．设球和线上的电荷分布不受相互作用影响，试求细线所受球面电荷的电场力和细线在该电场中的电势能(设无穷远处的电势为零)．

解：设x轴沿细线方向，原点在球心处，在x处取线元dx，其上电荷为dq???dx，

O 该线元在带电球面的电场中所受电场力为：

dx R r0 x r0+l x

dF?q?dx 24??0x

整个细线所受电场力为：

q?F?4??0?r0?lr0dxq?l?，方向沿x正方向． x24??0r0?r0?l?

电荷元在球面电荷电场中具有电势能：

dW?整个线电荷在电场中具有电势能：

q?dx 4??0xq?W?4??0?r0?lr0dxq??r0?l?? ?ln??x4??0?r0??

9.23一真空二极管，其主要构件是一个半径R1＝5×10-4 m的圆柱形阴极A和一个套在阴极外的半径R2＝4.5×10-3 m的同轴圆筒形阳极B，如题图9.16所示．阳极电势比阴极高300 V，忽略边缘效应. 求电子刚从阴极射出时所受的电场力．(基本电荷e＝1.6×10-19 C)

解：与阴极同轴作半径为r (R1＜r＜R2 )的单位长度的圆柱形高斯面，设阴极上电荷线密度为?．按高斯定理有：

2?rE?即两极间的电场强度可表示为：

? ?0E??， (R1＜r＜R2)， 2??0rE的方向沿半径指向轴线．两极之间电势差

UA?UB??E?dr??AB?2??0?R2R1R?dr??ln2

2??0R1rU?UA??B 2??0ln?R2/R1?所以，两极间的电场强度为：

E?在阴极表面处电子受电场力的大小为

UB?UA1?

ln?R2/R1?rUB?UA1?＝4.37×10-14 N

ln?R2/R1?R1F?eE?R1??e方向沿半径指向阳极．

9.24 题图9.17为一球形电容器，在外球壳的半径b及内外导体间的电势差?U维持恒定的条件下，内球半径a为多大时才能使内球表面附近的电场强度最小？求这个最小电场强度的大小．

解：设内球壳带电量为q，则根据高斯定理可得出两球壳之间半径为r的同心球面上各点电场强度的大小为

E?内外导体间的电势差：

q4??0r2

?U??E?dr?abq?11???? 4??0?ab?当内外导体间电势差?U为已知时，内球壳上所带电荷即可求出为：

4??ab?U

b?aqb?U?内球表面附近的电场强度大小为：E? 24??aa?b?a?q?欲求内球表面的最小场强，令

dE?0，则 da??dE11?b?U????0

?a?b?a?2a2?b?a??da??得到：

1a?b?a?2?111???b?a?a

a2?b?a?b?aa??d2Eb?0 a? 并有

2da2a?b/2b4?U??U 可知这时有最小电场强度：Emin?a?b?a?b

9.25 题图9.18所示，一半径为R的“无限长”圆柱形带电体，电荷体密度为??Ar(r?R)，式中A为常量．求：

(1) 圆柱体内、外各点场强大小分布；

(2) 选与圆柱轴线的距离为l (l＞R) 处为电势零点，计算圆柱体内、外各点的电势分布．

解：(1) 取半径为r、高为h的高斯圆柱面(如图所示)．面上各点场强大小为E并垂直于柱面．则穿过该柱面的电场强度通量为：

??E?ds?2?rhE

s为求高斯面内的电荷，r?R时，取一半径为r?，厚dr?、高h的圆筒，其电荷为：

?dV?2?Ahr?2dr?

则包围在高斯面内的总电荷为

r?由高斯定理得： 解出：

V?dV??2?Ahr?2dr??2?Ahr3/3

02?rhE?2?Ahr3/?3?0?

E?Ar2/?3?0? (r?R)

r?R时，包围在高斯面内总电荷为：

R?由高斯定理： 解出：

V?dV??2?Ahr?2dr??2?AhR3/3

02?rhE?2?AhR3/?3?0?

E?AR3/?3?0r? (r?R)

(2) 计算电势分布 当r?R时：

U??Edr??rlRr3lARA2drrdr???

R3?3?0r0AAR3l33 ?R?r?ln

9?03?0R当r?R时：

3llARdrAR3lU??Edr????ln

rr3?r3?r00??9.26已知某静电场的电势函数U??x?y?nx (SI)．求点(4，3，0)处的电场强度各分量值．

解：由场强与电势梯度的关系式得

22Ex??

?U?U?U?0；Ez???0 =-1000 V/m；Ey???y?x?z?9.27 如题图9.19所示，在电矩为pe的电偶极子的电场中，将一电荷为q的点电荷从A点沿半径为R的圆弧（圆心与电偶极子中心重合，R??电偶极子正负电荷之间距离）移到B点，

求此过程中电场力所作的功。

解：用电势叠加原理可导出电偶极子在空间任意点的电势

V?式中r为从电偶极子中心到场点的矢径．于是知A、B两点电势分别为 VA???p?r 34??0rpp4??0R2； VB?4??0R2 p?p

???q从A移到B电场力作功(与路径无关)为

A?q?VA?VB???

qp

2??0R2习题十

一、 选择题

10.1当一个带电导体达到静电平衡时： (A) 表面上电荷密度较大处电势较高 (B) 表面曲率较大处电势较高．

(C) 导体内部的电势比导体表面的电势高．

(D) 导体内任一点与其表面上任一点的电势差等于零． ［D］

10.2在一个孤立的导体球壳内，若在偏离球中心处放一个点电荷，则在球壳内、外表面上将

出现感应电荷，其分布将是：

(A) 内表面均匀，外表面也均匀． (B) 内表面不均匀，外表面均匀． (C) 内表面均匀，外表面不均匀．

(D) 内表面不均匀，外表面也不均匀． ［B］

10.3在一不带电荷的导体球壳的球心处放一点电荷，并测量球壳内外的场强分布．如果将此

点电荷从球心移到球壳内其它位置，重新测量球壳内外的场强分布，则将发现： (A) 球壳内、外场强分布均无变化． (B) 球壳内场强分布改变，球壳外不变． (C) 球壳外场强分布改变，球壳内不变．

(D) 球壳内、外场强分布均改变． ［B］

10.4选无穷远处为电势零点，半径为R的导体球带电后，其电势为V0，则球外离球心距离

为r处的电场强度的大小为

R2V0RV0V0V0 (A) ． (B) ． (C) ． (D) ． ［C］

Rrr3r210.5如题图10.1所示，一厚度为d的“无限大”均匀带电导体板，电荷面密度为?，则板的

两侧离板面距离均为h的两点a、b之间的电势差为：

??h2?h(A) 0． (B) ． (C) ． (D) ． ［A］

2?0?0?0

a h h d b R d O +q

10.6 一个未带电的空腔导体球壳，内半径为R．在腔内离球心的距离为d处( d?R)固定一点电荷?q，如题图10.2所示. 用导线把球壳接地后，再把地线撤去．选无穷远处为电势零点，则球心O处的电势为 (A) 0 ． (B)

题图10.1 题图10.2 10.7 关于D的高斯定理，下列说法中哪一个是正确的？

?q?11?qq．(C) ?． (D) ??? ［D］

4??0?dR?4??0d4??0R (A) 高斯面内不包围自由电荷，则面上各点电位移矢量D为零． (B) 高斯面上处处D为零，则面内必不存在自由电荷．

(C) 高斯面的D通量仅与面内自由电荷有关．

(D) 以上说法都不正确． ［C］

???10.8静电场中，关系式 D??0E?P

(A) 只适用于各向同性线性电介质． (B) 只适用于均匀电介质． (C) 适用于线性电介质．

(D) 适用于任何电介质． ［D］

10.9一导体球外充满相对介电常量为?r的均匀电介质，若测得导体表面附近场强为E，则

导体球面上的自由电荷面密度为：

(A)?0E (B)?E (C)?rE (D) (???0)E ［B］

10.10一平行板电容器中充满相对介电常量为?r的各向同性均匀电介质．已知介质表面极化

电荷面密度为???，则极化电荷在电容器中产生的电场强度的大小为：

??????????? (A) ． (B) ． (C) ． (D) ． ［A］

?0?0?r2?0?r10.11一平行板电容器始终与端电压一定的电源相联．当电容器两极板间为真空时，电场强

??度为E0，电位移为D0，而当两极板间充满相对介电常量为?r的各向同性均匀电介质时，

??电场强度为E，电位移为D，则

???????? (A) E?E0/?r，D?D0． (B) E?E0，D??rD0．

????????(C) E?E0/?r，D?D0/?r． (D) E?E0，D?D0． ［B］

10.12如题图10.3所示, 一球形导体，带有电荷q，置于一任意形状的空腔导体中．当用导线将两者连接后，则与未连接前相比系统静电场能量将 (A) 增大． (B) 减小．

(C) 不变． (D) 如何变化无法确定． ［B］

q r a Q q O b 题图10.3 题图10.4

二、计算题

10.13 如题图10.4所示，一内半径为a、外半径为b的金属球壳，带有电荷Q，在球壳空腔内距离球心r处有一点电荷q．设无限远处为电势零点，试求： (1) 球壳内外表面上的电荷．

(2) 球心O点处，由球壳内表面上电荷产生的电势．

(3) 球心O点处的总电势．

解：(1) 由静电感应，金属球壳的内表面上有感生电荷?q，外表面上带电荷Q?q． (2) 不论球壳内表面上的感生电荷是如何分布的，因为任一电荷元离O点的距离都是a，所以由这些电荷在O点产生的电势为

U?q??dq4??0a??q

4??0a (3) 球心O点处的总电势为分布在球壳内外表面上的电荷和点电荷q在O点产生的电势的代数和

UO?Uq?U?q?UQ?q

?q?111?qqQ?qQ?? ? ?????4??0?rab?4??0b4??0r4??0a4??0b

10.14 有一\无限大\的接地导体板，在距离板面b处有一电荷为q的点电荷．如题图10.5(a)所示，试求：

(1) 导体板面上各点的感生电荷面密度分布(参考题图10.5(b))； (2) 面上感生电荷的总电荷(参考题图10.5(c))。

解：(1) 选点电荷所在点到平面的垂足O为原点，取平面上任意点P，P点距离原点为r，设P点的感生电荷面密度为?．在P点左边邻近处(导体内)场强为零，其法向分量也是零，按场强叠加原理，

EP??qcos????0

4??0?r2?b2?2?0

???qcos?qbqb?????

223/22??r2?b2?2??r2?b2?r2?b22??r?b?

(2) 以O点为圆心，r为半径，dr为宽度取一小圆环面，其上电荷为 dQ??dS??2?rdr??总电荷为

Q?qbrdr2??r?b223/2?

??dS??qb?S?rdr0?r2?b23/2???12qb???d?r2?b2?0?r2?b23/2?

??12qb?2b??(?2)?dy1??2qb????q 3/2y?y??b2?

10.15 如题图10.6所示，中性金属球A，半径为R，它离地球很远．在与球心O相距分别为a与b的B、C两点，分别放上电荷为qA和qB的点电荷，达到静电平衡后，问： (1) 金属球A内及其表面有电荷分布吗？

(2) 金属球A中的P点处电势为多大？(选无穷远处为电势零点)

A R P O a B qA b 题图10.6 C qB

解：(1) 静电平衡后，金属球A内无电荷，其表面有正、负电荷分布，净带电荷为零． (2) 金属球为等势体，设金属球表面电荷面密度为?． UP?UO???SA??dS/4??0R??qA/a?qB/b?/?4??0?

∵

????dS?0

SA∴ UP??qA/a?q/??40? B/?b?

?6?610.16 三个电容器如题图10.7联接，其中C1?10?10F，C2?5?10F，

C3?4?10?6F，当A、B间电压U?100V时，试求：

(1) A、B之间的电容；

(2) 当C3被击穿时，在电容C1上的电荷和电压各变为多少？

A U B 题图10.7 C1 C2 C3 解：(1) C?(C1?C2)C3?3.16?10?6F

C1?C2?C3

(2) C1上电压升到U?100V，电荷增加到Q1?C1U?1?10C

10.17 一个可变电容器，由于某种原因所有动片相对定片都产生了一个相对位移，使得两个相邻的极板间隔之比为1:2，问电容器的电容与原来的电容相比改变了多少？

?3

解：如图，设可变电容器的静片数为n，定片数为n?1，标准情况下，极板间的距离为d[图a]，极板相对面积为S。则该电容器组为2(n?1)个相同的平行板电容器并联[图a]。总电容为C?2(n?1)?0S。 dC??(n?1)?0SS?(n?1)?0 ab当动片由于某种原因发生相对位移而使相邻的极板间隔变为a:b?1:2后，总电容为：

?(n?1)?0S所以电容增加了：

a?b2dS9?(n?1)?0S24?(n?1)?0? abd43d?3d?C?C??C?1S(n?1)?0 4d

10.18 一平行板空气电容器充电后，极板上的自由电荷面密度?0＝1.77×10-6 C/m2．将极板与电源断开，并平行于极板插入一块相对介电常量为?r?8 的各向同性均匀电介质板．计算电介质中的电位移D、场强E和电极化强度P的大小。(真空介电常量?0＝8.85×10-12 C2 / N·m2)

?解：由D的高斯定理求得电位移的大小为

???D??0?1.77?10?6C/m2 ?由D??0?rE的关系式得到场强E的大小为

DE?＝2.5×104 V/m

?0?r介质中的电极化强度的大小为

P??0?eE= ?0(?r?1)E?1.55?10?6C/m2

10.19 如题图10.8所示，一空气平行板电容器，极板面积为S，两极板之间距离为d，其中平行地放有一层厚度为t ((t?d)、相对介电常量为?r的各向同性均匀电介质．略去边缘效应，试求其电容值。

t S d 题图10.8

解：设极板上的自由电荷面密度为?0．应用D的高斯定理可得两极板之间的电位移大小为

D??

由D??0?rE得：空气中的电场强度大小为E0??0?0；电介质中的电场强度的大小为E0??0(?0?r)。

两极板之间的电势差为

U?E0(d?t)?Et ?电容器的电容为

???t???d??1??r?t??d?t??? ?0?0?r?0?r?r?SU?C??rd??1??r?t?0?rS

作法二： 看成二个电容串联， C1??0Sd?t， C2??0?rSt ，则

C??0?rSC1C2?

C1?C2?rd??1??r?t

10.20一平行板电容器，极板间距离为10cm，其间有一半充以相对介电常量?r?10的各向同性均匀电介质，其余部分为空气，如题图10.9所示．当两极间电势差为100 V时，试分别求空气中和介质中的电位移矢量和电场强度矢量。

?? ??解：设空气中和介质中的电位移矢量和电场强度矢量分别为D1、D2和E1、E2，则

U?E1d?E2d (1)

D1??0E1 (2)

D2??0?rE2 (3)

联立解得

U?1000V/m dD1??0E1?8.85?10?9C/m2；D2??0?rE2?8.85?10?8C/m2

E1?E2?方向均相同，由正极板垂直指向负极板．

10.21 一导体球带电荷Q?1.0C，放在相对介电常量为?r?5 的无限大各向同性均匀电介质中．求介质与导体球的分界面上的束缚电荷Q?。

解：导体球处于静电平衡时，其电荷均匀分布在球面上．以r(r?R)为半径作一同心高斯球面S．按D的高斯定理，可求出介质内半径r的同心球面S上各点电位移的大小

?

??SD?ds?Q?4?r2D?Q?D?DRQ4??0?rR2Q,(r?R) 4?r2介质与导体球的分界面上各点的电场强度大小为

ER?电极化强度的大小为

?0?r?

?1PR??0(?r?1)ER??1???r极化电荷面密度为

?Q ?24?R???1?Q ?2?r?4?R???PR??en?PR?(??e)P??r??R??1?12??Q?4?R????1???r分界面上的束缚电荷为

??Q??0.8C ?

10.22 半径为R的介质球，相对介电常量为?r、其自由电体荷密度???0(1?rR)，式中?0为常量，r是球心到球内某点的距离．试求：

(1) 介质球内的电位移和场强分布．(2) 在半径r多大处场强最大？

解：(1) 在介质中，取半径为r??r??dr?的同心薄壳层，其中包含电荷

dq??dV??0?1?r?/R?4?r?2dr??4??0?r?2?r?3/R?dr?

?取半径为r的同心球形高斯面，应用D的高斯定理，

r??r3r4??rr2?r?3?22?4?rD?4??0??r???dr??4??0?????D??0?3?4R? 0R34R??????则介质内半径为r的球面上各点的电位移为：

?rr2??r为径向单位矢量） ?r??0???r，D?De（e?e34R??介质内半径为r的球面上各点的电场为

?E?D/??0?r??0?0?r(2) 对E(r)求极值

?rr2??r， ???e?34R??dE?0dr?0?r?1r?????0 32R??d2E22?0r?R处E最大。 得r?R，且因，所以2dr33

10.23 如题图10.10，一各向同性均匀电介质球，半径为R，其相对介电常量为?r，球内均匀分布有自由电荷，其体密度为?0．求球内的束缚电荷体密度??和球表面上的束缚电荷面密度??。

R r O r+dr 题图10.10 ??V 解：∵介质是球对称的，且?0均匀分布，∴??，?? 也必为球对称分布．因而电场必为球对称分布．用D的高斯定理，可求得半径为r(r?R)的同心球面上

?????0r??0???D；E?D??r；P??0?eE?e0r

3?r3?0?r3?0?r在介质内，取半径r?r?dr间的球壳为体元，则可求出介质内极化电荷体密度

P?ds??Pr?dr?4?(r?dr)2?Pr?4?r2q?S ???????2?V?V4?rdr?e?0???4?(r?dr)3?e0?4?r33?r3?r ??

4?r2dr

?e?0???4?[r3?3r2dr?3r(dr)2?(dr)3]?e0?4?r33?r3?r?? 24?rdr略去dr的高次项，则

??????e?01???1??r??r???0 ， (??与?0异号) ?介质表面极化电荷面密度：

?n?PR????PR?e

??e?01??R??1??0R, （??与?0同号）． 3?r?3?r?

10.24 如题图10.11所示，一平行板电容器，极板面积为S，两极板之间距离为d，中间充满介电常量按???0(1?x/d)规律变化的电介质。在忽略边缘效应的情况下，试计算该电容器的电容。

S ??O d 题图10.11 x

解：设两极板上分别带自由电荷面密度??0，则介质中的电场强度分布为

E??0?0?0d?? ??0(1?x/d)?0?d?x?

?0dddx?0d?ln2 两极板之间的电势差为 U??Edx?0?0?0d?x?0?S?S该电容器的电容值为 C?0?0

Udln2d

10.25 如题图10.12所示，一电容器由两个同轴圆筒组成，内筒半径为a，外筒半径为b，筒长都是L，中间充满相对介电常量为?r的各向同性均匀电介质。内、外筒分别带有等量异号电荷?Q和?Q．设(b?a)??a，L??b，可以忽略边缘效应，求：

(1) 圆柱形电容器的电容； (2) 电容器贮存的能量．

b a L

解：（1）、由题给条件 (b?a)??a和L??b，忽略边缘效应，应用高斯定理可求出两筒之间的场强为

E?(Q/L)/(2??0?rr)?Q/(2??0?rLr) 两筒间的电势差 U?题图10.12 Qbdrln ??2???La2???Lr0r0rabQ电容器的电容 C?Q/U?(2??0?rL)/[ln(b/a)] （2）、电容器贮存的能量 W?1CU2?[Q2/(4??0?rL)]ln(b/a)。 2

?1010.26两个相同的空气电容器，其电容都是C0?9?10F，都充电到电压各为U0?900V 后断开电源，然后把其中之一浸入煤油 (?r?2)中，然后把两个电容器并联，求

(1)、浸入煤油过程中损失的静电能；（2）、并联过程中损失的静电能。 解：（1）电容器浸入煤油前的能量为

11W1?CU2??0.9?10?9?9002?3.65?10?4J

22浸入煤油后，电容器的能量

3.65?10?4W1???J?1.82?10?4J

?r2W1?4在此过程中损失的能量为 W1?W1??1.83?10J。

（2）、并联前，两个电容器的总能量为

W2?W1?W1??3.65?10?4?1.82?10?4?5.47?10?4J

并联后的总电容C??C??rC?(1??r)C。并联电容器上的总电量q?2CU 并联后电容器的总能量为

222q(2CU)2CU44W2?????W1?W1?4.86?10?4J

2C?2(1??r)C1??r1??r3?4?4?4并联过程中损失的能量为 W2?W2??5.47?10?4.86?10?0.61?10J。

10.27电容C1?4?F的电容器在800V的电势差下充电，然后切断电源，并将此电容器的两个极板与原来不带电、C2?6?F的电容器的两极板相连，求： （1）、每个电容器极板所带的电荷量； （2）、连接前后的静电能。 解：1）、电容器的总电荷量为：

q?C1U?4?10?6?800C?3.2?10?3C

设两个电容器极板所带的电荷量分别为q1和q2，则由 q1?q2?q，

q1q2??U? C1C2得： q1?C1q?1.28?10?3C，q2?q?q1?1.92?10?3C

C1?C22） 、连接前的静电场能就是连接前第一个电容器的能量，即：

W1?11C1U2??4?10?6?8002?1.28J 22连接后的静电场能即并联后电容器的能量，即：

q2(3.2?10?3)2W2???0.512J ?6?62(C1?C2)2?(4?10?6?10)

10.28 一平行板电容器的极板面积为S = 1 m2，两极板夹着一块d = 5 mm厚的同样面积的玻璃板．已知玻璃的相对介电常量为?r?5。电容器充电到电压U = 12 V以后切断电源。求把玻璃板从电容器中抽出来外力需做多少功。(真空介电常量10-12 C2·N-1·m-2 ) 0 = 8.85×

解：玻璃板抽出前后电容器能量的变化即外力作的功．抽出玻璃板前后的电容值分别为

C?(?0?rS)/d，C??(?0S)/d 撤电源后再抽玻璃板．板上电荷不变，但电压改变，即

Q?CU?C?U? ∴ U??(CU)/C???rU

抽玻璃板前后电容器的能量分别为

W?1CU2?1(?0?rS/d)U2

22W??1C?U?2?1(?0?rS/d)U2

222外力作功 A?W??W?1(?0?rSU2/d)(?r?1) = 2.55×10-6 J

2

10.29 一平行板电容器，极板面积为S，两极板之间距离为d，中间充满相对介电常量为?r的各向同性均匀电介质．设极板之间电势差为U．试求在维持电势差U不变下将介质取出，外力需作功多少？

解：在两极板之间电势差U不变下，有介质时电容器中的电场能量为

11U22W1?C1U??0?rS

22d取出介质后的电场能量为

11U22W2?C2U??0S

22d在两极板之间电势差U不变下，由于电容值改变，极板上电荷发生变化

?q?q2?q1?C2U?C1U??0电源作功 A2?U?q??0S?1??r?U dS?1??r?U2 d设外力作功为A1，则根据功能原理，A1+A2??W?W2?W1

1S故外力作功 A1??W?A2???r?1??0U2

2d

习题十一

一选择题

11.1 室温下，铜导线内自由电子数密度为n?8.5?10个/m, 导线中电流密度的大小 (A) 1.5×10-4 m/s． (B) 1.5×10-2 m/s．(C) 5.4×102 m/s． (D) 1.1×105 m/s． ［A］

11.2 在一个长直圆柱形导体外面套一个与它共轴的导体长圆筒，两导体的电导率可以认为是无限大．在圆柱与圆筒之间充满电导率为?的均匀导电物质，当在圆柱与圆筒间加上一定电压时，在长度为l的一段导体上总的径向电流为I，如题图11.1所示．则在柱与筒之间与轴线的距离为r的点的电场强度为： (A)

83J?2?106A/m2，则电子定向漂移速率为：

Il2?rIII?； (B) ； (C) ； (D) 。 ［B］ 222?rl?l?2?rl2?r? 题图11.1

11.3 已知直径为0.02 m、长为 0.1 m的圆柱形导线中通有稳恒电流，在60秒钟内导线放出的热量为 100 J。已知导线的电导率为 6?10??m，则导线中的电场强度为：

(A) 2.78×10-13 V·m-1． (B) 10-13 V·m-1． (C) 2.97×10-2 V·m-1． (D) 3.18 V·m-1． ［C］

11.4 如题图11.2所示的电路中，两电源的电动势分别为?1、?2，内阻分别为r1，r2。三个负载电阻阻值分别为R1,R2,R，电流分别为I1,I2,I3，方向如题图11.2。则A到Ｂ的电势增量VB?VA为：

(A) ?2??1?I1R1?I2R2?I3R．

(B) ?2??1?I1(R1?r1)?I2(R2?r2)?I3R．

7?1?1

(C) ?2??1?I1(R1?r1)?I2(R2?r2)．

(D)?2??1?I1(R1?r1)?I2(R2?r2)． ［C］

11.5在题图11.3的电路中，电源的电动势分别为?1、?2和?3，内阻分别是r1、r2和r3，外电阻分别为R1、R2和R3，电流分别为I1、I2和I3，方向如图。下列各式中正确的是 (A) ?3??1?I1(R1?r1)?I3(R3?r3)?0 (B) I1?I2?I3?0

(C) ?2??1?I1(R1?r2)?I2(R2?r2)?0

(D) ?2??3?I2(R2?r2)?I3(R3?r3)?0 ［A］

二、计算题

11.6 已知导线中的电流按I?t?0.5t?6的规律随时间变化，式中各量均采用国际单位。计算在t1?1s到t2?3s的时间内通过导线截面的电荷量。

解：导线中的电流不是恒定的，在dt时间间隔内通过导线截面的电量dq?Idt。 在t1?t2时间段内，通过导线截面的电量

2q??Idt??(t2?0.5t?6)dt?18.7C

t1t1t2t2r2的两个同心球壳构成一电阻元件，11.7 内外半径分别为r1、当两球壳间填满电阻率为?的

drdrr??r?解：在半径r?r?dr间取球壳(r?)，该球壳沿经向的电阻为 dR??2

S4?r该电阻器沿经向的总电阻应为这些壳层电阻的串联，即该电阻器沿径向的电阻为：

材料后，求该电阻器沿径向的电阻。

12??11???? r4??r1r2?11.8 当电流为1A，端压为2V时，试求下列各情形中电流的功率以及1s内产生的热量。

R??dR?1r2(1)电流通过导线；

(2)电流通过充电的蓄电池，该蓄电池的电动势为1.3V； (3)电流通过充电的蓄电池，该蓄电池的电动势为2.6V。

解：(1)、电流的功率P电流在1s内产生的热量Q1?Pt 1?UI?2?1?2W。1?2?1?2J。

I 120° a b L I1 c I d 题图12.1 I2 题图12.2

12.4 如题图12.2，在一固定的载流大平板附近有一载流小线框能自由转动或平动．线框平面与大平板垂直。大平板的电流与线框中电流方向如图所示。则在同一侧且对着大平板看，通电线框的运动情况是：

(A) 靠近大平板．(B) 顺时针转动．(C) 逆时针转动． (D) 离开大平板向外运动． ［B］

12.5 在匀强磁场中，有两个平面线圈，其面积A1 = 2 A2，通有电流I1 = 2 I2，它们所受的最大磁力矩之比M1 / M2等于

(A) 1． (B) 2． (C) 4． (D) 1/4． ［C］

12.6 如题图12.3所示，无限长直导线在P处弯成半径为R的圆，当通以电流I时，则在圆心O点的磁感强度大小等于 (A)

?0I2?R；(B)

?0I?R； (C)

?0I2?R ； (D)

?0I??0I?1?1?1?； (E) ［D］ ???1??。2R???4R??? I R O P 题图12.3

12.7如图所示，处在某匀强磁场中的载流金属导体块中出现霍耳效应，测得两底面M、N

?3的电势差为VM?VN?0.3?10V，则图中所加匀强磁场的方向为：

(A)、竖直向上；(B)、竖直向下； (C)、水平向前； (D)、水平向后。 [C]

二、计算题

12.8 如题图12.4所示，一无限长直导线通有电流I?10A，在一处折成夹角??60的折线。求角平分线上与导线的垂直距离均为r?0.1cm的P点处的磁感强度．

?7?1(已知?0?4??10H?m)。 0

r ? r

题图12.4

???解：P处的B可以看作是两载流直导线所产生的，B1与B2的方向相同．

B?B1?B2??0I4?r[sin600?sin900)]??0I4?r[sin600?sin900)]

?2方向垂直纸面向上。

1??4?r?0I3/2?3.73?10?3T

?12.9 如题图12.5所示，半径为R，线电荷密度为?(??0)的均匀带电的圆线圈，绕过圆心与圆平面垂直的轴以角速度?转动，求轴线上任一点的B的大小及其方向．

? Y

?

解：因为 I?R??，所以

RB?By?j?

?0R3??2(R2?y2)3/2??j，(B的方向与y轴正向一致)．

12.10 一根很长的圆柱形铜导线均匀载有10 A电流，在导线内部作一平面S，S的一个边是导线的中心轴线，另一边是S平面与导线表面的交线，如图题图12.6所示．试计算通过沿

?7导线长度方向长为1m的一段S平面的磁通量．(真空的磁导率?0?4??10T?m/A，铜

的相对磁导率?r?1)。

解：如题图12.6a，在距离导线中心轴线为x与x?dx处，作一个单位长窄条，其面积为

dS?1?dx?dx．窄条处的磁感强度

B?所以通过dS的磁通量为：

?r?0Ix2?R2

d??BdS?通过１m长的一段S平面的磁通量为

R?r?0Ix2?R2dx

???0?r?0Ix2?R2dx??r?0I4??10?6Wb

12.11如题图12.7所示，一半径为R的均匀带电无限长直圆筒，面电荷密度为?．该筒以角速度?绕其轴线匀速旋转．试求圆筒内部的磁感强度．

解：如题图12.7a图所示，圆筒旋转时相当于圆筒上具有同向的面电流，面电流密度i的大小为：

i?2?R???/(2?)??R??

作矩形有向闭合环路如图中所示．从电流分布的对称性分析可知，在ab上各点B的大小和方向均相同，而且B的方向平行于ab，在bc和fa上各点B的方向与线元垂直，在de,

????fe,cd上各点B?0．应用安培环路定理

?B?dl??I可得

0int

Bab??0iab?B??0i??0R??

圆筒内部为均匀磁场，当??0时，磁感强度的大小为B??0R??，B方向平行于轴线向右．

12.12如题图12.8所示，一半径为R的带电塑料圆盘，其中半径为r的阴影部分均匀带正电荷，面电荷密度为??，其余部分均匀带负电荷，面电荷密度为??。当圆盘以角速度

?

旋转时，测得圆盘中心O点的磁感强度为零，问R与r满足什么关系？

ROr?解：带电圆盘转动时，可看作无数的电流圆环的磁场在O点的叠加．某一半径为?的圆环的磁场为

dB??0di/(2?)

而

di??2??d??[?/(2?)]????d?

∴ dB??0???d?/(2?)?正电部分产生的磁感强度为

r1?0??d? 2B???0?0??2d???0??2r

负电部分产生的磁感强度为

RB???r?0??2d???0??2(R?r)

今 B??B?，得

R?2r

12.13有一闭合回路由半径为a和b的两个同心共面半圆连接而成，如题图12.8所示．其上均匀分布线密度为?的电荷，当回路以匀角速度?绕过O点垂直于回路平面的轴转动

时，求圆心O点处的磁感强度的大小．

bOa 题图12.8

解： B?B1?B2?B3

B1、B2分别为带电的大半圆线圈和小半圆线圈转动产生的磁感强度，B3为沿直径的带

电线段转动产生的磁感强度．

?0I1?0???b?0?????bB???， I1?12b2b?2?42?I2??I????a?0?????a?， B2?02?0

2a2a?2?42?又由于 dI3?2??dr/(2?)，B3??0??dr?0??bln。 ???2?a2?rab所以 B?

?0???b???ln?? 2??a? R I O b O?

题图12.9 12.14 如题图12.9所示，一无限长圆柱形直导体，横截面半径 为R，在导体内有一半径为a的圆柱形孔，它的轴平行于导体 轴并与它相距为b，设导体载有均匀分布的电流I，求孔内任 意一点P的磁感强度B的表达式。

a P Y B1 P PRr1r2 B2br1 r2 ?1 ?2 b X

a

解∶电流密度J?I。P点场强为充满圆柱并与I同向的电流I1，及充满孔

?(R2?a2)并与I反向的电流I2的场叠加而成．取垂直于圆柱轴并包含P点的平面，令柱轴与孔轴所在处分别为O与O?，P点与两轴的距离分别为r1与r2，并建立坐标如图。利用安培环路定理可知P点场强为与I同向的I1和与I反向的I2的场的叠加，且有

I1?J?r12 ， I2?J?r22

B1??0I12?r1??02r1J；B2??0I22?r2??02r2J

?????B1，B2方向如图所示． P点总场： B?B1?B2

Bx?B2sin?2?B1sin?1?By?B1cos?1?B2cos?2??02J(r2sin?2?r1sin?1)?0

?02J(r1cos?1?r2cos?2)??02Jb

B?By??02Jb??0bI2?(R2?a2)

B与r1、r2无关，可知圆柱孔内为匀强场，即磁场方向与两轴组成的平面垂直，方向沿y

轴正向。

12.15在一平面内有三根平行的载流直长导线，已知导线1和导线2中的电流I1 = I2流向相同，两者相距d，并且在导线1和导线2之间距导线1为a = d/3处B = 0，如题图12.10所示。求第三根导线放置的位置与所通电流I3之间的关系。

a B = 0 I3 I1 x 0 题图12.10 I2 x

解：取x坐标如图(原点在I1处)．设第三根导线放在与I1相距为x处，电流流向同于I1，则有

B??0I22??2a??0I12??a??0I32??(a?x)?0

?2I3?I32I???1 即 x???1?I?a (a?x)a?1?当I3与I1同方向时，第三根导线在B = 0处的右侧，当I3与I1反方向时，第三根导线在

B = 0处的左侧．

?12.16 一圆线圈的半径为R，载有电流I，置于均匀外磁场B中(如题图12.12所示)．在不考

虑载流圆线圈本身所激发的磁场的情况下，求线圈导线上的张力．(载流线圈的法线方向规定与B的方向相同．)

? I R ?FmI C T R O T ?B 题图12.1 2?B D

解：考虑半圆形载流弧导线CD所受的安培力 Fm?IB?2R。列出力的平衡方程式

IB?2R?2T

故：

T?IBR

12.17 如题图12.13所示，半径为R的半圆线圈ACD通有电流I2，置于电流为I1的无限长直线电流的磁场中，直线电流I1恰过半圆的直径，两导线相互绝缘．求半圆线圈受到长直线电流I1的磁力．

解：长直导线在周围空间产生的磁场分布为 B??0I1/(2?r)取xOy坐标系如图，则在半圆线圈所在处各点产生的磁感强度大小为：

B??0I12?Rsin?， 方向垂直纸面向里

A I1 D 题图12.13 y dFy dF dFx C I2 O R I1

??x I2

式中?为场点至圆心的联线与y轴的夹角．半圆线圈上dl段线电流所受的力为：

dF?I2dl?B?I2Bdl ??0I1I22πRsin?Rd?

dFy?dFsin?，根据对称性知： Fy??dFy?0。

?dFx?dFcos?，则： Fx??dFx?0?0I1I22????0I1I22 。

∴半圆线圈受I1的磁力的大小为： F?

?0I1I22， 方向：垂直I1向右．

12.18 已知半径之比为2∶1的两载流圆线圈各自在其中心处产生的磁感强度相等，求当两线圈平行放在均匀外场中时，两圆线圈所受力矩大小之比．

解：设两圆线圈半径分别为R1，R2，分别通以电流I1，I2．则其中心处磁感强度分别为：

B10?因为B10?B20，所以

?0I12R1，B20??0I22R2

I1/I2?R1/R2 。

????设外磁场磁感强度为B，两线圈磁矩p1和p2与B夹角均为?小

，则两线圈所受力矩大

2M1?p1Bsin???R12I1Bsin? ； M2?p2Bsin???R2I2Bsin?

M1R12I1?R1???2???8。 ??M2R2I2?R2?

12.19 在垂直于长直电流I0的平面内放置扇形载流线圈abcda，线圈电流为I，半径分别为R1和R2，张角为?，如题图12.14所示。求：(1)线圈各边所受的磁力；(2)线圈所受的磁力矩。

3

解：(1)如图，以扇形载流线圈abcda所在的平面与载流长直导线的垂直交点O为坐标r原点，沿经向在ab边上半径为r处取电流元Idr，该电流元在I0产生的磁场中所受的安培

R2力为dF?Idr?Br，因此载流线圈的ab所受的安培力为Fab?直纸面向外、大小为

?R1Idr?Br。Fab的方向垂

Fab??BrIdrsin900??R1R2R2R1?0I0?IIRIdr?00ln2 2?r2?R1同理可得出： Fdc??0I0IR2ln，Fdc方向垂直纸面向里。 2?R1另外，由于ad上各电流元的方向与其所在处磁感应强度BR1的方向相同，所以Fad?0。同理Fbc?0。

(2)分析可知，在题图12.14所示的情况下，Fab和Fdc的作用效果是使得扇形载流线圈

abcda绕z轴转动。电流元Idr所受的安培力dF?Idr?Br对O点的力矩dM?r?dF。

该力矩在z轴上的分量为：

dMz?dM?sin故线圈所受的磁力矩为：M?2

?2R2R1?IdrB(r)sin?2?r?sin?2??0I0I?sindr 2?2?dMz?2?R2R1?0I0I?II??sindr?00sin?(R2?R1) 2?2?212.19 如题图12.15所示，均匀带电刚性细杆AB，线电荷密度为?，绕垂直于直线的轴O以?角速度匀速转动(O点在细杆AB延长线上)．求：

?? (1) O点的磁感强度B0； (2) 系统的磁矩pm； (3) 若a >> b，求B0及pm．

O a A b B ??题图12.15 O r a b dr

??

解：(1) 对r?r?dr段，电荷dq??dr旋转形成圆电流，且

dI?dq它在O点的磁感强度

?2????2?dr

dB0??0dI2r????0dr4?r

B0??dB0?方向垂直纸面向内．

???0a?bdr4??ar????04?lna?b a22 (2) dpm??rdI?12??rdr

a?b pm?dpm?方向垂直纸面向内． (3) 若a >> b，则 ln??a12??r2dr???[(a?b)3?a3]/6

a?bb?，有： aa B0?3?0??b4?a3???0q4?a，过渡到点电荷的情况．

同理在a >> b时， (a?b)?a(1?3b/a)，则 ： pm?

12.20 如题图12.16所示，放在水平面内的圆形导线，半径为a。圆导线上某点A与中心O之间经一电阻R接到电动势为?的电池两端。由中心到圆周有一能绕经过O点的铅直轴旋转的活动金属半径OD，其质量为m。旋转时，半径与圆形导线之间有一摩擦力，该摩擦力正比于D点的速度，比例系数为k。(已知地磁场的铅直分量为B) (1)不计电磁感应，求OD旋转的角速度?增加的规律；

(2)应以多大的力F在垂直于半径的方向作用于D点，而使半径不至转动。

??6a3?3b1?q?a2，也与点电荷运动时的磁矩相同． a2DOAR?题图12.16

解：(1)、载流线段OD在磁场中转动时受到的磁力矩大小M1和摩擦力矩大小M2分别为

1?M1??xBIdx?BIa2?Ba2，M2?kva?k?a2

022Ra根据转动定律M?Jd?，对OD可列方程 dt

M1?M2?J?其中J?ma3为OD的转动惯量。由此有：

2d? dt?d(?B2Rk??)tma2d?Ba?k?a??????(?3km)dt

0(?B2Rk??)02R3dt?22????1?e2kR??B??3ktm?? ?(2)、根据平衡条件，在垂直于半径的方向作用于D点的力F对O点的力矩应与OD所受的磁力矩大小相等，且作用效果相反，即

Fa?M1?F??Ba2R。

12.21 如题图12.17所示，半径为a，带正电荷且线密度是?(常量)的半圆，以角速度???绕轴O′O″匀速旋转。求： (1) O点的B； (2)旋转的带电半圆的磁矩pm。

?(提示：积分公式sin0?2?d???)

弧元，dq??ad?，旋转形成圆电流

12解：(1) 对????d?dI?dq/dt?dq/T?dq??dq它在O点的磁感强度dB为：

?2????2?ad?

dB??0?asin????2a3?22?ad???0??4?sin2?d? ?B??dB??0??4?2sin??d??0?0????0?q8?a

?B的方向向上．

22 (2) dpm??asin?(??/2?)ad??1??a3sin2?d? 2

?3232????a/4??qa/4 pm??dpm??1??asin?d?20?pm的方向向上．

12.22 如题图12.18所示，有一无限大平面导体薄板，自下而上均匀通有电流，已知其面电流密度为i (即单位宽度上通有的电流强度)．

题图12.18 ?i?v

(1) 试求板外空间任一点磁感强度的大小和方向．

(2) 有一质量为m，带正电荷q的粒子，以速度v沿平板法线方向向外运动，求： (a) 带电粒子最初至少在距板什么位置处才不与大平板碰撞？ (b) 需经多长时间，才能回到初始位置(不计粒子重力)？

解：(1) 由安培环路定理： B?12?0i (大小) ， 方向：在板右侧垂直纸面向里 (2) 由洛伦兹力公式可求 R?mv/(qB) (至少从距板R处开始向外运动)

返回时间为：T?2?R/v?4?m/(q?0i)。

12.23如题图12.19所示，有一电子以初速v 0沿与均匀磁场B成

?角度的方向射入磁场空

间．试证明当图中的距离L?2?menv0xcos?/(eB)时，(其中me为电子质量，e为电子电荷的绝对值，n = 1，2……)，电子经过一段飞行后恰好打在图中的O点． 证： 设电子飞行时间为t，其作螺旋运动的周期为T，则：

L?v0cos??t ① T?2?me/(eB) ②

当t?nT时，电子能恰好打在O点．

∴ L?v0cos??nT?2?menv0cos?/(eB)

e ?? v0 ??B O L 题图12.19 ?12.24在一顶点为45°的扇形区域，有磁感强度为B方向垂直指向纸面内的均匀磁场，如题

图12.20所示．今有一电子(质量为m，电荷为-e)在底边距顶点O为l的地方，以垂直底边的速度 v射入该磁场区域，若要使电子不从上面边界跑出，电子的速度最大不应超过多少？

?

解：电子进入磁场作圆周运动，圆心在底边上．当电子轨迹 与上面边界相切时，对应最大速度，此时有如图所示情形．

(l?R)sin45??R

∴ R?l/(2?1)?(2?1)l 由 R?mv/(eB)，求出v最大值为：

v?

三、小论文写作练习 1、霍耳元器件在电磁测量中的应用。2、生物磁学。

eBRleB?(2?1)。 mm习题十三

一、 选择题

13.1 关于稳恒电流磁场的磁场强度H，下列几种说法中哪个是正确的？ (A) H仅与传导电流有关．

??? (B) 若闭合曲线内没有包围传导电流，则曲线上各点的H必为零． ? (C) 若闭合曲线上各点H均为零，则该曲线所包围传导电流的代数和为零．

(D) 以闭合曲线Ｌ为边缘的任意曲面的H通量均相等． ［C］ 13.2 磁介质有三种，用相对磁导率?r表征它们各自的特性时：

?

(A) 顺磁质?r?0，抗磁质?r?0，铁磁质?r??1； (B) 顺磁质?r?1，抗磁质?r?1，铁磁质 ?r??1 ； (C) 顺磁质?r?1，抗磁质?r?1，铁磁质 ?r??1；

(D) 顺磁质?r?0，抗磁质?r?1，铁磁质?r?0。 ［C］

13.3 如题图13.1所示,图中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ线分别表示不同磁介质的B~H关系曲线，虚线是

B??0H关系曲线，那么表示顺磁质的是：

(A) Ⅰ； (B) Ⅱ； (C) Ⅲ； (D) 没有画出。 [B] 二、计算题

213.4 一均匀磁化的磁棒，直径为d＝25 mm，长L＝75 mm，磁矩为pm?12000A?m。

求磁棒表面磁化电流密度?s。 解：

13.5 螺绕环中心周长L?10cm，环上均匀密绕线圈N = 200匝，线圈中通有电流I = 0.1 A．管内充满相对磁导率?r?4200的磁介质，求管内磁场强度和磁感强度的大小。

解： H?nI?NI/l?200 A/m ，B??H??0?rH?1.06 T

pm??slS，S??d24 ??S?pm4pm8 0A/m ??3.2?612LS?Ld?13.5 一根沿轴向均匀磁化的细长永磁棒，磁化强度为M。求题图13.2中所标出的各点上的??B和H。

4 5 2 1 3题图 13.2 6 7

解：把磁棒看作nI??s(其中?s为磁化面电流密度)的无限长螺线管，则

B1??0?s??0M，

??因螺线管无限长，所以 B2?B3?0

??B1??0M

?????1和螺线管一样，在端面附近有 B4?B5?B6?B7??0M

2??????1?BH?0介质棒内： H?， ， H?H??M ?M1562?0????1?介质棒外： H2?H3?0 ， H4?H7?M

2

13.6 一铁环的中心线周长l?30cm，横截面S?10cm。环上紧密地绕有N = 300 匝线圈。当导线中通有电流I?32mA 时，通过环截面的磁通量??2.0?10Wb。试求铁芯的磁化率?m。

解： B??62?l32(A m)?2.0?10?2T， H?nI?N/I?S??B/H?6.25?10?4T?Am ，?m??/?0?1?496

?13.7在磁化强度为M的均匀磁化的无限大磁介质中，挖出一个半径为R的球形腔．求此腔

表面的磁化面电流密度和磁化电流产生的磁矩．

解：磁化面电流密度为：?s?M?n。式中n是磁介质表面法线方向单位矢量，方向指向球心．如下图，设M的方向与z轴重合，则

??s?Msin?，方向如图所示．

选择一宽度为dl?Rd?的圆环，它产生的磁矩为：

dpm??r2??s?dl??R2Msin??sin2??R?d????R3Msin2??d?cos??

总磁矩为：

2pm??dpm???R3M??1?cos???d?cos?? 0??

?1?????RM?cos??cos3????4/3??R3M

3??0???pm方向与z轴方向相反，即pm与M反向，写成矢量式为：

34pm??πR3M

3

13.8 一根同轴线由半径为R1的长导线和套在它外面的内半径为R2、外半径为R3的同轴导体圆筒组成．中间充满磁导率为?的各向同性均匀非铁磁绝缘材料，如图．传导电流I沿导线向上流去，由圆筒向下流回，在它们的截面上电流都是均匀分布的．求同轴线内外的磁场强度H和磁感应强度B的分布．

R3 R2 R 1I I 题图13.4

??解：由安培环路定理 ?H?dl??Ii，可求得

0?r?R1区域：2?rH?Ir2/R12，H?R1?r?R2区域：2?rH?I，H?Ir， B??0Ir

2?R122?R12I?I， B? 2?r2?r2I(r2?R2)R2?r?R3区域：2?rH?I? ， 22(R3?R2)2??0I?r2?R22?I?r2?R2H?， B??0H? ?1??1?22?2?2?r?R32?R22?rR?R32???

r?R3区域：H?0,

三、小论文写作练习

B?0

1、物质抗磁性的起因。2、铁磁质的特性及其应用。

习题十四

一、选择题

14.1半径为a的圆线圈置于磁感强度为B的均匀磁场中，线圈平面与磁场方向垂直，线圈

??0电阻为R；当把线圈转动使其法向与B的夹角??60时，线圈中通过的电荷与线圈面积及

转动所用的时间的关系是

(A) 与线圈面积成正比，与时间无关． (B) 与线圈面积成正比，与时间成正比． (C) 与线圈面积成反比，与时间成正比．

(D) 与线圈面积成反比，与时间无关． ［A］

14.2 如题图14.1，长度为l的直导线ab在均匀磁场B中以速度v移动，直导线ab中的电动势为

(A) Blv． (B) Blvsin?． (C) Blvcos?． (D) 0． ［D］

?? l b ??? a v 题图14.1 ??B

14.3 如题图14.2所示，在均匀磁场中，导体棒AB饶通过O点并且垂直于棒的轴线MN转

???动，MN与磁感应强度B平行，角速度?与B反向，BO的长度为棒长的三分之一。则：

A)、A点比B点的电势高； B)、A点比B点的电势低； C)、A点与B点的电势相等；

D)、有稳恒电流从A点流向B点. [B]

?14.4 圆铜盘水平放置在均匀磁场中，B的方向垂直盘面向上．当铜盘绕通过中心垂直于盘

面的轴沿题图14.3所示方向转动时：

(A) 铜盘上有感应电流产生，沿着铜盘转动的相反方向流动．

(B) 铜盘上有感应电流产生，沿着铜盘转动的方向流动． (C) 铜盘上产生涡流．

(D) 铜盘上有感应电动势产生，铜盘边缘处电势最高．

(E) 铜盘上有感应电动势产生，铜盘中心处电势最高． ［D］

O ?? b a ?B O 题图14.3 ?B O′

题图14.4

14.5一矩形线框长为a宽为b，置于均匀磁场中，线框绕OO′轴，以匀角速度旋转(如题图14.4所示)．设t =0时，线框平面处于纸面内，则任一时刻感应电动势的大小为 (A) 2abB | cos? t |． (B) ? abB

1?abBcos?t． 2(D) ? abB | cos? t |． (E) ? abB | sin? t |． ［D］

14.6 如题图15.5所示，在半径为R的无限长螺线管内部，磁场的方向垂直纸面向里，设磁场按一定的速率在减小。则P点处涡旋电场的方向为：

(A) 垂直纸面向内； (B)顺时针； (C)逆时针； (D)沿径向向外 [ B ]

14.7 自感为 0.25 H的线圈中，当电流在(1/16) s内由2 A均匀减小到零时，线圈中自感电动势的大小为：

(A) 7.8 ×10-3 V． (B) 3.1 ×10-2 V． (C) 8.0 V． (D) 12.0 V． ［C］

14.8 两个相距不太远的平面圆线圈，怎样可使其互感系数近似为零？设其中一线圈的轴线恰通过另一线圈的圆心．

(A) 两线圈的轴线互相平行放置． (B) 两线圈并联．

(C) 两线圈的轴线互相垂直放置． (D) 两线圈串联． ［C］

I S 1 I 2 S 2 题图14.6

14.9 面积为S和2 S的两圆线圈1、2，如题图14.6放置，通有相同的电流I。线圈1的电流所产生的通过线圈2的磁通用?21表示，线圈2的电流所产生的通过线圈1的磁通用?12表示，则?21和?21的大小关系为：

(A) ?21?2?12； (B) ?21??12；(C)?21??12 ；(D) ?21?

214.10 用线圈的自感系数L来表示载流线圈磁场能量的公式：Wm?LI2

1?12。 ［C］ 2 (A) 只适用于无限长密绕螺线管． (B) 只适用于单匝圆线圈．

(C) 只适用于一个匝数很多，且密绕的螺绕环．

(D) 适用于自感系数Ｌ一定的任意线圈． ［D］

14.11 有两个长直密绕螺线管，长度及线圈匝数均相同，半径分别为r1和r2．管内充满均匀介质，其磁导率分别为?1和?2．设r1∶r2=1∶2，?1:?2?2:1，当将两只螺线管串联在电路中通电稳定后，其自感系数之比L1∶L2与磁能之比Wm1∶Wm2分别为：

(A) L1∶L2=1∶1，Wm1∶Wm2 =1∶1； (B) L1∶L2=1∶2，Wm1∶Wm2 =1∶1； (C) L1∶L2=1∶2，Wm1∶Wm2 =1∶2；

(D) L1∶L2=2∶1，Wm1∶Wm2 =2∶1； ［C］

14.12真空中一根无限长直细导线上通电流I，则距导线垂直距离为a的空间某点处的磁能密度为 ：

1?2?a?1??0I?1??0I?1??I? (A) ?0?0? (B) (C) (D) ?????? ［B］

2??0I?2?0?2πa?2?0?2a?2?2πa?14.13 一忽略内阻的电源接到阻值R＝10?的电阻和自感系数L＝0.52 H的线圈所组成的串联电路上，从电路接通计时，当电路中的电流达到最大值的90%倍时，经历的时间是：

(A) 46 s； (B) 0.46s； (C) 0.12 s； (D) 5.26×10-3 s。 ［C］

二、计算题

2222

14.14 .如题图14.7所示，有一根长直导线，载有直流电流I，近旁有一个两条对边与它平 行并与它共面的矩形线圈，以匀速度v沿垂直于导线的方向离开导线．设t =0时，线圈位于图示位置，求 ：

(1) 在任意时刻t通过矩形线圈的磁通量?；(2)、在图示位置时矩形线圈中的电动势?。

? I a b 题图14.7 l v ?

解：(1) Φ(t)???B?ds??s?0I2?rldr??0Ildr?0Ilb?vt?ln ?2?a?vt2?a?vtrb?vt (2) 依据法拉第电磁感应定律得????lIv(b?a)dΦ?0

dtt?02?ab

14.15 如题图14.8所示，长直导线AB中的电流I沿导线向上，并以dI/dt?2A/s的变化率均匀增长．导线附近放一个与之同面的直角三角形线框，其一边与导线平行，位置及线

?7框尺寸如图所示．求此线框中产生的感应电动势的大小和方向[?0?4??10T?m/A]．

解：建立坐标如图所示，则直角三角形线框斜边方程

y??2x?0.2(SI)

取瞬时针方向为线框的绕行方向，则在直角三角形线框所围平面上的磁通量为

0.1?????0?0I0.1??2x?0.2????dx ?2?(x?0.05)2?0?x?0.05??0Iydx0.15?0I0.1?0I???ln0.1?0.05?2.59?10?8I(SI)

0.05三角形线框中的感应电动势为

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