2018-2019学年浙江省高中数学竞赛试卷

2018-2019学年浙江省高中数学竞赛

一、填空题：本大题共10个小题,每小题8分,共80分.

1.在多项式(x?1)3(x?2)10的展开式中x的系数为 ．温馨提示：多少汗水曾洒下，多少期待曾播种，终是在高考交卷的一刹尘埃落地，多少记忆梦中惦记，多少青春付与流水，人生，总有一次这样的成败，才算长大。高考保持心平气和，不要紧张，像对待平时考试一样去做题，做完检查一下题目，不要直接交卷，检查下有没有错的地方，然后耐心等待考试结束。 6

2.已知log7(5a?3)?loga2?15,则实数a? ．

23.设f(x)?x2?ax?b在?0,1?中有两个实数根,则a?2b的取值范围为 ．

sin2x?cos2x?cos2xcos2y?sin2xsin2y4.设x,y?R,且?1,则

sin(x?y)x?y? ．

5.已知两个命题,命题p:函数f(x)?logax(x?0)单调递增；命题q：函数

．若p?q为真命题，p?q为假命题，则实数a的取值范围g(x)?x2?ax?1（x?R）为 ．

6.设S是(0,)中所有有理数的集合，对简分数

58qqq?1?S，定义函数f()?，(p,q)?1，

ppp则f(x)?2在S中根的个数为 ． 322227.已知动点P，M，N分别在x轴上，圆(x?1)?(y?2)?1和圆(x?3)?(y?4)?3上，则|PM|?|PN|的最小值为 ．

8.已知棱长为1的正四面体P?ABC，PC的中点为D，动点E在线段AD上，则直线BE与平面ABC所成的角的取值范围为 ．

????????9.已知平面向量a，b，c，满足|a|?1，|b|?2，|c|?3，0???1，若b?c?0，则

???|a??b?(1??)c|所有取不到的值的集合为 ．

??2x,x?0,22f(x)?10.已知方程f(x)?21?x?|f(x)?21?x|?2a*4?0有三个?2?x?1,x?0,根x1?x2?x3．若x3?x2?2(x2?x1)，则实数a? ．

二、解答题：本大题共5个小题，满分120分，将答案填在答题纸上）

11.设f1(x)?的实数解．

x2?32，fn?1(x)?x2?162，…．对每个n，求fn(x)?3xfn(x)，n?1，

3x2y2??1的右焦点为F，过F的直线y?k(x?2)交椭圆于P，Q两点12.已知椭圆62(k?0)．若PQ的中点为原点，直线ON交直线x?3于M．

（1）求?MFQ的大小； （2）求

PQ的最大值． MF13.设数列?an?满足：|an?1?2an|?2，|an|?2，n?1,2,3，…． 证明：如果a1为有理数，则从某项后?an?为周期数列．

14.设a1，a2，a3；b1，b2，b3?Z?，证明：存在不全为零的数?1，?2，?3??0,1,2?，使得?1a1??2a2??3a3和?1b1??2b2??3b3同时被3整除． 15.设???a1,a2,…,an?为?1,2,…,n?的一个排列，记F(?)??aai?1nii?1，

an?1?a1，求

minF(?)．

2017年浙江省高中数学竞赛答案

一、填空题

1.?4128 2.2

3.?0,2?

4.2k???2（k?Z） 5.(?2,1]?[2,??)

6.5 7.210?3?1 8.?0,arctan??14??7?

9.(??,617?313?1)?(4,??) 10. 132三、解答题

11.证明：利用数学归纳法． （1）x?2是fn(x)?3x的解． 当n?1时，x?2是f1(x)?x2?32?3x的解.

当n?k时，设fk(2)?6，则fk?1(2)?4?16fk(2)?6. 3由此可得x?2是fn(x)?3x的解（对于所有的n）.

32x． 2322当n?1时，f1(x)?x?32?3x?x(x?2)．

2（2）当x?2时，fn(x)?3x?当n?k时，设fk(x)?3x?3216x，则fk?1(x)?x2?fk(x)?x2?8x2?3x． 23由此可得x?2都不是fn(x)?3x的解（对于所有的n）． （3）当0?x?2时，fn(x)?3x．

当n?1时，f1(x)?x2?32?x2?8x2?3x（0?x?2）.

当n?k时，设fk(x)?3x，则fk?1(x)?x2?16fk(x)?x2?1?3x． 3由此可得0?x?2都不是fn(x)?3x的解（对于所有的n）． 因此，对每个n，fn(x)?3x的实数解为x?2．

?x2y2?1,??12.解：（1）联立?6可得(3k2?1)x2?12k2x?12k2?6?0． 2?y?k(x?2),?设P点的坐标为(xp,yp)，Q点的坐标为(xq,yq)，

12k212k2?6则xp?xq?2，xpxq?．

3k?13k2?1于是有yp?yq?k(xp?xq)?4k??4k．

3k2?116k2?2k,2)，因此ON的斜率kON??， 因为PQ的中点为N，所以N(23k3k?13k?1因为直线ON交直线x?3于M，所以M(3,?)，故MF的斜率为kMF??即得kMF?kPQ??1，因此MF与PQ垂直，?MFQ?1k1， k?2．

222PQ2(xp?xq)?k(xp?xq)2(x?x)?4xpxq?)??k2(xp?xq)2?k2?（2）I?( pq??1MF1?2k?144k42k2?1?k2?12?k?2?242??24k． 222(3k?1)3k?1(3k?1)??22令u?3k?1，则I?8(u?1)(u?2)1611116?1129???(??)??(?)??， 22?3u3u2u23?u416?1?1 . u由于u?3k?1?1，故0?2因此Imax?3（当u?4时取到最大值，也即k??1）． 综上所述，

PQ的最大值为3． MF13.证明：（1）若a1为有理数，则?an?为一个有理数数列．

（2）对于任意的n，设an?y，(y,x)?1，由已知条件，有且仅有下述一个等式成立： x2y?2x2y?2xan?1?2an?2?或an?1?2an?2?． (*)

xx． an与an?1有相同的分母（不进行约分）（3）设a1?bq，(p,q)?1，则an?n，bn为整数，由于|an|?2，n?1，2,3，…，因pp此?2p?bn?2p．

（4）若存在两个自然数k?l，使得ak?al，则由（2）中得到的（*）递推公式以及|an|?2，

n?1,2,3，…，可得?an?从第k项开始是一个周期数列，周期为l?k．

（5）由（3）可知对于任意的n，（有限个），故总能找到k?l，使得bk?bl，bn的值只有4p?1从而有ak?al．

综上所述，如果a1为有理数，则从某项后?an?为周期数列．

14.证明：不妨设ai?kk(mod3)，bi?li(mod3)，ki，li??0,1,2?，i?1,2,3．则要证明结论正确，只要证明存在不全为零的数?1，?2，?3??0,1,2?，使得

?1k1??2k2??3k3??1l1??2l2??3l3(mod3)?0(mod3)．(*)

记k1l2?k2l1?c(mod3)，这里c??0,1,2?．

情形（1）当c?0时，则k1?l1?0，或者k1，l1不全为零． 若k1?l1?0，则取?1?1，?2??3?0，有（*）式成立．

若k1，l1不全为零，不妨设k1?0，则取?1?k2,?2??k1,?3?0,且

??1k1??2k2??3k3?k2k1?k1k2?0(mod3),即(*)式. ??l??l??l?kl?kl?0(mod3),332112?1122情形（2）当c?1或2时，即c?1(mod3)．

记c(k2l3?k3l2)?c1(mod3)，c(k3l1?k1l3)?c2(mod3)，这里c1，c2??0,1,2?． 令?1?c1，?2?c2，?3?1，则?1，?2，?3??0,1,2?且不全为零，且

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