水塔流量估计

水塔流量的估计

一.问题的提出

某居民区有一供居民用水的圆柱形水塔，一般可以通过测量其水位来估计其流量。但面临的困难是，当水塔水位下降到设定的最低水位时，水泵自动启动向水塔供水，到设定的最高水位时停止供水，这段时间无法测量水塔的水位和水泵的供水量。通常水泵每天供水一两次，每次约2h(小时)。

水塔是一个高为12.2m,直径为17.4m是正圆 柱。按照设计,水塔水位降至约8.2m时,水泵自动 启动,水位升到约为10.8m时水泵停止工作。

表1是某一天的水位测量记录(符号“//”表示水

12.2m 8.2m 10.8m

17.4m 泵启动)，试估计任何时刻（包括水泵正供水时）从水塔流出的水流量及一天的总用水量。

表1：水位测量记录（时刻：h，水位：cm）

时刻 水位 时刻 水位 时刻 水位 0 968 // 866 0.92 948 // 843 1.84 931 1082 822 2.95 913 1050 // 3.87 898 1021 // 4.98 881 994 1059 5.90 896 965 1035 7.01 852 941 1011 7.93 839 918 8.97 822 892 9.98 10.92 10.95 12.03 12.95 13.88 14.98 15.90 16.83 17.93 19.04 19.96 20.84 22.01 22.96 23.88 24.99 25.91 二、问题分析

流量是单位时间流出的水的体积，由于水塔是正圆柱形，横截面积是常数，

在水泵不工作的时段，流量很容易从水位对时间的变化率算出，问题是如何估计水泵供水时段的流量。

水泵供水时段的流量只能靠供水时段前后的流量拟合得到，作为用于拟合的原始数据，我们希望水泵不工作的时段流量越准确越好。

这些流量大体可由两种方法计算: 一是直接对表1中的水位用数值微分算出各时段的流量，用它们拟合其它时刻或连续时间的流量。

二是先用表中数据拟合水位~时间函数，求导数即可得到连续时间的流量。 一般说来数值微分的精度不高，何况测量记录还是不等距的，数值微分的计算尤

其麻烦。下面我们用第二种方法处理。

有了任何时刻的流量，就不难计算一天的总用水量。

其实，水泵不工作时段的用水量可以由测量记录直接得到，如表1可知从

t=0到t=8.97(h)水位下降了968 –822=146(cm)，乘以水塔的截面积就是这一时段的用水量。这个数值可以用来检查拟合的结果。

三、模型假设

1. 流量只取决于水位差，与水位本身无关。按照Torricelli (托里切利, 1608-1647, 意大利数学家、物理学家、气压计原理发现者)定律从小孔流出的流体的流速正比于水面高度的平方根，题目给出水塔的最低和最高水位分别是8.2m和10.8m(设出口的水位为零),因为10.8/8.2?1.15?1,所以可忽略水位对速度的影响。

2. 根据最低和最高水位分别是8.2m和10.8m及表1的水位测量记录,假设水泵第1次供水时段为t?9到t?11,第2次供水时段为t?20.8到t?23。

其中前3个时刻取自实测数据（精确到0.1h）,最后1个时刻来自每次供水约两小时的已知条件（从记录看，每2次供水时段应在有记录的22.96h之后不久结束）。

3. 水泵工作时单位时间的供水量大致是常数，此常数大于单位时间的平均流量。

4. 流量是对时间的连续函数。 5. 流量与水泵是否工作无关。

6. 由于水塔截面积是常数, S??r2????17.4/2??237.787m2,为简单起见，计算中将流量定义为单位时间流出的水的高度，即水位对时间变化率的绝对值（水位是下降的），最后给出结果时再乘以S即可。

即：水位是时间的连续函数 h?h(t)

水位对时间的变化率(流量) h??dh(t) dt2?(?t) S任何时刻的流量： V(t)?h四、模型建立

1.拟合水位~时间函数

从表1 测量记录看，一天有两个供水时段（以下称第1供水时段和第2供水时段）和3个水泵不工作时段(以下称第1用水时段t?0到t?8.97，第2用水时段t?10.95到t?20.48第3用水时段t?23以后)。

对第1、2用水时段的测量数据分别作多项式拟合，得到水位函数

h1?h1(t)

和h2?h2(t)。为使拟合曲线比较光滑，多项式次数不要太高，一般用3~6次。由于第3时段只有3个测量记录，无法对这一时段的水位作出比较好的拟合，可采用外推的办法解决。

2. 确定流量~时间函数

对于第1、2用水时段，只需将水位函数hi?hi(t),i?1,2 求导数即可，对于两个供水时段的流量，则用供水时段前后（水泵不工作时段）的流量拟合得到，并且将拟合得到的第2供水时段流量外推，将第3用水时段流量包含在第2供水时段内，需要拟合四个流量函数。

3. 一天总用水量的估计

总用水量等于两个水泵不工作时段和两个供水时段用水量之和，它们都可以由流量对时间的积分得到。

V??V?dt??S?h?dt

t0t0tt

五、模型求解

根据表一，可以对各时段的数据进行拟合。建立时间和水位向量

t?[t,],h?[h?,的函数关系。] 1,t2?1,h2为使拟合曲线比较光滑，多项式次数不要太高，一般用3~6次。先用3次函数进行拟合第一时段[0,9]的水位、流量。

设t、h为已输入的时刻和水位测量记录(水泵启动的4个时刻不输入):

>> h=[968 948 931 913 898 881 869 852 839 822 0 0 1082 1050 1021 994 965 941 918 892 866 843 822 0 0 1059 1035 1018];

>> t=[0 0.92 1.84 2.95 3.87 4.98 5.90 7.01 7.93 8.97 9.98 10.92 10.95 12.03 12.95 13.88 14.98 15.90 16.83 17.93 19.04 19.96 20.84 22.01 22.96 23.88 24.99 25.91]; >> x1=t(1:10);x2=x1.^2;x3=x1.^3; >> n=10;m=3;

>> x=[ones(n,1),x1',x2',x3'];

>> [b,bint,r,rint,stats]=regress(h(1:10)',x,0.05) b =

967.7356 -22.1079 1.3586 -0.0785

bint =

966.5367 968.9345 -23.3536 -20.8622 1.0241 1.6932 -0.1030 -0.0541 r =

0.2644 -0.4851 -0.1676 0.6754 0.0260 -0.6328 0.5374 -0.4676 0.3089 -0.0590

rint =

-0.3216 0.8505 -1.5934 0.6232 -1.3634 1.0282 -0.2883 1.6392 -1.2427 1.2947 -1.7032 0.4376 -0.5339 1.6088 -1.5560 0.6207 -0.8696 1.4874

-0.6534 0.5353

stats =

1.0e+004 *

0.0001 2.3222 0.0000 0.0000

>> rcoplot(r,rint)

残差分析可以看到，拟合比较符合，拟合效果较好。经过实验，选取3次较合适。故以下选用三次函数进行拟合。 1、拟合第1用水时段各时刻的流量，可由如下程序代码得到：

c1=polyfit(t(1:10),h(1:10),3); %用3次多项式拟合第1用水时段水位h1=h1(t)，c1输出 3次多项式的系数

a1=polyder(c1); ?输出多项式（系数为c1）导数的系数，

h1=-polyval(a1,t(1:10)); %给出水位变化率h1=h1(t)在 t(1)-t(10)上的离散值，即流量 t1 = 0:0.1:9; %将第一用水时段[0 , 9]细分

h11= -polyval(a1,tp1); %h11输出多项式a1在t11点的函数值(取负后边为正值)，即t11 时刻的流量(水位下降的速率)。

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