理论力学课后题答案

通过某一距离s的时间为t，而通过下一等距离s的时间为t2.1.1 沿水平方向前进的枪弹，1试证明枪弹的减速度（假定是常数）为

SS?t2?t1由题可知示意图如题1.1.1图: 设开始计时的时刻

题1.1.1图速度为v0,由题可知枪弹作匀减速运动设减速度大小为a.则有

12?s?vt?at101??2:??2s?v?t?t??1a?t?t?201212?2?s1?at1 再由此式得 t12

由以上两式得 v0?a?2s?t2?t1? t1t2?t1?t2?伸长，c为加m?后的伸长。今将m?任其脱离而下坠，试证质点m在任一

O1.26一弹性绳上端固定，下端悬有m及m?两质点。设a为绳的固有长度，b为加m后的

瞬时离上端O的距离为

Tm解 以绳顶端为坐标原点.建立如题1.26.1图所示坐标系.

m?题1.26.1图

设绳的弹性系数为k,则有 mg?kb ① 当 m?脱离下坠前，

m与m?系统平衡.当m?脱离下坠前，m在拉力T作用下上升，之后作简运.运动微分方程为 mg?k?y?a??m?? ② ygga?b ③ 联立①② 得 ????y?0 ??y?gyybbb齐次方程通解 Y?Acosgt?Asingt 非齐次方程③的特解 Y0?a?b

112bb所以③的通解Y?Acosgt?Asingt?a?b

112bb代入初始条件：故有 y?ccosgt?a?bt?0时，y?a?b?c,得A1?c,A2?0；

b即为m在任一时刻离上端O的距离.

1.39 一质点受一与距离3次方成反比的引力作用在一直线上运动。试证此质点自无穷远到

2达a时的速率和自a静止出发到达

a时的速率相同。 证 质点受一与距离3成反4次方

2比的力的作用。 设此力为

F?r??kr?32?k为一常数?① 又因为

3dvdvdrvdv即 F?r?dr?mvd v kr?2dr?mvdv F?r??m?m??mddtdrdtdr②

当质点从无穷远处到达a时，对②式两边分别积分：

1?kr??a?3v2dr?mv?0 dva4k?22v??a当质点从a静止出发到达时，对②式两边分别积分：

m4

4k?22kr?mdv得 v??a所以质点自无穷远到达a时的速率和自a0m

aa静止出发到达时的速率相同。

4?a4?32dr?v1

1.43如质点受有心力作用而作双纽线...证 由毕耐公式

2?F22?du22?r?acos2?运动 故 质点所受有心力做双纽线???hu??u??m?d??

du1111??sin2??u?? 3racos2? d?a?cos2??2?5d2u1?2cos2?3????sin2???cos2??2?2sin2?? 23a??cos2??22?d???215?1????22?du2?故F??mhu? ?u??2?cos2??2?3sin2??cos2??2?2??a?? ?d??15?11???222?3sin2??cos2??2? ????mh32cos2???acos2??cos2??733mh23ma4h23mh23mh2??2????3?cos2??21?tan2???3?cos2??2?? 77ara 223?r?a??a2????

????2??

1.44点所受的有心力如果为F??m?2?3??rr???式中

?及?都是常数，并且?＜h2，则其轨道方程可写成

ah2??k2h2Ak2h2 2r?k?,a?2,e?1?ecosk?h2??2试证明之。式中（A为积分常数）

2?F22?du?证 由毕耐公式 ???hu??u??m?d???d2u?? 2?3?hu??u2??rr?d?? 2?h2??d2u????2222322?du即2??1?2?u?2令 k? ?u??u?hu?2?d?2?u??hh?h??? d?d2u?22上式化为2?ku?2这是一个二阶常系数废气次方程。

d?h

?2?????22解之得u?Aco?ksA微积分常数，取??0，故

kh

k2h2?211?2u?Acoks??22有r?? ?222kh u?khAcosk??22A2cosk??1kh?ak2h2Ak2h2r?令a?2,所以e?1?ecosk? ??2

?2?22??2??将力F??m??r2?r3??带入此式

??

1因为 u?所以

r

3.10解 如题3.10.1图。一均质圆盘，半径为a，放在粗糙水平桌上，绕通过其中心的

竖直轴转动，开始时的角速度为?0。已知圆盘与桌面的摩擦系数为?，问经过多少时间后

盘将静止？

drd?ro?r解：z轴过O点垂直纸面向外。均质圆盘的密度为?。设盘沿顺时针转动，则沿z的方向有

dIz?z?Mz① I为转盘绕z?Mz 即 I?dt题3.10.1图轴的转动惯量：I?1ma2（m为盘的质量），

2 ?z??? ② （?为盘转动的角频率，负号因为规定顺时针转动）

Mz??????

2?0?a0?g?r2d?dr?2?2?g?a3=?g?ma?m???a2?③ 由①②③得 33

3a?04?g又因为 4?g所以

??0???0, 故??t???0???t??0,得t?t

4?g3a3a空气阻力矩与角速成正比，比例常数为k。3.11通风机的转动部分以初角速?0绕其轴转动。

如转动部分对其轴的转动惯量为I，问经过多少时间后，其转动的角速减为初角速的一半？又在此时间内共转了多少转？

?0?o解： 如题3.11.1图所示，设z轴通过O点垂直纸面指向外。则对z轴有：dz?MZ设通风机转动的角速度大小为??t?，由

dt于通风机顺时针转动。所以?z????t?，将z??I??t?,Mz?k??t?题3.11.1图代入上式得： ?I???t??k??t?。又由于???0????0?，解得：

??t???0ek?tI

? （?为通风机转动的角度） 故当??t???0时，t?I㏑2。又由于??t????t?k2 设??0??0， ???t???0ek?tI

??t????0e0tk?tIdt???0?I??0kk?t???1?eI? 故当t?I??k??㏑2时，??t??I?0，t时间内通风机转动的转数 n???t????0??I?0

2k2?4?k

矩形均质薄片ABCD，边长为a与b，重为mg，绕竖直轴AB3.12解 如题3.12.1图，

以初角速?0转动。此时薄片的每一部分均受到空气的阻力，其方向垂直与薄片的平面，其

z量值与面积及速度平方成正比，比例系数为k。问经过多少时间

?0aCb??BA后，薄片的角速减为初角速的一半？

解：坐标Oxyz与薄片固连，则沿z轴方向有： dz?MZdtyOD且z?I?z①

现取如图阴影部分的小区域dS?ady，该区域受到的阻力df?kdSv2?kady??y?2

zx3aab2② 23对轴的力矩所以 dfzMz??dMz??k?zdMz??df?y??ka?zydy

04又薄片对轴的转动惯量 I?y2dm?y2?bdy?1ma2?m??ab?③ 由①

?0?03aa②③得：

?z?t??13ka2b1t?4m?0

4m当?z?t???0时，t? 23kab?203.15解 如题3.15.1图所示坐标系Oxyz。一轮的半径为r，以匀速v0无滑动地沿一

直线滚动。求轮缘上任一点的速度及加速度。又最高点及最低点的速度各等于多少？哪一点

是转动瞬心？

y解：由于球作无滑滚动，球与地面的接触A的速度与地

?P面一致，等于零，所以A点为转动瞬心。以O为基点。

xO?设球的角速度ω???k，则

vA?v0?ω?OA?v0i????k????rj???v0??r?k?0z

v0

题3.15.1图r设轮缘上任意一点p，Op与x轴交角为?，则Op?rcos?i?rsin?j故

A

??vp?v0?ω?Op?v0i????k???rcos?i?rsin?j???v0??rsin??i??rcos?j当

??90?vtop?2v0时，得最高点

ap?a0?的速度

dω?Op?ω??ω?Op?dtv???rcos?i??rsin?j??0?cos?i?sin?j?当??90?和?90?时分别得到最高

r222

点和最低点的加速度a

topvv??0j abottom?0j

rr223.19长为2a的均质棒AB，以铰链悬挂于A点上。如起始时，棒自水平位置无初速地运

动，并且当棒通过竖直位置时，铰链突然松脱，棒成为自由体。试证在以后的运动中，棒的

yAoC2a质心的轨迹为一抛物线，并求当棒的质心下降h距离后，棒一共转了几转？

x解 ：固定坐标系Oxy。杆从水平位置摆到竖直位置过程中只有重力做功，故机械能守恒。设此时的角速度为

B题3.19.1图?0，则

mga?11?1?22m?a?0???ma2??022?3?

右边第一项为质心运动动能，第二项为杆绕质心转动的动能。解上式得??03g 2a在杆脱离悬点后，根据动量定理和动量矩定理：?c?0①m??c??mg②I??z?Mzm?xy③③式中I为杆绕质心的转动惯量，Mz为沿过质心平行于z轴的合力矩，易知

3g 即杆将作匀速转动。Mz?0，又?z?0???0，代入③式得 ?z?t???0?2a?c?0????0a??x?c?0??0,yc?0?yyc??3ga,xc?0??0解①②得x??3gat,y??a?1gt2

2cc22??a12xc?a所以质心的轨迹为一抛物线。 3a故当yc??a?h时，杆的质心下降h，代入④式得t?数n??0t?12?2?2hg

故t时间内杆的转

3g2h1?2ag2?3ha

3.20质量为M半径为r的均质圆柱体放在粗糙水平面上。柱的外面绕有轻绳，绳子跨过一

个很轻的滑轮，并悬挂一质量为m的物体。设圆柱体只滚不滑，并且圆柱体与滑轮间的绳

yArTTo?子是水平的。求圆柱体质心的加速度a1，物体的加速度a2及绳中张力T。

解：设圆柱体的转动角速度为ω???k，设它受到地面

moCxMBf题3.20.1图的摩擦力为f，由动量定理和动量矩定理知：?Fx?T?f?M??c?Ma1① x?Mz??Tr?fr??1?②对于滑块。由动量定理知：Mr2?2

?Fa1?y?c?r????ma2③x?T?mg?m?y?④ 以C为基点：?c?r?a1??x则aAx?a2。故a2?a1???r 假设绳不可拉伸。?r⑤ 由①②③④⑤解得：aAx?a1??4mg8mg3mMg ,a2?,T?3M?8m3M?8m3M?8m3.22一飞轮有一半径为r的杆轴。飞轮及杆轴对于转动轴的总转动惯量为I。在杆轴上绕

有细而轻的绳子，绳子的另一端挂一质量为m的重物。如飞轮受到阻尼力矩G的作用，求飞轮的角加速度。若飞轮转过?角后，绳子与杆轴脱离，并再转过?角后，飞轮停止转动，求飞轮所受到的阻尼力矩的量值。

解： Ox轴与速度方向一致，Oz轴垂直纸面向外。设球的半径为r，则球绕任

yV一直径的转动惯量I?2mr2。由动量定理和动量矩定理可知：

5omrAf题3.22.1图xM???Nr③ M??c??N①m??c?N?mg?0② I??c????N④ m?xyx5?g?mg 由①②③④得：????c??g,??c???x,?x2rM设球与板的接触点为A，则t时刻A点的速度为

5?g⑤ ?mg⑥ 球由滑动变?c?t?V?trv??V??xt2rM?tr??gt??ct??vA?v0??r??x为滚动的条件是：vA?v? ⑦ 由⑤⑥⑦解得：

t?V?7m???2M? ??g?3.23重为W1的木板受水平力F的作用，在一不光滑的平面上运动，板与平面间的摩擦系

数为?。在板上放一重为W2的实心圆柱，此圆柱在板上滚动而不滑动，试求木板的加速度

a。 解：设圆柱的半径为r，与木板之间的摩擦力为f2，弹力为N1，木板受

y地面的摩擦力为f1，弹力为N2，对木板由动量定理得：

F?f1?f2?W1a①N2?W1?N1?0② 对圆柱，由角动量gW2W??c?f2③2??c?N1?W2?0 ④xyggf1f1oxF定理和动量定理得：

题3.23.1图 ??f2r⑤ 其中I为圆柱绕中心轴的转动惯量，所以I?I?无滑滚动的条件：??r?a?c??x

1W22⑥

rf1??N2⑦ 2g ⑧ 由①～⑧式解得a?F???W1?W2?g

W2W1?3

5.13.1 半径为r的光滑半球形碗，固定在水平面上。一均质棒斜靠在碗缘，一端在碗内，

一端则在碗外，在碗内的长度为c，试证棒的全长为4c?2r?22? .

c

解 杆受理想约束，在满足题意的约束条件下杆的位置可由杆与水平方向夹角?所唯一确定。杆的自由度为1，由平衡条件：

roC?x????Fi?ri?0即 mg??y =0①

变换方程yc=2rcos?sin?-lsin?=

2rsin2??lsin?②

21?故?yc???2rcos2??lcos????③ 代回①式即2??mgy题5.1.1图1???2rcos??lcos?????0

2??因??在约束下是任意的，要使上式成立必须有：rcos2?-lcos?=0

24rcos2?④ 又由于 cos=c?l?cos?2r22c?2r故 cos2= 代回④式得 ?22r4?c2?2r2? l?c

5.2解 相同的两个均质光滑球悬在结于定点O的两根绳子上，此两球同时又支持一个等

重的均质球，求?角及?角之间的关系。

解：三球受理想约束，球的位置可以由?确定，自

o??x由度数为1，故。

x1??2rsin????l?r?sin? x2?2rsin???l?r?sin?y1??l?r?cos?3x3?0y2??l?r?cos?y3??l?r?cosa?2rcos?

???y1???l?r?sin???得?y2???l?r?sin????y3???l?r?sin????2rsin?ny题5.2.1图???????由虚功原理 ????Fi??ri?0故

i?1① ????l?r?sin?????l?r?sin?????l?r?sin????2rsin?????0??因??在约束条件下是任意的，要使上式成立，必须?3?l?r?sin??2rsin????0

??故

P1?y1?P2?y2?P3?y3?0??2rsin?② 又由 ?x1??2rcos??????l?r?cos???得： ???3?l?r?sin???2rcos?③ 由②③可得tan??3tan? ????l?r?cos?4.10 质量为m的小环M，套在半径为a的光滑圆圈上，并可沿着圆圈滑动。如圆圈在水平面内以匀角速?绕圈上某点O转动，试求小环沿圆圈切线方向的运动微分方程。

解：?1?平面运动，一个自由度.

?2?选广义坐标为q??，广义速度

y?3?因未定体系受力类型，由一般形式的拉格朗日方程 Ca??M(x,y)o?tnd??T??T① 在 ???W??Fi??ri?Q1???0。??Q??????q?dt??qi?1x第4.10图?T??T广义力 Q1?0.代入①得： d??0② 在极????dt??????坐标系下：

T?1?2?2?r2?mr??22??????????t????2?d?d2acos??1???2???2????m2acos?????22???dt???2????????????1m??4a2?2cos2??4a2?2?2??cos2?2?a2??2??③

?故 将以上各式代入②式得

ma2????2ma2???sin??ma2?2sin??2ma2???sin??0

dt????????????2sin??0

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