函数概念的产生及其历史演变

《第二章 函数》整体学程指导

集合作为近现代数学的“基本语言”被引入高中数学课程体系，利用它可以简洁、准确地表述一些数学对象。本章是集合语言应用的一个重要载体，是学习完集合语言后应用语言表述数学问题、研究数学问题和解决数学问题的一次重要实践和有力尝试。

函数分为两个部分：函数的概念及基本性质（第二章）；

指数函数、对数函数和幂函数（第三章）;

函数的概念和基本性质（单调性、奇偶性） 解读：该部分学习意在通过对函数基本概念的理解（函数的概

念）、巩固（分段函数）和加深（映射的概念）（教材中先函数后映射遵循概念发展的历史过程）；基本性质的学习（为什要只重点研究函数的这几个性质？水浒传里有108将，但是只对武松、鲁智深、林冲等十几个人着力刻画，这是文学家的方法，也是数学家的方法。

函数（Function） 本部分学习的目的是通过学习形成函数研究的一般方法和套路。

基本初等函数（指数、对数、幂函数）

解读：该部分学习是在形成函数研究的一般方法之后对方法的

有力尝试，在尝试中不断加深对函数研究一般方法的认识和理解。

数学内部发展（函数的零点、二分法求方程近似解）

函数的应用 （数学发展的两条主线都涉及了）

社会现实需要（解决社会与生活中的实际问题）

第一节：函数概念的起源及其历史演变

我们要参观的景点：（The scenery we’ll visit） 1. 函数的概念是什么？（What？） 2. 为什么要建立函数的概念？（Why ?）

3. 函数的概念是如何建立的？函数概念的建立经历了怎样的历史演变过程？（How？） 景点一：函数的概念是什么？函数的概念是如何建立的？

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函数概念是全部数学概念中最重要的概念之一，纵观300年来函数概念的发展，众多数学家从集合、代数、对应、集合的角度不断赋予函数概念以新的思想，从而推动了整个数学的发展。

【工作单1】函数概念的第一次抽象认识（解析式说） 案例1：圆的面积S与圆半径r的关系； 案例2：锐角?与锐角?互余，?与?的关系；

案例3：气体的质量一定时，它的体积V与它的密度?之间的关系；

【思考1】上述的每一个问题在变化过程中，谁是常量，谁是变量？都涉及几个变量？ 【思考2】两个变量之间的关系是通过什么来刻画的？

【思考3】综合思考1和思考2的解答，总结上述例子变量间关系的共同特点？

【早期函数概念】

十七世纪伽俐略在《两门新科学》一书中，几乎从头到尾包含着函数或称为变量的关 系这一概念，用文字和比例的语言表达函数的关系。1673年前后笛卡尔在他的解析几何中，已经注意到了一个变量对于另一个变量的依赖关系，但由于当时尚未意识到需要提炼一般的函数概念。

1718年约翰〃贝努利对函数概念进行了明确定义：由任一变量和常数的任一形式所构 成的量（是历史上第一个正式发表的明确的函数定义），贝努利把变量x和常量按任何方 式构成的量叫“x的函数”。

欧拉在《无穷分析引论》（1748）中给出的函数定义是：“一个变量的函数是由该变量和一些数或常量以任何方式组成的解析式。”

【总结】十七和十八世纪的数学家对函数问题的认识上有着共同的思考：函数就是解析式 局限性：并不是所有的函数关系都能用表达式表示，没有解析式的能算作函数吗？ 【工作单2】函数概念的第二次抽象认识（变量的依赖说） 2

案例1： 【思考

1】表格中有变量吗？有几个变量？是什么？

【思考2】当年份确定时，相应年份的人口数是否确定？那么你能根据表格写出1949 ~1999年年份与我国人口数的关系式吗？ 案例2：

【思考1】统计图中有

变量吗？有几个变量？是什么？

【思考2】当时间确定时，相应的温度是否确定？你能写出温度随时间变化的关系式吗？ 【思考】综合上述思考题的解答，总结上述例子变量间关系的共同特点？

欧拉在《微分学原理》（1755）序言中给出的定义是：”如果某个量依赖于另一个量，当后面这个量变化时，前面这个量也随之变化，则前面这个量称为后面这个量的函数。 总结：函数表示的是变量的一种依赖关系。

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局限性：并不是所有变量之间都具有依赖性的，即在解析式中找不到x,y的对应关系的能算作函数吗？

【工作单3】函数概念的第三次抽象认识（变量的对应说） 案例：某市出租汽车的收费标准如下：在3km（含3km）路程按起步价11元收费，超过

3km的路程按2.4元/km收费，试问：某次乘坐出租汽车路程为1.8km和2.7km时，收

费分别是多少？如果是4km呢？

【思考1】上述问题有变量吗？有几个变量？分别是什么？ 【思考2】上述两个变量是否一定具有依赖关系？

【思考】综合上述思考题的解答，总结上述例子变量间关系的特点？ 【十九世纪函数概念——变量对应关系下的函数】

1823年柯西从定义变量开始给出了函数的定义，同时指出，函数不一定要有解析表达式，不过他仍然认为函数关系可以用多个解析式来表示，这是一个很大的局限，突破这一局限的是杰出数学家狄利克雷。

1837年狄利克雷认为怎样去建立与y之间的关系无关紧要，他拓广了函数概念，指出：“对于在某区间上的每一个确定的x值，y都有一个确定的值，那么y叫做x的函数．”狄利克雷的函数定义，出色地避免了以往函数定义中所有的关于依赖关系的描述，简明精确，以完全清晰的方式为所有数学家无条件地接受．至此，我们已可以说，函数概念、函数的本质定义已经形成，这就是人们常说的经典函数定义。（初中学习的函数的定义） 局限性：没有局限性了，只是集合语言的引入，显得更高端洋气上档次一些。 【工作单4】函数概念的第四次抽象认识（集合的对应说） 等到20世纪康托尔创立的集合论在数学中占有重要地位之后，集合语言作为近现代数学的“基本语言”广泛的在数学的各个分支学科中占据着重要地位。那么如何利用集合语言来包装函数的变量对应说，从而给出基于集合语言的定义呢？

【思考1】 变量对应说中的两个变量如何用集合语言包装？（集合的概念）两个非空数集

强调：非空、数集（所谓函数函数，研究的肯定是数的集合）；

【思考2】 变量对应说中的变量对应关系如何用集合语言包装？（变量对应-集合对应）

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强调：集合对应的本质仍然是两非空数集中元素的对应；

【思考3】 集合对应的本质仍是两非空数集中元素的对应，那么这种对应遵循什么规律？（1）非空数集A中能否存在多余的元素？ （2）非空数集B中能否存在多余的元素？

（3）对于非空数集A中的任意一个元素x，在非空数集B中能否有两个元素与之对应？ 【思考4】结合上述几个思考题，概括函数的本质属性，并给出函数的概念？

（按照某种对应法则（可以为解析式、可以为表格、可以为图像）、在集合A中的每一个元素，在B中都有唯一的元素与之对应）（看成是数值发生器） 根据函数的定义进一步思考： 【思考5】

（1）在非空数集B中的元素x，在非空数集A中是否可有两个或多个元素与之对应？ （2）非空数集A和非空数集B是否可以为无限集？试举例说明。（有限与无限应该是同

步的，例子为：正整数集合与正偶数集合的对应关系）

数学的表述和推理离不开符号，所以函数概念要为数学服务，也要用符号表示。 数学教育国际比较的观点：David Clarke（张家港常青藤和美国芝加哥）。不同的函数可看成是不同的数值发生器（画出三个不同形状的数值发生器）。 根据函数的表示进一步思考： 【思考6】

21: f(x)?x是函数么？f(2)是函数吗？f(x)?1是函数吗？

2：y?f(x),x?D；s?f(t),t?D表示的是同一个函数吗？ 3：已知f(x)?x?3，则f(y),f(?),f(何睦)分别是什么？ 【现代函数概念——集合论下的函数】

维布伦用“集合”和“对应”的概念给出了近代函数定义，通过集合概念，把函数的对应关系、定义域及值域进一步具体化了；

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