漆安慎 - 杜禅英 - 力学习题及答案02章

第2章 质点运动学 第2章 质点运动学

第二章 质点运动学

一、基本知识小结

⒈基本概念 r??r??(t)v??dra??dv?d2r?dtdt?dt2

r?(t)?v?(t)?a?(t)

（向右箭头表示求导运算，向左箭头表示积分运算，积分运算需初始条件：t?t??0,r?r0,v??v?0）

⒉直角坐标系 r??xi??y?j?zk?,r?x2?y2?z2,r?与x,y,z

轴夹角的余弦分别为 x/r,y/r,z/r.

v??vxi??vj?v?,v?v2x?v2y?v2?y?zkz,v与x,y,z轴夹角的余弦分别为 vx/v,vy/v,vz/v.

a??axi??a?j?azk?,a?a2x?a2?yy?a2z,a与x,y,z轴夹角的余弦分别为 ax/a,ay/a,az/a.

vdxdydzx?dt,vy?dt,vz?dtadvd2xdvyd2ydvd2z x?xdt?dt2,ay?dt?dt2,az?zdt?dt2(x,y,z)?(vx,vy,vz)?(ax,ay,az)

⒊自然坐标系 r??r?(s);v??v???,vds??dt,v?|v?| a??a22dv?d2sv2????ann?,a?a??an,a??dt?dt2,an?? s(t)?v?(t)?a?(t)

⒋极坐标系 r??rr?,v??vrr??v???,v?v2r?v2? vr?drdt,vd???rdt ⒌相对运动 对于两个相对平动的参考系

r??r?'?r?0,t?t' （时空变换） v??v?'?v?0 （速度变换）

a??a?'?a?0 （加速度变换）

若两个参考系相对做匀速直线运动，则为伽利略变换，在图示情况下，则有：

y y'

V

x'?x?Vt,y'?y,z'?z,t'?t

vx'?vx?V,vy'?vy,vz'?vz

o x o' x' ax'?ax,ay'?ay,az'?az z z'

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二、思考题解答

2.1质点位置矢量方向不变，质点是否作直线运动？质点沿直线运动，其位置矢量是否一定方向不变？

解答：质点位置矢量方向不变，质点沿直线运动。质点沿直线运动，质点位置矢量方向不一定不变。如图所示。

2.2若质点的速度矢量的方向不变仅大小改变，质点作何种运动？速度矢量的大小不变而方向改变作何种运动？

解答：质点的速度矢量的方向不变仅大小改变，质点作变速率直线运动；速度矢量的大小不变而方向改变作匀速率曲线运动。

2.3―瞬时速度就是很短时间内的平均速度‖这一说法是否正确？如何正确表述瞬时速度的定义？我们是否能按照瞬时速度的定义通过实验测量瞬时速度？

解答：―瞬时速度就是很短时间内的平均速度‖这一说法不正确。因为瞬时速度与一定的时刻相对应。瞬时速度的定义是质点在t时刻的

瞬时速度等于t至t+△t时间内平均速度

??r/?t，当△t→0时的极???rd?r限，即

v?lim?t?0?t?dt。很难直接测量，在技术上常常用很短时间内的平均速度近似地表示瞬时速度，随着技术的进步，测量可以达到

很高的精确度。

2.4试就质点直线运动论证：加速度与速度同号时，质点作加速运动；加速度与速度反号时，作减速运动。是否可能存在这样的直线运动，质点速度逐渐增加但加速度却在减小？ 解答：

ax?lim?vxdvx?t?0?t?dt,加速度与速度同号时，就是说

vx?0,ax?0或vx?0,ax?0,以vx?0,ax?0为例，速度为正表示速度

的方向与x轴正向相同，加速度为正表示速度的增量为正，

t??t时刻的速度大于t时刻的速度，质点作加速运动。同理可说明

vx?0,ax?0,质点作加速运动。

质点在作直线运动中速度逐渐增加但加速度却在减小是可能存在的。例如初速度为

v0x，加速度为ax?6?t，速度为

vv?tv1x?0x?0(6?t)dt?0?6t?2t2，

t?6时，ax?0,vx?0,速度逐渐增加。 2.5设质点直线运动时瞬时加速度ax?常量，试证明在任意相等的

时间间隔内的平均加速度相等。 解答：平均加速度ax?vx2?vx1t2?t1

由瞬时加速度

advx2x?dt,dvavx2tx?xdt,?vx1dvx??t1axdt, vx2?vx1得，

ax?t2?t1，a?常量，即a?vx1x?vx2xt2?t1为常量。

2.6在参照系一定的条件下，质点运动的初始条件的具体形式是否与计时起点和坐标系的选择有关？ 解答：有关。

例子，以地面为参照系，研究物体的自由下落。

2.7中学时曾学过

v?12t?v0?at,s?v0t2at2,v2t?v0?2as，这几个匀变速直线运动的公式，你能否指出在怎样的初始条件下，

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可得出这几个公式。 解答：t?0,v?v0,s?0

2.8试画出匀变速直线运动公式（2.3.7）和（2.3.9）的vx?t图和

ax?t图。

x?xv120?0xt?2axt,......(2.3.7)v2x?v20x?2ax(x?x0),......(2.3.9) 解答：（1）vdxx?dt?v0x?axt av22x?v0x （2）

x?tg??2(x?x0)

2.9对于抛体运动，就发射角为

0????; ??0,?; ????2这几种

情况说明它们各代表何种运动。

解答：①下斜抛；②平抛；③竖直上下抛。

2.10抛体运动的轨迹如图所示，试在

图中用矢量表示它在A、B、C、D、E各点处的速度和加速度。 解答：

2.11质点作上斜抛运动时，在何处的速率最大，在何处的速率最小？

vx?v0cos?,vy?v0sin??gt,解答：v?v20?g2t2?2v0gsin?t

t?v0sin?求极值，

g时，有极小值，

即最高点处速率最小。（O、A处速率最大）

2.12试画出斜抛运动的速率—时间曲线。

解答：

v?v20?g2t2?2v0gsin?t

2.13在利用自然坐标研究曲线运动时，

vv和??、v三个符号的含义有什么不同？

解答：

v?为速度在切线单

?位矢量的投影v?v???，它不同于速率v，v?有正

负，v??v。?v表示的是

速度，沿切线方向，有大小

和方向。

2.14质点沿圆周运动，自A点起，从静止开始作加速运动，经B点到C点；从C点开始作匀速圆周运动，经D点直到E点；自E点以后作减速运动，经F点又到A点时速度变成零。用矢量表示出质点

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在A、B、C、D、E、F各点的法向加速度和切向加速度的方向。 解答：

2.15什么是伽利略变换？它所包含的时空观有何特点？ 解答：①伽利略变换

x??x?vt,y??y,z??z;v?x?vx?v,v?y?vy,v?z?vz;

②时空观特点

同时性；等时性；等长性。 相对论中的洛伦兹变换：

x??x?vtt?v1??2,y??y,z??z,t??c2x1??2,

??v/c,当??0该变换回到伽利略变换。

时空观特点

同时的相对性；运动的杆缩短；运动的时钟变慢。

三、习题解答

2.1.1质点运动学方程为：⑴r??(3?2t)i??5?j ⑵r??(2?3t)i??(4t?1)?j,求质点轨迹并用图表示.

解：⑴x?3?2t,y?5,轨迹方程为y?5的直线.

⑵x?2?3t,y?4t?1，消去参数t得轨迹方程4x?3y?5?0

y 5 5/3 y 5/4

x

x

2.1.2 质点运动学方程为r??e?2ti??e2t?j?2k?.⑴求质点轨迹；⑵求自t= -1到t=1质点的位移。

解：⑴由运动学方程可知：x?e?2t,y?e2t,z?2,xy?1，所以，质点是在z=2平面内的第一像限的一条双曲线上运动。

⑵?r??r?(1)?r?(?1)?(e?2?e2)i??(e2?e?2)?j ??7.2537i??7.2537?j。所以，位移大小：

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|?r?|?(?x)2?(?y)2?(?7.2537)2?7.25372?7.25372,与x轴夹角??arccos?x|?r?|?arccos(?22)?135?

与y轴夹角??arccos?y|?r?|?arccos(22)?45?与z轴夹角??arccos?z|?r?|?arccos0?90?

2.1.3质点运动学方程为r??4t2i??(2t?3)?j. ⑴求质点轨迹；

⑵求质点自t=0至t=1的位移.

解：⑴x?4t2,y?2t?3，消去参数t得：x?(y?3)2

⑵?r??r?(1)?r?(0)?4i??5?j?3?j?4i??2?j

2.2.1雷达站于某瞬时测得飞机位置为R1?4100m,?1?33.7?

0.75s后测得R2?4240m,?2?29.3?，R1,R2均R 在铅直面内，求飞机瞬时速率的近似值和飞行方

向（α角）

θ 解：v??v??R???2?R1?t??R?t，在图示的矢量θR1 ΔRα 1 三角形中，应用余弦定理，可求得：

θR2 2 θ1

?R?R221?R2?2R1R2cos(?1??2)?41002?42402?2?4100?4200cos4.4? ?349.58mv?v??R/?t?349.58/0.75?465.8m/s

据正弦定理：?R/sin(?1??2)?R2/sin(180???1??)

sin(180???1??)?R2sin(?1??2)/?R?4240sin4.4?/349.58?0.931,180???1???111.41?,???34.89?

2.2.2 一圆柱体沿抛物线轨道运动，抛物线轨道为

y=x2/200(长度：毫米)。第一次观察到圆柱体在y x=249mm处，经过时间2ms后，圆柱体移到x=234mm处。求圆柱体瞬时速度的近似值。

?解：由于Δt很小，所以，v??v???rx ?t，

0 x1 x2 其中，?t?2ms,?r???xi???y?j,?x?x2?x1?234?249??15

?y?y222?y1?(x2?x1)/200?(2342?2492)/200??36.2

?v??(?x/?t)i??(?y/?t)?j??7.5i??18.1?j。其大小

|v?|?(?7.5)2?(18.1)2?19.6mm/ms；与x轴夹角

??arccosvxv?arccos?7.519.6?arccos(?0.38265)??112.5?

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2.2.3一人在北京音乐厅内听音乐，离演奏者17m；另一人在广州听同一演奏的转播，广州离北京2320km，收听者离收音机2m，问谁先听到声音？声速为340m/s，电磁波传播的速率为3.0×108m/s.

解：声音传播情况如图所示，

北京人听到演奏声音所需时间：

17m t/340?0.05s

340m/s 1?178广州人听到演奏声音所需时间：

2320km,3×10m/s t2320?1032340m/s 2?3.0?108?340?0.0136s 2m

2.2.5火车进入弯道时减速，最初列车向正北以90km/h速率行驶，

3min后以70km/h速率向北偏西30°方北 30°向行驶，求列车的平均加速度。 v2 ??

解：a??v?v?21?v?t??t vv1=90km/h α Δ v2=70km/h 对矢量三角形应用余弦定理：

西

?v?v221?v2?2v1v2cos30??902?702?90?703?45.69km/h?12.69m/s

a??v?12.69v?v60?0.07m/s2?t3?，由正弦定理：2sin??sin30?

sin??v2sin30?/?v?70?0.5/45.69?0.766,??50?

2.2.6 ⑴r??Rcosti??Rsint?j?2tk?，R为正常数，求t=0,π/2时的速度和加速度。⑵r??3ti??4.5t2?j?6t3k?，求t=0,1时的速度

和加速度（写出正交分解式）。

解：⑴v??dr?/dt??Rsinti??Rcost?j?2k? a??dv?/dt??Rcosti??Rsint?j.?v?|t?0?R?j?2k?,a?|t?0??Ri?,v?|t??/2??Ri??2k?,a?|t??/2??R?j ⑵v??dr?/dt?3i??9t?j?18t2k?,a??dv?/dt??9?j?36tk?； v?|?3i?|?t?0?,at?0??9?j,v|t?1?3i??9?j?18k?,a?|t?1??9?j?36k?

a x(m) 2.3.1图中a、b和c表示质点沿直b 线运动三种不同情况下的x-t图像，试20 说明每种运动的特点（即速度，计时起10 30° c 120° 点时质点的位置坐标，质点位于坐标原20 45° 点的时刻）

0 -10 10 30 t(s) 解：质点直线运动的速度 -20 v?dx/dt，在x-t图像中为曲线斜率。由于三种图像都是直线，因此三种运动都是匀速直线运动，设直线与x轴正向夹角为α，则速度v?tg???x/?t

对于a种运动：

v?tg120???3m/s,x|t?0?20m,t|x?0?20tg30??11.55s

对于b种运动：

v?tg30??3/3ms?1,x|t?0?10m,t|x?0??10/tg30???17.32s对于c种运动：

v?tg45??1ms?1,t|x?0?25s,x|t?0??25tg45???25m

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2.3.2质点直线运动的运动学方程为x=acost,a为正常数，求质点速度和加速度，并讨论运动特点（有无周期性，运动范围，速度变化情况等）

解：x?acost,vx?dx/dt??asint,ax?dvx/dt??acost 显然，质点随时间按余弦规律作周期性运动，运动范围：

?a?x?a,?a?vx?a,?a?ax?a

2.3.3跳伞运动员的速度为v??1?e?qt1?e?qt，v铅直向下，β,q为

正常量，求其加速度，讨论时间足够长时（即t→∞）速度、加速度的变化趋势。

解：

dvd1?e?qta?dt??dt(1?e?qt) ??(1?e?qt)qe?qt?(1?e?qtt)(?qe?qt)2?qe?qt(1?e?qt)2?(1?e?qt)2因为v>0，a>0，所以，跳伞员做加速直线运动，但当t→∞时，

v→β，a→0，说明经过较长时间后，跳伞员将做匀速直线运动。

2.3.4 直线运行的高速列车在vv(km/h) 0 v=v0cosπx/5 电子计算机控制下减速进站。列车原运行速率为v0=180km/h，其速x(km)

率变化规律如图所示。求列车行至1.5 x=1.5km时的加速度。

解：v?v0cos(?x/5),dv/dx????5v0sin5x.

a?dv?dx?vdv122dxdtdx??10?v0sin5?x，将v0=180km/h,x=1.5km代入 a??110?3.14?1802?sin108???9676km/h2??0.75m/s2

2.3.5在水平桌面上放置A、B两

物体，用一根不可伸长的绳索按图示 aA 的装置把它们连接起来，C点与桌面

B A 0.5g 固定，已知物体A的加速度aA=0.5g，0 x 求物体B的加速度。

解：设整个绳长为L，取图示坐标o-x，则3xA+(-4xB) = L 对时间求两次导数，3aA=4aB，所以aB = 3aA/4=3×0.5g/4 = 3g/8

2.3.6质点沿直线的运动学方程为x=10t+3t2. ⑴将坐标原点沿o-x正方向移动2m，运动学方程如何？初速度有无变化？⑵将计时起点前移1s，运动学方程如何？初始坐标和初速度发生怎样的变化？加速度变不变？

解：x=10t+3t2，v=dx/dt=10+6t，a=dv/dt=6，t=0时，x=0,v=10 ⑴将坐标原点向x轴正向移动2m，即令x'=x-2，x=x'+2，则运动学方程为：x'=10t+3t2-2，∵v'=dx'/dt=10+6t，∴v'=v

⑵将计时起点前移1s，即令t'=t+1，t=t'-1，则运动学方程变为：x = 10(t'-1) + 3(t'-1)2 = 10t' – 10 + 3t'2 - 6t' + 3 = 4t' + 3t'2 – 7 v'=dx/dt'=4+6t'，t'=0时，x= -7，v'=4，加速度a不变。

2.4.1质点从坐标原点出发时开始计时，沿x轴运动，其加速度ax = 2t (cms-2)，求在下列两种情况下质点的运动学方程，出发后6s时质点的位置、在此期间所走过的位移及路程。⑴初速度v0=0；⑵初速度v0的大小为9cm/s，方向与加速度方向相反。

vt解：dvx?axdt?2tdt,x?dv2?tdt,v2x?x?v0?t

v0013

第2章 质点运动学 第2章 质点运动学

xttdx?v3xdt?(v0?t2)dt,?dx?v0?dt??t2dt,x?v0t?13t 000⑴v0?0时，vx?t2,x?13123t;x(6)?3?6?72cm ?x?x(6)?x(0)?72m路程S??x?72cm

⑵v0??9时，vx?t2?9,x?133t?9t ?x?x(6)?x(0)?18cm

令vx=0，由速度表达式可求出对应时刻t=3，由于3秒前质点沿x轴反向运动，3秒后质点沿x轴正向运动，所以路程：

S?|x(3)?x(0)|?|x(6)?x(3)|?x(6)?2x(3)?18?2(13?33?9?3)?18?36?54cm

2.4.2质点直线运动瞬时速度的变化规律为：vx = -3 sint，求t1=3至t2=5时间内的位移。

x5解：dx?vxdt??3sintdt,5x?dx??3?sintdt

33?x?x5?x3?3(cos5?cos3)?3.82m

2.4.3 一质点作直线运动，其瞬时加速度的变化规律为

ax= -Aω2cosωt.在t=0时，vx=0,x=A，其中A,ω均为正常数。求此质点的运动学方程。

解：ax?dvx/dt??A?2cos?t,dv2x??A?cos?tdt，

?vxtt0dvx??A?2?0cos?tdt??A??0cos?td(?t)vx??A?sin?t?dx/dt,dx??A?sin?tdt?xttAdx??A??0sin?tdt??A?0sin?td(?t)

x?A?Acos?t|t0?A(cos?t?1),x?Acos?t

2.4.4飞机着陆时为尽快停止采用降落伞制动，刚着陆时，t=0时速度为v0，且坐标x=0，假设其加速度为 ax = - bvx2，b=常量，求飞机速度和坐标随时间的变化规律。

vxt解：dv22x?axdt??bvxdt,?v?xdvx??b?dt,?v?1x|vxv0??bt

v0011?v0btvv?1??bt,1?1?bt,,v0x? 0vxvxv0v01?v0btdx?vv0dtxtv0dt1td(1?v0bt)xdt?1?vbt,?dx?0??01?v0btb?,001?v0bt x?1bln(1?v0bt)

2.4.5在195m长的坡道上，一人骑自行车以18km/h的速度和-20cm/s2的加速度上坡，另一自行车同时以5.4km/h的初速度和0.2m/s2的加速度下坡，问：⑴经多长时间两人相遇？⑵两人相遇时各走过多长的路程？

解：以上坡者出发点为原点沿其前进方向建立坐标o-x，用脚标1表示上坡者，用脚标2表示下坡者。

两人的加速度实际上是相同的：a1?a2??0.2m/s2

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第2章 质点运动学 第2章 质点运动学

初始条件：t?0时，x1?x10?0,x2?x20?195v1?v10?18km/h?5m/s,v2?v20??5.4km/h??1.5m/s

根据匀变速直线运动公式：

vv20 x

10 x221?v10t?12a1t?5t?0.1ta195 2 x2a0 1

22?195?v20t?12a2t?195?1.5t?0.1t

⑴令x1=x2，可求得相遇时间：5t=195-1.5t, t=195/6.5=30s

⑵对于上坡者，在相遇期间做的不一定是单方向直线运动，据上坡者的速度表达式：v1=5-0.2t，令v1=0，求得对应时刻t=25s，所以，上坡者在25s前是在上坡，但25s后却再下坡。因此，上坡者在30s内走过的路程：

S1?|x1(25)?x1(0)|?|x1(30)?x1(25)|?2x1(25)?x1(30)?2(5?25?0.1?252)?(5?30?0.1?302)?65m

对于下坡者，因为做单方向直线运动，所以30s内走过的路程：

S2?|x2(30)?x2(0)|?x2(0)?x2(30)?195?60?135m

2.4.6站台上送行的人， 2 1 在火车开动时站在第一节车

厢的最前面，火车开动后经过0 x Δt=24s，火车第一节车厢的末

尾从此人的前面通过，问第七节车厢驶过他面前需要多长时间?火车做匀加速运动。

解：设每节车厢长为L，以地为参考系，以人所在点为原点建立图示坐标o-x，以第一节车厢的前端点为研究对象，t=0时，前端点的坐标x=0，速度v=0，据匀加速运动公式：

x?12，令x=L，求得：a?2L2L22at(?t)2?242，∴x?Lt/242 令x=6L，可求得第6节车厢尾端通过人时所需时间t6：

6L?Lt2/242,t2?6?242,t?t6?246

令x=7L，可求得第7节车厢尾端通过人时所需时间t7：

7L?Lt2/242,t2?7?242,t?t7?247

因此，第7节车厢通过人所需时间：

?t?t7?t6?24(7?6)?4.71s

2.4.7 在同一铅直线上相隔h的两点以同样速率v0

上抛二石子，但在高处的石子早ty 0秒被抛出，求此二石子何时何处相遇？

解：以地为参考系，建立图示坐标o-y。据题意，

h 设t=0时，上面石子坐标y1=h,速度v1=v0；t=t0时，下0 面石子坐标y2=0，v2=v0

解法1：根据匀变速直线运动的规律，可知

y?h?v210t?12gt⑴y?v?t?t220(t0)?12g(t0)⑵令y21?y2,有h?v0t?1122gt?v0(t?t0)?2g(t?t0)求得相遇时间t?h?v0?t0gt，代入⑴或⑵中，可求得 0g2相遇时石子坐标y?12[h?v20g?h2gt2?1gt20]04解法2：可根据速度、加速度的导数定义和初始条件，通过积分

得到⑴、⑵，然后求解。

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第2章 质点运动学 第2章 质点运动学

2.4.8电梯以1.0m/s的匀速率下降，小孩在电梯中跳离地板0.50m高，问当小孩再次落到地板上时，电梯下降了多长距离？

解：以电梯为参考系，小孩相对电梯做竖直上抛运动，他从起跳到再次落到地板所需时间，是他从最高处自由下落到地板所需时间的2倍。由自由落体运动公式：h?122gt，可求得从最高出落到

地板所需时间：t?2g/h?2?9.8/0.5?0.32s，所以小孩做

竖直上抛所需时间为0.64s，在此时间内电梯对地下落距离：

L = 1.0×0.64 = 0.64 m

2.5.1质点在o-xy平面内运动,其加速度为a???costi??sint?j，位置和速度的初始条件为：t=0时，v???j,r??i?，求质点的运动学方程并画出轨迹。

解：

????vttdv?adt?(?costi?sint?j)dt,?dv???i??costdt??j?sintdt?j00v???j?sinti??(cost?1)?j??sinti??cost?j?rtt

dr??v?dt?(?sinti??cost?j)dt,?dr???i??i?sintdt??j0?costdt?0r?i??(cost?1)i??sint?j?costi??sint?j?x?cost,y?sinty x2?y2?1

x

2.5.2 在同一竖直面内的同一水平线上A、B两点分别以30o、60o为发射角同时抛出两球，欲使两小球相遇时都在自己的轨道的最

高点，求A、B两点间的距离。已知小球在A点的发射速度vA=9.8米/秒。

解：以A点为原点建立

图示坐标系，取发射时刻为

Y vAO 计时起点，两点间距离为S，

vBO 初始条件如图所示。

30o 60o 据斜抛规律有：

A S B x xA?vAOcos30?t⑴xB?vBOcos60?t?S⑵vAy?vAOsin30??gt⑶v

By?vBOsin60??gt⑷满足题中条件，在最高点相遇，必有vAy=vBy=0,xA=xB

令⑶,⑷?0,t?vAOsin30?/g⑸,vBO?vAOsin30?/sin60?⑹令⑴?⑵，得S?(vAOcos30??vBOcos60?)t⑺

2把⑸,⑹代入⑺中得：S?vAO2g(cos30??0.5ctg60?)?2.83m

2.5.3迫击炮的发射角为60°发射速率150m/s，炮弹击中倾角为30°的山坡上的目标，发射点正在山脚，求弹着点到发射点的距离OA.

解：以发射点为原点，建立图示坐标o-x，y 斜抛物体的轨迹方程为（见教材）：

v0 A y?xtg??gx2 30° 2v22 x

0cos?60°本题，α=60°，v0=150m/s，A点坐标xA,yA应满足轨迹方程，所以： yA?xAtg60??g22v2x22gA?3xA?2xA ①

0cos260?v0另外，根据图中几何关系，可知：x3A?OAcos30??2OA

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