2019版高考数学一轮复习 第二章 函数、导数及其应用 第12讲 函数与方程课时作业 理

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第12讲 函数与方程

1．(2015年安徽)下列函数中，既是偶函数又存在零点的是( )

2

A．y＝ln x B．y＝x＋1 C．y＝sin x D．y＝cos x

2x2．函数f(x)＝2－－a的一个零点在区间(1,2)内，则实数a的取值范围是( )

xA．(1,3) B．(1,2) C．(0,3) D．(0,2)

?1?x?1?x3．(2016年辽宁大连模拟)设方程log4x－??＝0，log1x－??＝0的根分别为x1，x2，

?4??4?

4则( )

A．0

x2

4．设函数f(x)＝e＋x－2，g(x)＝ln x＋x－3.若实数a，b满足f(a)＝0，g(b)＝0，则( )

A．g(a)<0

2

5．已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x－3x，则函数g(x)＝f(x)－x＋3的零点的集合为( )

A．{1,3} B．{－3，－1,1,3}

C．{2－7，1,3} D．{－2－7，1,3}

2

6．已知f(x)是奇函数，且在R上是单调函数，若函数y＝f(2x＋1)＋f(λ－x)只有一个零点，则实数λ的值是( )

1173A. B. C．－ D．－ 4888

2??，x>1，7．已知函数f(x)＝?x??9x(1－x)2，x≤1，

若函数g(x)＝f(x)－k仅有一个零点，

则k的取值范围是( )

?4?A.?，2? ?3?

?4?B．(－∞，0)∪?，＋∞? ?3?

C．(－∞，0)

?4?D．(－∞，0)∪?，2? ?3?

8．(2017年广东深圳二模)若对任意的实数a，函数f(x)＝(x－1)ln x－ax＋a＋b有两个不同的零点，则实数b的取值范围是( )

A．(－∞，－1] B．(－∞，0) C．(0,1) D．(0，＋∞)

唐玲

9．(2016年河南郑州模拟)已知y＝f(x)是定义域为R的奇函数，当x∈[0，＋∞)时，f(x)＝x2－2x.

(1)写出函数y＝f(x)的解析式；

(2)若方程f(x)＝a恰有3个不同的解，求a的取值范围．

10．已知f(x)是二次函数，不等式f(x)＜0的解集是(0,5)，且f(x)在点(1，f(1))处的切线与直线6x＋y＋1＝0平行．

(1)求f(x)的解析式；

37

(2)是否存在t∈N，使得方程f(x)＋＝0在区间(t，t＋1)内有两个不相等的实数根？

x若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．

唐玲

第12讲 函数与方程

1．D 解析：y＝ln x的定义域为(0，＋∞)，故y＝ln x不具备奇偶性，故选项A错

22

误；y＝x＋1是偶函数，但y＝x＋1＝0无解，即不存在零点，故选项B错误；y＝sin xπ

是奇函数，故选项C错误；y＝cos x是偶函数，且y＝cos x＝0?x＝＋kπ，k∈Z.故选

2

项D正确．

22xx2．C 解析：因为函数f(x)＝2－－a在区间(1,2)上单调递增，又函数f(x)＝2－－

xxa的一个零点在区间(1,2)内，则有f(1)·f(2)＜0，所以(－a)(4－1－a)＜0，即a(a－3)＜0.所以0＜a＜3.

?1?x3．A 解析：在同一平面直角坐标系内画出函数y＝??，y＝log4x，y＝log1x的图象，

?4?

4如图D99，

图D99

?1??1??1??1?则x1>1>x2>0，则log4x1＝??x1，log1x2＝??x2，得log4(x1x2)＝??x1－??x2<0，所以?4??4??4??4?

40

4．A 解析：由f(0)·f(1)<0，f(a)＝0，得0

由g(1)·g(2)<0，g(b)＝0，得10，g(a)<0.故选A.

22

5．D 解析：当x≥0时，f(x)＝x－3x，令g(x)＝x－3x－x＋3＝0，得x1＝3，x2＝1.

222

当x＜0时，－x＞0，∴f(－x)＝(－x)－3(－x)．∴－f(x)＝x＋3x.∴f(x)＝－x－3x.令g(x)＝－x2－3x－x＋3＝0，得x3＝－2－7，x4＝－2＋7＞0(舍)．∴函数g(x)＝f(x)－x＋3的零点的集合是{－2－7，1,3}．故选D.

22

6．C 解析：令y＝f(2x＋1)＋f(λ－x)＝0，因为f(x)是奇函数，所以f(2x＋1)＝

2

－f(λ－x)＝f(x－λ)，又因为f(x)在R上是单调函数，所以方程2x＋1＝x－λ只有一个

72

根，即方程2x－x＋1＋λ＝0只有一个根，则Δ＝1－8(1＋λ)＝0，解得λ＝－.

8

7．D 解析：函数f(x)的图象如图D100，由题知该函数图象与直线y＝k只有一个公共点，

图D100

?4?故k的取值范围为(－∞，0)∪?，2?. ?3?

x区间(0,1)上单调递减，在区间(1，＋∞)上单调递增，即F(x)在x＝1处取得极小值F(1)

1

8．B 解析：令F(x)＝(x－1)ln x，则F′(x)＝ln x－＋1＝0，可得x＝1，F(x)在

唐玲

＝0.令G(x)＝ax－a－b，则G(x)恒过点(1，－b)．而函数f(x)＝(x－1)ln x－ax＋a＋b有两个不同的零点，所以F(x)与G(x)有2个不同的交点，所以－b>f(1)＝0，解得b<0，即实数b的取值范围是(－∞，0)．故选B.

9．解：(1)当x∈(－∞，0)时，－x∈(0，＋∞)． 因为y＝f(x)是奇函数，

22

所以f(x)＝－f(－x)＝－[(－x)－2(－x)]＝－x－2x.

2??x－2x，x≥0，

所以f(x)＝?2

??－x－2x，x<0.

22

(2)当x∈[0，＋∞)时，f(x)＝x－2x＝(x－1)－1， 最小值为－1；

22

当x∈(－∞，0)时，f(x)＝－x－2x＝1－(x＋1)，最大值为1.

所以据此可作出函数y＝f(x)的图象(如图D101)，根据图象，若方程f(x)＝a恰有3个不同的解，则a的取值范围是(－1,1)．

图D101

10．解：(1)方法一，∵f(x)是二次函数，不等式f(x)＜0的解集是(0,5)， ∴可设f(x)＝ax(x－5)，a＞0. ∴f′(x)＝2ax－5a.

∵函数f(x)在点(1，f(1))处的切线与直线6x＋y＋1＝0平行，∴f′(1)＝－6. ∴2a－5a＝－6.解得a＝2.

2

∴f(x)＝2x(x－5)＝2x－10x.

2

方法二，设f(x)＝ax＋bx＋c， ∵不等式f(x)＜0的解集是(0,5)，

2

∴方程ax＋bx＋c＝0的两根为0,5. ∴c＝0,25a＋5b＝0.① ∵f′(x)＝2ax＋b.

又函数f(x)在点(1，f(1))处的切线与直线6x＋y＋1＝0平行，∴f′(1)＝－6. ∴2a＋b＝－6.②

由①②，解得a＝2，b＝－10.

2

∴f(x)＝2x－10x.

3732

(2)由(1)知，方程f(x)＋＝0等价于方程2x－10x＋37＝0.

x设h(x)＝2x－10x＋37，

2

则h′(x)＝6x－20x＝2x(3x－10)．

?10??10?当x∈?0，?时，h′(x)＜0，函数h(x)在?0，?上单调递减；

3?3????10??10?当x∈?，＋∞?时，h′(x)＞0，函数h(x)在?，＋∞?上单调递增． ?3??3?

1?10?∵h(3)＝1＞0，h??＝－＜0，h(4)＝5＞0， 27?3?

?10??10?∴方程h(x)＝0在区间?3，?，?，4?内分别有唯一实数根，在区间(0,3)，(4，＋

3??3??

∞)内没有实数根．

32

唐玲

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∴存在唯一的自然数t＝3，使得方程f(x)＋＝0在区间(t，t＋1)内有且只有两个不

x相等的实数根．

唐玲

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