光学编码器误差对于转动惯量测量误差影响的研究

光学编码器误差对于转动惯量测量误差影响的研究

摘要：本文从研究莫尔条纹曲线运动规律和偏心对叠栅条纹信号相位的影响这两个方向入手对光学编码器的测量误差进行研究。首先分析了造成光学编码器测量误差的主要原因：晃动偏心以及安装偏心，并建立数学模型。通过对数学模型的计算得到偏心后的莫尔条纹曲线方程。根据方程用MATLAB软件绘制得到不同转角下的莫尔条纹曲线族，分析曲线并通过程序设计找出转角与莫尔条纹运动规律的关系。同时，还从偏心对叠栅条纹信号相位的影响这个角度分析计算得到了相位误差的表达式。最后，结合基于复摆运动相平面分析方法测转动惯量的计算过程模拟理想状态下的相平面曲线，并在MATLAB中绘制偏心后的相平面曲线同其进行比较。 关键词： 光学编码器，莫尔条纹，偏心，转动惯量，相平面

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Study On Optical Encoder Error’s Influence On Measurement Of

Moment Of Inertia

Abstract：The dissertation studied the error of optical encoder from both the analysis

on the law of Moiré fringe＇s motion and phase of moiré fringes ′signal affected by shaft eccentricity．Firstly， it analyzed the factors which lead to the measurement error ,such as shaft eccentricity made by swaying and setting，and then established a mathematical model of it．By calculating for the mathematical model，it derived the new Moiré fringe’s equation．It also drew the curves of the MOIRE fringe under different angle by using MATLAB software and found the relations between the corner and the moiré fringe through program design .In the same time， it also studied on the phase of moiré fringes ′signal，affected by shaft eccentricity，to derive the phase expression．Finally，the dissertation combined the process of the test method to simulate the standard plane curve ,and made a comparative analysis with the error one．

Key words：Optical encoder，MOIRE fringe，Shaft eccentricity，Moment of inertia

Phase-plane

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1. 绪论

转动惯量对导弹的起始扰动和飞行器稳定性有较大的影响。因此精确测量导弹

的转动惯量有着重要的意义，测量方法有很多。本文采用的是基于复摆运动相平面分析对转动惯量进行测量的方法，其中涉及对一个光学编码器采得的“转角-时间”信号进行运算，得到被测体的转动惯量值的问题。20 世纪50 年代中期 ,世界计量仪器领域兴起了利用光栅进行精密测量的计量光栅技术 ,60 年代以后 ,随着光栅技术和电子技术的发展、莫尔条纹细分技术的不断完善、以及数字电路系统和电子计算机技术的发展 ,光栅式测量在精密计量仪器和精密机床行业得到了广泛地应用.

1.1 国内对转动惯量测量研究的现状

转动惯量测量方法常用的有扭摆法和线摆法，这些方法用于测量小型结构时可达到较高的精度，测量大型物体时就会产生较大的误差。例如某型鱼雷具有大型、重型结构,出于对火工品安全的要求不允许竖立在地面上测量出于设备机动性的要求也不允许地下沉井方法测量,不能采用扭摆法和线摆法.因此提出“复摆等效方法”,被测结构轴线水平放置,在装卡工艺上满足鱼雷测量的要求,但该方法基于无阻尼假设,所以大型结构和大质量带来的摩擦力矩的影响难以消除。

另外一种方法是基于复摆运动相平面分析的转动惯量测量方法，此方法中,转动惯量的取得是通过联接在悬挂轴上的一个角位移传感器记录悬挂轴转角与时间的关系φ(t),并做进一步数据处理得到的。这种方法解决了鱼雷转动惯量测量中遇到的装卡、安全问题并考虑到轴承摩擦力矩不可忽略的问题。因此也是本文要采用的测量方法。 1.2测角技术的发展概况

角度测量技术在国民经济发展中发挥着越来越重要的作用，目前发展较为成熟的测角传感技术主要有旋转变压器，感应同步器，磁栅，容栅，光电编码器，磁性编码器等，其中光学编码器具有极高的分辩率和精度，且具有高稳定度，无接触，动态测量，易于实现高智能化等诸多优点，在角度测量技术中占有绝对优势1.2.1光电轴角编码器的发展

光电轴角编码器又称为光电角位置传感器,是一种集光、机、电一体的数字测

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[3.4]

[1]

。

角装置。是将旋转角位置、角位移及角速度等物理量转换成电信号的位移传感器。光电轴角编码器由主轴带动编码器旋转发出脉冲,于是可检测角位移或通过微机控制转换成直线位移量。还可以与计算机及显示装置相连接,实现数字测量与数字控制，因此广泛地应用于雷达、光电经纬仪、指挥仪、机器人和高精度闭环调速系统等诸多领域。

光电轴角位移测量技术的基础技术是光栅莫尔条纹技术、光栅制造与检验技术、光栅读数及其光学技术、光电信号的提取处理技术和倍频技术以及结构设计优化技术等。随着制造技术的不断提高和研究的深入，一方面光电轴角编码器朝着高分辨率，高精度方向发展，资料显示，目前编码器的最高测角分辨力已达到千分之一角秒，测角精度达到0.036角秒。另一方面编码器的制造成本不断降低，稳定性不断提高，使它的应用面更广，普及率更高[3-5]。同时，小型、实用化、专业化也是其发展方向，近几年，光电轴角编码器不仅在航空、航天、雷达、工业控制、计量等领域得到广泛应用，汽车、纺织、电梯、印刷等普通民用领域的应用也越来越广泛。

1.2.2 光栅编码器的特点

光栅编码器之所以得到极广泛的应用，完全得益于其独特的特性，与其它类型的位置检测元件相比较，它具有无法比拟的综合优势[6]:

1.高精度:由于光栅刻划技术与电子细分技术的进步，以及莫尔条纹对光栅栅距局部误差具有平差特性，因此，对要求整圆范围内高分辨率的圆分度测量来说，光栅式测量原理同其它测量原理相比较，是测量精确度最高的一种。在大量程测长方面精度仅次于激光测量;

2.兼具高分辨率和大量程两特性;

3.可实现动态测量、自动测量及数字显示; 4.抗干扰能力强; 5.具有较高的测量速度; 6.利用光电转换的非接触测量。 1.3 论文的主要内容及工作

本文从研究莫尔条纹曲线运动规律和偏心对叠栅条纹信号相位的影响这两个方向入手对光学编码器的测量误差进行研究，进而得出其测量误差的计算公式。接

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[5]

着对基于复摆运动相平面分析对转动惯量进行测量的方法中编码器误差对测量误差的影响进行分析。

在研究过程中本文对偏心后的莫尔条纹曲线运动规律进行了分析研究，找到了转角与测量误差的关系。并通过曲线拟合以及对二阶运动方程的分析绘制了偏心后的复摆运动相平面图，用于与理想拟合曲线进行比较。

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2 光学编码器涉及的基础理论

2.1莫尔条纹的形成及特点 2.1.1 莫尔条纹的形成

莫尔是法语，意思是在水面产生的波纹，两块光栅迭合时产生条纹纹花样，故由此得名。光电轴角编码器的核心基础是光栅莫尔条纹技术，也是它区别于其它角度位移技术的特征。

光栅莫尔条纹的机理有很多解释，主要可归纳为三种[7-8]: 1. 从几何学角度描述的遮光阴影原理; 2，从衍射光学角度描述的衍射干涉原理; 2. 从空间拍频角度描述的频谱分析原理。

为方便起见，本文仅从几何光学角度，对长光栅莫尔条纹形成机理加以解释(圆光栅莫尔条纹形成机理相同)，图2.1为两块黑白型长光栅G，、GZ，以交角e相叠合，两光栅栅距(亦称为光栅节距或光栅常数)为Pl，并以直角坐标系X一Y置于光栅副中。

P2 P1W 图2.1 莫尔条纹的形成

在近于与栅线垂直方向上出现明暗相间的条纹，这种条纹就称为莫尔条纹，两条亮条纹(或两暗条纹)间的距离称为莫尔条纹宽度W，根据平面几何三角关系，可以推导出:

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w?p1p2p1?p2?2p1p2cos?22 （2.1）

实际应用中两块光栅栅距相等，即p1?p2?p 此时(2.1)式可以简化为 w?pp? （2.2）

?2(1?cos?)2sin()2p若叠合光栅的栅线交角e很小，(2.2)式可改写为:

w?? （2.3）

2.1.2莫尔条纹转换的特点[8]

1.对应关系:莫尔条纹的移动量和移动方向与光栅盘的转动量和转动方向之间具有一一对应关系，在两光栅栅线间夹角e不变的条件下可根据莫尔条纹的移动量来判定主光栅的移动量，根据莫尔条纹的移动方向可判断主光栅的转动方向。 2.放大作用: 莫尔条纹间距W对光栅栅距P具有放大作用，由式(2.3)可知，莫尔条纹间距W是光栅栅距的1/?倍。当夹角?足够小时，1/?值很大，例如，对于100线/mm的光栅，栅距仅为0.001mm，当夹角e=0.006分时，实际使用的英尔条纹间距可达10mm，即约放大了近1000倍。

3.平差效应:莫尔条纹对光栅局部误差具有平差效应。由于莫尔条纹是光栅的大量栅线共同作用形成的宏观效应，因而光栅的局部缺陷和个别栅线的偶然误差、断线、粘连等疵病基本上不会影响莫尔条纹的位置精度，这种由于有效平均效应而改善测量精度的原理，也是现代所有多栅式测量元件，如磁栅、容栅、感应同步器等的共同特点。误差的平均效应对于光栅的制造又具有独特的优势，尤其对于圆光栅来说更为突出，用光栅作基准复制出的照相光栅的精度可以比母光栅的精度更高。 4.存在谐波:由于光栅栅线的暗缝与亮缝宽度不等，光栅副间隙以及照明不均匀等原因，光电元件输出的电信号既有以2?为周期的基波，又有频率为基频整数倍的谐波。谐波的存在，是影响高质量莫尔条纹的主要因素之一。高精度编码器在结构设计、光源及信号提取中很大一部份工作就是为克服谐波影响的，这也是本课题立项因素之一。

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2．2光学编码器概论 2.2.1光学编码器的结构

光电编码器，是一种通过光电转换将输出轴上的机械几何位移量转换成脉冲或数字量的传感器。这是目前应用最多的传感器，光电编码器是由光栅盘和光电检测装置组成。光栅盘是在一定直径的圆板上等分地开通若干个长方形孔。由于光电码盘与转轴系统同轴，电动机旋转时，光栅盘与转轴系统同速旋转，经发光二极管等电子元件组成的检测装置检测输出若干脉冲信号，其原理示意图如图2.2所示，通过计算每秒光电编码器输出脉冲的个数就能反映当前转轴的转速[9]。

发光元件

码盘

狭缝

接收元件

主轴 处理 电路 输出

图2.2 编码器原理图

标尺光栅、指示光栅 在一对光栅付中，其中一块光栅尺作测量基准用，该尺称为标尺光栅（或主光栅），另一块光栅尺则称指示光栅。在计量仪器中，光栅式测量系统中的指示光栅一般固定不动，标尺光栅随测量工作台（或主轴）一起转动。但在用长光栅尺的数控机床中，标尺光栅往往固定在床身上不动，而指示光栅随拖板一起移动。为了叙述上的方便都把标尺光栅看做是移动的，而指示光栅是固定不动的。在测长系统中，标尺光栅的长度一般由测量范围来定，而指示光栅一般则制作成一小块，即只要能获得足够使用的莫尔条纹区域即可。在圆分度测量系统中，圆标尺光栅都是整圆的，其相应的指示光栅，则根据不同的情况，有取一小块的，有取整圆盘的[10]。

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为了提高光栅式测量系统的分辨率，在光栅式测量装置中，还配有各种细分系统，以读出两块光栅尺相对位移为栅距小数部分的数值。 光栅读数头的组成

光栅读数头主要由标尺光栅、指示光栅、光路系统和光电元件等组成。标尺光栅的有效面积即为测量范围。指示光栅比标尺光栅小得多，但两者一般刻有同样的栅距，使用时两光栅互相重叠，两者之间有微小的空隙。 标尺光栅一般固定在被测物体上，且随被测物体一起移动，其长度取决于测量范围，指示光栅相对于光电元件固定。光栅读数头的结构见图2.3。

图2.3读数头结构示意图

23451—光源；2—透镜；3—标尺光栅；4—指示光栅；5—光电元件1x2.2.2光学编码器的分类及性能[10]

编码器可分为光学式、磁式、感应式和电容式。根据其刻度方法及信号输出形式，可分为增量式、绝对式以及混合式三种。

1）增量式编码器

增量式编码器是直接利用光电转换原理输出三组方波脉冲A、B和Z相；A、B两组脉冲相位差90°，用于基准点定位。它的优点是原理构造简单，机械平均寿命可在几万小时以上，抗干扰能力强，可靠性高，适合于长距离传输。其缺点是无法输出轴转动的绝对位置信息。

2）绝对式编码器 绝对编码器是直接输出数字量的传感器，在它的圆形码盘上沿径向有若干同心码道，每条道上由透光和不透光的扇形区相间组成，相邻码道的扇区数目是双倍关系，码盘上的码道数就是它的二进制数码的位数，在码盘的一侧是光源，另一侧对应每一码道有一光敏元件；当码盘处于不同位置时，各光敏元

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件根据受光照与否转换出相应的电平信号，形成二进制数。这种编码器的特点是不要计数器，在转轴的任意位置都可读出一个固定的与位置相对应的数字码。显然，码道越多，分辨率就越高，对于一个具有 N位二进制分辨率的编码器，其码盘必须有N条码道。目前国内已有16位的绝对编码器产品。

绝对式编码器是利用自然二进制或循环二进制（葛莱码）方式进行光电转换的。绝对式编码器与增量式编码器不同之处在于圆盘上透光、不透光的线条图形，绝对编码器可有若干编码，根据读出码盘上的编码，检测绝对位置。编码的设计可采用二进制码、循环码、二进制补码等。 它的特点是：

1可以直接读出角度坐标的绝对值； 2没有累积误差；

3电源切除后位置信息不会丢失。但是分辨率是由二进制的位数来决定的，也就是说精度取决于位数，目前有10位、14位等多种。 3）混合式绝对值编码器

混合式绝对值编码器，它输出两组信息：一组信息用于检测磁极位置，带有绝对信息功能；另一组则完全同增量式编码器的输出信息。

光电编码器是一种角度（角速度）检测装置，它将输入给轴的角度量，利用光电转换原理转换成相应的电脉冲或数字量，具有体积小，精度高，工作可靠,接口数字化等优点。它广泛应用于数控机床、回转台、伺服传动、机器人、雷达、军事目标测定等需要检测角度的装置和设备中。

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3.转动惯量测量的基础理论

3.1转动惯量的概念

先说转动惯量的由来，先从动能说起大家都知道动能E=(1/2)mv2，而且动能的实际物理意义是：物体相对某个系统（选定一个参考系）运动的实际能量，（P势能实际意义则是物体相对某个系统运动的可能转化为运动的实际能量的大小）。所谓转动惯量就是转动体对某轴转动惯性的大小的描述,其定义为:J=∑miri2即转动惯量等于各质点的质量与该质点到转轴距离平方乘积之和。因此,J的单位为kg2m2相应定理有垂直轴定理一个平面刚体薄板对于垂直它的平面轴的转动惯量，等于绕平面内与垂直轴相交的任意两正交轴的转动惯量之和[11-12]。表达式:Jz?Jx?Jy； 3.2转动惯量的测量方法

测量转动惯量有多种方法,如落体法(转动惯量仪)、双线摆法、复摆法、三线摆法等。

1）单线扭摆法测量原理

对于某些小微型对称刚体性构件，一般都要测其绕轴线的转动惯量。若采用单线扭摆法测量，操作简单，经济实用。采用单线扭摆测量转动惯量时，一般有二种方法可用。若已知吊线的扭转模量，可采用直接法；若不知吊线的扭转模量，可采用比较法与附加配重法。 2）三线摆测量原理：

三线摆具有结构简单、操作方便、物理图像直观等优点, 许多机电产品及其零部件和某些巨型非均质产品形状各异且极不规则,对于这类构件的转动惯量以及惯性积,没有现成的公式直接应用,多采用三线摆悬挂法测量。 3）落体法测量原理：

对于带有转轴的各种轮盘、转子、齿轮、涡轮、风扇、螺旋桨、曲柄和某些绕轴线对称分布的大中小型构件(质量大于100g),用落体法测量其惯性矩比较简便。特别是有的电机不允许或不便于取出其转子,无法知道其转动部分的质量和摩擦力矩,而且，落体法因地制宜,无需增加特殊测量装置,成本低廉。

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4）扭摆法测量原理：

扭摆法分为立式扭摆法和卧式扭摆振。扭摆法用于测量小型结构时可达到较高的精度，测量大型物体时就会产生较大的误差[13-15]。

本文中所要研究的是大型导弹，扭摆法以及三线摆等都不合适，因此文中测量转动惯量得方法是选用基于复摆测量的相平面分析法，将在5.1节详细介绍这种方法得测量原理。 5）复摆法测量原理：

对于某些被测刚体，出于安全的要求不允许竖立在地面上测量,出于设备机动性的要求也不允许地下沉井方法测量,故不能采用扭摆法和线摆法，因此，人们常用复摆法来测量。

图2.5 复摆法测量转动惯量示意图

0lθCmg如图2.5所示为一任意形状的构件，其重心为C，质量为m，将构件支在通过适当选取的O点(不与C点重合)的光滑水平转轴O上，测出重心C到O轴中心的距离为l，当重心C在O轴正下方时，构件可保持静止。现给予构件初始挠动，构件可在其平衡位置的左右微幅摆动，该构件成为一复摆。

忽略阻尼影响，根据绕固定轴的动量矩定理得到该构件摆动微分方程为

????mglsin? （3.1） J0?（3.1）式中: J0是构件对于0轴的转动惯量， ?是角位移。对于微摆动(??5?)，角位移?的弧度数几乎和它的正弦函数等值(误差小于0.1269%)，即??sin?。

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???mgl将（3.1）式近似为线性微分方程，则有J0???0其固有频率和固有周期分别为

?n?mglJ0，Tn?2? （3.3） J0mgl通过安装的光电传感器测得多次摆动循环所用的时间T，计算出近似的固有周期

Tn?T （3.4） nmgl2T （3.5） 4?2式中n为循环次数。于是得出构件绕水平转轴O的转动惯量为

J0?再根据平行轴定理，计算出构件对于过重心C的水平轴的转动惯量

J?J0?ml2 （3.6） 即 J?mgl22T?ml （3.7） 24?由此可知，在忽略阻尼影响的情况下，误差来源主要为?T， ?l，?m。可采取以下措施来控制误差:1）在仪器设计中,应采用足够刚度的测试架,并将它限制为绕固定轴旋转，否则由此造成的惯性交感会引起测量困难；2）基于微幅摆动及轴承处铰链光滑的假定，所以应通过多次测量，记录复摆在一定时间段内的振幅、周期变化规律,修正实际存在的阻尼影响。

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4 编码器测量误差的研究

4.1 引起编码器测量误差的因素 1）系统转轴安装误差

如图4.1是编码器安装示意图，理想情况下编码器中心应与转轴中心重合，但是实际情况下，由于转轴零件本身的不规则以及安装时出现的偏心会造成光学编码器测量上的误差。产生此误差后光学编码器的指示光栅将随着轴心的转动发生晃动，并且在指示光栅圆心绕轴心公转的同时指示光栅本身也在自转，进而产生新的莫尔条纹变化曲线，改变信号的输出的情况[16]。

图4.1 光学编码器安装示意图

2） 码盘偏心产生的误差

码盘偏心是指示光栅与标尺光栅之间的偏心距由于晃动等因素而产生动态变化的现象。

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4.2莫尔条纹方程的推导

4.2.1圆光栅莫尔条纹方程的推导[16]

在圆光栅中，应用的都是黑白光栅。节距角δ相同的两径向辐射光栅偏心迭合，如图4.2所示。设两块径向辐射光栅，光栅中心为O1及O2，节距角δ相同。设这两光栅偏心迭合，偏心量O1O2?e (图4.2中仅画出了光栅上半部的栅线，下半部的栅线没有画出)。取直角坐标系。以O1O2方向为x轴，O1O2的中点O为坐标原点，节距角δ值由x轴起算。两块光栅的栅线序号见图4.2，图中取零号栅线和x轴重合。由图可知，对光栅上半部来说，栅线交点(2,1)，(3,2)， (4,3)，??构成莫尔条纹Ⅰ；交点(3,1)，(4,2)，(5,3)，??构成莫尔条纹Ⅱ；类此，作为一般情况，这一簇莫尔条纹Ⅰ、Ⅱ、?是由光栅O2序号为n的栅线和光栅O1序号为(n+k)的栅线的交点轨迹所构成。在图4.2中，k为整数，但根据两光栅栅线相对位置的不同，k可取大于零的任意有理数。每取一个k值对应一条莫尔条纹，相邻两条条纹所对应的k值，其差值为1。如图中，k=1，得条纹Ⅰ；k=2，得条纹Ⅱ;

图4.2 莫尔条纹与读数头图样

如图可计算出指示光栅的栅线方程：

y?xtan(n?)?etan(n?) （4.1） 2标尺光栅的栅线方程

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y?xtan(n?)?etan(n?)2； （4.2）

对光栅O1考虑栅线序号(n＋k)，将式(1)改写为

y?xtan((n?k)?)?etan((n?k)?);2 （4.3）

联立后得到莫尔条纹：

ee2y?x?y??0tan(n?)4； （4.4）

22方程(4.4)为圆方程，圆心为(0,e/2tankδ)，半径为e /2sinkδ。δ及e一定时，原新坐标位置及圆半径值均随k的取值不同而不同。因此，方程(4.4)所表达的是一簇圆形图样。令y=0，有x=±e/2，则所得图形特征为：条纹簇的圆心位于y轴上，全部圆条纹均通过两个光栅的中心O1及O2。

由于光栅上下两半完全对称，因此，光栅下半部的莫尔条纹花样和上半部的完全一样，致使圆心坐标变为(o,?e/2tank?)。

当动光栅转动时(例如O1顺时针方向转动)，各圆形条纹逐渐向外扩张。转过一个光栅节距角δ，条纹向外移动一个条纹宽度。如条纹由Ⅲ移到Ⅱ，由Ⅱ移到Ⅰ，位于与偏心方向垂直位置上的莫尔条纹近似的垂直于栅线，仿照对长光栅形成的莫尔条纹的称呼，称这个位置上的莫尔条纹为横向莫尔条纹。沿着偏心方向的莫尔条纹近似的平行于栅线，相应的称为纵向莫尔条纹。在实际应用中，这一类圆光栅较多的是应用横向莫尔条纹。现对横向莫尔条纹中的有关问题分析如下：

在式(4.4)中，x=0时，得yk的两个根为

yk?1ee(?) （4.5） 2tank?sink?1ee?) （4.6） yk?(

2tank?sink?式(4.6)表示的根对实用无意义，故不考虑。式(4.5)表示了横向莫尔条纹的位置，下标k表示条纹位置随k的取值不同而变化，当δ足够小，k值不大，乘积kδ也足够小时，则式(4.5)可简化，莫尔条纹位置可由下式表示：

yk?e/k? （4.7）

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条纹宽度等于相邻两条纹之间的距离，这两条纹所对应的k值相差为1，故条纹宽度W为

w=yk?yk?1?e/k(1?k)? （4.8）

4.2.2 偏心对光学编码器测量影响得分析

（一） 码盘偏心对叠栅条纹信号频率输出影响的分析

在上一节图4.2中只画出了上半部的图样，下半部与上半部对称，图中省略。图中1、2或3代表读头可能出现的位置。当转动光栅转动时，条纹由内向外逐渐扩散。在编码器高速转动或由低速转动向高速转动过渡的过程中，会产生相对严重的码盘偏心情况，偏心的程度及两码盘圆心连线的方向是随震动情况或装调情况随机产生的。由此使得读头相对于两码盘圆心的位置可能出现在坐标轴中任意一个位置(1、2或3)，只是读头距离坐标系原点的距离变化很小。

由式(4.8)可得，条纹的宽度随着码盘的偏心程度e的变化而变化，e变大，所读条纹变宽，占空比变小；e变小，所读条纹变窄，占空比变大。

（二） 码盘偏心对莫尔条纹运动规律影响的研究

图4.3中角?是系统轴心转过的角度，即准确角度，r是假设得栅线半径，

0o为转动轴轴心，s0为o1到系统轴心o的偏心距

、

图4.3.向量转换坐标

由图4.3可得到向量转换得关系式：

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?i???cos??????j????sin???又因为

0sin???i??； ???cos???j??r??rcos(n?)[icos??jsin?]?rsin(n?)[isin??jcos?] （4.9）

0所以

r??[rcos(n?)cos??rsin(n?)sin?]i?[rsin(n?)cos??rcos(n?)sin?]j （4.10）

0000此处应特别注意，在建立坐标系以及计算相应向量前，要先规定好角度的方向，以下以图示中为正，选取要一致，以免带来不必要的计算失误。

现在令栅线方程为y=kx+b，其中k可以由向量式（4.10）求得：

k?r0sin(n?)cos??r0cos(n?)sin?（4.11） ?tan(n???)

r0cos(n?)cos??r0sin(n?)sin?显然直线必过o1，设o1的坐标是(s0cos?,s0sin?)

因此可求得转动?角度时，o1的栅线方程为y=kx+b，代入k的表达式:

y?tan(n???)x?b （4.12）

然后将o1点的坐标代入其中得到：

s0sin??tan(n???)cos??b；

则可以解出，

b?tan(n???)cos??s0sin?

将其代入直线方程，得到o1的栅线方程为：

y?tan(n???)x?s0tan(n???)cos??s0sin? （4.13）

o2的栅线方程求解步骤是：

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图4.4 转轴安装偏心后的示意图

如图4.4：设o1o2=e，，o1o=s0；

y?s0sin??[s0cos??e]tan(n?)?xtan(n?)； 若o1取（n+k）的栅线序号，即（4-13）式改为：

y?tan[(n?k)???]x?s0tan[(n?k)???]cos??s0sin? 将（4.14）和（4.15）方程联立，

??y?tan[(n?k)???]x?s0tan[(n?k)???]cos??s0sin??y?scos??e]tan(n?)?xtan(n?) 0sin??[s0将上式移项可得：

???tan(n?)?y?s0sin??x?s0cos??e， ??tan[(n?k)???]?y?s0sin??x?s0cos???a?s0sin?此时，令 ??b?s0cos??e?c?s，

0sin???d?s0cos?第 19 页4.14）4.15）

4.16） 共 53 页（

（（

y?a?tan(n?)?①??x?b则方程可化简为：? （4.17）

?tan[(n?k)???]?y?c②?x?d? 方程②式的左边=

tan(n?)?tan[k???]，现将令A?tan[k???]，并将①代入

1?tan(n?)tan[k???]（4.17）②中得到新的莫尔条纹方程：

Ax2?Ay2?(Ab?Ad?a?c)x?(Aa?Ac?d?b)y?Abd?Aac?ad?cb?0 整理后得到方程：

[x?(b?d)?(a?c)/A2(a?c)?(b?d)/A2]?[y?]22 （4.18） ad?cb(a?c)?(b?d)/A2(b?d)?(a?c)/A2?bd?ac??[]?[]A22可以看到其轨迹是圆，设其圆心（i，j），半径为R

i?(b?d)?(a?c)/A

2(a?c)?(b?d)/Aj?

2ad?cb(a?c)?(b?d)/A2(b?d)?(a?c)/A2R2?bd?ac??[]?[]

A22在上一节圆光栅标准莫尔条纹方程的推导中我们可以找到指示光栅所转过的角度与莫尔条纹运动曲线之间的关系，即：指示光栅顺时针每转过节距角? 的角度，莫尔条纹就会向外扩散一圈，此时读数头输出一个脉冲，但是，这里如果仅观察此莫尔条纹方程找不到直接的转角和莫尔条纹曲线移动情况之间的关系，此时猜测是否可以从莫尔条纹曲线族中直观的观察出两者得变化关系。所以，下一步将莫尔条纹曲线族在MATLAB中画出。 具体步骤如下：

（一） 通过附录A以及附录B中的函数在MATLAB中画出?在0.1°到0.2°之间等间距得取5个值，在图中画出转过?时k=1，2这个条莫尔条纹的曲线，分别以点线（k=2）和实线（k=1）表示。

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图4.5 莫尔条纹曲线族

（二）通过对图像进行放大观察，可以发现图中有接近重合的曲线，但是要通过直观的看图得出具体的转角与?得关系还是很困难的。因此编写了一个程序找出关系。?min一定时给出此时k=2，即第二条莫尔条纹得曲线，然后令系统转轴转过??的角度，此时观察k=1，即???min???处得第一条莫尔条纹曲线，通过程序找出当??等于多大时，k=1的曲线与k=2的曲线最接近，此时就会信号发生系统就会产生一个尖脉冲，并计数。进而找出?min与??的关系。

首先，由附录C函数画出?min=0，??从0.009到0.00903（间距为0.000001）取值时k=1时的30条条纹曲线与k=2时的一条曲线如图4.6，但是，

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图4.6莫尔条纹曲线族

图4.7局部放大１０００倍后莫尔条纹曲线族

图4.6无法看清k=2处的曲线，放大后可以从图4.7中看出点线在??=0.00901到

??=0.00902之间出现最相近的情况。进而缩小了取值范围。下面在c编辑其中编

辑找到此??并输出??与?min所取数值的程序。此处要注意得是判断是否接近不能单一考虑R得拟合程度，同时也要考虑到圆心横纵坐标（i，j）得拟合程度。否则找出的??误差比较大。此处判断饿方法是通过考察莫尔条纹圆心横纵坐标，半径最大相近程度来实现得。主程序流程图见图4.8，子程序流程图如图4.9。

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开始 输入alphamin k=2 计算R，i，j的值 k=1 DeltaAlpha=0.00001;DeltaAlpha<=0.1; 是 否 alpha = alphamin + DeltaAlpha计算RR，ii，jj的值 Return Ans=0 否 Min=100； (fabs(RR-R)+fabs(ii-i)+fabs(jj-j))

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开始 输alphamin 否 Alphamin<=0.5263 输出 alpha和deltaalpha 是 调用calculate，找出该处的deltaalpha值 结束 Alphamin+=0.0087 图4.9 主程序流程图

通过附录D得到若干组有关??，?min的数据表如下： alpha=

[0.000000 0.008700 0.017400 0.026100 0.034800 0.043500 0.052200 0.060900 0.069600 0.078300 0.087000 0.095700 0.104400 0.113100 0.121800 0.130500 0.139200 0.147900 0.156600 0.165300 0.174000 0.182700 0.191400 0.200100 0.208800 0.217500 0.226200 0.234900 0.243600 0.252300 0.261000 0.269700 0.278400 0.287100 0.295800 0.304500 0.313200 0.321900 0.330600 0.339300 0.348000 0.356700 0.365400 0.374100 0.382800 0.391500 0.400200 0.408900 0.417600 0.426300 0.435000 0.443700 0.452400 0.461100 0.469800 0.478500 0.487200 0.495900 0.504600 0.513300 0.522000]; alpha=

[0.000000 0.008700 0.017400 0.026100 0.034800 0.043500 0.052200 0.060900 0.069600 0.078300 0.087000 0.095700 0.104400 0.113100

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0.121800 0.130500 0.139200 0.147900 0.156600 0.165300 0.174000 0.182700 0.191400 0.200100 0.208800 0.217500 0.226200 0.234900 0.243600 0.252300 0.261000 0.269700 0.278400 0.287100 0.295800 0.304500 0.313200 0.321900 0.330600 0.339300 0.348000 0.356700 0.365400 0.374100 0.382800 0.391500 0.400200 0.408900 0.417600 0.426300 0.435000 0.443700 0.452400 0.461100 0.469800 0.478500 0.487200 0.495900 0.504600 0.513300 0.522000]; 根据表内数据编写运行函数（见附录E）拟合的曲线见图4.10：

图4.10 ??与?min得拟合曲线

通过观察可以看出图中的点可以模拟成分段函数，计算见式（4.19）和（4.20）： 当k=1，2，3时，

?0.009002?3(k?1),x?(1?8k,3?8k)?y??0.009003?3(k?1),x?(4?8k,5?8k) （4.19） ?0.009004?3(k?1),x?(6?8k,8?8k)?当k=4，5，6时，

?0.009002?3(k?1),x?(8k,1?8k)? y??0.009003?3(k?1),x?(2?8k,4?8k) （4.20）

?0.009004?3(k?1),x?(5?8k,7?8k)?第 25 页 共 53 页

4.3偏心对叠栅条纹信号相位影响的理论分析 4.3.1叠栅条纹信号的形式

莫尔条纹信号的形成：由光栅莫尔条纹形成原理可知，光栅的莫尔条纹是由一系列四棱形光点组成的，当光栅受平行光均匀照射时，莫尔条纹的光强也呈四棱形光点分布。因此，在理想条件下，莫尔条纹的光强分布情况，应是图4.11（a）所示的等腰三角形波形[5]。波形的周期为莫尔条纹的间距B。

图4.11 莫尔条纹信号

4.3.2叠栅条纹信号相位误差的理论分析 （一）公式推导

根据计量光栅叠栅条纹信号产生的基本原理,计量光栅码盘可以抽象成这样一个数学模型。光栅栅线沿圆周连续分布 ,确定参考光栅栅线φ后 ,每一栅线都有自己的相位 ,称之为叠栅相位 ,此相位描述各光栅栅线参与形成叠栅条纹时对叠栅条纹信号相位的贡献,沿圆周每经过一个光栅常量δ,此相位就变化一个 2π 周期;参考栅线的叠栅相位φ=0,其他光栅栅线的叠栅相位依其与参考栅线的位置关系沿圆周连续增大,当φ为2 π的整数倍时 ,对应光栅栅线即为实际的透光栅线。对于一个光栅常数为δ且有 N 条光栅栅线的光栅码盘,叠栅相位的定义域为

[0,2N?],与参考栅线成? 角的光栅栅线的叠栅相位为

??2?? （4.21） ?如图4.10所示,增量式光学编码器读头 D 检测到的叠栅条纹信号的相位与在读头位置处参与形成叠栅条纹的两计量光栅栅线的叠栅相位有关,设指示光栅栅线为（图中实线）的叠栅相位为?1 ,标尺光栅φ栅线（图中点划线）的叠栅相位为

?2 ,则叠栅条纹信的相位 可表示成公式（4.22）:

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???1??2 （4.22）

图4.12 光学编码器理论模型

由于增量式光学编码器的装调工艺 ,形成叠栅条纹的两计量光栅中心轴之间及其与系统转动中心之间会产生偏心现象 （如图 4.12） 。考虑一般的情况 , 设转动中心为以此为坐标原点建立直角坐标系,指示光栅的圆心为o1,装配形成的偏心量为e1 ，标尺光栅的圆心为o2,也是由于装配所形成的偏心量为e2。不失一般性,起始时刻,指示光栅o1 的参考栅线在与 x 轴成?0 的直线上,标尺光栅 O的参考栅线在与 x 轴成?0的直线上,两参考栅线都经过各自圆心并且过转动中心 O;

在实际应用中,一般指示光栅不动,标尺光栅随物体转动,当标尺光栅绕转动中心再转动θ角时,在给定坐标系下,指示光栅盘o1上叠栅相位为?1 的栅线方程为：

y?e1sin?0?tan[?1???0](x?e1cos?0) （4.23） 2?标尺光栅盘o2上叠栅相位为?2的栅线方程为

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y?e2sin(???0)?tan[?1?????0](x?e2cos???0) （4.24） 2?设读头位于指示光栅半径为 R、与参考栅线成?角的位置处,即在给定坐标系统下,该读头的位置坐标为

X?Rcos(???0)?e1cos?0,Y?Rsin(???0)?e1sin?0,

将读头的位置坐标代入两光栅的栅线方程,可解出读数头位置处指示光栅栅线的叠栅相位?1 及标尺光栅栅线的叠栅相位?2 与标尺光栅转动角? 的关系为

?1?2?? （4.25） ??2??Rsin(???0)?e1sin?0?e2sin(???0)?2???arctan???????0 （4.26） ????Rcos(???0)?e1cos?0?e2cos(???0)?由于叠栅相位与读头位置角 及标尺光栅转动角 在各自定义域内是一一对应的,因此, 4.25 式和4.26 式中 , 表示反正切值,而 4.26式用读头位置角 式只保留了反正切主值域的值。这样读头检测到的叠栅条纹信号的相位为

???Rsin(???0)?e1sin?0?e2sin(???0)?2?????arctan???????0? （4.27） ???Rcos(???0)?e1cos?0?e2cos(???0)??由（4.27） 式可见 ,光栅盘中心轴之间的偏心及它们与系统转动轴之间的偏心 ,都会影响光学编码器读头检测到的叠栅条纹信号的相位 ,而且在有偏心的情况下 ,读头的位置也会影响其检测到的叠栅条纹信号的相位[9]。 (二) 结果讨论

1 一般情况下 ,增量式光学编码器读头检测到的叠栅条纹信号相位的理论公式4.27 中含有三项 ,分别反映码盘偏心时不同因素对叠栅条纹信号相位的贡献: 第一项因素:表示读头的位置;

由码盘偏心带来的相位偏差不仅与码盘偏心情况有关,而且与标尺光栅转过的角度及读头的位置都有关。考虑两种特殊位置的读头α=0和α =π,码盘偏心时给两个读头检测到的叠栅条纹信号相位带来的偏差分别为

（4.28）

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（4.29）

根据 4.28 式和 4.29 式 ,相对于系统转动轴中心 ,当标尺光栅偏心而指示光栅同轴 , 即 e1=0 而e2 ≠0 时,码盘偏心给叠栅条纹信号相位带来的偏差随标尺光栅转过角度而变化,转过角度一定时,不同读头因此而引入的相位偏差也不同;当标尺光栅同轴而指示光栅偏心,即e1 ≠0而e2=0时,码盘偏心给叠栅条纹信号相位带来的偏差不随标尺光栅转过角度而变化,但与读头的位置有关,读头位置确定,由此引入的相位偏差就一定;

?Rsin(???0)?e1sin?0?e2sin(???0)?第二项因素:arctan??

?Rcos(???0)?e1cos?0?e2cos(???0)?表示码盘轴之间及其与系统转动中心之间的偏心 ,角度测量的系统误差主要由这一项产生;

第三项因素:???0,表示标尺光栅的转动。单独保证指示光栅或标尺光栅与系统转动轴重合,都不能消除第二项产生的影响,因此,在增量式光学编码器的装调过程中,光栅码盘都必须调整得与系统转动中心同轴。

由4.27 式分析可得,理想工作条件下叠栅条纹信号相位与标尺光栅转过角之间的关系如下:

2????(???0??0) （4.30）

将4.27 式与4.28进行比较 ,可以得到由于码盘偏心而给叠栅条纹信号相位带来的偏差为

????Rsin(???0)?e1sin?0?e2sin(???0)??2????????arctan?0??? （4.31） ?????Rcos(???0)?e1cos?0?e2cos(???0)??为了简化计算，现令?=?， ?0??0?0，即两光栅得参考栅线都为x轴，带入4.31得

????0?2??arctan(e2sin(?)) （4.32）

R?e1?e2cos(?)由此相位误差可以推导出此时产生得角度误差，设角度误差为??

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???e2sin(?)??*??arctan() 2?R?e1?e2cos(?)其中?为系统转轴实际转过得标准角度，设偏心后测量得角度大小为? 则??????；即，

??arctan(对（4.33）两边对t求导，

e2sin(?))??； （4.33）

R?e1?e2cos(?)e2cos(?)(R?e1?e2cos(?))?(e2sin(?))2(R?e1?e2cos(?))2??(t)???(t)???(t)e2sin(?)1?()2 （4.34）

R?e1?e2cos(?)e2cos(?)(R?e1?e2cos(?))?(e2sin(?))2???(t)???(t)22(R?e1?e2cos(?))?(e2sin(?))?(t)?arctan(e2sin(?(t)))??(t)； （4.35）

R?e1?e2cos(?(t))至此我们求出了??(t)和?(t)的表达式，为后文研究光学编码器测量误差对转动惯量测量误差影响得研究做好了准备。由偏心后得到的??(t)和?(t)可以通过matlab软件绘制出相应得相平面运动曲线。

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5光学编码器误差对转动惯量测量误差的影响研究

5.1基于复摆运动相平面分析法测量转动惯量

??f(x,x?)?0来描 相平面的概念：设一个二阶系统可以用下面的常微分方程 ?x?)是x和x?(0)和?的线性或非线性函数。在一组非全零初始条件下x述。其中f(x,x?(t)描述。如果取x和xx(0)不全为零)，系统的运动可以用解析解x(t)和x?构成坐标

平面，则系统的每一个状态均对应于该平面上的一点，这个平面称相平面[12]。当t变

?平面上描绘出的轨迹，表征系统状态的演变过程，该轨迹就化时，这一点在x-x叫做相轨迹[11].

复摆的概念：复摆是在重力作用下，能绕通过自身某固定水平轴摆动的刚体。又称物理摆。复摆的转轴与过刚体质心C并垂直于转轴的平面的交点O称为支点或悬挂点。摆动过程中，复摆只受重力和转轴的反作用力，而重力矩起着回复力矩的作用。设质量为m的刚体绕转轴的转动惯量为I，支点至质心的距离为s，则复摆微幅振动的周期T?2?I/mgs，式中g为重力加速度。它相当于摆长l＝I／ms的单摆作微幅振动的周期。在OC的延长线上取O′点使OO′＝l（l为等价摆长）则此点称为复摆的摆动中心。支点和摆动中心可互换位置而不改变复摆的周期。知道T和l，就可由周期公式求出重力加速度g。当复摆受到一个冲量作用时，会在支点上引起碰撞反力。若转轴是刚体对支点的惯量主轴，外冲量垂直于支点和质心的连线OC且作用于摆动中心O′上，则支点上的碰撞反力为零。因此，复摆的摆动中心又称撞击中心[15]。

本文采用基于复摆运动相平面分析的转动惯量测量方法，具体方法如下：

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图5.1.复摆示意图

0lθCmg有图分析力矩的一下公式：

d2??d?? J?2??mgSsin(?)?sgn???(M?Rx) （5.1）

dt?dt?其中，M为摩擦力矩：

M???mg?cos(?) （5.2） 为空气阻力力矩 ，由于空气阻力与速度的平方成正比，而速度由于角速度成

?d??正比，所以又Rx?K???。(5.1)式中由于是左右摆动所以阻力矩有两个方向：

?dt?d?? sgn??????dt??1,d?/dt?0； （5.3）

?1,d?/dt?0;?2令 x??,y?d?可得到 下列表达式： dt,dy?asin(x)?bcos(x)?cy2 ， (5.4) ?dxydy?asin(x)?bcos(x)?cy2， （5.5） ?dxy其中，

a?mgS/J,b??mg/J,c?K/J.

带入已知边界条件得到：

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y?(?2bc?a)cos(x)?(2ac?b)sin(x)?C1?e?2cx2c?0.5(?2bc?a)cos(x)?(2ac?b)sin(x)?C1?e2cx2c?0.522,y?0 （5.6）

y?,y?0 （5.7）

用接缝法画出相应相平面图如下：

图5.2相平面复合运动 由于?B?d?dt,?D???0d?dt,?E???0.8?0d?dt （5.8）

??0.4?0,分别把B,D,E,点带入方程(5.6)(5.7)可求得：

?2B?(?2bc?a)?C1, （5.9）

2c2?0.5??2D(?2bc?a)cos(0.8?0)?(2ac?b)sin(0.8?0)?C1e?1.6c?0?, （5.10）22c?0.5(?2bc?a)cos(0.4?0)?(2ac?b)sin(0.4?0)?C1e?0.8c?0? （5.11）22c?0.52E (?2bc?a)cos(?0)?(2ac?b)sin(?0)?(4c2?1)?C1e?c?0?0 （5.12） 结合方程5.9到5.12，并通过一系列计算方法便可以得到转动惯量a的取值，带入式J?mgS/a,可得到转动惯量得值。

5.2 应用matlab软件绘制二阶运动方程的相平面图

上一小节提到用相平面的方法求得转动惯量J，此节分析如何利用matlab完成相平面曲线得绘制，为后文误差比较分析做一些铺垫，具体步骤如下：

（一）首先进行微分方程的转换为微分方程组

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d2??d??J?2??mgSsin(?)?sgn???(M?Rx)dt?dt? 已知运动方程： ; (5.13)

现令,

x2??;x1?d?;dt

且J?45kg?m2，m=500kg，s=1m，g=9.8，??0.05，K=5N?m?s2，?0??0.5rad； 则方程（5.13）可转换为以下方程组：

?x'1??108.89sin(?)?0.0222signx1[245cosx2?5x21]?'x2?x1? (5.14) ?x(0)?01??x2(0)??0.5?（二）编写相应的函数文件（见附录F） 在命令窗口输入：

option= odeset('RelTol',1e-6,'OutputFcn','odephas2'); [t,x]=ode45('xprim4',[0,0.65],[-0.5,0],option); 绘图得到相平面图（见图5.3）：

图5.3 相平面复合运动曲线

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5.3光学编码器误差对转动惯量测量影响分析

（一）应用matlab拟合得到仿真模拟下的角速度以及角度函数表达式

1>由上一节我们知道，当假设J=45kg?m2时可以模拟出相平面曲线，现令标准模拟情况下得角速度为thetam，角度为theta，同样也可以通过在命令窗口输入相应指令调用函数得thetam-t以及theta-t得关系曲线 命令窗口输入：

option= odeset('RelTol',1e-6,'OutputFcn','odephas2'); [t,x]=ode45('xprim4',[0,0.65],[-0.5,0],option); Plot（t，[x:,1]）; Plot（t，[x:,2]）;

图5.4thetam-t和theta-t曲线

2>运用数值模拟工具分别取出thetam（t）以及theta（t）的函数表达式

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图5.5 thetam-t拟合曲线（左）和Theta-t（右）拟合曲线

拟合Thetam（t）结果及参数为：

Linear model Poly7:

f(x) = p1*x^7 + p2*x^6 + p3*x^5 + p4*x^4 + p5*x^3 + p6*x^2 + p7*x + p8

Coefficients (with 95% confidence bounds): p1 =-5610 (-7559, -3662)

p2 = 1.596e+004 (1.155e+004, 2.038e+004) p3 = -1.984e+004 (-2.38e+004, -1.588e+004) p4 = 1.273e+004 (1.095e+004, 1.451e+004) p5 = -3818 (-4238, -3399) p6 =298.7 (249.8, 347.6) p7 = 37.11 (34.82, 39.41) p8 = 0.02979 (0.004265, 0.05531) Goodness of fit:

SSE: 0.5801 R-square: 0.9993 Adjusted R-square: 0.9993 RMSE: 0.05319

拟合Theta(t)结果及参数为

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Linear model Poly8:

f(x) = p1*x^8 + p2*x^7 + p3*x^6 + p4*x^5 + p5*x^4 + p6*x^3 +

p7*x^2 + p8*x + p9

Coefficients (with 95% confidence bounds): p1 =-597.6 (-789.2, -405.9) p2 = 2136 (1635, 2636) p3 = -3325 (-3858, -2791) p4 = 2686 (2387, 2986) p5 = -1056 (-1151, -961.8) p6 = 131.4 (114.9, 147.8) p7 = 14.15 (12.7, 15.61) p8 = 0.2467 (0.1949, 0.2984) p9 =-0.5005 (-0.5009, -0.5001) Goodness of fit:

SSE: 0.0001449 R-square: 1 Adjusted R-square: 1 RMSE: 0.0008427

拟合的角速度与ｔ的关系曲线表达式：

thetam=[-5610 1.596e+004 -1.984e+004 1.273e+004 -3818 298.7 37.11 0.02979]; 标准拟合的角度与ｔ的关系曲线表达式：

theta=[-597.6 2136 -3325 2686 -1056 131.4 14.15 0.2467 -0.5005]; 3>求出偏心后得角速度与角度表达式并用数值模拟得方法得到相平面图

第四章第二节采用了分析莫尔条纹运动规律的方法，曲线的重合是近似选取的，并且由于在最后拟合??和?min曲线时有较大误差，拟合程度并不十分满意，为此选取了第四章第三节所讨论的分析方法，即从相位角度研究光学编码器测量角度时的误差。经推导可以看到，这种方法得到的表达式较之上述方法更为简洁，有利于对转动惯量测量误差的研究，具体步骤如下：

首先， 将2>中得到的thetam与theta的表达式带入（4.34）与（4.35）中，

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分别求出偏心后实际测得的角速度及角度函数表达式，设偏心后得角速度为alpha，角度为alphaj。

然后，在MATLAB中绘制出新的相平面图，如图5.6所示

图5.6 偏心后得相平面复合运动曲线

单一从图5.6观察无法直观得看出变化，因此下面将标准模拟相平面复合运动曲线与偏心模拟相平面曲线画在一张图上，并在其中取点，如图5.7

图5.7 偏心前后相平面曲线比较

从图中可以看出，计算转动惯量J的值时，在不同时刻取点所计算得误差也

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有所不同。再依法将J?20kg?m2时的对比图绘出，如图5.8.

图5.8 J?20kg?m2时的相平面曲线比较图

由J?20kg?m2和J?40kg?m2时相平面图形的比较可以猜测出，当取点位置在复摆往回摆的区间时，计算转动惯量的误差相对较小。此时从绘制的新的不同相平面曲线中选点带入5.1节公式 (5.9) -(5.12)中即可计算出转动惯量J的实际值。

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6. 总结与展望

本文分两部分进行研究：第一部分是对光学编码器测量误差进行研究；第二部分是研究光学编码器误差对转动惯量测量误差的影响；

本文在第一部分中首先分析了引起光学编码器误差的诸多因素，如码盘偏心，安装时系统转轴偏心以及运动中产生的晃动。接下来分别从两个角度展开对光学编码器测量误差的研究：1.通过推导偏心后新的莫尔条纹方程并分析其曲线变化规律的方法探索光学编码器的测量误差。2.从叠栅条纹信号相位的角度分析偏心对编码器的测量误差。

第一部分遇到的问题是：要找出转角?与莫尔条纹运动情况的关系，这个关系是通过对莫尔条纹位置相近程度的判断找出的，通过绘制多条曲线可以观察到所选的两最相近条纹之间实际是有交点的，所以不可能完全的重合，因此求出的值有较大的误差。在这样的探索研究过后，本文选用了第二种方法中得到的结论来进行后续转动惯量测量误差分析的研究。

第二部分的主要内容是将光学编码器的误差分析与转动惯量测量过程进行连接。首先对理想情况下转动惯量的测量进行模拟，之后通过第一部分得到的结论可以找到真实值与误差值的关系并得出偏心后新的相平面运动曲线与模拟曲线进行对比。从这部分的相平面分析中可以看出随着角度变化的不同两条曲线的相差程度也有所不同。

至此，本文对基于复摆运动相平面分析对转动惯量进行测量这一新方法中编码器误差对测量误差的影响进行分析，证明了这一方法优越性的同时为改进实验减小误差的工作提供帮助和思路。今后，还可以从本文出发绘制系统转轴在不同偏心角的情况下相平面曲线图，研究分析在哪段区间取点可以将误差减至最小。另外本文之所以采用增量式光栅编码器而没有采用造价较低的旋转变压器是因为，增量式光栅编码器虽然在时间上有所延迟，不能够实时的输出转角数据，但是其精度很高，比旋转变压器的测量结果更精确，符合该测量方法的要求。

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