高中数学中对称性问题
更新时间:2023-03-28 18:17:01 阅读量: 说明书 文档下载
高中数学关于对称方面的一些知识和应用
对称性与周期性
函数对称性、周期性的判断
1. 函数y f(x)有f(a x) f(b x)(若等式两端的两自变量相加为常数,如
(a x) (b x) a b),则f(x)的图像关于x
a b
轴对称;当a b时,若2
f(a x) f(a x) (或f(x) f(2a x)),则f(x)关于x a轴对称;
2. 函数y f(x)有f(x a) f(x b)(若等式两端的两自变量相减为常数,如
(x a) (x b) a b),则f(x)是周期函数,其周期T a b;当a b时,若f(x a) f(x a),则f(x)是周期函数,其周期T 2a;
3. 函数y f(x)的图像关于点P(a,b)对称 f(x) f(2a x) 2b (或f(x)=2b f(2a x));函数y f(x)的图像关于点P(a,0)对称 f(x)= f(2a x) (或 f(a x)= f(a x)); 4. 奇函数y f(x)的图像关于点P(a,0)对称 y f(x)是周期函数,且T 2a是函数的一个周期;偶函数y f(x)的图像关于点P(a,0)对称 y f(x)是周期函数,且T 4a是函数的一个周期; 5. 奇函数y f(x)的图像关于直线x a对称 y f(x)是周期函数,且T 4a是函数的一个周期;偶函数y f(x)的图像关于直线x a对称 y f(x)是周期函数,且T 2a是函数的一个周期;
6. 函数y f(x)的图像关于点M(a,0)和点N(b,0)对称 函数y f(x)是周期函数,且
T 2(a b)是函数的一个周期;
7. 函数y f(x)的图像关于直线x a和直线x b对称 函数y f(x)是周期函数,且
T 2(a b)是函数的一个周期。
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高中数学关于对称方面的一些知识和应用
点关于点的对称 中心对称问题(点对称问题) 直线关于点的对称
曲线关于点的对称
对称问题
点关于直线的对称
轴对称问题(线对称问题)
直线关于直线的对称
曲线关于直线的对称
一、 点对称
(1) 点关于点的对称点问题
若点A(x1,y1), B(x2,y2), 则线段AB中点M的坐标是(
x1 x2y1 y2
,);据此可以解求点与点的22
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高中数学关于对称方面的一些知识和应用
中心对称,即求点M(x0,y0)关于点P(a,b)的对称点M的坐标(x,y),利用中点坐标公式可得
'
a
x0 xy y'
, b 0,解算的M的坐标为(2a x0, 2b y0)。
22
例如点M(6,-3)关于点P(1,-2)的对称点M的坐标是( 4, 1).
① 点M(x0,y0)关于点P(a,b)的对称点M的坐标(2a x0, 2b y0)
'
''
;
② 点M(x0,y0)关于原点的对称点M的坐标(2a x0, 2b y0)=( x0, y0)
.(2) 直线关于点对称
① 直线L:Ax By C 0关于原点的对称直线
设所求直线上一点为M(x,y),则它关于原点的对称点为M( x, y),因为M点在直线L上,故有A( x) B( y) C 0,即Ax By C 0;
② 直线l1:Ax By C 0关于某一点P(a,b)的对称直线l2 它的求法分两种情况:
1)、当P(a,b)在l1上时,它的对称直线为过P点的任一条直线。
2)、当P点不在l1上时,对称直线的求法为: 解法(一):在直线l2上任取一点M(x,y),则它关于
'
'
P的对称点为M'(2a x,2b y),因为M'点在l1上,把
M'点坐标代入直线在l1中,便得到l2的方程即为
A(2a x) B(2b y) C ,简化为:0Ax By C 2aA 2bB 0.
解法(二):在l1上取一点M(x1,y1),求出M关于P点的对称点M'(2a x1,2b
y1)的坐标。再
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高中数学关于对称方面的一些知识和应用
由Kl1 Kl2
A
,可求出直线l2的方程。 B
解法(三):由Kl1 Kl2,可设l1:Ax By C 0关于点P(a,b)的对称直线为Ax By C'
0
C'从而可求的及对称直线方程。
(3) 曲线关于点对称
曲线C1:f(x,y) 0关于P(a,b)的对称曲线的求法:设M(x,y)是所求曲线的任一点,则M点关于P(a,b)的对称点为(2a x,2b y)在曲线f(x,y) 0上。故对称曲线方程为f(2a x,2b y) 0。
二、 直线的对称
(1) 点关于直线的对称
1) 点P(a,b)关于x轴的对称点为P'(a, b) 2) 点P(a,b)关于y轴的对称点为P'( a,b) 3) 关于直线x m的对称点是P'(2m a,b) 4) 关于直线y n的对称点是P'(a,2n b) 5) 点P(a,b)关于直线y x的对称点为P'(b,a) 6) 点P(a,b)关于直线y x的对称点为P'( b, a)
7) 点P(a,b)关于某直线L:Ax By C 0的对称点P'的坐标
KPP'解法(一):由PP'⊥L知,
Ax By C 0
BB 直线PP'的方程→y b (x a),由 BAAy b (x a) A
可求得交点坐标,再由中点坐标公式求得对称点P'的坐标。
解法(二):设对称点为P'(x,y),由中点坐标公式求得中点坐标为(
a xb y
,)把中点坐标代入22
L中得到A
a xb yBb yB
B C 0①; ②,再由KPP' 得联立①、②可得到P'点坐标。 22Aa xA
解法(三):设对称点为P'(x,y
)
①,再
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由KPP'
Bb yB
②,由①、②可得到P'点坐标。 得
Aa xA
(2) 直线l1关于直线l的对称直线l2
设直线l:Ax By C 0,则l
关于x轴对称的直线是Ax B( y) C 0 关于y轴对称的直线是A( x) By C 0 关于y x对称的直线是Bx Ay C 0 关
于
y x对称的直线是
A( y)
B( x)
C
1) 当l1与l不相交时,则l1∥l∥l2
在l1上取一点M(x0,y0)求出它关于l的对称点M'的坐标。再利用Kl1 Kl2可求出l2的方程。 2) 当l1与l相交时,l1、l、l2三线交于一点。 解法(一):先解l1与l组成的方程组,求出交点A的坐标。则交点必在对称直线l2上。再在l1上找一点B,点B的对称点B'也在l2上,由A、B'两点可求出直线
l2的方程。
解法(二):在l1上任取一点P(x1,y1),则P点关于直线l的对称点Q在直线l2上,再由PQ⊥l,
KPQ KL 1。又PQ的中点在l上,由此解得x1 f(x,y),y1 g(x,y),把点(x1,y1)代入直线l1的
方程中可求出l2的方程。
解法(三):设l1关于l的对称直线为l2,则l2必过l1与l的交点,且l2到l的角等于l到l1的角,从而求出l2的斜率,进而求出l2的方程。
例:求直线l1:2x y 3 0关于直线l:x y 1 0对称的直线l2的方程
解:设M x,y 为所求直线l2上任意一点,则其关于l对称的点M' x1,y1 在直线l1上.
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y y1
1 1 (MM' l,即KMM' Kl=-1) x1 1 y x x1
y1 1 x x x1 y y1 1 0 (MM'的中在l上)
22
又 2x1 y1 3 0 2 1 y 1 x 3 0
故所求直线方程为x 2y 4 0 (3) 曲线关于直线对称
曲线C1关于直线l的对称曲线C2的方程,在C2上任取一点M(x,y),可求出它关于l的对称点坐标,再代入C1中,就可求得C2的方程。
例:求圆x y 1关于直线l:x y 1 0的对称圆的方程
解法(一):设M x,y 为所求圆上任意一点,则其关于l对称的点M' x1,y1 在x y 1上.
2
2
2
2
y y1
1 1 (MM' l,即KMM' Kl=-1) x1 1 y x x1
y 1 x 1 x x1 y y1 1 0 (MM'的中在l上)
22
x12 y12 1 y 1 x 1 1--即为对称圆的方程
解法(二):求圆心(0,0)关于l对称点C(1,1)
22
所求圆方程为 y 1 x 1 1
22
y2
1 关于直线l:x y 1 0对称椭圆的方程 例:求椭圆x 2
2
y2
1上. 解:设M x,y 为所求椭圆上任意一点,则其关于l对称的点M' x1,y1 在x 2
2
x 1 y1 x 2 1 1 y 1
y 1 x2 1
2
综合上述,求对称问题通常采用变量替换、数形结合等解题思想。求对称问题的通法是:⑴ 求对称点一般采用,先设对称点P(x,y),再利用中点坐标公式或垂直、平分等条件,列出x,y的方程组,解方程组所得的解就是对称点的坐标,⑵ 求对称直线一般是:先设对称曲线上任一点M(x,y),再利用求对称点的方程求出M点的对称点M'点坐标,将M'点坐标代入已知曲线方程中,所得的关于x,y的关系式,就是所求对称曲线的方程。
通过上述研究,解析几何中的各种对称点,对称曲线(包括直线)列表如下:
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三、 函数图像自身的对称
(1) 一般地,函数y f(x)的图象关于x
a b
对称 y f(x)满足f(a x) f(b x) 2
证明:
),设P(x0,y0)是y f(x)的图象上的任意一点,则1)若y f(x)满足f(a x) f(b x
y0 f(x0),P(x0,y0)关于直线x
a b
的对称点是Q(a b x0,y0) 2
由条件知f(a b x0) f(b (b x0)) f(x0) y0
所以Q(a b x0,y0)在y f(x)的图象上,故函数y f(x)的图象关于x 2) 若函数y f(x)的图象关于x
a b
对称. 2
a b
对称. 设P(x0,y0)是y f(x)的图象上的任意一点,则2
P(x0,y0)关于x
a b
对称点Q(a b x0,y0)也在y f(x)的图象上。从而有2
y0 f(x0) f(a b x0)。令b x0 x则有f(a x) f(b x)
特例:
① 当b=a时,函数y f(x)的图象关于x a对称 y f(x)满足f(a x) f(a x)
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② 当a=0,b=2m时,函数y f(x)的图象关于x m对称 y f(x)满足f(x) f(2m x) ③ 当
a+b=0
时,函数y f(x)的图象关于x 0对称
y f(x)满足
f( a )x f(a 或)x(f a) x f a( x
(2) 函数y f(x)关于点(a,b)对称
f(a x) f(a x) 2,b或f(2a x) f( x) 2b或
f(2a x) f(x) 2b
简证:设点(x1,y1)在y f(x)上,即y1 f(x1),通过f(2a x) f(x) 2b可知,所以f(2a x1) 2b f(x1) 2b y1,所以点(2a x1,2b y1)也f(2a x1) f(x1) 2b,
在y f(x)上,而点(2a x1,2b y1)与(x1,y1)关于(a,b)对称。得证。
四、 两个函数图像的对称
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五、 周期性
1、一般地,对于函数f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的每一个值时,都有f(x T) f(x),那么函数f(x)就叫做周期函数,非零常数T叫做这个函数的周期。 说明:周期函数定义域必是无界的。
推广:若f(x a) f(x b),则f(x)是周期函数,b a是它的一个周期
2.若T是周期,则kT(k 0,k Z)也是周期,所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。
说明:周期函数并非都有最小正周期。如常函数f(x) C;
3、对于非零常数A,若函数y f(x)满足f(x A) f(x),则函数y f(x)必有一个周期为2A。 证明:f(x 2A) f[x (x A)] f(x A) [ f(x)] f(x)
∴函数y f(x)的一个周期为2A。 4、对于非零常数A,函数y f(x)满足f(x A)
1
,则函数y f(x)的一个周期为2A。 f(x)
证明:f(x 2A) f(x A A)
1
f(x)。
f(x A)
1
,则函数y f(x)的一个周期为2A。 f(x)
5、对于非零常数A,函数y f(x)满足f(x A)
证明:f(x 2A) f(x A A)
1
f(x)。
f(x A)
6、已知函数f(x)的定义域为N,且对任意正整数x
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高中数学关于对称方面的一些知识和应用
都有f(x) f(x a) f(x a)(a 0)则函数的一个周期为6a 证明:f(x) f(x a) f(x a) (1)
f(x a) f(x) f(x 2a) (2)
两式相加得:f(x a) f(x 2a) f(x) f(x 3a) f(x 6a)
六、 对称性和周期性之间的联系
性质1:函数y f(x)满足f(a x) f(a x),f(b x) f(b x)(a b),求证:函数y f(x)是周期函数。
证明:∵f(a x) f(a x)得f(x) f(2a x)
f(b x) f(b x)得f(x) f(2b x)
∴f(2a x) f(2b x) ∴f(x) f(2b 2a x)
∴函数y f(x)是周期函数,且2b 2a是一个周期。
性质2:函数y f(x)满足f(a x) f(a x) c和f(b x) f(b x) c(a b)时,函数y f(x)是周期函数。(函数y f(x)图象有两个对称中心(a,对称中心距离的两倍,是函数的一个周期)
证明:由f(a x) f(a x) c f(x) f(2a x) c
cc
)、(b,)时,函数y f(x)是周期函数,且22
) f(b )x cf(x) f(2b f(b x
得f(2a x) f(2b x) 得f(x) f(2b 2a x)
x) c
∴函数y f(x)是以2b 2a为周期的函数。
性质3:函数y f(x)有一个对称中心(a,c)和一个对称轴x b(a≠b)时,该函数也是周期函数,且一个周期是4(b a)。
证明:f(a x) f(a x) 2c f(x) f(2a x) 2c
) f(b f(b x)x f()x (4a
f(2 b 2b x
x
b a) x) f(2b f(4(
(2b f(4a 2b x) f(2a
2a x) )2c f( 2b a 2x
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2c f(2b (2a x)) 2c f(2a x) 2c (2c f(x)) 2c 2c f(x) f(x)
推论:若定义在R上的函数f(x)的图象关于直线x a和点(b,0)(a b)对称,则f(x)是周期函数,
4(b a)是它的一个周期
证明:由已知f(x) f(2a x),f(x) f(2b x).
f(x) f(2a x) f[2b (2a x)] f[2(b a) x]
f[2a 2(b a) x] f[2(2a b) x]
f[2b 2(2a b) x] f[4(b a) x],周期为4(b a).
举例:y sinx等.
性质4:若函数f(x)对定义域内的任意x满足:f(x a) f(x a),则2a为函数f(x)的周期。(若
f(x)满足f(x a) f(x a)则f(x)的图象以x a为图象的对称轴,应注意二者的区别)
证明: f(x a) f(x a) f(x) f(x 2a)
性质5:已知函数y f x 对任意实数x,都有f a x f x b,则y f x 是以2a为周期的函数
证明:f(a x) b f(x)
f(x 2a) f((x a) a) b f(x a) b (b f(x)) f(x)
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