广东省广州市培正中学2017-2018学年高一数学上学期10月段考试题（含解析）

爱爱爱大大的广州市培正中学2017学年上学期第一次段考

高一数学试题

（满分：150分；考试时间：120分钟）

第I卷（选择题 共60分）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）.

1. 已知A={0，1，2}，B={0，1}，则下列关系不正确的是（ ） A. A∩B=B B. ?AB【答案】B 【解析】

2

B C. A∪BA D. B A

正确，不是B的子集，关系不正确的是B.

2. 已知集合A＝{x|ax＋2x＋a＝0，a∈R}，若集合A有且仅有2个子集，则实数a的取值是( ) A. 1 B. 0,1

C. －1, 1 D. －1,0,1 【答案】D

【解析】集合A有且仅有2个子集,说明集合只含有一个元素，集合A＝{x|ax＋2x＋a＝0，

2

a∈R}，当

合

时，，当

，当时，

时，，所以

或

，，选D.

，当时，集

3. 函数

A. (－3,0] B. (－3,1]

的定义域为( )

C. (－∞，－3)∪(－3,0] D. (－∞，－3)∪(－3,1] 【答案】A

还是个帅哥但是 爱爱爱大大的【解析】由题意，解得－3＜x≤0.

4. 下列各组函数中，表示同一函数的是 （ ） A. C. 【答案】D 【解析】同一函数；

的定义域为R，与 定义域为

的定义域为

，定义域不同，A不是

定义域为R，

B. D.

对应法则不同，B不是同一函数；

，定义域不同，C不是同一函数；D.

定义域相同，对应法则也相同，时同一函数，选D.

5. 已知函数A.

B.

的定义域是 C.

，则

D.

的定义域是（ ）

【答案】A 【解析】函数

，则

6. 设y1＝4，y2＝8

0.9

0.48

的定义域是

，则

，y3＝

－1.5

，则

的定义域是

，.

，有

，则( )

A. y3＞y1＞y2 B. y2＞y1＞y3 C. y1＞y2＞y3 D. y1＞y3＞y2 【答案】D 【解析】

，

，则

7. 函数

A. ［-3,+∞］ B. (-∞,-3］ C. (-∞,5］ D. ［3,+∞) 【答案】B

【解析】试题分析：∵f（x）=x2+2（a-1）x+2的对称轴为x=1-a， ∵f（x）在区间（-∞，4]上是减函数，开口向上，

还是个帅哥但是 ，，因此，选D.

，

在区间(-∞,4］上递减,则a的取值集合是（ ）

爱爱爱大大的则只需1-a≥4， 即a≤-3． 考点：二次函数性质 8. 函数y＝5A. 【答案】D 【解析】函数为减函数，选D. 9. 函数A. C.

B. D.

的单调递增区间为( )

为偶函数，图象关于轴对称，当

时，

，在

－|x|

的图象是( )

C.

D.

B.

【答案】B 【解析】

在上为减函数，

在

上为增函数，在

为减函数，，选B.

（ ）

根据复合函数的单调性判断函数10. 已知A.

B.

，且

C. 10 D.

的单调递增区间为

那么

【答案】D

【解析】试题分析：∵∴∴

，∴

，

．

，

，

考点：函数值、函数的奇偶性．

11. 已知y＝f (x)是定义在R上的奇函数，当式A. C.

的解集是（ ）

B.

D.

时，

，那么不等

还是个帅哥但是 爱爱爱大大的【答案】D

【解析】由于y＝f (x)是定义在R上的奇函数，当i

，当

时，

时，

，所以

，则

时，

，

当时，

，则

，则，当时，的解集是

成立，当时，，

，综上：不等式

选D.

【点睛】利用函数的奇偶性求函数的解析式是函数的奇偶性的应用之一，给出函数在x>0的解析式，利用当x<0时，-x>0,借助f(x)=-f(-x)就可以求出x<0时的解析式；转化为分段函数问题，根据分段函数问题分段处理原则，分类讨论思想分步解不等式f(x)<，得出不等式的解. 12. 设函数于函数

，对于给定的正数K，定义函数定义域内的任意 ，恒有

，则( )

若对

A. K的最小值为1 B. K的最大值为1 C. K的最小值为【答案】C 【解析】时，求得定义域内恒有

，即

，则

的最大值为，即f(x)的最大值为恒成立，所以

，所以选B.

，当

，根据题意，定义域内

D. K的最大值为

第II卷（非选择题共90分）

二、 填空题（共4小题，每小题5分，共20分） 13. 已知函数

【答案】 (1). -4 (2). 3 【解析】（1）（2）当当综上可知

时，

.

还是个帅哥但是 ，则f (2)=_______；若____________．

；

时，

；

，则

，

舍去；

；

爱爱爱大大的14. 已知【答案】

【解析】试题分析：（

,求的解析式为___________________.

＋1）＝x＋2

（

,所以有）．

，因为

，所以所求函数的解析式应为

考点：应用整体配凑法来求函数解析式． 15. 函数【答案】【解析】令

，有

，

，函数

.

的图象一定过定点__________.

的图象一定过定点

16. 对于函数（1）（2）（3）（4）

【答案】(2)(3)(4) 【解析】取

，

，

定义域中任意

有如下结论：

其中正确命题的序号是______________．

，二者不等（1）不正确；

，（2）正确；

在R上为增函数，（3）正确；

为下凹函数，（4）正确；其中正确命题的序号是(2)(3)(4).

【点睛】函数判断题是常见的函数问题，要熟悉一些陌生函数表达符号，函数f(x)在某区间上满足

说明函数在某区间上为增函数，函数f(x)满足

说

明函数f(x)的图像是下凹的，函数f(x0

三.解答题：（共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤） 17. 已知集合 (1)求【答案】（1）

； (2)若

，

，求实数a的取值范围．

；（2）

还是个帅哥但是

爱爱爱大大的.

【解析】试题分析:根据集合的交、并、补运算定义，求出集合A与B的并集以及集合A在R下的补集与B的交集；先求出集合A与B的并集，要想使集合C是

的子集，先考虑集合

C是空集的情况，然后再考虑集合C不空的情形，根据自己要求，列出不等式，求出a的范围，注意区间端点的等号是否可取； 试题解析： (1)

, ,

(2)由（1）知

；

.

则，

综上，为所求

【点睛】根据集合的运算的定义，集合A与B的交集定义为集合A与B的公共元素组成的集合，集合A与B定义为属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，而集合A在集合U下的补集定义为属于集合U但不属于集合A的元素组成的集合；利用集合包含关系求参数问题，一般在数轴上画出满足条件的集合A、B，根据集合A是集合B的子集，列出符合要求的不等式，注意端点能否取等号，解不等式，求出参数的取值范围.

18. （1）已知函数f(x)(x∈R)是奇函数，且当x＞0时，f(x)＝2x－1，求函数f(x)的解析式．

（2）已知x＋y＝12，xy＝9且x＜y，求

的值．

【答案】（1）；（2）.

【解析】试题分析: 利用函数的奇偶性求函数的解析式是函数的奇偶性的应用之一，给出函数在x>0的解析式，利用当x<0时，-x>0,借助f(x)=-f(-x)就可以求出x<0时的解析式；

还是个帅哥但是 爱爱爱大大的指数幂运算要严格按照幂运算定义和法则运算，法则包括同底数幂相乘，底数不变，指数相加；同底数幂相除，底数不变指数相减；幂的乘方，底数不变指数相乘；积的乘方等于把积中每个因数乘方，再把所得的幂相乘；本题就是初中的分母有理化，将原式化简后代入求值. 试题解析：

（1）当x＜0，－x＞0，∴f(－x)＝2(－x)－1＝－2x－1. 又∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)， ∴f(x)＝2x＋1.又f(x)(x∈R)是奇函数， ∴f(－0)＝－f(0)，即f(0)＝0. ∴所求函数的解析式为f(x)＝

，

(2)解

∵x＋y＝12，xy＝9，②

.①

∴(x－y)2＝(x＋y)2－4xy＝122－4×9＝108. 又∵x＜y，∴x－y＝－6将②③代入①，得

.③

.

【点睛】利用函数的奇偶性求函数的解析式是函数的奇偶性的应用之一，给出函数在x>0的解析式，利用当x<0时，-x>0,借助f(x)=-f(-x)就可以求出x<0时的解析式；指数幂运算要严格按照幂运算定义和法则运算，指数运算包括正整指数幂、负指数幂、零指数幂、分数指数幂的定义，法则包括同底数幂的惩罚和除法，幂的乘方、积的乘方；遇到分数指数幂要化为根式，需要分母有理化. 19. 已知函数 (1)证明：函数

是偶函数；

(2)利用绝对值及分段函数知识，将函数解析式写成分段函数的形式，然后画出函数图像（草图），并写出函数的值域； (3)在同一坐标系中画出直线

，观察图像写出不等式

.

的解集.

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）

还是个帅哥但是 爱爱爱大大的

试题解析： （1）依题可得：

的定义域为

（2）

由函数图象知，函数的值域为（3）由函数图象知，不等式的解集为【点睛】 20. 已知函

数是奇函数，且f(2)＝.

是偶函数

(1)求实数m和n的值；

(2)求函数f(x)在区间[－2，－1]上的最值． 【答案】（1）实数m和n的值分别是2和0；（2）

.

【解析】试题分析: 已知函数的奇偶性求函数的解析式是函数的奇偶性常见考试题，由于函数是奇函数，则

，又f(2)= ，列方程组解出m，n，求出函数的解析式，

有了函数的解析式可以利用定义研究函数的单调性，也可借助对勾函数研究函数的单调性，也可借助导数研究函数的单调性，进而求函数在某区间上的最值.

还是个帅哥但是 爱爱爱大大的试题解析：

(1)∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)， ∴

比较得n＝－n，n＝0. 又f(2)＝，∴

，解得m＝2.

.

因此，实数m和n的值分别是2和0. (2)由(1)知f(x)＝

.

任取x1，x2∈[－2，－1]，且x1＜x2， 则f(x1)－f(x2)＝(x1－x2)∵－2≤x1＜x2≤－1时，

∴x1－x2＜0，x1x2＞0，x1x2－1＞0， ∴f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)． ∴函数f(x)在[－2，－1]上为增函数，

因此f(x)max＝f(－1)＝－，f(x)min＝f(－2)＝－.

【点睛】利用函数的奇偶性求函数的解析式是函数的奇偶性常见问题之一，有直接使用奇偶性定义，利用待定系数法求解析式，还有给出x<0的解析式，求x>0部分的解析式；求函数在某闭区间上的最值问题需要研究函数的单调性，可借助对勾函数研究函数的单调性，也可借助导数研究函数的单调性，进而求函数在某区间上的最值. 21. 已知函数(1)当

时，求函数

在

的值域； (x1－x2)·

.

(2)若关于的方程有解，求的取值范围.

【答案】（1）；（2）.

【解析】试题分析：（1）当

由

的方程

时,函数采用换元法得

，确定的范围，进而确定其值域．（2）关于

在

上有解，再分别讨

有解，等价于方程

还是个帅哥但是 爱爱爱大大的论、、的情况． 时，，则

，

，

，

试题解析：（1）当令故故值域为

．

（2）关于的方程记当当当所以，

时，解为

有解，等价于方程在上有解

，不成立;

，过点，过点

，不成立;

，必有一个根为正,

时，开口向下，对称轴时，开口向上，对称轴

．

考点：1、函数的定义域、值域；2、换元法． 22. 对于函数为⑴当(2)当

的不动点.

时,求

时,函数

在

的不动点;

内有两个不同的不动点,求实数的取值范围; 恒有两个不相同的不动点,求实数的取值范围.

,若存在实数

,使

=

成立,则称

(3)若对于任意实数,函数

【答案】（1）f(x)的不动点为-1,2；（2）-4【解析】试题分析：本题为新定义信息题，把a=2,b=-2代入后得到函数f(x)的解析式，假设存在不动点，根据不动点定义，满足在

，解方程求出不动点；当

时,函数

内有两个不同的不动点，说明方程在区间（-2，3）内有两个不等式实数根；同理解

决第三步. 试题解析：

(1)当a=2,b=-2时,f(x)=2x2-x-4

∴ 由f(x)=x得x2-x-2=0, ∴ x=-1或x=2.

∴ f(x)的不动点为-1,2. (2) 当a=2时,f(x)=2x2+(b+1)x+b-2,

还是个帅哥但是 爱爱爱大大的由题意得f(x)=x在(-2,3)内有两个不同的不动点, 即方程 2x2+bx+b-2=0 在(-2,3)内的两个不相等的实数根. 设 g(x)=2x2+bx+b-2,

∴ 只须满足 ∴

∴ -4

(3)由题意得:对于任意实数b,方程 ax+bx+b-2=0总有两个不相等的实数解. ∴

∴16a2-32a<0 ∴ 0

【点睛】本题为新定义信息题，要求认真读题，掌握新定义，所谓不动点，就是存在实数使

=

成立,则称

为

的不动点.当函数不含参数时，根据不动点定义，满足

在

内有两个不同的不动

,

∴ b-4ab+8a>0对b∈R恒成立.

22

，解方程求出不动点；当含有一个参数时,函数

点，说明方程在区间（-2，3）内有两个不等式实数根，利用二次方程的根的分布求出参数的范围；

还是个帅哥但是

爱爱爱大大的由题意得f(x)=x在(-2,3)内有两个不同的不动点, 即方程 2x2+bx+b-2=0 在(-2,3)内的两个不相等的实数根. 设 g(x)=2x2+bx+b-2,

∴ 只须满足 ∴

∴ -4

(3)由题意得:对于任意实数b,方程 ax+bx+b-2=0总有两个不相等的实数解. ∴

∴16a2-32a<0 ∴ 0

【点睛】本题为新定义信息题，要求认真读题，掌握新定义，所谓不动点，就是存在实数使

=

成立,则称

为

的不动点.当函数不含参数时，根据不动点定义，满足

在

内有两个不同的不动

,

∴ b-4ab+8a>0对b∈R恒成立.

22

，解方程求出不动点；当含有一个参数时,函数

点，说明方程在区间（-2，3）内有两个不等式实数根，利用二次方程的根的分布求出参数的范围；

还是个帅哥但是

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