角的比较

初一

角的比较

1．下列说法正确的是（ ）

（A）一个锐角的余角一定比这个锐角小 （B）一个锐角的余角一定比这个锐角大

（C）一个锐角的补角一定比这个锐角大 （D）一个钝角的补角比这个钝角大

2．如图，下列说法中错误的是（ ） （A）OA方向是北偏东30° （B）OB方向是北偏西15° （C）OC方向是南偏西25° （D）OD方向是东南方向 3．已知，AOB为直线，OC平分∠AOD，∠BOD=50°，求∠AOC的度数

4．已知∠BOC=2∠AOB，OD平分∠AOC，∠BOD=14°，求∠AOB的度数

5．如图，OD,OE分别是∠AOC和∠BOC的平分线，则下式中正确的是 [ ]

A．∠AOC=∠DOE B．∠AOE=∠DOB C．∠AOB=2∠DOE D．∠BOC=∠DOE

6．如图，OB平分∠AOC，且∠2:∠3:∠4=2:5:3，则∠1等于 [ ] A．30° B．36° C．40° D．60°

7. 从一个角的顶点引出的一条射线,把这个角分成两个相等的角,这条射线叫做_________。

8. 已知∠α=60°,∠AOB=3∠α,OC是∠AOB的平分线,则∠α=___∠AOC。 例题1 判定下列说法是否正确，如果是错误的，请给予改正。 (1)不相交的两条直线是平行线。 (2)在同一平面内不相重合的两条直线，如果它们不平行，那么这两条直线一定相交。

(3)过一点可以而且只可以画一条直线与已知直线平行。 思路点拨：严格根据公理及定义的前提要求来进行判断。

解：(1)不正确。根据平行线的定义，平行线是“在同一个平面内不相交的两条直线”，这里“在同一个平面内”是平行线的一项重要的条件，是不可缺的。 (2)正确。因为在同一个平面的两条直线的位置关系只有两种：相交或平行。 (3)不正确。正确的说法是“过直线外一点”，而不是“过一点”。因为如果这一点就在直线上，是作不出这条直线的平行线的。 例题2．如图哪几对是平行线？

初一

思路点拨：

本题关键是考虑到直线是无限延伸的以及平行线的定义在同一平面内，不相交的两条直线。

答案：（1）（2）

练习：

1．在同一平面内的两条直线位置关系是________或________。 2．经过直线外一点，有________条直线和已知直线平行。

3．若直线AB、CD都与直线l平行，则AB，CD的关系是________，根据是________。

4．如图AB与CD相交，若过点M作直线EF与AB平行，那么EF与CD的关系是________。

练习答案：

1．平行、相交。 2．且只有一。

3．平行，如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行。 4．相交。

垂 直

初一

内容要点： 一、垂直的概念

如果两条直线相交所成的四个角中，有一个角为90°，那么这两条直线互相垂直．两条线段互相垂直指它们所在的直线互相垂

直。

二、直线AB与直线CD垂直，记作AB

⊥CD。

互相垂直的两条直线的交点叫做垂足。

三、点到直线的距离：过点A作l的垂线，垂足为B，则线段AB的长度叫做点A

到直线l的距离。

四、垂直的性质：平面内，过一点有且

只有一条直线与已知直线垂直。 五、垂线段最短。直线外一点向直线上各点连结的所有的线段中，垂线段最短。

例题解析：

初一

例题1：如图，直线AB、CD互相垂直，垂足为O点，直线EF过O点，∠DOF=36°，

求∠AOE的度数。

思路点拨：求∠AOE的度数，可以借

助∠EOF为平角。

解：∵ 直线AB、CD互相垂直 (已知)

∴ ∠AOD=90° (垂直定义) ∵ ∠DOF=36° (已知) ∴ ∠AOE=∠EOF-∠AOD-∠

DOF=54°

例题2: 已知：如图OA⊥OD，OC⊥OB，∠COD=60°，求∠AOB的度数。

初一

思路点拨：

可考虑先求∠BOD的度数，用∠AOD与∠BOD两个角的和求∠AOB的度数。 解：∵ OA⊥OD，OC⊥OB (已知)

∴ ∠AOD=90° ∠BOC=90° (垂直定义) ∵ ∠COD=60° (已知) ∴ ∠BOD=∠BOC-∠

COD=90°-60°=30° ∴ ∠AOB=∠AOD+∠

BOD=90°+30°=120°

练习：

1．如图，AO⊥CO，OB⊥DO，∠AOB=32°，问∠COD是多少度？

初一

2．如图，AP⊥PC，PB⊥AC，A、B、C在同一条直线上，比较PA与PB，AB与AP，PB与PC，CP与CB的大小，并说明

理由。

3．如图，OC⊥OB，且OC是∠AOD的平分线，∠AOB=115°，求∠BOD是多

度？

4．已知AB和CD交于O点，OE平分∠AOC，射线OF⊥CD于O，且∠BOF=30°，

求∠COE是多少度？

初一

第五讲：线段和角

一、知识结构图

二、典型问题：

（一）数线段——数角——数三角形

问题1、直线上有n个点，可以得到多少条线段？ 分析： 点 线段

2 1

3 3 =1+2 4 6=1+2+3 5 10=1+2+3+4 6 15=1+2+3+4+5

n 1+2+3+ +(n-1)=

n n 1 2

问题2．如图，在∠AOB内部从O点引出两条射线OC、OD，则图中小于平角的角共有（ D ）个

(A) 3 (B) 4 (C) 5 (D) 6

拓展：1、 在∠AOB内部从O点引出n条射线图中小于平角的角共有多少个？ 射线 角 1 3 =1+2

初一

2 6=1+2+3 3 10=1+2+3+4

n 1+2+3+ +(n+1)=

n 1 n 2

2

类比：从O点引出n条射线图中小于平角的角共有多少个？ 射线 角

2 1

3 3 =1+2 4 6=1+2+3 5 10=1+2+3+4

n 1+2+3+ +(n-1)=

n n 1 2

类比联想：如图，可以得到多少三角形？

（二）与线段中点有关的问题 线段的中点定义：

文字语言：若一个点把线段分成相等的两部分，那么这个点叫做线段的中点

M

图形语言：

几何语言： ∵ M是线段AB的中点 ∴ AM BM

1

AB，2AM 2BM AB 2

典型例题：

1．由下列条件一定能得到“P是线段AB的中点”的是（ D ）

11

AB （B）AB＝2PB （C）AP＝PB （D）AP＝PB=AB 22

1

2．若点B在直线AC上，下列表达式：①AB AC；②AB=BC；③AC=2AB；④AB+BC=AC．

2

（A）AP=

其中能表示B是线段AC的中点的有（ A ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3.如果点C在线段AB上,下列表达式①AC=C是AB中点的有( C )

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

4．已知线段MN，P是MN的中点，Q是PN的中点，R是MQ的中点，那么MR= ______ MN． 分析：据题意画出图形

N

1

AB;②AB=2BC;③AC=BC;④AC+BC=AB中, 能表示2

设QN=x，则PQ=x，MP=2x，MQ=3x，

初一

3x

3MR3

所以，MR=x ，则

2MN4x8

5．如图所示，B、C是线段AD上任意两点，M是AB的中点，N是CD中点，若MN=a，BC=b，则线段AD的长是（ ）

D

A 2（a-b） B 2a-b C a+b D a-b 分析：不妨设CN=ND=x，AM=MB=y 因为MN=MB+BC+CN 所以a=x+y+b

因为AD=AM+MN+ND 所以AD=y+a+x=a-b+a=2a-b （三）与角有关的问题

1． 已知：一条射线OA，若从点O再引两条射线OB、OC，使∠AOB=600，∠BOC=200，

则∠AOC=____80°或40°________度（分类讨论）

2． A、O、B共线，OM、ON分别为∠ AOC 、∠ BOC的平分线，猜想∠ MON的度数，

试证明你的结论． 猜想：_90°______

证明：因为OM、ON分别为∠ AOC 、∠ BOC的平分线 所以∠MOC=

11

∠AOC ，∠CON=∠COB 22111

∠AOC +∠COB=∠AOB=90° 222

因为∠MON=∠MOC+∠CON 所以∠MON=

∠COE是直角，OF平分∠AOE，∠COF 34，3．如图，已知直线AB和CD相交于O点，

求∠BOD的度数．

分析：因为∠COE是直角，∠COF 34，

所以∠EOF=56°

因为OF平分∠AOE 所以∠AOF=56°

因为∠AOF=∠AOC+∠COF 所以∠AOC=22° 因为直线AB和CD相交于O点 所以∠BOD=∠AOC=22°

初一

4．如图，BO、CO分别平分∠ABC和∠ACB， （1）若∠A = 60°，求∠O；

（2）若∠A =100°，∠O是多少？若∠A =120°，∠O又是多少？ （3）由（1）、（2）你又发现了什么规律？当∠A的度数发生变化后，你的结论仍成立吗？ （提示：三角形的内角和等于180°）

答案：（1）120°；（2）140° 、150°（3）∠O=90°+

1

∠A 2

5．如图，O是直线AB上一点,OC、OD、OE是三条射线,则图中互补的角共有（ B ）对

(A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5

6．互为余角的两个角 （ B ）

（A）只和位置有关 （B）只和数量有关

（C）和位置、数量都有关 （D）和位置、数量都无关

7．已知∠1、∠2互为补角，且∠1＞∠2，则∠2的余角是（ C ）

A.12（∠1＋∠2） B.111

2∠1 C.2（∠1－∠2） D.2∠2 分析：因为∠1＋∠2=180°，所以

1

2

（∠1＋∠2）=90° 90°-∠2= 11

2（∠1＋∠2）-∠2= 2

（∠1－∠2）

第六讲：相交线与平行线

初一

一、知识框架

二、典型例题

1.下列说法正确的有( B )

①对顶角相等;②相等的角是对顶角;③若两个角不相等,则这两个角一定不是对顶角; ④若两个角不是对顶角,则这两个角不相等. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 2.如图所示,下列说法不正确的是( D )

A.点B到AC的垂线段是线段AB; B.点C到AB的垂线段是线段AC C.线段AD是点D到BC的垂线段; D.线段BD是点B到AD的垂线段 3.下列说法正确的有( C )

①在平面内,过直线上一点有且只有一条直线垂直于已知直线; ②在平面内,过直线外一点有且只有一条直线垂直于已知直线; ③在平面内,过一点可以任意画一条直线垂直于已知直线; ④在平面内,有且只有一条直线垂直于已知直线.

A

D

B

C

初一

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

4．一学员驾驶汽车，两次拐弯后，行驶的方向与原来的方向相同， 这两次拐弯的角度可能是（ A ）

A

B

C

F

D

E

A. 第一次向左拐30°第二次向右拐30° B. 第一次向右拐50°第二次向左拐130° C. 第一次向右拐50°第二次向右拐130° D. 第一次向左拐50°第二次向左拐130° 5．如图，若AC⊥BC于C，CD⊥AB于D，则下列结论必定成立的是（ C ） ．．．．A. CD>AD B.AC<BC C. BC>BD D. CD<BD 分析：考察垂线段的性质、基本图形——“双垂直”图形

A

D

B

C

6．如图,已知AB∥CD,直线EF分别交AB,CD于E,F,EG 平分∠BEF,若∠1=72°,

则∠2=____54°___.

7．如图,AB∥EF∥CD,EG∥BD,则图中与∠1相等的角(∠1除外)共有( C ) A.6个 B.5个 C.4个 D.3个

8．如图，直线l1、l2、l3交于O点，图中出现了几对对顶角，若n条直线相交呢？ 答案：3对，n(n+1)

9. 如图，在4 4的正方形网格中， 1， 2， 3的大小关系是_________．

答案：∠1=∠2>∠3

10. 如图所示,L1,L2,L3交于点O,∠1=∠2,∠3:∠1=8:1,求∠4的度数.( 方程思想)

lll1 AC

E

B

D

l1

3l2l3

初一

答案：36°

11． 如图所示,已知AB∥CD,分别探索下列四个图形中∠P与∠A,∠C的关系, 请你从所得的四个关系中任选一个加以说明.

A

AB

B

PP

P

A

BCD

C

D

(1) (2) (3) (4)

（1）分析：过点P作PE//AB ∠APE+∠A+∠C=360° （2）∠P=∠A+∠C （3）∠P=∠C-∠A, （4）∠P=∠A-∠C

12．如图，若AB//EF，∠C= 90°，求x+y-z 度数。 分析：如图，添加辅助线

证出：x+y-z=90°

13．已知：如图， BAP APD 180

， 1 2 求证： E F 分析：法一

法二：由AB//CD证明 PAB= APC， 所以 EAP= APF

ABC

D

P

A B

E

F

C

P

D

初一

所以AE//FP 所以 E F

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/uurj.html