05第七届全国力学竞赛试题01

一、小球在高脚玻璃杯中的运动

一半球形薄玻璃高脚杯，半径 r =5 cm，其质量m1=0.3 kg，能够承受的最大压力为1 N(牛顿)；杯底座半径R =5 cm，厚度不计。杯脚高度h =5 cm，如果有一个质量m2=0.1kg的光滑钢球自杯的边缘由静止释放后沿杯的内侧滑下，略去小球的半径。已知杯座与水平面之间的静滑动摩擦因数fs = 0.35，试分析在小球运动过程中，高脚玻璃杯可能发生的情况。 解：

（1）分析杯子被打破情况。

假设杯子不运动，取小球为研究对象。 在自然坐标轴系有

m2at?m2r?????m2gsin? (1)

m22an?m2l???FN?m2gcos? (2)考虑到 2?? ? ? 1 d ? ? （3）

2d?有 1d??22d???grsin? 积分 ???d(??2)??2g0???(0rsin?)d?

得

??2?2gl(cos??cos?0) (4)把式(4)代入式(2)，得 FN = m2g(3cos? ? 2cos ?0) 初始时?0??2 ，则 FN = 3m2gcos?

将最大承受力1 N代人上式得 cosφ=0.34 , φ=70.1°。 即小球在φ=70.1°位置将杯子打破。

（2）分析杯子滑动情况。

取小球和杯子为研究对象。

由上面计算可得角速度和角加速度大小

r????m2gsin? , l??2?2gcos?

n O φ FN t A h m2g y O φ an A FIt B at FIn h m1g m2g x F FN1 1

小球惯性力大小

???m2gsin?FIt?m2at?m2r??FIn?m2an?m2r?2?2m2gcos?应用动静法

?F?Fx?0, FItcos??FInsin??F?0?0, FItsin??FIncos??FN1?m1g?m2g?0y解得 即

F? FItcos??FInsin?FN?(m1?m2)g-FItsin??FIncos?3F? m2gsin2?2FN?m1g?3m2gcos?2最大静滑动摩擦力Fmax?fs.FN，而

Fmam?F?1.5m2g(1?cos2??sin2?)?0

由于F?Fmax，所以杯子不滑动。

（2）分析杯子翻到情况。

分析临界状态。

?ΜC?0, m1gR?(FItcos??FInsin?)(h?r?rcos? ? (Fcos??Fsin??mg)(R-rsin?)?0InIt2代入惯性力

???m2gsin?FIt?m2at?m2r??FIn?m2an?m2r?22?2m2gcos?得 1＋cos??3sin?cos??0

22解得 cos???；cos???0.45 , ???63.3即 ??63.3?时，杯子倾侧（一侧翘起）。

, ??45?。

通过以上分析得知，当小球自杯子的边缘由静止释放后沿杯子的内侧滑下到与铅垂方向夹角φ=70.1°位置时，将杯子打破。

2

二、杂耍圆环

1．杂技演员将一个圆环沿水平地面滚出，开始铁环一跳一跳向前滚动，随后不离开地面向前滚动，为什么？

2．杂技演员拿出一个匀质圆环，沿粗糙错的水平面向前抛出，不久圆环又自动返回到演员跟前。设圆环与地面接触瞬时圆环中心的速度大小为v0 ，圆环的角速度为?0 ，圆环半径为r ，质量为m ，圆环与地面的静摩擦因数为fs ，不计滚动摩阻，试问：

（1）圆环能自己滚回来的条件是什么？

（2）圆环在向回滚动过程中，离所走的最远距离为多远时开始无滑动地滚动？ 3. 玩童用细铁棍推动铁环在水平面上匀速纯滚动，如图所示，设铁环保持在铅垂平面内滚动，铁棍与铁环之间的静摩擦因数为 ft ，铁环的半径为r ，与水平面的静摩擦因数为fs ，滚动摩阻为 δ 。

（1）试求为使铁棍的推力值最小，铁环上与铁棍的接触点A的位置。 （2）分析铁环相对水平面只滚动不滑动的条件。 解：

1. 圆环不是匀质的，质心不在圆环的中心。开始滚动角速度大，圆环一跳一跳向前滚动；随后角速度减小，所以圆环不离开地面向前滚动。

2.（1）圆环能自己滚回的条件

圆环初瞬时环心速度为v0，角速度大小为?0，以后为v和?。圆环与地面接触点的速度大小为

u=v+r? ( 1 ) 第一阶段，u>0，圆环与地面有相对滑动，摩擦力F=fsFN，式中FN=mg 。 由质心运动定理 mdvdt??mgfs

（2）

解得 v=v0－fsgt ( 3 )

3

由 mr2d?dt??mgfsr

（4）

解得 ???0?fsgtr （5）

由于摩擦力存在，v和?都随时间而减小。 第二阶段，由（1），（3），（5）式解得

u?(v0?r?0)?2fsgt

（6）

当u=0时刻开始摩擦力为零，有 t1?(v0?r?0)2fsg此时质心速度大小为 v1?v0?fsgt* 要使得圆环返回，则v1?0 ，圆环自己滚回的条件为 ?0?v0r? 0 C v0 方向如图所示。

（2）离最远处开始无滑动地滚动的距离 圆环到达最远距离时，v=0，时间为 t2?(v0?r?0)2fsgv0fsg；当u=0时刻开始无滑动滚动，

有 t1?；在此过程中，加速度的大小为a=fsg

(r?-v0)8gfs2所求距离： s?12?gfs?(t1?t2)?2

3．（1）确定推动力F为最小值时的接触点A。 设半径CA与铅垂线间的夹角为α。A，B 两点处的摩擦角分别为φm=arctgfm和φl=arctgfl 滚动摩阻力偶矩为Mf。铁环匀速滚动时，重力mg、地面全反力FR、推动力F和滚阻力偶Mf相平衡。

r C mg FR ?MB?0, Fsin(???m)?DB?Mf?0

rsin?msin(???m)]?Mf

α D φm F A 得 Fsin(???m)[r?φl B Mf 4

即 Fr[sin(???m)?sin?m]?Mf 因此有 F?Mfr[sin(???m)?sin?m]

，亦即 ???2?arctgfm当 sin(???m)?1， 即 ???m?值。

（2）分析铁环纯滚动的条件。

?2 时，推动力F取最小

若铁环只滚不滑，因全反力FR与铅垂线的夹角不超过φl，因此

Fmaxsin?l?mgsin[180??(???m??l)]mgsin?lsin(???m??l)?

即 Fmax?FR （1）

α+φm mgFmax mg φl FR 又 sin(???m)sin[180??(???m??l)]

即 FR?mgsin(???m)sin(???m??l) （2）

以及 Mf??FN??FRcos?l?Fmaxr[sin(???m)?sin?l]

将(1)、(2)式代入上式，考虑到Fmax必须为正值，即 (???m??l) ??，故铁环的纯滚动条件为 arcsin(rflsin?mrfl??)-?m???(???m??l) 。

5

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/uulp.html