2017年高考数学易错集专题18概率与统计（理科 word版 含答案）

专题18 概率与统计

1．为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是( ) 1125A. B. C. D. 3236答案 C

2．某公司的班车在7：30,8：00,8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是( ) 1123A. B. C. D. 3234答案 B

解析 如图所示，画出时间轴：

小明到达的时间会随机的落在图中线段AB中，而当他的到达时间落在线段AC或DB时，才能保证他等10＋101车的时间不超过10分钟，根据几何概型得所求概率P＝＝，故选B.

402

3．袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半．甲、乙、丙是三个空盒，每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个球放入乙盒，否则就放入丙盒．重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则( ) A．乙盒中黑球不多于丙盒中黑球 B．乙盒中红球与丙盒中黑球一样多 C．乙盒中红球不多于丙盒中红球 D．乙盒中黑球与丙盒中红球一样多

答案 B

解析 取两个球往盒子中放有4种情况： ①红＋红，则乙盒中红球数加1； ②黑＋黑，则丙盒中黑球数加1；

4．同时抛掷两枚质地均匀的硬币，当至少有一枚硬币正面向上时，就说这次试验成功，则在2次试验中成功次数X的均值是________． 3答案

2

113

解析 由题可知，在一次试验中，试验成功(即至少有一枚硬币正面向上)的概率为P＝1－×＝，∵2

22433?3?次独立试验成功次数X满足二项分布X～B?2，?，则E(X)＝2×＝. 42?4?

5．某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图．图中A点表示十月的平均最高气温约为15℃，B点表示四月的平均最低气温约为5℃.下面叙述不正确的是( )

A．各月的平均最低气温都在0℃以上 B．七月的平均温差比一月的平均温差大 C．三月和十一月的平均最高气温基本相同 D．平均最高气温高于20℃的月份有5个

答案 D

解析 由题意知，平均最高气温高于20℃的有七月，八月，故选D.

6．某高校调查了200名学生每周的自习时间(单位：小时)，制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5,30]，样本数据分组为[17.5,20)，[20,22.5)，[22.5,25)，[25,27.5)，[27.5,30]．根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是( )

A．56B．60C．120D．140 答案 D

解析 设所求人数为N，则N＝2.5×(0.16＋0.08＋0.04)×200＝140，故选D.

7．某学校运动会的立定跳远和30秒跳绳两个单项比赛分成预赛和决赛两个阶段．下表为10名学生的预赛成绩，其中有三个数据模糊.

学生序号 立定跳远(单位：米) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1.96 1.92 1.82 1.80 1.78 1.76 1.74 1.72 a 75 60 63 72 70 a－1 1.68 1.60 b 65 30秒跳绳63 (单位：次) 在这10名学生中，进入立定跳远决赛的有8人，同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的有6人，则( )

A．2号学生进入30秒跳绳决赛 B．5号学生进入30秒跳绳决赛 C．8号学生进入30秒跳绳决赛 D．9号学生进入30秒跳绳决赛 答案 B

8．如图是我市某小区100户居民2015年月平均用水量(单位：t)的频率分布直方图的一部分，则该小

区2015年的月平均用水量的中位数的估计值为________．

答案 2.02

解析 由图可知，前五组的频率依次为0.04,0.08,0.15,0.22,0.25，因此前五组的频数依次为4,8,15,22,25，由中位数的定义，应是第50个数与第51个数的算术平均数，而前四组的频数和：4＋81

＋15＋22＝49，是第五组中第1个数与第2个数的算术平均数，中位数是2＋(2.5－2)×＝2.02.

259．某高中学校共有学生1800名，各年级男女学生人数如下表．已知在全校学生中随机抽取1名，抽到高二女生的概率是0.16.

女生 男生

高一年级 324 316 高二年级 高三年级 280 x 312 y 现用分层抽样的方法，在全校抽取45名学生，则应在高三抽取的学生人数为________． 答案 14

10．全网传播的融合指数是衡量电视媒体在中国网民中影响力的综合指标．根据相关报道提供的全网传播2015年某全国性大型活动的“省级卫视新闻台”融合指数的数据，对名列前20名的“省级卫视新闻台”的融合指数进行分组统计，结果如表所示.

组号 1 2 分组 [4,5) [5,6) 频数 2 8 3 4 [6,7) [7,8] 7 3 (1)现从融合指数在[4,5)和[7,8]内的“省级卫视新闻台”中随机抽取2家进行调研，求至少有1家的融合指数在[7,8]内的概率；

(2)根据分组统计表求这20家“省级卫视新闻台”的融合指数的平均数．

解 方法一 (1)融合指数在[7,8]内的“省级卫视新闻台”记为A1，A2，A3；融合指数在[4,5)内的“省级卫视新闻台”记为B1，B2，从融合指数在[4,5)和[7,8]内的“省级卫视新闻台”中随机抽取2家的所有基本事件是：

{A1，A2}，{A1，A3}，{A2，A3}，{A1，B1}，{A1，B2}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A3，B1}，{A3，B2}，{B1，B2}，共10个．

其中，至少有1家融合指数在[7,8]内的基本事件是：{A1，A2}，{A1，A3}，{A2，A3}，{A1，B1}，{A1，

事件是：

{A1，A2}，{A1，A3}，{A2，A3}，{A1，B1}，{A1，B2}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A3，B1}，{A3，B2}，{B1，B2}，共10个．

其中，没有1家融合指数在[7,8]内的基本事件是：{B1，B2}，共1个． 19

所以所求的概率P＝1－＝. 1010(2)同方法一．

易错起源1、古典概型和几何概型

例1、(1)如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数，从1,2,3,4,5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为( )

A.

3111B.C.D. 1051020

2

2

(2)在[－1,1]上随机地取一个数k，则事件“直线y＝kx与圆(x－5)＋y＝9相交”发生的概率为________． 3

答案 (1)C (2) 4

解析 (1)从1,2,3,4,5中任取3个不同的数共有如下10个不同的结果：(1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，(1,3,4)，(1,3,5)，(1,4,5)，(2,3,4)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)，其中勾股数只有(3,4,5)，所以1

概率为.故选C.

10

(2)由已知得，圆心(5,0)到直线y＝kx的距离小于半径，∴3?3?－?－?4?4?3

由几何概型得P＝＝. 1－?－1?4

1312

【变式探究】(1)已知函数f(x)＝ax－bx＋x，连续抛掷两颗骰子得到点数分别是a，b，则函数f′(x)

32在x＝1处取得最值的概率是( ) A.C.1

361 12

B.1 18

|5k|

33

<3，解得－

44k2＋1

1

D. 6

(2)如图，大正方形的面积是34，四个全等直角三角形围成一个小正方形，直角三角形的较短边长为3，向大正方形内抛一枚幸运小花朵，则小花朵落在小正方形内的概率为( )

A.C.1 173 17

2B. 174D. 17

答案 (1)C (2)B

42

抛一枚幸运小花朵时，小花朵落在小正方形内的概率为＝，故选B.

3417【名师点睛】

(1)解答有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数，这常用到计数原理与排列、组合的相关知识．

(2)在求基本事件的个数时，要准确理解基本事件的构成，这样才能保证所求事件所包含的基本事件个数的求法与基本事件总数的求法的一致性．

(3)当构成试验的结果的区域为长度、面积、体积、弧长、夹角等时，应考虑使用几何概型求解． 【锦囊妙计，战胜自我】 1．古典概型的概率

mA中所含的基本事件数P(A)＝＝.

n基本事件总数

2．几何概型的概率

P(A)＝

构成事件A的区域长度?面积或体积?

. 试验的全部结果所构成的区域长度?面积或体积?

易错起源2、相互独立事件和独立重复试验

例2、某居民小区有两个相互独立的安全防范系统(简称系统)A和B，系统A和系统B在任意时刻发生1

故障的概率分别为和p.

10

(1)若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为

49

，求p的值； 50

(2)求系统A在3次相互独立的检测中不发生故障的次数大于发生故障的次数的概率．

243

所以系统A在3次相互独立的检测中不发生故障的次数大于发生故障的次数的概率为. 250

【变式探究】(1)把一枚骰子连续抛掷两次，记“第一次抛出的是素数点”为事件A，“第二次抛出的是合数点”为事件B，则P(B|A)等于( ) 1111A. B. C. D. 2463

(2)如图所示，某快递公司送货员从公司A处准备开车送货到某单位B处，有A→C→D→B，A→E→F→B两条路线．若该地各路段发生堵车与否是相互独立的，且各路段发生堵车事件的概率如图所示(例如

A→C→D算作两个路段，路段AC发生堵车事件的概率为，路段CD发生堵车的概率为)．若使途中发

生堵车事件的概率较小，则由A到B应选择的路线是______________．

1

6110

答案 (1)D (2)A→E→F→B

【名师点睛】

求相互独立事件和独立重复试验的概率的注意点：

(1)求复杂事件的概率，要正确分析复杂事件的构成，分析复杂事件能转化为几个彼此互斥事件的和事件还是能转化为几个相互独立事件同时发生的积事件，然后用概率公式求解．

(2)注意辨别独立重复试验的基本特征：①在每次试验中，试验结果只有发生与不发生两种情况；②在每次试验中，事件发生的概率相同． 【锦囊妙计，战胜自我】 1．条件概率

在A发生的条件下B发生的概率：

P?AB?

P(B|A)＝. P?A?

2．相互独立事件同时发生的概率

P(AB)＝P(A)P(B)．

3．独立重复试验、二项分布

如果事件A在一次试验中发生的概率是p，那么它在n次独立重复试验中恰好发生k次的概率为

kn－kPn(k)＝Ck，k＝0,1,2，?，n. np(1－p)

一般地，在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率为p，则P(X＝k)＝Cnpqkkn－k，其中0

作X～B(n，p)，且E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)．

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