直线与圆锥曲线的综合问题 高考数学

直线与圆锥曲线的综合问题

一.知识体系小结

1．圆锥曲线的标准方程?x?acos?x2y2(参数方程，其中?为参数)；?1?椭圆：焦点在x轴上时2?2?1(a?b?0)??ab?y?bsin?22yx 焦点在y轴上时2?2?1(a?b?0)．abx2y2y2x2?2?双曲线：焦点在x轴上：2?2?1(a?0，b?0)；焦点在y轴上：2?2?1(a?0，b?0)．abab22?3?抛物线：开口向右时，y?2px(p?0)，开口向左时，y??2px(p?0)，开口向上时x2?2py(p?0)，开口向下时x2??2py(p?0)．2．常用曲线方程设法技巧x2y2x2y2?1?共焦点的设法：与椭圆2?2?1有公共焦点的椭圆方程为2?2?1；aba??b??2222xyxy与双曲线2?2?1有公共焦点的双曲线方程为2?2?1；a2ba2??2b??2xyxy2与双曲线??1共渐近线的双曲线方程为???(??0)；??2222abab?3?中心在原点，对称轴为坐标轴的椭圆、双曲线方程可设为mx2?ny2?1；?4?不清楚开口方向的抛物线设法：焦点在x轴上，y2?mx(m?0)； 焦点在y轴上，x2?my(m?0)．3．解决直线与圆锥曲线问题的通法: (1)设方程及点的坐标；

(2)联立直线方程与曲线方程得方程组，消元得方程； (3)应用韦达定理及判别式；

(4)结合已知、中点坐标公式、斜率公式及弦长公式求解．

(5)直线与圆锥曲线相交的弦长公式|AB|?(x1?x2)2?(y1?y2)2或|AB?1?k2x1?x2| ?(1?k2)[(x1?x2)2?4x1x2] ?1?1|y1?y2|. 2k 1

4．圆锥曲线中点弦斜率公式b2x0x2y2在椭圆2?2?1中，以P(x0，y0)为中点的弦所在直线的斜率k??2；abay0b2x0x2y2在双曲线2?2?1中，以P(x0，y0)为中点的弦所在直线的斜率k?2；abay0p在抛物线y2?2px(p?0)中，以P(x0，y0)为中点的弦所在直线的斜率k?.y0以上公式均可由点差法可得．5．解析几何与向量综合的有关结论?1?给出直线的方向向量u?(1，k)或u?(m，n)，等价于已知直线的斜率k或?2?给出OA?OB与AB相交，等价于已知OA?OB过AB的中点．?3?给出PM?PN?0，等价于已知P是MN的中点．?4?给出AP?AQ??(BP?BQ)，等价于已知A，B与PQ的中点三点共线．?5?给出以下情形之一：①AB//AC；②存在实数?，使AB??AC；n.m

③若存在实数?，?，且????1，使OC??OA??OB，等价于已知A，B，C三点共线．?6?给出MA?MB?0，等价于已知MA?MB，即?AMB是直角；给出MA?MB?m?0，等价于已知?AMB是钝角或反向共线；给出MA?MB?m?0，等价于已知?AMB是锐角或同向共线．MAMB?)?MP，等价于已知MP是?AMB的角平分线．?7?给出?(MAMB二. 例题剖析

1.概念性质

x2y2【例1】已知F1、F2为椭圆??1的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A、B两点． 259若|F2A?F2B|?12，则|AB|?__________.解析:由椭圆的定义可知：|F1A|+|F2A|=2a=10，|F1B|+|F2B|=2a=10，所以|AB|=20-|F2A|-|F2B|=8.

x2y2【变式训练1】椭圆??1的焦点为F1，F2，P在椭圆上，如果线段PF1的123中点在y轴上，则PF1是PF2的? ?A．7倍 B．5倍 C．4倍 D．3倍b233373解析：由题意，PF2?x轴，则可计算出PF2???，PF1?43??，a23222因此PF1是PF2的7倍．答案为A

2

2.椭圆方程

y2x2【例2】已知椭圆C1：2?2?1(a＞b＞0)的右顶点为A?1,0?，过C1的焦点且垂直ab长轴的弦长为1. ?1?求椭圆C1的方程；?2?设点P在抛物线C2：y?x2?h(h?R)上，C2在点P处的切线与C1交于点M、N.当线段AP的中点与MN的中点的横坐标相等时，求h的最小值.?b?12a?2?y? 解析： .因此，所求的椭圆方程为?x2?1.?1?由题意，得?b2，从而?4?b?1?2??1?a?2?设M(x1，y1)，N(x2，y2)，P(t，t2?h)，则抛物线C2在点P处的切线斜率为y?|x?t?2t，直线MN的方程为：y?2tx?t2?h.将上式代入椭圆C1的方程中，得4x2?(2tx?t2?h)2?4?0.即4(1?t2)x2?4t(t2?h)x?(t2?h)2?4?0.①因为直线MN与椭圆C1有两个不同的交点，所以①式中的?1?16[?t4?2(h?2)t2?h2?4]＞0.②x1?x2t(t2?h)设线段MN的中点的横坐标是x3，则x3??.22(1?t2)t?1.由题意，得x3?x4，即t2?(1?h)t?1?0.③2由③式中的?2?(1?h)2?4?0，得h?1，或h??3.当h??3时，h?2＜0,4?h2＜0，设线段PA的中点的横坐标是x4，则x4?则不等式②不成立，所以h?1.当h?1时，代入方程③得t??1，将h?1，t??1代入不等式②，检验成立．所以，h的最小值为1.x2y2【变式训练2】已知椭圆2?2?1?a?b?0?的离心率为e，左右焦点分别为F1??c,0?，abF2?c,0?，Q是椭圆外且不在x轴上的动点，满足FQ?2a，点P(x，y)是线段QF1与椭圆1的交点，点T是线段F2Q上的点，且满足PTTF2?0，求点T的轨迹．解析：不妨设T(x1，y1)，Q(x，y)，如图所示，F2?c,0?．因为PTTF2且FQ?2a，得T为F2Q的中点．1因此有2x1?c?x,2y1?y.又因为FQ?2a，122

则可得?x?c??y2?4a2，因此有?2x1?c?c??4y12?4a2，化简得x12?y12?4a2.

3

【例3】如图，抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，点P(1,2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)均在抛物线上． (1)写出该抛物线的方程及其准线方程；

(2)当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，求y1+y2的值及直线AB的斜率．

解析：?1?由已知条件，可设抛物线的方程为y2?2px.因为点P?1,2?在抛物线上，所以22?2p?1，解得p?2.故所求抛物线的方程是y2?4x，其准线方程是x??1.?2?设直线PA的斜率为kPA，直线PB的斜率为kPB，则kPA?因为PA与PB的斜率存在且倾斜角互补，所以kPA??kPB.y1?2y?2(x1?1)，kPB?2(x2?1)．x1?1x2?122由A(x1，y1)，B(x2，y2)均在抛物线上，得y1?4x1， ① y2?4x2， ②y1?2y?2??2，所以y1?2??(y2?2)，所以y1?y2??4.1212y1?1y2?144

y?y14由①?②得，直线AB的斜率为kAB?2???1(x1?x2)．x2?x1y2?y1所以【变式训练3】抛物线y?x2上异于坐标原点O的两个相异的动点A，B满足OA?OB，问：AOB的面积是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由．

解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)．因为OA?OB，则有y1y2??1，所以x1x2??1，y1y2?1.x1x2x12?y12122不妨设AOB的面积为S，则S?OAOB?，x2?y2222222222因此有4S2?(x1?y1)(x22?y2)?(y1?y1)(y2?y2)?[y1y2?y1y2?y1y2?y1?y2?]?2?y1?y2?2?2y1y2?4，因此S?1，当且仅当y1?y2?1时取到最小值．即此时A??1,1?，B?1,1?，Smin?1.小结：抛物线焦点弦的性质：

2

直线l过抛物线y=2px(p>0)的焦点F，交抛物线于A、B两点，则有： (1)通径的长为2p； (2)焦点弦公式：|AB|=x1+x2+p；

22

(3)x1x2=p/4，y1y2=-p. (4)以焦点弦为直径的圆与抛物线的准线相切．

4

第二课时

一．知识体系小结

1．椭圆中的最值x2y2F1，F2为椭圆2?2?1(a?b?0)的左、右焦点，P为椭圆上的任意一点，B为短轴的ab一个端点，O为坐标原点，则有：?1?|OP|?[b，a]． ?2?|PF1|?[a?c，a?c]． ?3?|PF1|?|PF2|?[b2，a2]．??4??F1PF2??F1BF2.?5?SF1PF2?b2tan(???F1PF2)． ?6?焦点弦以通径为最短．22．双曲线中的最值x2y2F1，F2为双曲线2?2?1(a?0，b?0)的左、右焦点，P为双曲线上的任一点，abb2O为坐标原点，则有：?1?|OP|?a.?2?|PF1|?c?a.?3?S?F1PF2??(???F1PF2)．tan23．抛物线中的最值点p.?2?焦点弦AB以通径2为最值，即|AB|?2p.?3?A(m，n)为一定点，则|PA?PF|有最小值．P为抛物线y2?2px(p?0)上的任一点，F为焦点，则有：?1?|PF|?4．双曲线的渐近线?1?求法：令双曲线标准方程的左边为零，分解因式可得．?2?用法：①可得ba或的值；②利用渐近线方程设所求双曲线的方程．ab5．直线与圆锥曲线的位置关系?1?相离；?2?相切；?3?相交．特别地，①当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交且只有一个公共点．②当直线与抛物线的对称轴平行或重合时，直线与抛物线相交且只有一个公共点．??Ax＋By＋C＝0【注】：设直线l：Ax＋By＋C＝0，圆锥曲线：f(x，y)＝0，由?消元(x或y)，

?f(x，y)＝0?

若消去y得a1x2＋b1x＋c1＝0.

（1）若a1＝0，此时圆锥曲线不是椭圆．当圆锥曲线为双曲线时，直线l与双曲线的渐近线平行或重合；当圆锥曲线是抛物线时，直线l与抛物线的对称轴平行或重合． （2）若a1≠0，Δ＝b－4a1c1，则 ①Δ＞0时，直线与圆锥曲线 ②Δ＝0时，直线与圆锥曲线 ③Δ＜0时，直线与圆锥曲线

，有 ，有 ，没有

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交点；

的公共点；

．

二．例题剖析

1.定值问题

x22【例 1】已知椭圆方程为?y2?1，点M(2，)，过M作倾斜角互补的两条直线，42分别与椭圆交于A、B两点(异于M)．?1?求证直线AB的斜率为定值； ?2?求AMB面积的最大值．解析：定点、定值、最值问题是圆锥曲线的综合问题，它涉及到直线，圆锥曲线的定义、方程及位置关系，同时又与三角、函数、不等式、方程、平面向量、导数等代数知识紧密联系．解这类问题时，需要有较强的代数运算能力和识图能力，要能准确地进行数与形的语言转换和运算、推理转换，并在运算过程中注意思维的严密性，以保证结果的完整．

?1?证明：由题可知直线MA的斜率存在，且MA与MB的斜率互为相反数，不妨设直线MA的斜率为k(k?0)，则直线MA的方程为：y?2?k(x?22)，2x2直线MB的方程为y???k(x?2)，代入?y2?1可分别求得，24yA?yB2(4k2?4k?1）2(4k2?4k?1）xA?，x?，所以k??BAB4k2?14k2?1xA?xBk(xA?xB?22)11?.即直线AB的斜率为定值.xA?xB221x2?2?设直线AB的方程为y?x?m(m?0)，代入?y2?1得，24x2?2mx?2m2?2?0，由??0，得0?m2?2.而xA?xB??2m，xAxB?2m2?2. 所以|AB|?(1?k2)[(xA?xB)2-4xAxB]?点M到直线AB的距离为d?当m??1时，Smax?1.2.定点问题

5?4m2?821|AB|2?d2??m4?2m2，又0?m2?2，4

2m5.则S2AMB?1517【例2】已知点F(0，)，上半平面内的点P到点F和x轴的距离之和为.44?1?求动点P的轨迹方程； ?2?设动点P的轨迹方程为C，曲线C交y轴于点M，在曲线C上是否存在两点A，B，使?AMB??2？

?3?若A，B是曲线上满足?AMB??2的两点，求证：直线AB与y轴交于一定点． 6

15217??y?，44化简得动点P的轨迹方程为x2???y?4?(0?y?4)．这是一个以?0,4?为顶点， 解析：?1?设P点坐标为(x，y)，其中y?0.依题意得x2??y?2p?1，开口向下的抛物线的一部分(其中0?y?4)．?2?考虑到抛物线的对称性，不妨设直线MA：y?4?x，直线MB：y?4??x，分别与x2???y?4?(0?y?4)联立，可得两个点的坐标为A??1,3?，B?1,3?，

此时?AMB??2.1x?4.k?3?设直线AM的方程为y?kx?4，直线BM的方程为y???y?kx?4?x??k由方程组?2，解得?，即A点坐标为??k,4?k2?．2?x???y?4??y?4?k111同理可得B点坐标为(，4?2)，则直线AB的斜率为k?，所以直线AB的方程kkk1为y??4?k2??(k?)?x?k?.令x?0，得y?3，从而直线AB与y轴交于定点?0,3?．kx2y2【变式训练1】设A为双曲线??1右支上一动点，F为该双曲线的右焦点，169连接AF交双曲线于B，过B作直线BC垂直于双曲线的右准线，垂足为C，则直线AC必过定点? ?41A．(，0)1018B．(，0)C C.?4,0?522D．(，0)5

解析:此题也可采用探索法，考虑特殊情况，即AB与x轴垂直时， 41便可得出一个定点(，0)，故选A.103.最值问题

y2【例3】设椭圆方程为x??1，过点M?0,1?的直线l交椭圆于A、B两点，4111O是坐标原点，点P满足OP?(OA?OB)，点N的坐标为(，)．当l绕

222点M旋转时，求：?1?动点P的轨迹方程；2?2?|NP|的最大值与最小值． 7

解析:?1?直线l过点M?0,1?，当斜率存在时，设其斜率为k，则l的方程为y?kx?1.?y?kx?1? 记A(x1，y1)，B(x2，y2)，由?2y2，得(4?k2)x2?2kx?3?0，?1?x??42k?x?x???x?xy?y1?k4?124?k2所以?.则OP?(OA?OB)?(12，12)?(，)．2282224?k4?k?y?y?12?4?k2?设点P的坐标为(x，y)，则，消去k得4x2?y2?y?0.当斜率不存在时，AB的中点为原点?0,0?，也满足上述方程．所以点P的轨迹方程为4x2?y2?y?0.11111，即??x?.所以|NP|2?(x?)2?(y?)2 16442217121??3(x?)2?.故当x??时，|NP|取得最大值为；6126611当x?时，|NP|取得最小值为.44?2?由点P的轨迹方程知x2?【变式训练2】已知定点M?0,2?、N(0，?2)、Q?2,0?，动点P满足m|PQ|2?MP?NP?0(m?R)． ?1?求动点P的轨迹方程，并说明轨迹的形状；?2?当m?0时，求|2MP?NP|的取值范围．

解析：NP?(x，y?2)，PQ?(2?x，?y)，?1?设P(x，y)，则MP?(x，y?2)，|PQ|2?(2?x)2?(?y)2，MP?NP?x2?y2?4所以m[(2?x)2?y2]?x2?y2?4，整理得，(m?1)x2?(m?1)y2?4mx?4m?4?0.当m?1时，方程为x?2，表示过点?2,0?平行于y轴的直线；当m?1时，方程化为(x?表示以(2m2，0)为圆心，以为半径的圆．m?1m?12m222)?y2?()，m?1m?12MP?NP?(3x,3y?2)，?2?当m?0时，方程化为x2?y2?4，所以|2MP?NP|?9x2?9y2?12y?4，又因为x2?y2?4，所以|2MP?NP|?40?12y,而?2?y?2所以|2MP?NP|的取值范围是?4,8?．

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第三课时

一．知识体系小结

1．求轨迹方程的常用方法： ?1?轨迹法：①建系设动点．②列几何等式．③坐标代入得方程．④化简方程．⑤除去不合题意的点作答．(2)待定系数法：已知曲线的类型，先设方程再求参数．

(3)代入法：当所求动点随已知曲线上动点的动而动时用此法，代入法的步骤：

①设出两动点坐标(x，y)，(x0，y0)．②结合已知找出x，y与x0，y0的关系，并用x，y表示x0，y0. ③将x0，y0代入它满足的曲线方程，得到x，y的关系式即为所求． (4)定义法：结合几种曲线的定义，明确所求曲线的类型，进而求得曲线的方程． 3．有关弦的中点问题 (1)通法．

(2)“点差法”．点差法的作用是用弦的中点坐标表示弦所在直线的斜率． 点差法的步骤：①将两交点A(x1，y1)，B(x2，y2)的坐标代入曲线的方程； ②作差消去常数项得到关于x1+x2，x1-x2，y1+y2，y1-y2的关系式． ③求出AB的斜率 4．取值范围问题

(1)椭圆上的点到焦点的距离的最大值为a+c，最小值为a-c； (2)双曲线上的点到左焦点的最小距离为c-a； (3)抛物线上的点到焦点的距离的最小值为p/2 .

二．例题剖析

1.参数范围问题

【例1】已知点G是?ABC的重心，A(0，?1)，B?0,1?，在x轴上有一点M，满足|MA?MC|，GM??AB(??R)． ?1?求点C的轨迹方程；

?2?若斜率为k的直线l与点C的轨迹交于不同的两点P、Q，且满足|AP?AQ|，试求k的取值范围． 9

xy解析：?1?设C(x，y)，G为?ABC的重心，则G(，)．因为GM??AB(??R)，33x所以GMAB，而点M在x轴上，则M(，．由0)|MA?MC|，得3 2x2xx()?(0?1)2?(?x)2?y2，整理得?y2?1(x?0)．333x2所以点C的轨迹方程为?y2?1(x?0)3?2?①当k?0时，l与椭圆C有两个不同的交点P、Q，由椭圆的对称性知x2|AP?AQ|.②当k?0时，可设l的方程为y?kx?m，代入?y2?1， 3整理得，(1?3k2)x2?6kmx?3(m2?1)?0，?*?因为直线l与椭圆交于不同的两点，所以??(6km)2?4(1?3k2)?3(m2?1)?0，即1?3k2?m2?0，?**?6km3(m2?1)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则x1?x2??，x1x2?，221?3k1?3kx?x23kmm 则PQ中点N(x0，y0)的坐标为x0?1??，y?kx?m?，0021?3k21?3k2m?12又|AP?AQ|，所以AN?PQ，所以k?kAN?k?1?3k??1，3km-1?3k21?3k2得m?，代入?**?得k2?1，所以k???1,0??0,1?． 2综合①②得，k的取值范围是??1,1?．【变式训练1】在RtABC中，斜边BC为10，以BC的中点为圆心，作半径为3的圆，分别交BC于P、Q两点，设l?AP?AQ?PQ，试问?是否是定值？如果是定值，请求出这个值．解析：如图所示，建立直角坐标系．因为圆O的半径为3，因此PQ?36，利用圆心O，PAQ可构造得平行四边形APDQ，根据平行四边形的边长关系得，2AP?AQ2222?22??PQ22?AD，而AD?4AO?100，因此2AP?AQ22222?22?

?100?36，所以AP?AQ?PQ?68?36?104.

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2.存在性问题

【例2】已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，一个顶点为B(0，?1)，且其右焦点到直线x?y?22?0的距离为3.?1?求椭圆的方程；3?2?是否存在斜率为k(k?0)，且过定点Q(0，)的直线l，使l与椭圆交于不同的两个2点M、N，且|BM?BN|？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．x2y2解析：?1?设椭圆方程为2?2?1(a?b?0)，由已知得b?1，设右焦点为(c,0)，abx2由题意得?3，得c?2，所以a?b?c?3，得椭圆方程为?y2?1. 323x215?2?设直线l的方程为y?kx?，代入?y2?1，得(1?3k2)x2?9kx??0，234?9k设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1?x2?，设MN的中点为P，1?3k2222c?22?9k3，)，因为|BM?BN|，所以点B在线段MN的中垂线上，2?6k22?6k23?112?6k225所以kBP???，化简得k2?，又由??0得，k2?，?9kk31222?6k25663因为?，所以k??.故存在直线l满足题意，l的方程为y??x?.312332【变式训练2】设直线l与抛物线y2?2px?p?0?交于A、B两点，已知当直线l经过则P点的坐标为(1抛物线焦点且与x轴垂直时，OAB的面积为(O为坐标原点)．2?1?求抛物线的方程；

?2?当直线l经过点P?a,0??a?0?且与x轴不垂直时，若在x轴上存在点C，使得ABC为正三角形，求a的取值范围．p1p解析：?1?由条件可得AB?2p，又O点到AB的距离为，SOAB??2p?22211?p2?，所以p?1，因此抛物线的方程为y2?2x.22?2?设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点为M(x0，y0)，又设C?t,0?，直线l：

?x?my?ay?y2x?my?a(m?0)，由?2，所以y2?2my?2a?0，所以y0?1?m，y?2x2?所以x0?m2?a，因为ABC为正三角形，所以MC?AB，MC?由MC?AB，得y01??1，x0?tm3AB，2

11

332AB，得?x0?t?2?y0??x1?x2?2??y1?y2?2，223化简得?m2?a?t?2?m2??m2?1??4?m2?2a?，因此可得1?m2?2

21m13?m2?1??m2?2a?，所以a??，因为m?0，所以m2?0，所以0?a?，6261所以a的取值范围为(0，)．6所以t?m2?a?1.又MC?3.综合问题

【例 3】(2011浙江卷)已知抛物线C1：x2?y，圆C2：x2??y?4??1的圆心为M.2?1?求点M到抛物线C1的准线的距离；

?2?已知点P是抛物线C1上一点(异于原点)，过点P作圆C2的两条切线，交抛物线C1于A，B两点，若过M，P两点的直线 l垂直于AB，求直线l的方程．1解析：?1?因为M?0,4?，且2p?1，所以准线方程为y??，因此点M到准线4

117的距离为4??.44?2?设P(m，m2)，A(x1，x)，B(x2，x)，kAB?x1?x2，kPM2122m2?44??m?，mm因为PM?AB，则kPM?kAB??1，所以?x1?x2?(m?4)??1.m设过P点且与圆C2相切的直线的斜率为k，则过P的圆的切线方程为y?m2?k?x?m?，|m2?km?4|1?k222由圆心?0,4?到切线的距离为1，得1?所以k?1?km??4?m22222，2222??2km?4?m?，k?m?1??2m?4?m?k?1??m?4??0， 12

?2m(4?m2)所以k1?k2?，设切线y?m2?k1?x?m?，则x2?k1?x?m??m2?0，2m?1所以m?x1?k1，设切线y?m2?k2?x?m?，则x2?k2?x?m??m2?0，所以m?x2?k2，所以x1?x2?k1?k2?2m，代入?x1?x2?(m?4)??1，m4m2?4423得?k1?k2?2m?(m?)??1，所以2m(2?1)(m?)??1，所以m2?，mm?1m53223m?43115m??，kPM??5，故所求的直线方程为y??x?4.5m11523?5x2y2【变式训练3】已知椭圆2?2?1(a?b?0)的左、右焦点分别是F1(?c,0)、F2(c,0)．abQ是椭圆外的动点，满足|F1Q|?2a.点P是线段F1Q与该椭圆的交点，点T在线段F2Q上，并且满足PT?TF2?0，|TF2|?0.?1?求点T的轨迹C的方程；?2?试问：在点T的轨迹C上，是否存在点M，使?F1MF2的面积S?b2？若存在，求?F1MF2的正切值；若不存在，说明理由．解析：|TF2|?0，所以PT?TF2，?1?设T(x，y)，因为PT?TF2?0， 1则T为线段QF2的中点，连结OT，OT为?F1F2Q的中位线，则|OT|?|QF1|?a，2即点T的轨迹方程为x2?y2?a2.22?x0?y0?a2b2?，得|y0|?.?2?假设存在点M满足题意，设M(x0，y0)，则?12c?S??2c?y0?b?2b2 而|y0|?a，当a?时，存在点M，使S?b2；cb2b2当a?时，不存在M点．当a?时，MF1?(?c?x0，?y0)，MF2?(c?x0，?y0)，cc又|FQ?PF1?PQ|?2a，而由椭圆定义|PF1?PF2|?2a，所以|PQ?PF2|，122MF1?MF2?x0?c2?y0?a2?c2?b2，即|MF1||MF2|cos?F1MF2?b2，1 |MF1||MF2|sin?F1MF2?b2.所以tan?F1MF2?2.即存在点M满足题意，2且?F1MF2的正切值为2.又S?

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第四课时 直线与圆锥曲线的位置关系训练题

A组（基本训练题）

一选择题：（每题5分，合计40分）

1．抛物线x2?4y的焦点F作直线交抛物线于P1?x1,y1?,P2?x2,y2?两点，若

y1?y2?6，则P1P2的值为 （C ） A．5 B．6 C．8 D．10

2. 过点（2，4）作直线与抛物线y2?8x有且只有一个公共点，这样的直线有（ B） Ａ．一条 Ｂ．两条 Ｃ．三条 Ｄ．四条

3. 平面内有一线段ＡＢ，其长为33，动点Ｐ满足PA?PB?3，Ｏ为ＡＢ的中点，则OP的最小值为 （ A ）Ａ．

3 Ｂ．１ Ｃ．２ Ｄ．３ 24. 过抛物线y2?4x的焦点作一条直线与抛物线相交于A、B两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线（ B ）

A．有且仅有一条 B．有且仅有两条 C．有无穷多条 D．不存在

x2y25双曲线2?2?1（a?0，b?0）的左、右焦点分别是F1，F2，过F1作倾斜角

ab为30的直线交双曲线右支于M点，若MF2垂直于x轴，则双曲线的离心率为（ B ）

A．6

B．3 C．2 D．3 3x2y2??1恒有公共点，6直线y?kx?1(k?R)与椭圆则m的取值范围是（ A ） 5mＡ．?1,5???5,??? Ｂ．（０，５） Ｃ．?1,??? Ｄ．（１，５）

7.过点（1，0）且与双曲线x2－y2=1只有一个公共点的直线有 （ C ）

A．1 条 B．2条 C．3 条 D．4条

8．已知动点P（x,y）满足 5（x-1）2+(y-2)2=|3x+4y-11|，则P点的轨迹是 （ A ）

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A、直线 B、抛物线 C、双曲线 D、椭圆 二．填空题：（每题5分，合计30分）

9. 一动点到y轴的距离比到点(2，0)的距离小2，这个动点的轨迹方程是_______. （答案：y2=8x或y=0（x<0））

y2?1的右焦点F2作倾斜角为30?的弦AB，则?F1AB的周10. 经过双曲线x?32长为 .( 答案： 3?33 )

x2y2O?1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A，B两点，11. 过椭圆?545为坐标原点，则△OAB的面积为 ．（答案：）

312. 直线y=x－3与抛物线y2=4x交于A，B两点，过A，B两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为P，Q，则梯形APQB的面积是 ．48

y213. 过双曲线x??1的右焦点作直线l交双曲线于A、B两点，若AB?4，则

22满足条件的直线l有____条3

14. 设P是抛物线y2=2x上的点，Q是圆（x－5）2+y2=1上的点，则|PQ|的最小值为 2

三．解答题：（每题15分，合计30分）

15. 已知点P是⊙O：x2?y2?9上的任意一点，过P作PD垂直x轴于D,动点Q满足DQ?2DP. 3（1）求动点Q的轨迹方程；

（2）已知点E(1,1)，在动点Q的轨迹上是否存在两个不重合的两点M、N，使

1OE?(OM?ON) (O是坐标原点)，若存在，求出直线MN的方程，若不

2存在，请说明理由.

解：（1）设P(x0,y0),Q?x,y?，依题意，则点D的坐标为D(x0,0) ∴DQ?(x?x0,y),DP?(0,y0)，又 DQ?2DP 3 15

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