2013中考数学预测压轴题（精选）

2013中考数学预测压轴题（精选）

【预测题】1、已知，在平行四边形OABC中，OA=5，AB=4，∠OCA=90°，动点P从O点出发沿射线OA方向以每秒2个单位的速度移动，同时动点Q从A点出发沿射线AB方向以每秒1个单位的速度移动．设移动的时间为t秒． （1）求直线AC的解析式；

（2）试求出当t为何值时，△OAC与△PAQ相似；

8532（3）若⊙P的半径为，⊙Q的半径为；当⊙P与对角线AC相切时，判断⊙Q与直线

AC、BC的位置关系，并求出Q点坐标。

解：（1）y??43x?203

（2）①当0≤t≤2.5时，P在OA上，若∠OAQ=90°时， 故此时△OAC与△PAQ不可能相似．

当t>2.5时，①若∠APQ=90°，则△APQ∽△OCA，

∵t>2.5，∴

符合条件．

②若∠AQP=90°，则△APQ∽△∠OAC，

∵t>2.5，∴

符合条件．

1

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综上可知，当时，△OAC与△APQ相似．

319 （3）⊙Q与直线AC、BC均相切，Q点坐标为（

510,）。

【预测题】2、如图，以矩形OABC的顶点O为原点，OA所在的直线为x轴，OC所在的

直线为y轴，建立平面直角坐标系．已知OA＝3，OC＝2，点E是AB的中点，在OA上取一点D，将△BDA沿BD翻折，使点A落在BC边上的点F处．

（1）直接写出点E、F的坐标；

（2）设顶点为F的抛物线交y轴正半轴于点P，且以点E、F、P为顶点的三角形是等腰．．．三角形，求该抛物线的解析式；

（3）在x轴、y轴上是否分别存在点M、N，使得四边形MNFE的周长最小？如果存在，求出周长的最小值；如果不存在，请说明理由．

?（第2题）

解：（1）E(3，（2）在Rt△EBF中，?B?90， 1)；F(1，2)．?EF?EB?BF22?1?2?225．

设点P的坐标为(0，n)，其中n?0，?顶点F(1，2)， ∴设抛物线解析式为y?a(x?1)?2(a?0)．

①如图①，当EF?PF时，EF2?PF2，?1?(n?2)?5．

2解得n1?0（舍去）；n2?4．?P(0，4)．?4?a(0?1)?2．解得a?2．

222?抛物线的解析式为y?2(x?1)?2

2

2

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②如图②，当EP?FP时，EP2?FP2，?(2?n)2?1?(1?n)2?9． 解得n??

③当EF?EP时，EP?5?3，这种情况不存在．

52（舍去）．

综上所述，符合条件的抛物线解析式是y?2(x?1)2?2． （3）存在点M，N，使得四边形MNFE的周长最小．

如图③，作点E关于x轴的对称点E?，作点F关于

y轴的对称点F?，连接E?F?，分别与x轴、y轴交于

点M，N，则点M，N就是所求点．

?E?(3，?1)，F?(?1，2)，NF?NF?，ME?ME?．

?BF??4，BE??3．?FN?NM?ME?F?N?NM?ME??F?E??3?4?5．又

22?EF?5?5，?FN?NM?ME?EF?5?5，此时四边形MNFE的周长最小值是

5．

3

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【预测题】3、如图，在边长为2的等边△ABC中，AD⊥BC,点P为边AB 上一个动点，过P点作PF//AC交线段BD于点F,作PG⊥AB交AD于点E,交线段CD于点G,设BP=x. （1）①试判断BG与2BP的大小关系,并说明理由;

②用x的代数式表示线段DG的长,并写出自变量x的取值范围;

（2）记△DEF的面积为S,求S与x之间的函数关系式,并求出S的最大值;

（3）以P、E、F为顶点的三角形与△EDG是否可能相似？如果能相似，请求出BP的长，如果不能，请说明理由。

APEBFD第3题

GC

解：（1）①在等边三角形ＡＢＣ中，∠Ｂ＝60°，∵ＰＧ⊥ＡＢ， ∴∠ＢＧＰ＝30°，∴ＢＧ＝2ＢＰ．

②∵ＰＦ／／ＡＣ，∴△ＰＢＦ为等边三角形，∴ＢＦ＝ＰＦ＝ＰＢ＝x. 又∵ＢＧ＝2x，ＢＤ＝1，∴ＤＧ＝2x－1，∴０＜2x－1≤１，∴

1212

（2）S=DE×DF=

12?33A?2x?1??1?x?

36=?33x?232x?

PE.

当x?34时，Smax?348BFDGCA（3）①如图１，若∠ＰＦＥ＝Ｒt∠，则两三角形相似，

此时可得ＤＦ＝ＤＧ 即1-x=2x-1 解得：x=

23．

4

PEBFDGC2013中考数学预测压轴题（精选）

②如图２，若∠ＰＥＦ＝Ｒt∠，则两三角形相似， 此时可得ＤＦ＝即1-x=

【预测题】4、如图，二次函数y??且与y轴交于点C.

（1）试求此二次函数的解析式；

（2）试证明：?BAO??CAO（其中O是原点）；

（3）若P是线段AB上的一个动点（不与A、B重合），过P作y轴的平行线，分别交此二次函数图像及x轴于Q、H两点，试问：是否存在这样的点P，使PH?2QH？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。

解：（1）∵点A?4,0?与B??4,?4?在二次函数图像上，

1??0??4?4b?c?b?∴?，解得?2，

?4??4?4b?c??c?2?14x?bx?c的图像经过点A?4,0?,B??4,?4?，

212ＥＦ＝

14ＢＰ，

4514x．解得：x=．

∴二次函数解析式为y??14x?212x?2.

（2）过B作BD?x轴于点D，由（1）得C?0,2?，则在Rt?AOC中，

5

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AO42∵tan?CAO?tan?BAD，∴?CAO??BAO.

tan?CAO?CO?2?1，又在Rt?ABD中，tan?BAD?BDAD?48?12，

（3）由A?4,0?与B??4,?4?，可得直线AB的解析式为y???112x?2，

设P?x,121???x?2?,??4?x?4?，则Q?x,?x?x?2?， 242???1212142∴PH?x?2?2?x,QH??x?12x?2.∴2?12x?2?14x?212x?2.

当2?1212x??15??2，∴P??1,??. x?x?4，解得 x1??1,x2?4（舍去）

22??当2?x?17??2x?x?4，解得 x1??3,x2?4（舍去），∴P??3,??. 22????5??7?与?3,????. 2??2?综上所述，存在满足条件的点，它们是??1,?

6

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【预测题】5、如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝8厘米，点D在AC上，CD＝3厘米．点P、Q分别由A、C两点同时出发，点P沿AC方向向点C匀速移动，速度为每秒k厘米，行完AC全程用时8秒；点Q沿CB方向向点B匀速移动，速度为每秒1厘米．设运动的时间为x秒?0＜x＜8?，△DCQ的面积为y1平方厘米，△PCQ的面积为y2平方厘米．

（1）求y1与x的函数关系，并在图2中画出y1的图象；

（2）如图2，y2的图象是抛物线的一部分，其顶点坐标是（4，12），求点P的速度及AC的长；

（3）在图2中，点G是x轴正半轴上一点（0＜OG＜6＝，过G作EF垂直于x轴，分别交y1、y2于点E、F．

①说出线段EF的长在图1中所表示的实际意义； ②当0＜x＜６时，求线段EF长的最大值． A P ↓ D

C Q→ B

图1

解：（1）∵S?DCQ?图象如图所示． （2）方法一：S?PCQ?∴y2?∴?121212?CQ?CP，CP＝8k－xk，CQ＝x， 12kx?4kx．∵抛物线顶点坐标是（4，12），

322y 1210 8 6 4 2 O 2 G 4 6 8 10 x 图2 32x．

12?CQ?CD，CD＝3，CQ＝x，∴y1???8k?kx??x??2k?4?4k?4?12．解得k?．则点P的速度每秒

32厘米，AC＝12厘米．

方法二：观察图象知，当x=4时，△PCQ面积为12． 此时PC＝AC－AP＝8k－4k＝4k，CQ＝4．∴由S?PCQ?解得k?

12?CQ?CP，得

4k?42?12．

32．则点P的速度每秒

32厘米，AC＝12厘米．

7

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方法三：设y2的图象所在抛物线的解析式是y?ax2?bx?c． ∵图象过（0，0），（4，12），（8，0）， ?c?0，?∴?16a?4b?c?12， 解得 ?64a?8b?c?0.?3?a??，?432?∴y??x?6x． ① b?6，?24?c?0.??12kx?4kx． ②

2∵S?PCQ?12?CQ?CP，CP＝8k－xk，CQ＝x，∴y2??32比较①②得k?.则点P的速度每秒

32厘米，AC＝12厘米．

（3）①观察图象，知线段的长EF＝y2－y1，表示△PCQ与△DCQ的面积差（或△PDQ面积）．②由⑵得 y2??∵EF＝y2－y1，∴EF＝?3434x?6x.（方法二，y2?22133?32???8??x??x??x?6x） 2?22?4x，

274x?6x?32x??34x?292∵二次项系数小于０，∴在0＜x＜6范围，当x?3时，EF?最大．

【预测题】6、如图，在?ABC中，AB?AC?5,BC?6，D、E分别是边AB、AC 上的两个动点（D不与A、B重合），且保持DE∥BC，以DE为边，在点A的异侧作

正方形DEFG.

（1）试求?ABC的面积；

（2）当边FG与BC重合时，求正方形DEFG的边长；

（3）设AD?x，?ABC与正方形DEFG重叠部分的面积为y，试求y关于x的函数关系式，并写出定义域；

（4）当?BDG是等腰三角形时，请直接写出AD的长。

8

A D E G B F C

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解：（1）过A作AH?BC于H，∵AB?AC?5,BC?6，∴BH? 则在Rt?ABH中，AH?AB212BC?3.

?BH2?4，∴S?ABC?12AH?BC?12.

（2）令此时正方形的边长为a，则

2a6?4?a4，解得a?125.

362?6?（3）当0?x?2时，y??x??x.

25?5?当2?x?5时，y? （4）AD?

12573,65x?45?5?x??245x?2425x.

22520. ,117【预测题】7、如图已知点A (-2，4) 和点B (1，0)都在抛物线y?mx2?2mx?n上．

（1）求m、n；

（2）向右平移上述抛物线，记平移后点A的对应点为A′，点B的对应点为B′，若四边形A A′B′B为菱形，求平移后抛物线的表达式；

（3）记平移后抛物线的对称轴与直线AB′ 的交点为点C，试在x轴上找点D，使得以点B′、C、D为顶点的三角形与△ABC相似．

4??4m?4m?n?4?m??解：（1）根据题意，得：? 解得?3

?m?2m?n?0??n?4 （2）四边形A A′B′B为菱形，则A A′=B′B= AB=5

y 428 ∵y??x?x?4

A A′ 4162 =??x?4??

33 33B －1 O 1 －1 1 B′ x 9

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∴ 向右平移5个单位的抛物线解析式为 y,??43?x?4?2?163

5

（3）设D（x，0）根据题意，得：AB=5，AC?35,BC? ∵∠A=∠B B′A

10,B'C?ⅰ) △ABC∽△B′CD时，∠ABC=∠B′CD ，∴BD=6－x，

AB由 B 'C B ' D 得

?AC55?356?x?133 解得x=3， ∴D（3，0）

y ACB'Cⅱ）△ABC∽△B′DC时，

56?x355ABB'D

133A ,0)

∴

? 解得x? ∴D(B －1 O 1 －1 1 C D B′ x 【预测题】8、如 图，已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，A B⊥BC ，AD＝2，AB＝8， CD＝10． （1）求梯形ABCD的面积S；

（2）动点P从点B出发，以1cm/s的速度、沿B→A→D→C方向，向点C运动；动点Q从点C出发，以1cm/s的速度、沿C→D→A方向，向点A运动，过点Q作QE⊥BC于点E．若P、Q两点同时出发，当其中一点到达目的地时整个运动随之结束，设运动时间为t秒．问：①当点P在B→A上运动时，是否存在这样的t，使得直线PQ将梯形ABCD的周长平分？若存在，请求出t的值，并判断此时PQ是否平分梯形ABCD的面积；若不存在，请说明理由；

②在运动过程中，是否存在这样的t，使得以P、D、Q为顶点的三角形恰好是以DQ为一腰的等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的t的值；若不存在，请说明理由．

ADADADPQPQBECB10

ECB（备用图）

C

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解：

（1）过D作DH?BC于H点显然四边形ABHD是矩形?DH?AB?8；BH?AD?2

在Ｒt△DCH中，CH=CD2?DH2?10?8?6

22AD11?SABCD?（AD?BC）AB ?（2?8）?8?40

22(2)① ?BP?CQ?t ?AP?8?t;DQ?10?t

?AP?AD?DQ?PB?BC?CQ

?8?t?2?10?t?t?8?t

?t?3?8

PQBEC?当t?3秒时，PQ将梯形ABCD周长平分。经计算，PQ不平分梯形ABCD的

面积

②

第一种情况：0?t?8时过Q点作QI?BC，QH?AB，垂足为I、H?AP?8?t,AD?2?PD??CI?35AP?ADt,QI?45tt,BH?QI?t45t22APHD?(8?t)?2?22t?16t?68

2Q?QH?BI?8??PH?t?45t?3515BIC?PQ?QH?PH22?（8-122t)?(t)?55325t?2485t?64

DQ?10?t DQ?DP,10-t?tt?16t?68，t?8秒-

11

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DQ?PQ,10-t?26?234325t-2485t?64,3t?52t?180?02

〉（8舍去）t1?,t2?26?2343?t?26?2343

第二种情况：8?t?10时，DP?DQ?10-t

?当8?t?10时，以DQ为腰的等腰?DPQ恒成立。 第三种情况：10?t?12时，DP?DQ?t?10 ?当10?t?12时，以DQ为腰的等腰?DPQ恒成立。

综上所述，t?26?2343或8?t?10或10?t?12时，以DQ为腰的等腰?DPQ成立。

【预测题】9、如图，⊙O的半径为1，等腰直角三角形ABC的顶点B的坐标为（2，0），，AC=AB，顶点A在⊙O上运动． ?CAB=90°

（1）当点A在x轴上时，求点C的坐标；

（2）当点A运动到x轴的负半轴上时，试判断直线BC与⊙O位置关系，并说明理由； （3）设点A的横坐标为x，△ABC的面积为S，求S与x之间的函数关系式，并求出S的最大值与最小值；

（4）当直线AB与⊙O相切时，求AB所在直线对应的函数关系式．

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y C A O B x 2013中考数学预测压轴题（精选）

解：（1）当点A的坐标为（1，0）时，AB=AC=

当点A的坐标为（－1，0）时，AB=AC=

； 2－1，点C的坐标为（1，2－1）； 2＋1，点C的坐标为（－1，2＋1）

（2）直线BC与⊙O相切，过点O作OM⊥BC于点M，∴∠OBM＝∠BOM=45°, ∴OM=OB·sin45°=1，∴直线BC与⊙O相切 （3）过点A作AE⊥OB于点E

在Rt△OAE中，AE2=OA2－OE2=1－x2，

在Rt△BAE中，AB2=AE2+BE2=(1-x2) +（2-x）2=3-22x ∴S=

12AB·AC=

12 AB2=

12(3-22x)=

32?2x

y A O 其中－1≤x≤1，

当x=－1时，S的最大值为当x=1时，S的最小值为

3232??2， 2．

C E B x （4）①当点A位于第一象限时(如右图)： 连接OA，并过点A作AE⊥OB于点E

∵直线AB与⊙O相切，∴∠OAB=90°， 又∵∠CAB=90°，∴∠CAB+∠OAB=180°，

∴点O、A、C在同一条直线上，∴∠AOB=∠C=45°， 在Rt△OAE中，OE=AE=

22y （C） E O A ．点A的坐标为（

22，

22）

B x 过A、B两点的直线为y=－x+2． ②当点A位于第四象限时(如右图) 点A的坐标为（

22，－

22），过A、B两点的直线为y=x－2．

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【预测题】10、已知抛物线y＝ax＋bx＋c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点B在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，线段OB、OC的长（OB

（3）连接AC、BC，若点E是线段AB上的一个动点（与点A、点B不重合），过点E作EF∥AC交BC于点F，连接CE，设AE的长为m，△CEF的面积为S，求S与m之间的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；

（4）在（3）的基础上试说明S是否存在最大值，若存在，请求出S的最大值，并求出此时点E的坐标，判断此时△BCE的形状；若不存在，请说明理由．

x＋16＝0得x1＝2，x2＝8 解：（1）解方程x2－10

∵点B在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，且OB＜OC ∴点B的坐标为（2，0），点C的坐标为（0，8） 又∵抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴是直线x＝－2 ∴由抛物线的对称性可得点A的坐标为（－6，0）

（2）∵点C（0，8）在抛物线y＝ax＋bx＋c的图象上，∴c＝8，将A（－6，0）、B（2，0）代入表达式，得

2

2

14

2013中考数学预测压轴题（精选）

??0＝36a－6b＋8???0＝4a＋2b＋8

?a＝－23

解得 ?8

b＝－?3

228

∴所求抛物线的表达式为y＝－x－x＋8

33

（3）依题意，AE＝m，则BE＝8－m，∵OA＝6，OC＝8，∴AC＝10 40－5mEFBEEF8－m

∵EF∥AC ∴△BEF∽△BAC，∴＝ 即＝，∴EF＝ ACAB10844

过点F作FG⊥AB，垂足为G，则sin∠FEG＝sin∠CAB＝ 5∴

FG4440－5m＝ ∴FG＝·＝8－m EF554

11∴S＝S△BCE－S△BFE＝（8－m）×8－（8－m）（8－m）

221112

＝（8－m）（8－8＋m）＝（8－m）m＝－m＋4m 222自变量m的取值范围是0＜m＜8 （4）存在．

111

理由：∵S＝－m2＋4m＝－（m－4）2＋8 且－＜0，

222

∴当m＝4时，S有最大值，S最大值＝8 ∵m＝4，∴点E的坐标为（－2，0） ∴△BCE为等腰三角形．

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【预测题】11、数学课上，张老师出示了问题1：

如图25-1，四边形ABCD是正方形， BC =1，对角线交点记作O，点E是边BC 延长线上一点．联结OE交CD边于F，设CE?x，CF?y，求y关于x的函[来源:学科网ZXXK] 数解析式及其定义域． （1）经过思考，小明认为可以通过添加辅助线——过点O作OM⊥BC，垂足为M求解．你认为这个想法可行吗？请写出问题1的答案及相应的推导过程；

（2）如果将问题1中的条件“四边形ABCD是正方形，BC =1”改为“四边形ABCD是平行四边形，BC=3，CD=2，”其余条件不变（如图25-2），请直接写出条件改变后的函数解析式；

（3）如果将问题1中的条件“四边形ABCD是正方形，BC =1”进一步改为：“四边形ABCD是梯形，AD∥BC，BC?a，CD?b，AD?c(其中a，b，c为常量)”其余条件不变（如图25-3），请你写出条件再次改变后y关于x的函数解析式以及相应的推导过程．

A ODADAODFFOEFCBB图25-1题图

C图25-2

EB图25-3

CE解：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴OB=OD． ∵OM⊥BC，∴∠OMB=∠DCB=90?，∴OM∥DC． ∴OM?即

y12?12DC?x12，CM?12xBC?12．∵OM∥DC，∴

CFOM?CEEM，

x?12，解得y?2x?1．定义域为x?0．

（2）y?2x2x?3（x?0）．

BOOD?BCAD?ac（3）AD∥BC，，

BOBD?aa?c?．

BOBD过点O作ON∥CD，交BC于点N，∴∵ON∥CD，

CNBN?ODBOONDC，∴ON?acaba?c．

?ca，∴

CNBC?ca?c，∴CN?a?c．

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2013中考数学预测压轴题（精选）

∵ON∥CD，∴

CFON?CEEN，即

yab?x?xaca?c．

a?c∴y关于x的函数解析式为y?abx(a?c)x?ac（x?0）．

2

【预测题】12、已知关于x的一元二次方程2x+4x+k-1=0有实数根，k为正整数. （1）求k的值；

（2）当此方程有两个非零的整数根时，将关于x的二次函数y=2x+4x+k-1的图象向下平移8个单位，求平移后的图象的解析式；

(3) 在（2）的条件下，将平移后的二次函数的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象。请你结合这个新的图像回答：当直线y=(b

解：(1)由题意得，Δ＝16－8(k－1)≥0．∴k≤3．∵k为正整数，∴k＝1，2，3．

(2)当k＝1时，方程2x＋4x＋k－1＝0有一个根为零； 当k＝2时，方程2x＋4x＋k－1＝0无整数根；

当k＝3时，方程2x＋4x＋k－1＝0有两个非零的整数根． 综上所述，k＝1和k＝2不合题意，舍去；k＝3符合题意．

当k＝3时，二次函数为y＝2x＋4x＋2，把它的图象向下平移8个单位长度得到的图象的解析式为y＝2x2＋4x－6．

(3)设二次函数y＝2x2＋4x－6的图象与x轴交于A、B两点，则A(－3，0)，B(1，0)． 依题意翻折后的图象如图所示．

当直线y?当直线y?1212x?b经过A点时，可得b?322

22

2

2

12x+b

；

12x?b经过B点时，可得b??．

由图象可知，符合题意的b(b＜3)的取值范围为

?

12?b?32．

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【预测题】13、如图，已知抛物线与x轴交于点A(-2,0),B(4,0)，与y轴交于点C(0,8)．

（1）求抛物线的解析式及其顶点D的坐标；

（2）设直线CD交x轴于点E．在线段OB的垂直平分线上是否存在点P，使得点P到直线CD的距离等于点P到原点O的距离？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由；

（3）过点B作x轴的垂线，交直线CD于点F，将抛物线沿其对称轴平移，使抛物线与线段EF总有公共点．试探究：抛物线向上最多可平移多少个单位长度？向下最多可平移多少个单位长度？

解：（1）设抛物线解析式为y?a(x?2)(x?4)，把C(0，8)代入得a??1．

?y??x?2x?8??(x?1)?9，顶点D(1，9)

22（2）假设满足条件的点P存在，依题意设P(2，t)， 由C(0，8)，D(1，9)求得直线CD的解析式为y?x?8，

它与x轴的夹角为45，设OB的中垂线交CD于H，则H(2，10)．

222222?则PH?10?t，点P到CD的距离为d?PH?10?t．

又PO?t?2?22t?4．?2t?4?210?t．

2平方并整理得：t?20t?92?0，t??10?83．

?10?83)． ?存在满足条件的点P，P的坐标为(2，

18

2013中考数学预测压轴题（精选）

（3）由上求得E(?8，0)，F(4，12)．

①若抛物线向上平移，可设解析式为y??x2?2x?8?m(m?0)． 当x??8时，y??72?m． 当x?4时，y?m．??72?m?0?m≤72．

≤0y C F D H P 或m≤12．

E A O B x ②若抛物线向下移，可设解析式为y??x2?2x?8?m(m?0)． ?y??x2?2x?8?m由?， ?y?x?8有x2?x?m?0．?△?1?4m≥0，?0?m≤144．

∴向上最多可平移72个单位长，向下最多可平移

1个单位长．

【预测题】14、如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边OA、OC分别在x轴、y

轴的正半轴上，OA=4，OC=2．点P从点O出发，沿x轴以每秒1个单位长的速度向

点A匀速运动，当点P到达点A时停止运动，设点P运动的时间是t秒．将线段CP的中点绕点P按顺时针方向旋转90°得点D，点D随点P的运动而运动，连接DP、DA．

（1）请用含t的代数式表示出点D的坐标；

（2）求t为何值时，△DPA的面积最大，最大为多少？

（3）在点P从O向A运动的过程中，△DPA能否成为直角三角形？若能，求t的值． 若不能，请说明理由； （4）请直接写出随着点P的运动，点D运动路线的长． ．．

19

OPAxyCBD（第14题） 2013中考数学预测压轴题（精选）

解：（1）过点D作DE⊥x轴，垂足为E，则△PED∽△COP，∴

PE?12CO?1，DE?12PA?DE?1212PO?t212t，故D（t+1，??14t?t??2PECO?DEPO?PDCP?12

t2）

2（2）S= (4?t)?14(t?2)?1

∴当t=2时，S最大，最大值为1

（3）∵∠CPD=900，∴∠DPA+∠CPO=900，∴∠DPA≠900，故有以下两种情况： ①当∠PDA=90时，由勾股定理得PD?DA?PA，又PD?PE?DE?1?2220

222222t24，

DA?DE?EA?222t4?(3?t)，PA?(4?t)，1?222t4?t4?(3?t)?(4?t)

22即t2?4t?12?0，解得t1?2，t2??6（不合题意，舍去） ②当∠PAD=90时，点D在BA上，故AE=3－t，得t=3 综上，经过2秒或3秒时，△PAD是直角三角形； （4）25；

【预测题】15、设抛物线y?ax2?bx?2与x轴交于两个不同的点A（－1，0）、B（m，0），与y轴交于点C，且∠ACB＝90°。 （1）求m的值；

（2）求抛物线的解析式，并验证点D（1，－3 ）是否在抛物线上；

（3）已知过点A的直线y?x?1交抛物线于另一点E. 问：在x轴上是否存在点P，使以点P、B、D为顶点的三角形与△AEB相似？若存在，请求出所有符合要求的点P的坐标. 若不存在，请说明理由。

20

0

2013中考数学预测压轴题（精选）

解：（1）令x＝0，得y＝－2 ∴C（0，－2）

∵∠ACB＝90°，CO⊥AB ，∴△AOC ∽△COB ，∴OA·OB＝OC2 ∴OB＝

OCOA2＝221＝4 ∴m＝4

（2）将A（－1，0），B（4，0）代入y＝ax21?a＝??2 ?bx?2，解得?3?b＝??2?∴抛物线的解析式为y＝当x=1时，y＝12x212x2?32x?2??（2分）

?32x?2=－3，∴点D（1，－3）在抛物线上。

?y＝x?1?x1＝?1?x2＝6?（3）由? 得 ，∴E（6，7） 123??y＝0y＝7y＝x?x?2?1?2?22?过E作EH⊥x轴于H，则H（6，0）， ∴ AH＝EH＝7 ∴∠EAH＝45° 作DF⊥x轴于F，则F（1，0） ∴BF＝DF＝3 ∴∠DBF＝45° ∴∠EAH=∠DBF=45°

∴∠DBH=135°，90°<∠EBA<135° 则点P只能在点B的左侧，有以下两种情况： ①若△DBP1∽△EAB，则

157137BP1AB137AE＝BDAE,∴BP1＝AB?BDAE＝5?3272＝157

∴OP1＝4?＝（，∴P1，0）??（2分） ＝BDAB225②若△DBP2∽△BAE，则∴OP2＝425?4＝225BP2,∴BP2＝AE?BDAB＝72?325＝425

∴P（2?，0）??（2分） ，0）或P（2?21

（综合①、②，得点P的坐标为：P1

137225，0）

2013中考数学预测压轴题（精选）

【预测题】16、如图1，在△ABC中，AB＝BC＝5，AC=6.△ECD是△ABC沿BC方向平移得到的，连接AE.AC和BE相交于点O.

（1）判断四边形ABCE是怎样的四边形，说明理由； （2）如图2，P是线段BC上一动点（图2），（不与点B、C重合），连接PO并延长交线段AB于点Q，QR⊥BD，垂足为点R.

①四边形PQED的面积是否随点P的运动而发生变化？若变化，请说明理由；若不变，求出四边形PQED的面积；

②当线段BP的长为何值时，△PQR与△BOC相似？

AEAQE A OE DOBPO B

解：（1）四边形ABCE是菱形。

∵△ECD是由△ABC沿BC平移得到的，∴EC∥AB，且EC＝AB，

∴四边形ABCE是平行四边形，又∵AB=BC，∴四边形ABCE是菱形 . （2）①四边形PQED的面积不发生变化。

1

方法一：∵ABCE是菱形，∴AC⊥BE，OC=AC=3，∵BC=5，∴BO=4，

2

11

过A作AH⊥BD于H，（如图1）.∵S△ABC＝BC×AH＝AC×BO，

22

1124即：×5×AH＝×6×4，∴AH＝.

225

【或 ∵∠AHC＝∠BOC＝90°，∠BCA公用，∴△AHC∽△BOC，∴AH:BO＝AC:BC，

24

即：AH:4＝6:5，∴AH＝.】

5

由菱形的对称性知，△PBO≌△QEO，∴BP＝QE，

111124

∴S四边形PQED＝（QE+PD）×QR＝（BP+PD）×AH＝BD×AH＝×10×＝24.

22225

方法二: 由菱形的对称性知，△PBO≌△QEO，∴S△PBO＝ S△QEO，

∵△ECD是由△ABC平移得到得，∴ED∥AC，ED＝AC＝6， 又∵BE⊥AC，∴BE⊥ED，

∴S四边形PQED＝S△QEO＋S四边形POED＝S△PBO＋S四边形POED＝S△BED

11＝×BE×ED＝×8×6＝24. 22

C（第24题图1）DRC（第24题图2）DB C（备用图）1 22

2013中考数学预测压轴题（精选）

A Q E A Q E O O 3 2 1 B H P R C （第24题1） D B P G R C （第24题2） D ②方法一：如图2，当点P在BC上运动，使△PQR与△COB相似时，

∵∠2是△OBP的外角，∴∠2＞∠3，∴∠2不与∠3对应，∴∠2与∠1对应，

即∠2＝∠1，∴OP=OC=3,过O作OG⊥BC于G，则G为PC的中点，△OGC∽△BOC，

9

∴CG:CO＝CO:BC，即：CG:3＝3:5，∴CG=，

5

97

∴PB＝BC－PC＝BC－2CG＝5－2×＝.

55

方法二：如图3，当点P在BC上运动，使△PQR与△COB相似时，

∵∠2是△OBP的外角，∴∠2＞∠3， ∴∠2不与∠3对应，∴∠2与∠1对应，

2418

∴QR:BO＝PR:OC，即：:4＝PR:3，∴PR＝，

55

过E作EF⊥BD于F，设PB＝x，则RF=QE=PB=x，

2418

DF＝ED2-EF2 =62-()2 =，

55

18187

∴BD＝PB＋PR＋RF＋DF＝x＋＋x＋＝10，x＝.

555

方法三: 如图4，若点P在BC上运动，使点R与C重合，

由菱形的对称性知，O为PQ的中点，∴CO是Rt△PCQ斜边上的中线， ∴CO=PO，∴∠OPC＝∠OCP，此时，Rt△PQR∽Rt△CBO，

18

∴PR:CO＝PQ:BC，即PR:3＝6:5，∴PR＝

5

187

∴PB＝BC-PR＝5－＝.

55

Q Q E A A E

O 3 2 1 O B P R C F （第24题3） D B P C (R) （第24题4） D

23

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