江苏省苏锡常镇四市2017-2018学年度高三教学情况调研（二）数学试题

江苏省苏锡常镇四市2017-2018学年度高三教学情况调研（二）

数学试题

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡．．．

相应位置上． ．．．．．

1． 若复数z满足(1+i)z=2(i是虚数单位)，则z的虚部为 ．

2}(其中a?0)，若A?B，则实数a? ． 2． 设集合A?{2，4}，B?{a，3． 在平面直角坐标系xOy中，点P(?2，4)到抛物线y??8x的准线的距离为 ．

4． 一次考试后，从高三（1）班抽取5人进行成绩统计，其茎叶图如右图所示，则这五人成绩的方差为 ． 7 8 8 2 4 4 9 2 5． 下图是一个算法流程图，若输入值x?[0，2]，则输出值S的取值范围是 ．

开始 输入x Y S?1 输出S 结束 x＜1 N S?2x?x2 22 6． 欧阳修在《卖油翁》中写到：“（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，

而钱不湿”，可见卖油翁的技艺之高超，若铜钱直径4厘米，中间有边长为1厘米的正方形小孔，随机向铜钱上滴一滴油（油滴大小忽略不计），则油恰好落入孔中的概率是 ．

7．已知函数f(x)?sin(πx??)(0?x?2π)在x?2时取得最大值，则?? ．

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8．已知公差为d的等差数列{an}的前n项和为Sn，若

S104a

?4，则1? ． S5d

9．在棱长为2的正四面体P?ABC中，M，N分别为PA，BC的中点，点D是线段PN上一点，且

PD?2DN，则三棱锥D?MBC的体积为 ．

10．设△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，且满足acosB?bcosA?b，c，

223tanA则 c，? ．5tanB11．在平面直角坐标系xOy中，已知圆C:(x?1)?y?2，点A(2，0)，若圆C上存在点M，满足

MA2?MO2?10，则点M的纵坐标的取值范围是 ．

12．如图，扇形AOB的圆心角为90°，半径为1，点P是圆弧AB上的动点，作点P关于弦AB的对称点Q，

则OP?OQ的取值范围为 ． B P O Q A

?1?(|x?3|?1)，x?0，13．已知函数f(x)??2若存在实数a?b?c，满足f(a)?f(b)???lnx， x?0，f(c，)则

af(a)?bf(b)? ． cf(的最大值是)c2314．已知a，b为正实数，且?a?b??4(ab)，则

11?的最小值为 ． ab二、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上）

二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、．．．．．．．证明过程或演算步骤．

15．如图，在四棱锥P?ABCD中，?ADB?90，CB?CD，点E为棱PB的中点．

P E D A

B

C

（1）若PB?PD，求证：PC?BD；（2）求证：CE//平面PAD．

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16．在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设△ABC的面积为S，且

4S?3(a2?c2?b2).

（1）求?B的大小；

（2）设向量m?(sin2A，3cosA)，n?(3，?2cosA)，求m?n的取值范围． 17．（本小题满分14分）

下图（I）是一斜拉桥的航拍图，为了分析大桥的承重情况，研究小组将其抽象成图（II）所示的数学模型．索塔AB，CD与桥面AC均垂直，通过测量知两索塔的高度均为60m，桥面AC上一点P到索塔AB，CD距离之比为21:4，且P对两塔顶的视角为135． （1）求两索塔之间桥面AC的长度；

（2）研究表明索塔对桥面上某处的“承重强度”与多种因素有关，可简单抽象为：某索塔对桥面上某处的“承重强度”与索塔的高度成正比（比例系数为正数a），且与该处到索塔的距离的平方成反比（比例系数为正数．问两索塔对桥面何处的“承重强度”之和最小？并求出最小值． b）

B D

A

P C

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2x2y218．如图，椭圆2?2?1(a?b?0)的离心率为，焦点到相应准线的距离为1，点A，B，C分别

2ab0)，直线AC与直为椭圆的左顶点、右顶点和上顶点，过点C的直线l交椭圆于点D，交x轴于点M(x1，线BD交于点N(x2，y2)．

y C A N D

（1）求椭圆的标准方程；（2）若CM?2MD，求直线l的方程；（3）求证：x1?x2为定值．

19．已知函数f(x)?x?ax?bx?1，a，b?R． （1）若a?b?0，

① 当a?0时，求函数f(x)的极值（用a表示）；

② 若f(x)有三个相异零点，问是否存在实数a使得这三个零点成等差数列？若存在，试求出a的

值；若不存在，请说明理由；

（2）函数f(x)图象上点A处的切线l1与f(x)的图象相交于另一点B，在点B处的切线为l2，直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，且k2=4k1，求a，b满足的关系式．

20．已知等差数列

232M O B x

?an?的首项为

1，公差为d，数列?bn?的前n项和为Sn，且对任意的n?N，

*6Sn?9bn?an?2恒成立．

（1）如果数列?Sn?是等差数列，证明数列?bn?也是等差数列； （2）如果数列?bn???1??为等比数列，求d的值； 2?（3）如果d?3，数列?cn?的首项为1，cn?bn?bn?1(n?2)，证明数列列?cn?中的两项之和．

?an?中存在无穷多项可表示为数

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数学Ⅱ（附加题）

21．【选做题】在A，B，C，D 四小题中只能选做两题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．．．．．．．

内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

A．选修4—1：几何证明选讲

如图所示，AB为⊙O的直径，AE平分?BAC交⊙O于E点，过E作⊙O的切线交AC于点D，求证AC?DE．

B．选修4—2：矩阵与变换 已知矩阵M=??21??1的一个特征值为3，求． M??4x?

C．选修4—4：坐标系与参数方程

在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为??x?3?2cost，(t为参数)．以原点O为极点，以x轴

y??2?2sint?正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为2?cos(??距离等于2，求a的值．

D．选修4—5：不等式选讲

?4)?a(a?R)，已知圆心C到直线l的

已知实数a，b，c满足a?2b?c?1，a?b?c?1，求证：?

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2222?c?1． 3

【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字．．．．．．．

说明、证明过程或演算步骤．

22．甲、乙、丙三位学生各自独立地解同一道题，已知甲做对该题的概率为

1，乙、丙做对该题的概率分3别为m，n(m?n)，且三位学生能否做对相互独立，设X为这三位学生中做对该题的人数，其分布列为：

X 0 1 2 3 P

（1）求m，n的值； （2）求X的数学期望．

11 a b 3362n?1(n?N?，x?R)． 23．已知函数f(x)?(x?5)（1）当n?2时，若f(2)?f(?2)?5A，求实数A的值；

0???1)，求证：?(m??)?1． （2）若f(2)?m??(m?N，

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?2017-2018 学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（二）

参考答案

一、填空题：

1． ?1 2．?2 3．4 4．20.8 5．?01，?

6．

21π 7． 8．2 9． 10．4

94π211． ????77?? 13．2e2?12 14．22 2?11，，? 12．???22?二、解答题

15． 证明：（1）取BD的中点O，连结CO，PO，

因为CD?CB，所以△CBD为等腰三角形，所以BD?CO． 因为PB?PD，所以△PBD为等腰三角形，所以BD?PO． 又POCO?O，所以BD?平面PCO． 因为PC?平面PCO，所以PC?BD． （2）由E为PB中点，连EO，则EO∥PD，

又EO?平面PAD，所以EO∥平面PAD． 由?ADB?90?，以及BD?CO，所以CO∥AD， 又CO?平面PAD，所以CO∥平面PAD． 又COEO=O，所以平面CEO∥平面PAD，

而CE?平面CEO，所以CE∥平面PAD．

1222siB?316．解（1）由题意，有4?acsinB?3(a?c?b)，则n2因为sinB?0，所以cosB?0，所以tanB?3． 又0?B?π，所以B?a2?c2b?22ac，所以sinB?3cosB．

π． 33cosA)，n?(3，?2cosA)，得 （2）由向量m?(sin2A，πm n=3sin2A?6cos2A?3sin2A?3cos2A?3?32sin(2A?)?3．

4π2π2π由（1）知B?，所以A?C?，所以0?A?．

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所以2A?ππ13π?(?，)． 4412π?2?所以sin(2A?)???，1?．

4?2??32?3?．即取值范围是?6，32?3?． 所以m n??6，??17．解（1）设AP?21t，BP?4t，(t?0)，记?APB=?，?CPD=?，则 tan?=??6020?，ta?n?21t7t6015?， 4tt2015?tan??tan??7tt?1， 由tan(???)?tan45??1?tan?tan?1?3007t215（舍去）， 7所以，AC?AP?PC?25?20?500．

化简得 7t2?125t?300?0，解得t?20或t??答：两索塔之间的距离AC=500米．

（2）设AP=x，点P处的承重强度之和为L(x). 则L(x)?60[abab?]，且x?(0,500)， x2(500?x)211?],x?(0,500) x2(500?x)2即L(x)?60ab[记l(x)?11?22，则， ?,x?(0,500)l'(x)??x2(500?x)2x3(500?x)3令l?(x)?0，解得x?250，

当x?(0,250)，l?(x)?0，l(x)单调递减； 当x?(250,500)，l?(x)?0，l(x)单调递增； 所以x?250时，l(x)取到最小值，L(x)也取到最小值

6ab. 31256ab. 3125答：两索塔对桥面AC中点处的“承重强度”之和最小，且最小值为18. 解（1）由椭圆的离心率为2，焦点到对应准线的距离为1. 2?c2，????a?a?2，2得 ?2解得?

??a?c?1，?c?1，??cx2所以，椭圆的标准方程为?y2?1.

2（2）由（1）知C(0,1)，设D(x0,y0)，

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因为CM?2MD，得2y0??1，所以y0??代入椭圆方程得x0?所以l的方程为：y?1， 2666161或?，所以D(,?)或D(?,?)， 22222266x?1或y??x?1. 221x?1， x1（3）设D坐标为(x3，y3）,由C(0,1)，M(x1，0)可得直线CM的方程y??1?y??x?1，?x1x12?24x1?联立椭圆方程得：?解得x3?2,y3?2.

2x1?2x1?2?x?y2?1，??2由B(2,0)，得直线BD的方程：y?x12?2?2x12?4x1?22(x?2)， ①

直线AC方程为y?联立①②得x2?2x?1， ② 22， x1从而x1x2=2为定值. 解法2：设D坐标为(x3，y3）， 由C,M,D三点共线得

y3x1?，所以x1?3， ① ?x1x3?x11?y3y3x3?2=y2x2?2，将y2?由B,D,N三点共线得2x2?1 代入可得 2x2?2x3?2y3?22y3?x3?2， ②

x32x3?2y3?22x32?2x3y3?2x3?= ①和②相乘得，x1x2? 1?y32y3?x3?2?2y32?x3y3?x3?22x32?2x3y3?2x3??2.

x32?2(1?)?x3y3?x3?2219. 解：（1）①由f?(x)?3x2?2ax?b及a2?b?0， 得f?(x)?3x2?2ax?a2， 令f?(x)?0，解得x?a或x??a. 3由a?0知，x?(??,?a)，f?(x)?0，f(x)单调递增，

aax?(?a,)，f?(x)?0，f(x)单调递减，x?(,??)，f?(x)?0，f(x)单调递增，

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a5a3因此，f(x)的极大值为f(?a)?1?a，f(x)的极小值为f()?1?.

3273② 当a?0时，b?0，此时f(x)?x3?1不存在三个相异零点；

a5a3当a?0时，与①同理可得f(x)的极小值为f(?a)?1?a，f(x)的极大值为f()?1?.

3273要使f(x)有三个不同零点，则必须有(1?a3)(1?即a3??1或a3?53a)?0， 2727. 5不妨设f(x)的三个零点为x1,x2,x3，且x1?x2?x3，

则f(x1)?f(x2)?f(x3)?0，

3f(x1)?x1?ax12?a2x1?1?0， ① 32f(x2)?x2?ax2?a2x2?1?0， ② 32f(x3)?x3?ax3?a2x3?1?0， ③

2?x1x2?x12)?a(x2?x1)(x2?x1)?a2(x2?x1)?0， ②-①得(x2?x1)(x22?x1x2?x12?a(x2?x1)?a2?0， ④ 因为x2?x1?0，所以x222?x3x2?x2?a(x3?x2)?a2?0， ⑤ 同理x3⑤-④得x2(x3?x1)?(x3?x1)(x3?x1)?a(x3?x1)?0， 因为x3?x1?0，所以x2?x3?x1?a?0， 又x1?x3?2x2，所以x2??a. 32327a所以f(?)?0，即a2???a2，即a3????1，

9a113因此，存在这样实数a??3311满足条件.

（2）设A（m，f(m)）,B(n，f(n))，则k1?3m2?2am?b，k2?3n2?2an?b，

f(m)?f(n)(m3?n3)?a(m2?n2)?b(m?n)又k1???m2?mn?n2?a(m?n)?b，

m?nm?n由此可得3m2?2am?b?m2?mn?n2?a(m?n)?b，化简得n??a?2m， 因此，k2?3(?a?2m)2?2a(?a?2m)?b?12m2?8am?a2?b， 所以，12m2?8am?b?a2?4(3m2?2am?b)， 所以a2?3b.

20. 解：（1）设数列{Sn}的公差为d?，由6Sn?9bn?an?2， ①

6Sn?1?9bn?1?an?1?2(n≥2)， ②

①-②得6(Sn?Sn?1)?9(bn?bn?1)?(an?an?1)， ③ 即6d??9(bn?bn?1)?d，所以bn?bn?1?6d??d为常数， 9第 10 页 共 13 页

所以{bn}为等差数列．

（2）由③得6bn?9bn?9bn?1?d，即3bn?9bn?1?d，

b13bd11dd所以n?2?n?1?3?23(b?n?1?2)?3?1?1?3?3b1111是与n无关的常数，

n?1?2bn?1?2bn?1?2bn?1?2所以

d3?1?0或b1n?1?2为常数． ①当d3?1?0时，d?3，符合题意；

②当b1n?1?2为常数时， 在6Sn?9bn?an?2中令n?1，则6a1?9b1?a1?2，又a1?1，解得b1?1，…8分

所以bn?1?12?b131?2?2， d此时3?3?1d?3?3?1?1，解得d??6． b13n?1?22综上，d?3或d??6． （3）当d?3时，an?3n?2， 由（2）得数列{b131311n?2}是以

2为首项，公比为3的等比数列，所以bn?2?2?3n?1=2?3n，即bn=2(3n?1)当n≥2时，c?b12(3n?1)?1nn?bn?1?2(3n?1?1)?3n?1， 当n?1时，也满足上式， 所以cn?3n?1(n≥1)．

设a?1in?ci?cj(1≤i?j)，则3n?2?3i?3j?1，即3n?3i?1(3j??1)?2， 如果i≥2，因为3n为3的倍数，3i?1(3j?i?1)为3的倍数， 所以2也为3的倍数，矛盾．

所以i?1，则3n?3?3j?1，即n?1?3j?2(j?2,3,4,)．

所以数列{an}中存在无穷多项可表示为数列{cn}中的两项之和．

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．2017-2018学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（二）

附加题参考答案

21.A 解 连接OE，因为ED是⊙O切线，所以OE⊥ED. 因为OA＝OE，所以∠1＝∠OEA. 又因为∠1＝∠2，所以2＝∠OEA， 所以OE∥AC，∴AC⊥DE．

A12OBECD21.B 解 由

l-2=0，得(l-2)(l-x)-4=0的一个解为3，代入得x=-1，

-4l-x -1因为M???2?41??1，所以M??1??1?6???2??31?6??. 1??3??21.C解 消去参数t，得到圆的普通方程为x-3由2?cos(??()2+(y+2)=4,

2?4)?a，得?cos???sin??a?0,

所以直线l的直角坐标方程为x+y-a=0. 依题意，圆心C到直线l的距离等于2，即|3-2-a|2=2，解得a=-1或3.

21.D 证明：因为a＋2b＋c＝1，a2＋b2＋c2＝1， 所以a＋2b＝1－c，a2＋b2＝1－c2. 由柯西不等式：(12＋22)(a2＋b2)≥(a＋2b)2， 5(1－c2)≥(1－c)2，

2

整理得，3c2－c－2≤0，解得－≤c≤1.

3

2

所以－≤c≤1.

3

11?(1?)(1?m)(1?n)?,??3322. 解（1）由题意，得?

11?mn?.?36?311又m?n，解得m?，n?.

341232132214（2）由题意，a??????????.

3343343349第 12 页 共 13 页

1417b?1?P(X?0)?P(X?1)?P(X?3)?1????.

393636147111E(X)?0??1??2??3??.

3936361223. 解（1）当n?2时，

05143245f(x)?(x?5)5?C5x?C5x5?C52x3(5)2?C5x(5)3?C5x(5)4?C5(5)5， 135(5)124?C5(5)322+C5(5)520] 所以f(2)?f(?2)?(2?5)5+(?2?5)5?2[C5=2(5?165+10?4?55+255)=6105，

所以A?610.

02n?112n22n?1?C25?C2(5)2?（2）因为f(x)?(x?5)2n?1?C2n?1xn?1xn?1x02n?112n22n?1?C25?C2(5)2?所以f(2)?C2n?12n?12n?122n?12n?1?C2， n?1(5)2n?12n?1?C2， n?1(5)由题意f(2)?(5?2)2n?1?m?? (m?N*,0???1)， 首先证明对于固定的n?N*，满足条件的m,?是唯一的.

假设f(2)?(2?5)2n?1?m1??1?m2??2(m1,m2?N*,0??1,?2?1,m1?m2,?1??2)， 则m1?m2??2??1?0，而m1?m2?Z，?2??1?(?1,0)所以满足条件的m,?是唯一的. 下面我们求m及?的值：

因为f(2)?f(?2)?(2?5)2n?1?(?2?5)2n?1?(2?5)2n?1?(2?5)2n?1

02n?122n?142n?3?2[C2?C2(5)2?C2(5)4+n?12n?12n?12112n+C2n?12(5)]，

(0,1)，矛盾.

显然f(2)?f(?2)?N*.

又因为5?2?(0,1)，故(5?2)2n?1?(0,1)， 即f(?2)?(?2?5)2n?1?(5?2)2n?1?(0,1).

02n?122n?142n?3?C2(5)2?C2(5)4+所以令m?2[C2n?12n?12n?12112n+C2n?12(5)]，

??(?2?5)2n?1，则m?f(2)?f(?2),??f(?2)，又m???f(2)，

所以?(m??)?f(?2)?f(2)?(2?5)2n?1?(?2?5)2n?1?(5?4)2n?1?1.

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