题组层级快练18-导数综合

题组层级快练(十八)

(第二次作业)

1．若定义在闭区间[a，b]上的连续函数y＝f(x)有唯一的极值点x＝x0，且f(x0)为极小值，则下列说法正确的是( )

A．函数f(x)有最小值f(x0)

B．函数f(x)有最小值，但不一定是f(x0)

C．函数f(x)有最大值也可能是f(x0)

D．函数f(x)不一定有最小值

答案 A

解析 闭区间上的唯一的极值点就是最值点．

x2．函数f(x)＝x∈[0,4]的最大值是( ) eA．0

4 e答案 B

3．若函数f(x)＝x3－3ax－a在(0,1)内有最小值，则实数a的取值范围为( )

A．0≤a<1

C．－1<a<1

答案 B

14．(2015·云南昆明一模)已知函数f(x)＝lnx＋( ) lnx

A．若x1，x2(x1<x2)是f(x)的极值点，则f(x)在区间(x1，x2)上是增函数

B．若x1，x2(x1<x2)是f(x)的极值点，则f(x)在区间(x1，x2)上是减函数

C． x>0，且x≠1，f(x)≥2

D． x0>0，f(x)在(x0，＋∞)上是增函数

答案 D

ln2x－11111解析 由已知f′(x)＝－(x>0，且x≠1)，令f′(x)＝0，得x＝e或x＝.当x∈(0，)时，xxlnxxlnxee

11f′(x)>0；当x∈1)∪(1，e)时，f′(x)<0；当x∈(e，＋∞)时，f′(x)>0.故x＝x＝e分别是函数f(x)的极ee

1大值点和极小值点，故函数f(x)在(，1)和(1，e)上单调递减，所以A，B错；当0<x<1时，lnx<0，f(x)<0，e

故C错；若x0≥e，f(x)在(x0，＋∞)上是增函数，D正确． B．0<a<1 1D．0<a< 21e2 e

115．(2015·四川内江一模)已知函数f(x)＝x3－x2＋cx＋d有极值，则实数c的取值范围为( ) 32

1A．c< 4

1C．c≥ 4

答案 A

1解析 由题意可知f′(x)＝x2－x＋c＝0有两个不同的实根，所以Δ＝1－4c>0 c<. 4

6．f(x)＝ex－x(e为自然对数的底数)在区间[－1,1]上的最大值是( )

1A．1＋ e

C．e＋1

答案 D

解析 f′(x)＝ex－1，令f′(x)＝0，得x＝0.令f′(x)>0，得x>0，令f′(x)<0，得x<0，则函数f(x)在(－

111,0)上单调递减，在(0,1)上单调递增，f(－1)＝e－1＋1，f(1)＝e－1，f(－1)－f(1)＝＋2－e<2－e<0，所e2

以f(1)>f(－1)．故选D.

x2＋a7．若函数f(x)x＝1处取极值，则a＝________. x＋1

答案 3

x2＋2x－a解析 f′(x)＝f(x)在x＝1处取得极值知f′(1)＝0，∴a＝3. x＋1 2

π8．(2015·黑龙江哈尔滨一模)函数y＝x＋2cosx在区间[0，]上的最大值是________． 2

π答案 3 6πππππ解析 y′＝1－2sinx，令y′＝0，且x∈[0，得x＝.则x∈[0，)时，y′>0；x∈(，时，y′<0，26662

πππππ故函数在[0，上单调递增，在(，]上单调递减，所以当x3. 662669．(2015·昌平一模)已知函数f(x)＝4lnx＋ax2－6x＋b(a，b为常数)，且x＝2为f(x)的一个极值点，则实数a的值为________．

答案 1

解析 由题意知，函数f(x)的定义域为(0，＋∞)．

4∵f′(x)＝2ax－6，∴f′(2)＝2＋4a－6＝0，即a＝1. x

10．下列关于函数f(x)＝(2x－x2)ex的判断正确的是________． B．1 D．e－1 1B．c≤ 41D．c> 4

①f(x)>0的解集是{x|0<x<2}；

②f(－2)是极小值，f(2)是极大值；

③f(x)既没有最小值，也没有最大值．

答案 ①②③

解析 若f(x)＝(2x－x2)ex>0，则0<x<2，①正确；

∵f′(x)＝－ex(x2)(x－，∴f(x)在(－∞，－2)和2，＋∞)上单调递减，在(－22)上单调递增．

∴f(－2)是极小值，f(2)是极大值，②正确；易知③也正确．

11．(2015·启东中学调研)已知函数f(x)＝ex＋alnx的定义域是D，关于函数f(x)给出下列命题：

①对于任意a∈(0，＋∞)，函数f(x)是D上的减函数；

②对于任意a∈(－∞，0)，函数f(x)存在最小值；

③存在a∈(0，＋∞)，使得对于任意的x∈D，都有f(x)>0成立；

④存在a∈(－∞，0)，使得函数f(x)有两个零点．

其中正确命题的序号是________．(写出所有正确命题的序号)

答案 ②④

a解析 由f(x)＝ex＋alnx，可得f′(x)＝ex＋，若a>0，则f′(x)>0，得函数f(x)是D上的增函数，存在x

ax∈(0,1)，使得f(x)<0即得命题①③不正确；若a<0，设ex＋＝0的根为m，则在(0，m)上f′(x)<0，在(m，x

＋∞)上f′(x)>0，所以函数f(x)存在最小值f(m)，即命题②正确；若f(m)<0，则函数f(x)有两个零点，即命题④正确．综上可得，正确命题的序号为②④.

12．已知函数f(x)＝－x2＋ax＋1－lnx.

1(1)若f(x)在(0，上是减函数，求实数a的取值范围； 2

(2)函数f(x)是否既有极大值又有极小值？若存在，求出实数a的取值范围；若不存在，请说明理由． 答案 (1)a≤3 (2)a>22

1111解析 (1)f′(x)＝－2x＋a－，∵f(x)在(0)上为减函数，∴x∈(0)时－2x＋a－≤0恒成立，即a≤2xx22x

1＋ x

111111设g(x)＝2x＋g′(x)＝2－∵x∈(0时>4，∴g′(x)<0，∴g(x)在(0，上单调递减，g(x)>g(xx2x22

＝3，∴a≤3.

(2)若f(x)既有极大值又有极小值，则f′(x)＝0必须有两个不等的正实数根x1，x2，即2x2－ax＋1＝0

有两个不等的正实数根．

Δ>0， a2－8>0，故a应满足 a a2. a>0 2>0

∴当a>22时，f′(x)＝0有两个不等的实数根．

不妨设x1<x2，

12由f′(x)＝－(2x2－ax＋1)＝－x－x1)(x－x2)知，0<x<x1时f′(x)<0，x1<x<x2时f′(x)>0，x>x2时xx

f′(x)<0，

∴当a>22时f(x)既有极大值f(x2)又有极小值f(x1)．

113．(2015·衡水调研卷)已知函数f(x)＝2＋alnx. 2

(1)若a＝－1，求函数f(x)的极值，并指出是极大值还是极小值；

(2)若a＝1，求函数f(x)在[1，e]上的最大值和最小值；

2(3)若a＝1，求证：在区间[1，＋∞)上函数f(x)的图像在函数g(x)＝x3的图像的下方． 3

1答案 (1)极小值为 2

11(2)f(x)min＝f(x)max＝e2＋1 (3)略 22

解析 (1)由于函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，

1 x＋1 x－1 当a＝－1时，f′(x)＝x－＝， xx

令f′(x)＝0，得x＝1或x＝－1(舍去)．

当x∈(0,1)时，函数f(x)单调递减，

当x∈(1，＋∞)时，函数f(x)单调递增，

1所以f(x)在x＝1处取得极小值，极小值为. 2

(2)当a＝1时，易知函数f(x)在[1，e]上为增函数，

11所以f(x)min＝f(1)＝，f(x)max＝f(e)＝e2＋1. 22

12(3)证明：设F(x)＝f(x)－g(x)＝x2＋lnx－x3， 23

1－x 1＋x＋2x2 12则F′(x)＝x＋－2x＝， xx

1当x>1时，F′(x)<0，故F(x)在区间(1，＋∞)上是减函数．又因为F(1)＝－，所以在区间[1，＋∞)6

上F(x)<0恒成立，即f(x)<g(x)恒成立．因此，当a＝1时，在区间[1，＋∞)上函数f(x)的图像在函数g(x)图像的下方．

14．(2014·江西文)已知函数f(x)＝(4x2＋4ax＋a2x，其中a<0.

(1)当a＝－4时，求f(x)的单调递增区间；

(2)若f(x)在区间[1,4]上的最小值为8，求a的值．

2答案 (1)单调递增区间为(0，)，(2，＋∞) (2)a＝－10 5

2 5x－2 x－2 220，或x∈解析 (1)当a＝－4时，由f′(x)＝0，得x＝或x＝2.由f′(x)>0，得x∈ 55x

(2，＋∞)．

20，和(2，＋∞)． 故函数f(x)的单调递增区间为 5 10x＋a 2x＋a (2)f′(x)，a<0， 2aa由f′(x)＝0，得x＝－或x＝－. 102

a0，－时，f(x)单调递增； 当x∈ 10

aa－时，f(x)单调递减； 当x∈ 2 10

a－∞ 时，f(x)单调递增． 当x∈ 2

a－ ＝0. 易知f(x)＝(2x＋a)2x≥0，且f 2

a①当－1，即－2≤a<0时，f(x)在[1,4]上的最小值为f(1)，由f(1)＝4＋4a＋a2＝8，得a＝±22－2，2

均不符合题意．

aa－＝0，不符合题意． ②当1<－≤4，即－8≤a<－2时，f(x)在[1,4]上的最小值为f 22

a③当－，即a<－8时，f(x)在[1,4]上的最小值可能在x＝1或x＝4处取得，而f(1)≠8，由f(4)＝2(642

＋16a＋a2)＝8，得a＝－10或a＝－6(舍去)．当a＝－10时，f(x)在(1,4)上单调递减，f(x)在[1,4]上的最小值为f(4)＝8，符合题意．

综上有a＝－10.

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