图论习题一

离散数学图论部分综合练习辅导

图论作为离散数学的一部分，主要介绍图论的基本概念、理论与方法。教学内容主要有图的基本概念与结论、图的连通性与连通度、图的矩阵表示、最短路问题、欧拉图与汉密尔顿图、平面图、对偶图与着色、树与生成树、根树及其应用等。

本次综合练习主要是复习这一部分的主要概念与计算方法，与集合论一样，也安排了五种类型，有单项选择题、填空题，判断说明题、计算题、证明题。这样的安排也是为了让同学们熟悉期末考试的题型，能够较好地完成这一部分主要内容的学习。下面分别讲解。

一、单项选择题 1．设图G的邻接矩阵为

?0?0??1??0??00001110000010010??1?0? ?1?0??

则G的边数为( )．

A．5 B．6 C．3 D．4 正确答案：D

上学期的作业中，有的同学选择答案B。主要是对邻接矩阵的概念理解不到位。我们复习定义：

定义3.3.1 设G=是一个简单图，其中V={v1，v2，?， vn}，则 n阶方阵A（G）=（aij）称为G的邻接矩阵．其中各元素

aij??1????0vi与vj相邻vi与vj不相邻或i?j

而当给定的简单图是无向图时，邻接矩阵为对称的．即当结点vi与vj相邻时，结点vj与vi也相邻，所以连接结点vi与vj的一条边在邻接矩阵的第i行第j列处和第j行第i列处各有一个1，题中给出的邻接矩阵中共有8个1，故有8?2=4条边。

2．设图G＝，则下列结论成立的是 ( )．

A．deg(V)=2?E? B．deg(V)=?E? C．?deg(v)?2E D．?deg(v)?E

v?Vv?V正确答案：C

该题主要是检查大家对握手定理掌握的情况。复习握手定理： 定理3.1.1 设G是一个图，其结点集合为V，边集合为E，则

?deg(v)?2|E|

v?V3．图G如右图所示，以下说法正确的是 ( ) ． a

?

1

b ? d? ? f

A．{(a, d)}是割边 B．{(a, d)}是边割集 C．{(d, e)}是边割集 D．{(a, d) ,(a, c)}是边割集

正确答案：C

上学期许多同学选择答案A。主要是对割边、边 割集的概念理解不到位。复习割边、边割集的定义：

定义3.2.9 设无向图G=为连通图，若有边集E1?E，使图G删除了E1的所有边后，所得的子图是不连通图，而删除了E1的任何真子集后，所得的子图是连通图，则称E1是G的一个边割集．若某个边构成一个边割集，则称该边为割边（或桥）

如果答案A正确，即删除边(a, d)后，得到的图是不连通图，但事实上它还是连通的。因此答案A是错误的。

4．设G是连通平面图，有v个结点，e条边，r个面，则r= ( )． A．e－v＋2 B．v＋e－2 C．e－v－2 D．e＋v＋2

正确答案：A

该题主要是检查大家对平面图的欧拉定理的理解情况。

定理4.3.2（欧拉定理） 设连通平面图G的结点数为v，边数为e，面数为r，则下列欧拉公式成立．

v-e+r =2

5．无向图G存在欧拉通路，当且仅当( )． A．G中所有结点的度数全为偶数 B．G中至多有两个奇数度结点 C．G连通且所有结点的度数全为偶数 D．G连通且至多有两个奇数度结点

正确答案：D

上学期许多同学选择答案C。主要是将题中的“欧拉通路”误认为“欧拉回路”了。其实应该运用定理4.1.1进行选择，才是正确的。复习定义和定理： 定义4.1.1 给定无孤立结点图G，若存在一条路经过图G的每条边一次且仅一次，则该路称为欧拉路；

若存在一条回路经过图G的每条边一次且仅一次，在该回路称为欧拉回路； ??

定理4.1.1 无向图G具有一条欧拉路，当且仅当G是连通的，且有零个或2个奇数度数的结点．

推论 一个无向图具有一条欧拉回路，当且仅当该图是连通的，并且它的结点度数都是偶数．

所以，正确答案应该是D．

2

6．设G是有n个结点，m条边的连通图，必须删去G的( )条边，才能确定G的一棵生成树．

A．m?n?1 B．m?n C．m?n?1 D．n?m?1

正确答案：A

上学期许多同学选择答案D。主要是把定理5.1.1给出的图T为树的等价定义之一是图T连通且e=v-1中的公式用错了．大家只要把m代入公式e=v-1中的e，把n代入公式e=v-1中的v，可以知道答案A是正确。 定理5.1.1 给定图T，则以下关于图T为树的定义等价． （1）无回路的连通图．

（2）无回路且e=v-1，其中e是边数，v是顶点数． （3）连通且e=v-1．

（4）无回路，但增加任一新边，得到且仅得到一个回路． （5）连通，但删去任一边后图便不连通．（v≥2）

（6）每一对顶点之间有且仅有一条路．（v≥2）

定理5.1.1的六个等价定义，大家应该熟记的．最主要的是：无向简单图G是棵树，当且仅当G连通且边数比结点数少1．

二、填空题

1．已知图G中有1个1度结点，2个2度结点，3个3度结点，4个4度结点，则G的边数是 ． 应该填写：15

主要检查大家对握手定理掌握的情况。

定理3.1.1（握手定理） 设G是一个图，其结点集合为V，边集合为E，则

?deg(v)?2|E|

v?V因为图G中有1个1度结点，2个2度结点，3个3度结点，4个4度结点，即?deg(v)?1?1?2?2?3?3?4?4?30，所以边数有E?30/2?15。

v?V问：若无向树T中有8个结点，4度，3度，2度的分 支点各一个，那么T的树叶数为多少？

2．设给定图G(如右图所示)，则图G的点割集是 ． 应该填写：{f}，{c，e}

上学期许多同学填错答案主要对点割集的概念理解 不正确。

a? f ? e ? b

? ? c ? d

定义3.2.7 设无向图G=为连通图，若有点集V1?V，使图G删除了V1的所有结点后，所得的子图是不连通图，而删除了V1的任何真子集后，所得的子

图是连通图，则称V1是G的一个点割集．若某个结点构成一个点割集，则称该结点为割点．

3

上学期许多同学填写的{f，c}，主要是没有完全理解定义3.2.7，因为{f}是{f，c}的真子集，而删除{f}后，图是不连通的。

3．设无向图G＝是汉密尔顿图，则V的任意非空子集V1，都有 ??V1?． 应该填写：W(G- V1)

因为具有汉密尔顿回路的图称为汉密尔顿图．而由

定理4.2.1 若图G=中具有一条汉密尔顿回路，则对于结点集V的每个非空子集S均有W(G-S)? |S|成立，其中W(G-S)是（G-S）中连通分支数．

因此应该填写：W(G- V1)．

4．设有向图D为欧拉图，则图D中每个结点的入度 ． 应该填写：等于出度

如果大家记住“具有欧拉回路的图称为欧拉图”和定理4.1.2：一个有向图具有单向欧拉回路，当且仅当它是连通的，且每个结点的入度等于出度．大家一定能填写出正确答案的。

5．设完全图Kn有n个结点(n?2)，m条边，当 时，Kn中存在欧拉回路．

应该填写：n为奇数

上学期许多同学填错答案主要对完全图的概念理解不正确。

定义3.1.6 简单图G=中，若每一对结点间都有边相连，则称该图为完全图．有n个结点的无向完全图记为Kn．

由定义可知，完全图Kn中的任一结点v到其它结点都有一条边，共有n-1条边，即每个结点的度数是n-1，当n为奇数时，n-1为偶数。

由定理4.1.1的推论可知，应该填写：n为奇数。 6．给定一个序列集合{1，01，10，11，001，000}，若去掉其中的元素 ，则该序列集合构成前缀码．

应该填写：1

因为在二进制中1是10和11的前缀。而前缀码的定义是（定义5.2.10）：给定一个序列集合，若没有一个序列是另一个序列的前缀，该序列集合称为前缀码．

填写该题答案时大家一定要对前缀码的定义理解非常清楚。 问：若把序列集合中的1换成0，应该去掉哪个元素？

三、判断说明题

1．给定两个图G1，G2（如下图所示）：

（1）试判断它们是否为欧拉图、汉密尔顿图？并说明理由． （2）若是欧拉图，请写出一条欧拉回路．

v1

4

v2

v6

v5

v4

v3

分析：先复习欧拉图的判别定理和汉密尔顿图的定义：

定理4.1.1的推论：一个无向图具有一条欧拉回路，当且仅当该图是连通的，并且它的结点度数都是偶数．

定义4.2.1：若存在一条回路经过图G的每个结点一次且仅一次，则该回路称为汉密尔顿回路；具有汉密尔顿回路的图称为汉密尔顿图． 解：（1）图G1是欧拉图．

因为图G1中每个结点的度数都是偶数．

图G2是汉密尔顿图．

因为图G2存在一条汉密尔顿回路（不惟一）： a(a, b)b(b, e) e(e, f) f (f, g) g(g, d) d(d, c) c(c, a)a

问题：请大家想一想，为什么图G1不是汉密尔顿图，图G2不是欧拉图。

（2）图G1的欧拉回路为：（不惟一）：

v1(v1, v2) v2 (v2, v3) v3 (v3, v4) v4 (v4, v5)v5 (v5, v2) v2 (v2, v6)v6 (v6, v4) v4 (v4, v1)v1 （上学期的学生在书写欧拉回路时不规范，大家要按照正确的方法写法。）

2．判别图G(如右图所示)是不是平面图， 并说明理由．

分析：平面图的定义是

定义4.3.1 设G=是一个无向图， 如果能把G的所有结点与边画在平面上，并且 使得任何两条边除端点外没有其他的交点，则 称G是一个平面图（也称可平面图）．

显然平面图的边与边只在结点处相交．

解：图G是平面图．

因为只要把结点v2与v6的连线(v2, v6)拽 到结点v1的外面，把把结点v3与v6的连线 (v3, v6)拽到结点v4, v5的外面，就得到一个平 面图．

注意：定理4.3.3 设G是一个有v个结点e条边 的连通简单平面图，若v≥3，则e≤3v-6． 会用于判断不是平面图。

四、计算题

1．设图G??V，E?，其中V??a1, a2, a3, a4, a5?,

? v5

? v4

v6 ? v6 ? ? v5 v1 ? ?v 4 v2 ? ? v3

v1 ? v? 2

? v3

5

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