江苏省仪征中学2018届高三10月学情检测数学试题Word版含答案

江苏省仪征中学2017-2018学年度第一学期10月学情检测

高三数学试卷（Ⅰ）

总分（160分） 时长（120分钟） 命题人：陈宏强 审题人：邓迎春

一、填空题：本大题共14个小题，每小题5分，共70分，请把答案填在答题纸的对应横线上.

21、已知集合A??x|x?1?,B?x|x?2x?0，则

??A?B=____▲_____.

2、若复数z1?1?i,z2?2?i，则

z1z2?____▲__i_____．

????3、已知向量a?(m,2),b?(1,m)，且a‖b，则实数 m?▲．

4、若直线y?2x?m是曲线y?xlnx的切线，则实数m的值为▲．

25、命题p:?x0?R,x0?2x0?1?0是▲命题（选填“真”或“假”）．

?0?x?1?226、在约束条件?0?y?2下，则(x?1)?y的最小值为____▲____．

?2y?x?1?7、在平面直角坐标系xOy中，若直线ax＋y－2＝0与圆心为C的圆(x－1)＋(y－a)＝16相交于A，B两点，且△ABC为直角三角形，则实数a的值是▲．

2

2

8、若实数x、y满足log3x+log3y=1，则

11+的最小值为▲. xy9、函数y＝f(x)是定义在R上的奇函数，当x<0，f(x)＝x＋2，则不等式2f(x)－1<0的解集是▲.

11π

10、已知cos α＝，cos(α＋β)＝－，且α，β∈(0，)，则cos(α－β)＝▲.

33211、如图，在?ABC中，D是BC上的一点.已知∠B=60°，AD=2，AC=10，DC=2，则AB=▲.

12、设P为有公共焦点F1,F2的椭圆C1与双曲线C2的一个交点，且PF1?PF2，椭圆C1的离心率为e1，双曲线C2的离心率为e2，若e2?3e1，则e1?▲.

?上13、如图，半径为2的扇形的圆心角为120°，M，N分别为半径OP，OQ的中点，A为PQ?????????任意一点，则AM?AN的取值范围是▲．

?kx2?2x?1,x?(0,1]1114、已知函数f(x)??有两个不相等的零点x1,x2，则?的最大

xxkx?1,x?(1,??)12?值为 ▲ .

二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答卷纸指定区域内作答，解答时应写出文．．．．．．．．字说明、证明过程或演算步骤． 15、（本小题满分14分）

已知函数f(x)?2sin(x?)?cosx．

?3（1）若0≤x≤（2

?2，求函数f(x)的值域；

）设?ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，若A为锐角且f(A)?3，2b?2，c?3，求cos(A?B)的值．

16、（本小题满分14分）

如图，在平面直角坐标系xOy中，已知圆C:x2?y2?4x?0及点A(?1,0)，B(1,2)． （1）若直线l平行于AB，与圆C相交于M，N两点，MN?AB，求直线l的方程； （2）在圆C上是否存在点P，使得PA2?PB2?12？若存在，求点P的个数；若不存在，说明理由．

17、（本小题满分14分）

已知函数f(x)?logax,g(x)?2loga(2x?t?2),其中a?0且a?1,t?R． (1)若t?4,且x?[,2]时，F(x)?g(x)?f(x)的最小值是－2,求实数a的值； (2)若0?a?1,且x?[,2]时,有f(x)?g(x)恒成立,求实数t的取

18、（本小题满分16分） 如图，一块弓形余布料EMF，点M为

弧EF1414值范围.

的中点，其所在圆O的半径为4 dm（圆心O在弓形EMF内），∠EOF=2?．将弓形余布料裁

3剪成尽可能大的矩形ABCD(不计损耗)， AD∥EF，且点A、D在弧EF上，设∠AOD=2?． （1）求矩形ABCD的面积S关于?的函数关系式； （2）当矩形ABCD的面积最大时，求cos?的值．

19、（本小题满分16分）

x2y21椭圆C：2?2?1(a?b?0)的长轴是短轴的两倍，点P(3,)在椭圆上.不过原点的直线

2abl与椭圆相交于A、B两点，设直线OA、l、OB的斜率分别为k1、k、k2，且k1、k、k2恰

好构成等比数列，记△ABO的面积为S. （1）求椭圆C的方程.

（2）试判断OA?OB是否为定值？若是，求出这个值；若不是，请说明理由？ （3）求S的范围.

20、（本小题满分16分） 已知（1）若

，且函数

，在区间

。

上单调递增，求实数a的范围；

22（2）若函数有两个极值点，试判断

，且存在满足，令函数

零点的个数并证明．

江苏省仪征中学2017-2018学年度第一学期10月学情检测

高三数学试卷（Ⅱ）

总分（40分） 时长（30分钟） 命题人：陈宏强 审题人：邓迎春

21、（本小题满分10分）

若矩阵M???a?c2??1?属于特征值3的一个特征向量为α???，求矩阵M的逆矩阵. ?1??1?

22、（本小题满分10分）

已知2件次品和a件正品放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出a件正品时检测结束，已知前两次检测都没有检测出次品的概率为

. (1) 求实数a的值；

(2) 若每检测一件产品需要费用100元，设X表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用(单位：元)，求X的分布列和数学期望.

23、（本小题满分10分）

如图，已知长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝3，BC＝2，CC1＝5，E是棱CC1上不同于端点的→→点，且CE＝λCC1．

（1）当∠BEA1为钝角时，求实数λ的取值范围；

2

（2）若λ＝，记二面角B1－A1B－E的的大小为θ，求|cosθ|．

5

24、（本小题满分10分） 设i为虚数单位，n为正整数．

（1）证明：(cosx?isinx)n?cosnx?isinnx； （2）结合等

式“

?1?(cosx?isinx)???(1?cosx)?isinx?．

nn”证明：

2n1?C1ncosx?Cncos2x?????Cncosnx

高三数学试卷（Ⅰ）参考答案：

25231、{x|x＞0}；2、1?3i；3、?2；4、?e；5、真；6、；7、－1；8、；

539、?x|x????23926535??35?；12、；13、?，?；14、. 或0?x??；10、；11、2743322??22?15、解：（1）

?3．．．．．．．．．．2f(x)?(sinx?3cosx)cosx?sinxcosx?3cos2x?sin(2x?)?32分

由0≤x≤?2得，

?3≤2x??3≤3?4?≤sin(2x?)≤1，．．．．．4分 ，?233∴0≤sin(2x??3)?333]．．．．．．6分 ≤1?，即函数f(x)的值域为[0,1?222（2）由f(A)?sin(2A??3)?33??得sin(2A?)?0， 223又由0?A??2，∴

?3?2A??3?4???，∴2A???，A?．．．．．．．．8分 333在?ABC中，由余弦定理a2?b2?c2?2bccosA=7，得a?7．．．．．．．10分

由正弦定理

bsinA21ab?，得sinB?， ?a7sinAsinB27， 712732157????． ．．．．14分 272714∵b?a，∴B?A，∴cosB?∴cos(A?B)?cosAcosB?sinAsinB?16、解：（1）圆C的标准方程为(x?2)2?y2?4，所以圆心C(2,0)，半径为2．

因为l∥AB，A(?1,0)，B(1,2)，所以直线l的斜率为

2?0?1，

1?(?1)设直线l的方程为x?y?m?0， ?????????????????2分

则圆心C到直线l的距离为d?2?0?m2?2?m2．??????????4分

因为MN?AB?22?22?22，

22

(2?m)2MN2?2， ???????????6分 而CM?d?()，所以4?22解得m?0或m??4，

故直线l的方程为x?y?0或x?y?4?0．?????????????8分 （2）假设圆C上存在点P，设P(x,y)，则(x?2)2?y2?4，

PA2?PB2?(x?1)2?(y?0)2?(x?1)2?(y?2)2?12，

即x2?y2?2y?3?0，即x2?(y?1)2?4， ????????????10分 因为|2?2|?(2?0)2?(0?1)2?2?2，??????????????12分 所以圆(x?2)2?y2?4与圆x2?(y?1)2?4相交，

所以点P的个数为2．??????????????????????14分

4(x?1)217、解：(1)∵t?4,∴F(x)?g(x)?f(x)?2loga(2x?2)?logax?loga

x?loga4(x?1?2) x111?2)在[,1]上单调递减,在[1,2]上单调递增,且h()?h(2),

4x4易证h(x)?4(x?∴h(x)min?h(1)?16,h(x)max?h()?25,?????????????4分 ∴当a?1时,F(x)min?loga16,由loga16??2,解得a?141（舍去） 41. 5当0?a?1时,F(x)min?loga25,由loga25??2,解得a?综上知实数a的值是

1.????????????????????7分 5(2),即

,,根据题意有

,

,

,

,

,

；???????10分 ；

而函数

因为

,,所以.???????14分

18、解： (1) 设矩形铁片的面积为S，∠AOM＝θ. π

当0＜θ＜时(如图1)，AB＝4cosθ＋2，AD＝2×4sinθ，

3

S＝AB×AD＝(4cosθ＋2)(2×4sinθ)＝16sinθ(2cosθ＋1)．????3分

ππ

当≤θ＜时(如图2)，AB＝2×4cos θ，AD＝2×4sin θ， 32故S＝AB×AD＝64sinθcosθ＝32sin 2θ. ????6分 综上得，矩形铁片的面积S关于θ的函数关系式为 π16sinθ(2cosθ＋1)，0＜θ＜，??3S＝?ππ

32sin2θ，≤θ＜.??32

?????????8分

π

(2) 当0＜θ＜时，求导，得S′＝16[cosθ(2cosθ＋1)＋sinθ(－2sinθ)]

3＝16(4cosθ＋cos θ－2)． 令S′＝0，得cosθ＝

33－133－1???. 记区间?0，?内余弦值等于的角为θ0(唯一存在)， 88?3????????12分

列表：

θ (0，θ0) θ0 2

????0，? ?3?

S′ S ＋ ? 0 极大值 － ? ππ33－1又当≤θ＜时，S＝32sin2θ是单调减函数，所以当θ＝θ0，即cosθ＝时，

328矩形铁

19、解：(1)由题意可知所以椭圆的方程为

，且

，

片的面积最大．??????????????????16分

????????????????.4分

，设直线的方程为

（

），

、

（2）依题意，直线斜率存在且

由

，因为、、恰好构成等比数列， 所以即所以此时得

，且

（否则：

，

；

????????????????7分

，则，中至少有一个为，

直线

、

中至少有一个斜率不存在，与已知矛盾） 所以所以所以（3）

；

是定值为； ????????????????10分

（

所以

，且）

????????????????16分

20、解：（1）当

时，

，

，因为函数

在

上单调递增，

所以当时，恒成立．

函数的对称轴为．

①，即时，，

即，解之得，解集为空集；

②，即时，

即，解之得，所以

③，即时，

即，解之得，所以

综上所述，当函数在区间上单调递增．?6分

（2）∵

∴

有两个极值点是方程

，

的两个根，且函数

上单调递减．

在区间

和

上单调递增，在∵∴函数∵由题意知：

也是在区间

和，∴是函数

上单调递增，在上单调递减

的一个零点．????9分

∵

∴又

，∴，∴

，∴

∵∴∴∵函数

是方程

，

图像连续，且在区间

的两个根，

?????????????13分

上单调递增，在上单调递减，在

上单调递增 ∴当∴函数

时，

，当

时

，当

时

，

有两个零点和．?????????????16分[来源:ZXXK]

高三数学试卷附加题答案

21、解：由题意，得??a?c2??1??1??a?1?1，解得，所以M????1??3?1?1?c?2???????22??x?1???zy??1???w??00?， ?1?2?.???5分 ?1?设M?1?x???zy??1?1，则MM??2w????12???122133??1解得x??,y?,z?,w??，即M??????????10分

213333????3?3??

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