电磁场与电磁波（第4版） 习题第3章

（1）计算线电荷平分面上任意点的电3.1 长度为L的细导线带有均匀电荷，其电荷线密度为?l0。

位?；（2）利用直接积分法计算线电荷平分面上任意点的电场E，并用E????核对。

解 （1）建立如题3.1图所示坐标系。根据电位的积分表达式，线电荷平分面上任意点P的电位为

?(?,0,0)?L2?L2??l0dz?4??0??z?22

L22z L2 ? ??l04??0ln(z??2??z?)?L22

?l0 o P??l04??0ln??(L2)?L2??(L2)?L2222?

?L2??l02??0ln??(L2)?L2?22

题3.1图

（2）根据对称性，可得两个对称线电荷元?l0dz?在点P的电场为

dE?e?dE??e??l0dz?2??0(??z?)22cos??e??l0?dz?2??0(??z?)2232

故长为L的线电荷在点P的电场为

E??dE?e??l02??0??(L20?l0?dz?2232??0(??z?)2

?e?z?L22??z?2)0?e??l04??0?2L??(L2)2 由E????求E，有

?L2??2?(L2)2?? E????????ln2??0??????l0d?22??e?lnL2???(L2)?ln??

???2??0d???l0????l0???e??2??0??L2?????22??(L2)????1???22????(L2)??e??l04??0?2L??(L2)2

可见得到的结果相同。

3.3 电场中有一半径为a的圆柱体，已知柱内外的电位函数分别为

??a??(?)?0?2 a??(?)?A(??)cos???a??? （1）求圆柱内、外的电场强度；

（2）这个圆柱是什么材料制成的？表面有电荷分布吗？试求之。

解 （1）由E????，可得到 ??a时， E?????0

3－1

??a时， E??????e??e?A(1?a22???[A(??a2?)cos?]?e?a22????[A(??a2?)cos?]?

?)cos??e?A(1??)sin?

（2）该圆柱体为等位体(??a,??0)，所以是由导体制成的，其表面有电荷分布，电荷面密度为

?S??0en?E??a??0e??E??a??2?0Acos?

3.5 一半径为R0的介质球，介电常数为?r?0，其内均匀分布自由电荷?，试证明该介质球中心点的电位为

2?r?12?r(?3?0)R0

2?D?dS?q，得 解 根据高斯定理?Sr?R0时， 4?rD1?24?r33?

D1?即 D1?2?r3， E1?4?R033?r3?r?0?r?0

r?R0时， 4?rD2??

D1?故 D2??R03r23 ， E2??R03?0r32?0

则得中心点的电位为(选无穷远处为电位参考点)

?(0)??R00E1dr?2??R02E2dr???R00?r3?r?0dr???R0?R03?0r32dr?

?R06?r?0??R03?02?r?12?r(?3?0)R0

23.9 有一半径为a、带电量q的导体球，其球心位于介电常数分别为?1和?2的两种介质的分界面上，该分界面为无限大平面。试求：（1）导体球的电容；（2） 总的静电能量。

解 （1）由于电场沿径向分布，根据边界条件，在两种介质的分界面上E1t?E2t，故有 E1?E2?E。由于D1??1E1、D2??2E2，所以D1?D2。由高斯定理，得到

D1S1?D2S?222q

即 2?r?1E?2?r?2E?q 所以 E?导体球的电位

q2?r(?1??2)q2?(?1??2)2

?(a)?故导体球的电容

??aEdr???a1r2dr?q2?(?1??2)a

C?q?(a)1?2?(?1??2)a

（2） 总的静电能量为

We?

2q?(a)?q24?(?1??2)a3－2

3.13 在一块厚度为d的导电板上， 由两个半径分别为r1和r2的圆弧和夹角为?的两半径割出的一块扇形体，如题3.13图所示。求：（1）沿厚度方向的电阻；（2）两圆弧面之间的电阻；(3) 沿?方向的两电极的电阻。设导电板的电导率为?。

解 （1）设沿厚度方向的两电极的电压为U1，则有

E1?U1d ?U1

J d?U1?22I1?J1S1??(r2?r1)

d2J1??E1?r2 ? ? r1 3.13 图

d 故得到沿厚度方向的电阻为 R1?U1I1I2S2J2?2d??(r2?r1)I222

（2）设内外两圆弧面电极之间的电流为I2，则

J2?E2????rdI2

I2lnr2r1???rdU2??r2r1E2dr???dr2r1

故得到两圆弧面之间的电阻为 R2?U2I2??1??dln

（3）设沿?方向的两电极的电压为U3，则有

U3??0E3rd?

U3由于E3与?无关，故得

E3?e??r ?U3?rJ3??E3?e?

r2r1I3??S3J3?e?dS???dU3?r?dr??dU3?lnr2r1

故得到沿?方向的电阻为 R3?U3I3??dln(r2r1)

(??a)，试求矢量磁位A和磁感应强度B。

3.14 有用圆柱坐标系表示的电流分布J?ez?J01??Az1???Az2??解 由于电流只有ez分量，且仅为圆柱坐标?的函数，故A也只有ez分量，且仅为?的函数，即

?Az1(?)??Az2(?)?22???1?(?(?)???0J0? （??a） )?0 （??a）

???由此可解得

3－3

Az1(?)??19?0J0??C1ln??D1

3Az2(?)?C2ln??D2

式中C1、D1、C2、D2可由Az1和Az2满足的边界条件确定：

① ??0时，Az1(?)为有限值，若令此有限值为零，故得C1?0、D1?0

② ??a时，Az1(a)?Az2(a)、

即

??1913?Az1????a??Az2????a

?0J0a?C2lna?D2

3?0J0a?C221a

由此可解得

C2??故

Az1(?)??Az2(?)??19133?0J0? （??a）

13?0J0a，D2??313?0J0a(?lna)

331?0J0aln??3133?0J0a(?lna) （??a）

13 空间的磁感应强度为

B1(?)???A1(?)?e?132?0J0? （??a）

B2(?)???A2(?)?e??0J0a3?3 （??a）

3. 19 同轴线的内导体是半径为a的圆柱，外导体是半径为b的薄圆柱面，其厚度可忽略不计。内、外导体间填充有磁导率分别为?1和?2两种不同的磁介质，如题3.19图所示。设同轴线中通过的电流为I，试求：

（1）同轴线中单位长度所储存的磁场能量；

（2）单位长度的自感。

解 同轴线的内外导体之间的磁场沿?方向，在两种磁介质的分界面上，磁场只有法向分量。根据边界条件可知，两种磁介质中的磁感应强度B1?B2?B?e?B，但磁场强度H1?H2。

（1）利用安培环路定律，当??a时，有

?I22??B0?02??

?a所以

B0?a?0I2?a2 I?2 ? (??a)

b 在 a???b区域内，有 ??(H1?H2)?I 即

??(B1 ?1 题3.19图

?1?B2?2)?I

3－4

故 B?e??1?2I?(?1??2)?2 (a???b)

同轴线中单位长度储存的磁场能量为 Wm?1?2a0B0?0122??d??1?2baB2?1??d??1(1?1?21baBb2?2a??d??

1?2a0?02?a?(?0I?)2??d??2222?1?2)?[?1?2I?(?1??2)?]??d??

2?0I12?1?2I16?2?(?1??2)lnba

（2）由 Wm?LI2，得到单位长度的自感为

2WmI2L???08???1?2?(?1??2)lnba

3.21 一个点电荷q与无限大导体平面距离为d，如果把它移到无穷远处，需要作多少功？（已讲解）

解 利用镜像法求解。当点电荷q移动到距离导体平面为x的点P?x,0,0?时，其像电荷q???q，位于点??x,0,0?处，如题3.21图所

示。像电荷q???q在点P处产生的电场为

E?(x)?ex?q4??0(2x)2q? q x

?x ox x所以将点电荷q移到无穷远处时，电场所作的功为

We???dqE?(x)?dr???d?q224??0(2x)q2dx??q216??0d 题 3.21图

外力所作的功为

Wo??We?16??0d

3.25 一半径为a的无限长金属圆柱薄壳平行于地面，其轴线与地面相距为h。在圆柱薄壳内距轴线为r0处，平行放置一根电荷线密度为ρl的长直细导线，其横截面如图所示。设圆柱壳与地面间的电压为U0。求金属圆柱薄壳内外的电位分布。

3－5

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